4 5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　等差数列的性质 知识 目标 1.掌握等差中项的概念，会求等差中项．　2.能推出等差数列的常用性质，并能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题． 素养 目标 借助等差数列中项的学习，提升数据分析素养；通过等差数列性质的学习，培养逻辑推理、数学运算素养. 问题1.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．反之，a，b，c为等差数列，则有2b＝a＋C． 问题2.若数列{an}是等差数列，公差为d，如果m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，那么am＋an与ap＋aq有什么样的数量关系？ 提示：由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，所以am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq. 知识点一　等差中项 1．定义：如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项． 2．性质：(1)若A为x，y的等差中项，则有A＝． (2)在一个等差数列中，中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项． 知识点二　等差数列的性质 1．项与序号的关系 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq． 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. 2．由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) [微提醒]　若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)可以推广到三项的情况，即m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*，则am＋an＋at＝ap＋aq＋as. [提示]　此性质反过来不成立，当数列为常数列时，任意两项的和都相等，但是其序号和不一定是相等的． 1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1 B．0 C．1 D．6 答案：B 解析：因为{an}是等差数列，所以2a4＝a2＋a6，所以a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0. 2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14　　　　 B．21 C．28　　　　 D．35 答案：C 解析：等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12⇒3a4＝12，所以a4＝4，则a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C． 3．方程x2－9x＋7＝0的两根的等差中项等于________________________________________________________________________． 答案： 解析：设方程x2－9x＋7＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝9，所以其等差中项为＝. 4.＋1与－1的等差中项是________． 答案： 解析：由题得＋1与－1的等差中项为＝. 5．在等差数列{an}中，a2＋a8＝16，a4＝6，则公差d＝________． 答案：2 解析：因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a8＝2a5＝16，所以a5＝8，所以公差d＝a5－a4＝8－6＝2. 学生用书↓第15页 题型一　等差中项的应用 例1　 (1)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A．　　　　　　　　　　　 B． C． D． (2)若一个直角三角形的三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是________． [点拨]　(1) (2) 答案：(1)A　(2)12 解析：(1)＝ ＝＝. (2)方法一　设c为斜边，公差为d，则a＝b－d，c＝b＋d， 所以解得b＝4，d＝，从而a＝3，c＝5，a＋b＋c＝12. 方法二　设c为斜边，由a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c成等差数列且面积为12，可得解得故三角形的周长为a＋b＋c＝12. 等差中项的应用策略 1．涉及到等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解． 2．在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1，实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m<n)．　　 对点练1.(1)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． (2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解：(1)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为＝3. (2)因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项，所以b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，所以a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7. 题型二　等差数列性质的应用 例2　 (1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________； (2)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8的值； (3)(一题多解)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． [点拨]　(1)利用性质：{an}，{bn}都是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列求解． (2)利用性质：等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq求解． (3)利用等差数列的性质，根据已知条件求出a4；再将a2＝a4－2d，a6＝a4＋2d代入a2a4a6＝45，求出d，进而求得an. 答案：(1)35 解析：(1)方法一　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 方法二　因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35. (2)因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以5a5＝450.所以a5＝90.所以a2＋a8＝2a5＝180. (3)方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5. 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9， 所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N*； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N*. 方法二　设等差数列的公差为d， 则由a1＋a4＋a7＝15，得 a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15， 即a1＋3d＝5. ① 由a2a4a6＝45， 得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45， 即(5－2d)(5＋2d)＝9，② 联立①②，解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N*， 或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N*. 