3 5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5．1.2　数列中的递推 知识 目标 1.了解递推公式是给出数列的一种方法，理解递推公式的含义，能够根据递推公式求出数列的前几项.2.了解由递推公式用累加法、累乘法求通项公式．　3.会利用an与Sn的关系求数列的通项公式． 素养 目标 通过对递推公式的理解，培养数学抽象素养；通过递推公式求通项与由数列的前n项和求通项，培养逻辑推理、数学运算素养. 问题1.如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片； (2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？ 提示：其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号针，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号针，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号针，需要an步，故an＋1＝2an＋1. 问题2.如果我们把数列{an}的前n项加在一起的和记作Sn，那么你能用它表示a2吗？a6＋a7＋a8＋a9＋a10怎么表示？an呢？ 提示：a2＝S2－S1，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S5，an＝ 问题3.已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4? 提示：a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 知识点一　数列的递推关系 1．定义：如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)． [微提醒]　数列递推公式的两个条件 (1)已知数列的第1项(或前几项)． (2)从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系都可以用一个公式来表示． 2．数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 [微提醒]　(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数n的恒等式． (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项． (4)运用递推公式给出数列，可以揭示数列的一些性质，但不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它求出数列的通项公式或者得到一个特殊数列． 学生用书↓第7页 知识点二　数列的前n项和 1．概念：一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． 2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系：an＝ [微提醒]　an＝Sn－Sn－1成立的条件为n∈N*且n≥2，注意验证n＝1的情况． 1．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　) A．－3 B．－11 C．－5 D．19 答案：D 解析：a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19.故选D． 2．已知数列{an}的前n项和为Sn.若Sn＝n2－3n＋1，则a3＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 答案：D 解析：数列{an}的前n项和为Sn.若Sn＝n2－3n＋1，则a3＝S3－S2＝32－9＋1－(22－6＋1)＝2. 3．(多选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－(n∈N*)，下列选项中能使an＝3的n为(　　) A．17 B．16 C．8 D．7 答案：BD 解析：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3，所以数列{an}是周期为3的数列，所以a8＝a17＝a2＝－，a7＝a16＝a1＝3.故选BD． 4．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________． 答案： 解析：a2＝1＋＝1＋1＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝. 5．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 答案：n 解析：方法一(累加法)：由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝＝n－1.又a1＝1，所以an＝n(n≥2)，因为当n＝1时也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)． 方法二(迭代法)：由an＋1－an＝1，得an＝an－1＋1＝an－2＋1＋1＝an－3＋1＋1＋1＝…＝a1＋＝n(n∈N*)． 题型一　由递推关系求前若干项 例1　 (1)数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－an－1·an＋1＝(－1)n－1(n≥2)，那么a4＝(　　) A．8 B．17　　　 C．21 D．33 (2)设数列{an}满足an＝写出这个数列的前五项． [点拨]　(1)由a1，a2及递推关系式，依次写出a3，a4. (2)依次写出前五项即可． 答案：(1)D 解：(1)a－a1·a3＝(－1)2－1，a3＝10；a－a2·a4＝(－1)3－1，a4＝33. (2)由题意可知：a1＝2，a2＝1＋＝，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝. 由递推关系写出数列的项的方法 1．根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． 2．若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1. 3．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.　 对点练1.(1)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，写出数列的前6项． (2)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 024. 解：(1)因为a1＝3，an＋1＝2an＋1， 所以a2＝2×3＋1＝7，a3＝2×7＋1＝15， a4＝2×15＋1＝31，a5＝2×31＋1＝63， a6＝2×63＋1＝127. (2)a2＝＝＝－1， a3＝＝＝， a4＝＝＝2＝a1， a5＝＝＝－1＝a2， 所以{an}是周期为3的数列， 所以a2 024＝a674×3＋2＝a2＝1. 学生用书↓第8页 题型二　由Sn求an 例2　 已知下列各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝8n＋5. [点拨]　当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，从而可求得an. 