5 5.2.2 等差数列的前n项和-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5．2.2　等差数列的前n项和 知识 目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等差数列前n项和公式及其应用．　3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题． 素养 目标 借助等差数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理、数据分析素养；通过等差数列前n项和公式的学习及应用，提升数学运算素养. 问题1.据说，200多年前，高斯的算术老师提出了一个问题：1＋2＋3＋4＋…＋100＝？ 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： (1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？ 提示：对于本数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5 050，可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51，这就是上一节学过的性质的应用，它使不同数的求和问题转化为相同数(即101)的求和，从而简化了运算． 问题2.对于一般的等差数列{an}，设其首项为a1，公差为D．如何求其前n项和Sn? 提示：利用高斯算法． ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 知识点一　等差数列的前n项和 1．已知首项、末项、项数，Sn＝． 2．已知首项、公差、项数，Sn＝na1＋d． [微提醒]　(1)等差数列前n项和公式的结构 (2)在等差数列前n项和公式中，涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”． 3．公式的推导方法是倒序相加法 (1)倒序相加法实际是一次函数中心对称性的反映，即若函数f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称图形，则f(x)＋f(2a－x)＝2b，对应等差数列则是an＋a2m－n＝2am. (2)若一个数列满足：任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和，则求该数列的前n项和常用倒序相加法． 知识点二　等差数列的前n项和公式与函数 1．等差数列前n项和公式与二次函数的关系 在等差数列{an}中， Sn＝na1＋d＝n2＋n. 令A＝，B＝a1－，得Sn＝An2＋Bn. 当A≠0(d≠0)时，Sn是关于n的二次函数，那么点(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上； 当A＝0(d＝0)时，Sn是关于n的一次函数(B≠0，此时a1≠0)或常函数(B＝0，此时a1＝0)，点(n，Sn)是直线y＝Bx上一系列孤立的点． 2．前n项和公式法判定等差数列 若数列{an}的前n项和形如Sn＝An2＋Bn，则 当n＝1时，a1＝S1＝A＋B； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(An2＋Bn)－[A(n－1)2＋B(n－1)]＝2An－A＋B， 学生用书↓第19页 又2A×1－A＋B＝A＋B＝a1，所以数列{an}的通项公式为an＝2An－A＋B， 于是有an＋1－an＝[2A(n＋1)－A＋B]－(2An－A＋B)＝2A(常数)， 故数列{an}是以A＋B为首项，2A为公差的等差数列． 如果数列{an}是等差数列，那么其前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，故若数列{an}的前n项和为Sn，则{an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． [微提醒]　若数列的前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a≠0)中，c≠0，则该数列不是等差数列；反之，若一个数列是等差数列，它的前n项和Sn也不一定是关于n的二次函数，如常数列的前n项和Sn＝na1. 知识点三　等差数列前n项和的性质 1．项数的“等和”性质：Sn＝＝. 2．等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列． 3．若等差数列{an}共有2n－1项，则S2n－1＝(2n－1)an． 4．项的个数的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd；＝. (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an；＝. [微提醒]　等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列，而不是Sn，S2n，S3n，S4n，…构成等差数列． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230 B．420 C．450 D．540 答案：B 解析：S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420. 2．在等差数列{an}中，a1＝1，a30＝30，则S30的值为(　　) A．456 B．465 C．930 D．654 答案：B 解析：S30＝＝＝465. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝5，S5＝40，则公差d＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：等差数列{an}中，a2＝5，S5＝40，则解得d＝3，a1＝2. 4．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________． 答案：15 解析：由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得S6＝15. 5．等差数列{an}中，公差d＝3，an＝13，Sn＝35，则n＝________． 答案：5 解析：等差数列{an}中，公差d＝3，由an＝a1＋(n－1)d＝a1＋3(n－1)＝13，所以a1＝16－3n，　①又Sn＝＝＝35，　②把①代入②中，化简得3n2－29n＋70＝0，解得n＝5或n＝(不符合题意，舍去)，所以n＝5. 题型一　等差数列前n项和的基本计算 例1　 (1)将含有k项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和是781，则k的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．20 B．21 C．22 D．24 (2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为(　　) A．7 B．6 C．3 D．2 (3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝2，S9＝5，则S15＝________． [点拨]　(1) (2) (3) 答案：(1)A　(2)C　(3)15 解析：(1)由等差数列前n项和公式可得Sn＝＝781，解得k＝20.故选A． (2)由S2＝2a1＋d＝4，S4＝4a1＋6d＝20，解得d＝3.