等差数列运算的两种常用思路 1．根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． 2．利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. [注意]　对于新构造的数列，要注意判断其首项和公差．　　 对点练2.(1)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 学生用书↓第16页 (2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝π，那么cos (a3＋a5)＝(　　) A． B．－ C． D．－ (3)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是(　　) A．1 B． C． D． 答案：(1)A　(2)B　(3)C 解析：(1)因为{an}是等差数列，所以2a9＝a5＋a13，故a13＝2a9－a5＝2×6－3＝9.故选A． (2)因为等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝π，所以a1＋a4＋a7＝3a4＝π，即a4＝π，所以a3＋a5＝2a4＝π，故cos (a3＋a5)＝cos π＝－cos ＝－.故选B． (3)设方程x2－2x＋m＝0的两个根分别为x1，x2，方程x2－2x＋n＝0(m≠n)的两个根分别为x3，x4，则由根与系数的关系知x1＋x2＝x3＋x4＝2.由题设及等差数列的性质得，方程x2－2x＋m＝0的两个根要么排在两端，要么排在中间．不妨设x1＝，则x2＝，且x2为第4项．不妨设x3<x4，则x3，x4分别为第2项与第3项．设这四个数构成的等差数列的公差为d，则＝＋3d，解得d＝.于是第2项与第3项分别为与，所以由根与系数的关系得，m＝x1x2＝，n＝x3x4＝，故|m－n|＝|－|＝.故选C． 题型三　等差数列的实际应用 例3　 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供了如下两个不同的信息图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 请你根据提供的信息回答问题． (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． [点拨]　解决本题关键是构造两个数列：一个是每年每个养鸡厂的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列． 解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产鸡的只数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (1)由a1＝1，a6＝2，得 所以得a2＝1.2； 由b1＝30，b6＝10，得所以得b2＝26. 所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2， 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只． (2)规模缩小了，理由如下： 因为c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， 所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． 1．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决；若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决． 2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．　　 对点练3.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元． 答案：23.2 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 题型四　等差数列性质的应用(规范答题) 例4　 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这个数列． [规范解答]　由已知5个数成等差数列， 设这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2D． 答题规则说明： (1)得关键分：正确设出这5个数 学生用书↓第17页 由已知得(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5， 即5a＝5，解得a＝1. 又(a－2d)2＋(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＋(a＋2d)2＝， 化简得5a2＋10d2＝，把a＝1代入，整理得d2＝， 所以d＝或d＝－. 答题规则说明： (2)得计算分：正确得出a，d的值 ①当d＝时，a－2d＝1－＝－， a－d＝1－＝，a＋d＝1＋＝， a＋2d＝1＋＝； ②当d＝－时， a－2d＝1＋＝，a－d＝1＋＝， a＋d＝1－＝，a＋2d＝1－＝－. 答题规则说明： (3)得转化分：由求得的a，d的值分情况转化为求出这5个数值 综上可知，这个数列为－，，1，，或，，1，，－. 答题规则说明： (4)得常规分：相应地正确写出这5个数值． 　 设等差数列的三个技巧 1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列． 2．对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为D． 3．对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2D．　 对点练4.(一题多解)已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 解：方法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得 解得或 所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2. 方法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得 化简，得 解得或 所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2. 方法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得 化简，得解得 所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2. 1．在等差数列{an}中，若a3＝5，a5＝7，则a7＝(　　) A．－1 B．9 C．1 D．6 答案：B 解析：由题意可知a3＋a7＝2a5，所以a7＝2a5－a3＝14－5＝9.故选B． 2．(2024·浙江温州高二期中改编)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 024＋b2 024＝(　　) A．4 045 B．4 047 C．4 049 D．4 051 答案：B 解析：由于{an}，{bn}均为等差数列，故数列{an＋bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a2 024＋b2 024＝1＋2 023×2＝4 047.故选B． 3．(2024·北京东城高二期末检测)哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名．已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为(　　) A．2041年～2042年 B．2061年～2062年 C．2081年～2082年 D．2101年～2102年 答案：B 解析：由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1 682，公差为76的等差数列，则等差数列的通项公式为an＝1 682＋76(n－1)＝76n＋1 606，所以a5＝76×5＋1 606＝1 986，a6＝76×6＋1 606＝2 062，所以可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2 062年．故选B． 4．