解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式． 所以an＝4n－5. (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝8n＋5－(8n－1＋5)＝7×8n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝13，不符合上式． 所以an＝ 由数列的前n项和求通项公式的“三步曲” 第一步：先由数列的前n项和Sn求数列的首项，a1＝S1＝a； 第二步：再求第n项，an＝Sn－Sn－1，注意限制条件n≥2； 第三步：验证a1，看是否需要分段表示通项公式：若n＝1时，(2)中的式子满足a1＝a，则直接得到通项公式；若n＝1时，(2)中的式子不满足a1＝a，则需分段表示通项公式，即通项公式为an＝ 对点练2.已知数列{an}各项均为正数，Sn是其前n项和，且Sn＝2n2－30n.求a1及an. 解：因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2－30＝－28. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32(n＝1时也成立)． 所以a1＝－28，an＝4n－32. 题型三　数列的函数性质 例3　 (1)在数列{an}中，a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，an＝an＋4.则a9＋a10＋a11＋a12＝________． (2)在数列{an}中，a1＝a2＝1，a3＝2且对任意n都有anan＋1an＋2≠1，又anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，则a1＋a2＋a3＋…＋a40＝________． (3)若数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. ①数列中有多少项是负数？ ②当n为何值时，an有最小值？并求出最小值． [点拨]　(1) 答案：(1)6　(2)80　 解：(1)因为an＝an＋4，a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，所以a9＋a10＋a11＋a12＝a1＋a2＋a3＋a4＝6. (2)因为anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，所以an＋1an＋2an＋3an＋4＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4. 两式相减得，(an－an＋4)(an＋1an＋2an＋3－1)＝0， 由于an＋1an＋2an＋3≠1，所以an＝an＋4， 又a1＝a2＝1，a3＝2， 所以a4＝4，a1＋a2＋a3＋a4＝8， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a40 ＝10(a1＋a2＋a3＋a4)＝80. (3)①令an＝n2－5n＋4<0， 得1<n<4，n∈N*， 所以数列中仅有两项a2，a3是负数． ②an＝n2－5n＋4＝－，其对称轴为n＝， 又n∈N*，所以n取2，3时，an有最小值－2. 学生用书↓第9页 求数列的最大(小)项的两种方法 1．利用判断函数单调性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用二次函数的单调性来探讨数列的增减性，以此求解最小项． 2．设ak是最小项，则有对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式组即可． 对点练3.(1)一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an，n∈N*，则该函数的图象是(　　) (2)已知an＝(n∈N*)，则在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是(　　) A．a1，a30　　　　　　　 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a12，a11 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)由an＋1＝f(an)>an知f(x)的图象在y＝x上方．故选A． (2)根据题意，an＝＝1＋，当n≤11时，数列{an}递减，且an＜1；当n≥12时，数列{an}递减，且an＞1.故在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是a12和a11.故选D． 题型四　由递推公式求通项公式 例4　(1)(2024·安徽马鞍山高二月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋，求数列{an}的通项公式； (2)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 解：(1)法一：(归纳法)数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋＝，a3＝＋＝，a4＝＋＝，a5＝＋＝， 又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为an＝(n∈N*)． 法二：(迭代法)因为an＋1＝an＋，所以an＋1＝an＋－， 所以a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2)． 又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)． 法三：(累加法) 因为an＋1－an＝－，a1＝1，所以a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)， 以上各项相加得an＝1＋＋＋…＋. 所以an＝(n≥2)．因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)． (2) 法一：(累乘法)把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0. 因为an＞0，所以an＋1＋an＞0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0， 所以＝，所以···…·＝×××…×， 所以＝.又因为a1＝1，所以an＝a1＝. 法二：(迭代法)同法一，得＝，所以an＋1＝an， 所以an＝·an－1＝··an－2＝···an－3＝…＝···…·a1＝a1.又因为a1＝1，所以an＝. 法三：(构造特殊数列法)同法一，得＝，所以(n＋1)an＋1＝nan，所以数列{nan}是常数列，所以nan＝1·a1＝1，所以an＝. 由递推公式求通项公式的常用方法 1．归纳法：根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题) 2．