故选C． (3)由6a1＋d＝2，9a1＋d＝5，得a1＝－，d＝，所以S15＝15a1＋d＝15. 学生用书↓第20页 等差数列前n项和公式的运算技巧 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是有关等差数列基本运算的常用方法．　　 对点练1.(1)已知等差数列{an}中， ①a1＝，S4＝20，求S6； ②a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an； ③a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求D． (2) 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列的前n项和Tn. 解：(1)①S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，所以d＝3. 故S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48. ②因为Sn＝n×＋×＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. ③由Sn＝＝＝－1 022， 解得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d， 即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171. (2)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋D． 因为S7＝7，S15＝75， 所以 即解得 所以＝a1＋d＝－2＋， 所以－＝， 所以数列是等差数列，且其首项为－2，公差为，所以Tn＝－2n＋×＝n2－n. 题型二　等差数列前n项和的性质 例2　 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若－＝1 000，则d的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B． C． D． (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)根据Sn＝，得－＝＝＝1 000，则d＝1.故选A． (2)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故有2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)，解得Sn＝2.故选B． 等差数列前n项和的性质比较多，应用时注意根据条件灵活选用适合的公式，正确应用性质解题能起到事半功倍的效果．　　 对点练2.(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，其前n项和为Sn，则S13＝________． (2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________． 答案：(1)104　(2)75 解析：(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，所以S13＝×13＝a7·13＝104. (2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3.所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋×1＝75. 题型三　等差数列前n项和公式的实际应用 例3　 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20辆同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ [点拨]　因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可构筑成第二道防线工程． 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. 因为500>480，所以在24小时内能构筑成第二道防线． 1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．　　 2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，前n项和Sn，还是求项数n. 学生用书↓第21页 对点练3.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米． 答案：2 000 解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米). 题型四　等差数列前n项和Sn的函数特征 例4　 (一题多解)数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2， (1)求{an}的通项公式； (2)问{an}的前多少项和最大； (3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n. [点拨]　(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项． (2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解． (3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解． 解：(1)方法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝33n－n2－33(n－1)＋(n－1)2＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 方法二(结构特征法)：由Sn的结构特征知{an}是等差数列且 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2)方法一(公式法)：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 方法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝. 距离最近的整数为16，17.由Sn＝－n2＋33n的图象可知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an<0. 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． (3)由(2)知，当n≤17时，an≥0； 当n≥18时，an<0. 所以当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当n≥18时， S＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544. 故S＝ 1．等差数列中求Sn最值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法 (1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． (2)利用到函数y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点． 3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．　　 