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z＝________________________________________________________________________. 答案：39 解析：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝2y＝26，所以x＋y＋z＝39. 课时测评4　等差数列的性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．在等差数列{an}中，a5＝7，则a3＋a4＋a6＋a7＝(　　) A．21 B．28 C．35 D．42 答案：B 解析：在等差数列{an}中，a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，故a3＋a4＋a6＋a7＝4a5＝28. 2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝36，a11＋a12＋a13＝84，则a5＋a9＝(　　) A．30 B．35 C．40 D．45 答案：C 解析：因为a1＋a2＋a3＝36，a11＋a12＋a13＝84，由等差数列的性质，得3a2＝36，3a12＝84，所以3a2＋3a12＝36＋84＝120.所以a2＋a12＝40，所以a5＋a9＝a2＋a12＝40. 3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．1或2 答案：D 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D． 4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 答案：B 解析：由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，所以a8＝8，又d≠0，所以m＝8. 5．(多选)下列关于等差数列的命题中正确的有(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 答案：BCD 解析：对于A，取a＝1，b＝2，c＝3，可得a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然，a2，b2，c2不成等差数列，故A错误；对于B，取a＝b＝c，可得2a＝2b＝2c，故B正确；对于C，因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，即ka＋2，kb＋2，kc＋2成等差数列，故C正确；对于D，a＝b＝c≠0⇒＝＝，故D正确．故选BCD． 6．在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝4π，则a5＝________，tan(a2＋a8)＝________． 答案：　－ 解析：等差数列{an}中，由等差数列的性质可得，a1＋a5＋a9＝3a5＝4π，则a5＝，tan(a2＋a8)＝tan 2a5＝tan＝tan＝－. 7．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列． 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________． 答案：n2＋n 解析：第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.所以数表中的第n行第n＋1列的数是n2＋n. 8．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________． 答案：n2 解析：依题意，得－＋1＝0，即－＝1，所以数列为等差数列，且公差d＝1. 又＝1，即＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n2. 9．(10分)若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，求这三个数的积． 解：设这三个数为a－d，a，a＋d， 则 解得或 所以这三个数为－1，3，7或7，3，－1. 所以这三个数的积为－21. 10．(10分)在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48.求a13；(4分) (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52.求公差D．(6分) 解：方法一　(1)直接化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48， 所以4a13＝48，所以a13＝12. (2)直接化成a1和d的方程如下： 解得或 所以d＝3或－3. 方法二　(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，所以a13＝12. (2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17， 由a2·a5＝52，a2＋a5＝17， 解得或 所以d＝＝＝3或d＝＝＝－3. 11．(5分)(多选)下列是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法，其中正确的是 (　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 答案：AD 解析：对于A：an＝a1＋(n－1)d，d>0，所以an－an－1＝d>0，故A正确；对于B：nan＝na1＋n(n－1)d，所以nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关．故数列{nan}不一定递增，B不正确；对于C：＝＋d，所以－＝，当d－a1>0，即d>a1时，数列递增，但d>a1不一定成立，C不正确；对于D：设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0.所以数列{an＋3nd}是递增数列，D正确．故选AD． 12．(5分)若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为________________． 答案：an＝2n－(n∈N*) 解析：由题意得an＋1＋an＝4n－3，①an＋2＋an＋1＝4n＋1，②②－①，得an＋2－an＝4.因为{an}是等差数列，设公差为d，所以2d＝4，d＝2.因为a1＋a2＝1，所以a1＋a1＋d＝1，所以a1＝－.所以an＝－＋(n－1)×2＝2n－(n∈N*)． 13．(10分)数列{an}为等差数列，bn＝，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式． 解：因为b1＋b2＋b3＝＋＋＝，b1b2b3＝＝，所以a1＋a2＋a3＝3. 因为a1，a2，a3成等差数列， 所以a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d， 由＋＋＝， 得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2. 当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3； 当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5. 14．(5分)已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝__________，a22＝__________． 答案：3　 解析：设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝＝2，所以a32＝1＋2＝3.因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝. 15．(15分)(新角度)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列． (1)若a20＝40，求d；(4分) (2)试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围；(5分) (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，依此类推，把已知数列推广为无穷数列，请对这个数列作简单概述．(6分) 解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 故a30＝10， 当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列． 学生用书↓第18页 学科网（北京）股份有限公司 $$