迭代法、累加法或累乘法适合的递推公式类型 (1)an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；　 (2)an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； (3)an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第(2)类解决． 对点练4.(1)已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n∈N*且n≥2)，则数列{an}的通项公式为________________． (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________________． (3)已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为______________． 答案：(1)an＝　(2)an＝en－1　(3)an＝ 解析：(1)因为an＝an－1＋(n≥2)，所以an－an－1＝＝－，所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝－(n≥2)，所以an＝a1＋－＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，又a1＝适合an＝，故数列{an}的通项公式为an＝. (2)因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1，即＝e(n≥2)．所以an＝··…··a1＝e·e·…·e·1＝en－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，故数列{an}的通项公式an＝en－1，n∈N*. (3)因为anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，所以－＝1.所以当n≥2时，＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.所以＝n＋1，所以当n≥2时，an＝.因为a1＝也符合上式，故数列{an}的通项公式an＝(n∈N*). 1．已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝an＋，则该数列的第3项等于(　　 ) A．1 B． C． D． 答案：C 解析：a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.故选C． 2．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an为(　　 ) A．an＝6n－5 B．an＝ C．an＝6n＋1 D．an＝ 答案：B 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3－2＋1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5.(*)又n＝1时，不满足(*)式，所以an＝故选B． 学生用书↓第10页 3．(2024·江苏苏州高二测试)若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则a100＝________． 答案：5 050 解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1，得＝(n≥2，n∈N*)，则a100＝a1···…·＝1×××…×××＝＝5 050. 4．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋n(n∈N*)，则S3＝________，数列{an}的通项公式an＝________． 答案：12　2n 解析：由Sn＝n2＋n，所以S3＝9＋3＝12.当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，得a1＝2成立，所以an＝2n. 易错点　数列性质的应用 若an＝2n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________． [易错分析]　本题易忽略n的取值范围，从而导致错解λ的范围． [误区警示]　将数列的单调性转化为二次函数的单调性时，要特别注意n的取值范围． 答案：(－6，＋∞) [正解]　方法一　若数列{an}为单调递增数列，则an＋1>an， 即2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3>2n2＋λn＋3， 整理得λ>－(4n＋2)， 因为n≥1， 所以－(4n＋2)≤－6， 即λ>－6. 方法二　本题也可以从二次函数图象入手，由对称轴和对称性，可得－<， 即λ>－6. 课时测评2　数列中的递推 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N* C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N* D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 答案：C 解析：由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N*.故选C． 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋1，n∈N*，则a5－a1＝(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 答案：C 解析：数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋1，n∈N*，所以a1＝S1＝3，a5＝S5－S4＝(2×52＋1)－(2×42＋1)＝18.则a5－a1＝18－3＝15. 3．在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 025＝(　　) A． B．1 C．－1 D．2 答案：D 解析：a2＝1－＝1－2＝－1，a3＝1－＝1＋1＝2，a4＝1－＝1－＝＝a1，可得数列{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 025＝a3×674＋3＝a3＝2.故选D． 4．已知数列{an}的通项为an＝，则满足an＋1<an的n的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：因为an＝，an＋1<an，所以<，化简得<0，即(2n－9)(2n－11)<0，又n∈N*，所以解得<n<，即n＝5.因此满足an＋1<an的n的值为5. 5．(多选)已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1(2－an)＝2(an≠2)，则(　　) A．a3＝ B．{an}是周期数列且周期为4 C．S4＝ D．S21＝ 答案：BCD 解析：由an＋1(2－an)＝2(an≠2)可得an＋1＝，所以a2＝＝－4，a3＝＝，故A错误；a4＝＝，a5＝＝＝a1，所以数列{an}是周期数列且周期为4，故B正确；S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝，故C正确；S21＝5S4＋a1＝5×＋＝，故D正确．故选BCD． 6．