对点练4.(1)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则Sn取最小值时n的值为(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 (2)已知数列{an}中，前n项和Sn＝n2－15n，则使Sn为最小值的n是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．9 (3)等差数列{an}满足a1>0，3a5＝5a8，当数列{an}的前n项和Sn取最大值时，n＝(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案：(1)B　(2)C　(3)A 解析：(1)因为an＝2n－37，当n≥19时，an>0，当n≤18时，an<0，故Sn的最小值为S18，故选B． (2)Sn＝n2－15n＝－，所以数列{Sn}的图象是分布在抛物线y＝－上的横坐标为正整数的离散的点． 又抛物线开口向上，以x＝为对称轴，且＝，所以当n＝7或8时，Sn有最小值．故选C． (3)由3a5＝5a8得，3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，所以2a1＋23d＝0，所以(a1＋11d)＋(a1＋12d)＝0，即a12＋a13＝0，所以a12>0，a13<0，所以Sn取最大值时n＝12.故选A． 易错点　等差数列前n项和性质的应用 已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝(n∈N*)，求. [易错分析]　由＝，本题易错设Sn＝(7n＋1)k，Tn＝(4n＋27)k，k≠0，从而得到错解＝＝. [误区警示]　错误的原因是“设Sn＝(7n＋1)k，Tn＝(4n＋27)k，k≠0”．这种设法虽然可以使＝成立，但是相对于变量n来说，k是常数，故Sn＝(7n＋1)k，Tn＝(4n＋27)k是n的一次函数，与公差不为零的等差数列的前n项和为n的二次函数不符合． 学生用书↓第22页 [正解]　方法一　设Sn＝(7n＋1)·kn，Tn＝(4n＋27)·kn. 所以a11＝S11－S10＝(7×11＋1)·11k－(7×10＋1)·10k＝148k， b11＝T11－T10＝(4×11＋27)·11k－(4×10＋27)·10k＝111k. 所以＝＝. 方法二　＝＝＝＝. 又＝＝＝. 所以＝. 1．记等差数列的前n项和为Sn，若S7＝49，S15＝45，则a6＝(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3 B．5 C．7 D．10 答案：B 解析：等差数列的前n项和为Sn，则S7＝＝7a4＝49，故a4＝7，S15＝＝15a8＝45，故a8＝3，由2a6＝a4＋a8＝7＋3＝10得a6＝5.故选B． 2．已知等差数列的前n项和为Sn.若a15＋a2 010＝1，则S2 024＝(　　 ) A．1 012 B．1 013 C．2 024 D．2 025 答案：A 解析：由等差数列的通项公式可得：a15＋a2 010＝2a1＋2 023d＝1，且a1＋a2 024＝2a1＋2 023d＝1，所以S2 024＝＝＝1 012.故选A． 3．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________． 答案：5 解析：由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，又因为a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，所以a5＋a7＝2a6＝10，所以中间项a6＝5. 4．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大． 答案：8 解析：因为a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a8>0，a9<0.所以当n＝8时，数列{an}的前n项和最大． 课时测评5　等差数列的前n项和 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a8＝4，S11＝33，则a20＝(　　) A．19 B．18 C．17 D．20 答案：C 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a8＝4，S11＝33，所以2a1＋8d＝4，11a1＋d＝33，联立解得a1＝－2，d＝1，则a20＝－2＋19＝17. 2．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a2＋a6＋a7＝27，则S9的值为(　　) A．36 B．45 C．72 D．81 答案：D 解析：因为a2＋a6＋a7＝a4＋a6＋a5＝3a5＝27，a5＝9， 所以S9＝＝9a5＝81. 3．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 答案：C 解析：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2＋a5＋a8＝15，S7＝28，设公差为d，由a2＋a5＋a8＝15，得3a5＝15，所以a5＝5，由S7＝28，得7a4＝28.所以a4＝4，则d＝a5－a4＝1，所以a20＝a5＋15d＝5＋15×1＝20. 4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：C 解析：由题意知S偶－S奇＝5d，所以d＝＝3. 5．(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则(　　) A．a1＝1 B．d＝－ C．a2＋a12＝10 D．S10＝40 答案：ACD 解析：设数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.故选ACD． 6．在等差数列{an}中，a2＝3，a6＝15，则通项公式an＝________，其前n项和Sn＝________． 答案：3n－3　 解析：由题意可得d＝＝3，故an＝a2＋(n－2)×3＝3＋3n－6＝3n－3，n∈N*，Sn＝＝. 7．已知等差数列{an}中，a1＝9，a6＝a2－8，则{an}的前n项和Sn的最大值为________． 答案：25 解析：根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若a6＝a2－8，则d＝＝－2，又因为a1＝9，则an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋11，则当1≤n≤5时，an>0，当n≥6时，an<0，故当n＝5时，Sn取得最大值，此时S5＝5×9＋×(－2)＝25. 8．在数列{an}中，若a1＝－60，且an＋1＝an＋3，则这个数列前30项的绝对值之和为__________． 答案：765 解析：由题意，可知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3，即数列{an}是公差为3的等差数列，又因为a1＝－60，所以an＝3n－63，Sn＝＝，可得当1≤n≤20，n∈N*时，an<0，当n≥21，n∈N*时，an≥0，所以数列前30项的绝对值之和为：|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋a22＋…＋a30)＝－S20＋(S30－S20)＝S30－2S20＝－2×＝765. 9．(10分)设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a4＝1，S15＝75. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)求数列的前n项和Tn.(6分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则由题意得 解得 所以an＝－2＋(n－1)＝n－3. (2)由(1)得an＝n－3， 则Sn＝·n＝－n， 所以＝＝－，数列是首项为－2，公差为的等差数列， 所以Tn＝－2n＋·＝. 10．(10分)某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆到一条公路，沿着路侧架设．已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？ 解：因为20＝3×6＋2，故卡车至少运送7趟， 因为路线重复越少则行驶距离最少，所以最佳方案是从最远处开始往回返， 第一趟走了2(500＋50×20)＝3 000(米)， 第二趟走了3 000－150×2＝2 700(米)， 第三趟走了2 700－150×2＝2 400(米)， …… 每次走的路程组成首项为3 000，公差为－300的等差数列，各项的和为3 000×7＋7×6×(－300)÷2＝14 700(米)． 11．(5分)(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则(　　) A．an＝2n－5 B．{an}不是等差数列 C．数列{an}中a2最小 D．|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝67 答案：BD 解析：因为Sn＝n2－4n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝12－4×1＋1＝－2，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－4(n－1)＋1，所以an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋1－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5，显然当n＝1时an＝2n－5不成立，所以an＝，所以{an}从第二项起以2为公差的等差数列，故数列{an}不是等差数列，即A错误，B正确；从第二项起{an}为递增的等差数列，又a1<a2，所以a1为数列的最小项，故C错误；因为a1<a2<0<a3<…，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－a1－a2＋a3＋…＋a10＝S10－2(a1＋a2)＝102－4×10＋1－2(－2－1)＝67，故D正确．故选BD． 12．(5分)已知等差数列{an}满足：a1≠0，2 024·a2 023＝2 023·a2 024，Sn表示{an}的前n项和，则＝________． 答案： 解析：因为{an}是等差数列，设其公差为d，因为2 024a2 023＝2 023a2 024，所以2 024(a1＋2 022d)＝2 023(a1＋2 023d)，所以a1＝2 0232d－(2 023＋1)(2 023－1)d＝2 0232d－(2 0232－1)d，所以a1＝D．则{an}的前n项和Sn＝na1＋n ·(n－1)d＝n(n＋1)d≠0，所以＝＝. 13．(10分)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4. (1)求证：数列{an}为等差数列；(4分) (2)求数列{an}的通项公式．(6分) 解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0， 因为an>0，解得a1＝3. 当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5， 又2Sn＝a＋n－4，两式相减得2an＝a－a＋1， 即a－2an＋1＝a，即(an－1)2＝a， 所以an－1＝an－1或an－1＝－an－1. 若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1，而a1＝3， 所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾， 所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1(n≥2)， 因此数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a1＝3，d＝1， 所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2. 14．(5分)(新定义)把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”．例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”．据此，对324的18项划分中最大的数是________． 答案：35 解析：设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，则由解得 15．(15分)(开放题)已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn.数列{bn}为等差数列且满足b2＝12，b5＝30，再从①a＋an＝2Sn，②a1＝9，a2＝2，当n≥2时，an＋1＝an＋2这两个条件中任选一个作为已知条件，求解下列问题： (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(5分) (2)若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立，求实数k的取值范围．(10分) 解：方案一　选条件①. (1)由a＋an＝2Sn， 得a＋an－1＝2Sn－1(n≥2)， 两式相减可得a－a＋an－an－1＝2an， 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0. 又an>0，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1， 所以数列{an}为等差数列． 当n＝1时，a1＝1， 所以an＝a1＋(n－1)×1＝n， 所以Sn＝＝. (2)因为数列为等差数列，设公差为d， 由b2＝12，b5＝30得， 所以解得b1＝d＝6， 所以bn＝6＋6(n－1)＝6n. 若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立， 则k·≥6n，即k≥＝对任意n∈N*恒成立， 所以k≥6. 方案二　选条件②. (1)因为当n≥2时，an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2， 所以当n≥2时，数列{an}为等差数列， 又a2＝2，所以当n≥2时， an＝a2＋(n－2)×2＝2n－2， 所以an＝ Sn＝9＋＝n2－n＋9. (2)因为数列为等差数列，设公差为d， 由b2＝12，b5＝30得， 所以解得b1＝d＝6， 所以bn＝6＋6(n－1)＝6n. 若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立， 则k≥＝对任意n∈N*恒成立． 因为n＋－1≥2－1＝5，当且仅当n＝3时取等号， 所以≤，所以k≥. 学科网（北京）股份有限公司 $$