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________________________________________________________________________. 答案： 解析：根据an＋1＝递推得a8＝＝＝1－＝1－＝a5＝＝＝1－＝1－＝a2＝，因为a8＝2，所以a1＝. 7．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n，则a5＝________________________________________________________________________. 答案：17 解析：数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n，则a5＝S5－S4＝(25＋5)－(24＋4)＝17. 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝n(n∈N*) 解析：Sn＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，整理可得(n－1)an－nan－1＝0，即＝，所以为常数列，故＝＝1，所以an＝n(n∈N*)． 9．(10分)根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式： (1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；(4分) (2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)．(6分) (1) 解：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9. 猜想an＝(n－1)2(n∈N*)． (2) 解：a1＝1，a2＝，a3＝2，a4＝. 猜想an＝(n∈N*)． 10．(10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)求Sn的最大值或最小值．(6分) (1) 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n－5， 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＝－3满足上式， 则an＝2n－5(n∈N*)． (2) 解：Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4， 结合二次函数的性质可知当n＝2时，Sn有最小值－4，无最大值． 11．(5分)(新情境)(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2 022＝a2 024－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2 024 答案：BCD 解析：对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B正确；对于C，可得an＝an＋1－an－1(n≥2)．则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝a1＋(a3－a1)＋(a4－a2)＋(a5－a3)＋…＋(an＋1－an－1)． 即Sn＝－a2＋an＋an＋1＝an＋2－1，所以S2 022＝a2 024－1，故C正确；对于D，由an＝an＋1－an－1(n≥2)可得，a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2 024－a2 022)＝a2 024，故D正确．故选BCD． 12．(5分)已知数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n－21，前n项和为Sn，若m>n，则Sm－Sn的最大值是(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案：B 解析：依题意，Sm－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋am，所以要使Sm－Sn的值最大，则an＋1＋an＋2＋…＋am包含所有的正项．令an＝－n2＋10n－21>0，结合n∈N*可得4≤n≤6，代入得Sm－Sn＝a4＋a5＋a6＝3＋4＋3＝10. 13.(10分)(1)数列{an}中，a1＝7，a9＝8，且(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，求a2的值．(4分) (2)在数列{an}中，a1·a2·a3·…·an＝n2(n∈N＋)，求an.(6分) 解：(1)由(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)， 得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an， 两式相减，得nan＋1－(n－1)an＝an. 所以n≥3时，nan＋1＝nan，即an＋1＝an. 又a9＝8，所以a3＝8. 又2a3＝a1＋a2，a1＝7，所以a2＝2a3－a1＝9. (2)由a1·a2·a3·…·an＝n2(n∈N＋)，得 当n＝1时，a1＝1； 当n≥2时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2， 两式相除，得an＝(n≥2)， 所以an＝ 14．(5分)雪花曲线是一种模样古怪的曲线，但它是真实存在的．这条曲线可以从一个等边三角形开始来画．你可以想象，有一位可爱的小天使正在画雪花曲线，她把一个蓝色的等边三角形的每边分成相同的三份，再在中间的那个三分之一上向外画出一个粉红色的等边三角形，这样一来就做成了一个六角星，六角星的每一条边再向外画一个绿色的等边三角形，…，以此类推． 设第n个雪花曲线的边数为an，则a3＝________，an＋1与an的关系是____________． 答案：48　an＋1＝4an 解析：a1＝3，a2＝3×4＝12，a3＝3×42＝48，…，an＋1＝4an. 15．(15分)设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”． (1)设数列{an}为“凸数列”，若a1＝1，a2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；(4分) (2)在“凸数列”中，求证an＋6＝an，n∈N*；(5分) (3)求a2 024的值．(6分) 解：(1)因为an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，且a1＝1，a2＝－2， 所以a1＝1，a2＝－2，a3＝－3，a4＝－1，a5＝2，a6＝3，S6＝0. (2)证明：由题意知， 所以an＋1＋an＋2＝an＋an＋2＋an＋1＋an＋3，即an＋an＋3＝0， 所以an＋3＝－an， 所以an＋6＝－an＋3＝an，n∈N*. (3)由(2)知，数列{an}的周期为6， 所以a2 024＝a6×337＋2＝a2＝－2.5.2　等差数列 5．2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 知识 目标 1.理解等差数列的概念．　2.掌握等差数列的通项公式，会用通项公式解决问题．　3.掌握等差数列的判定方法． 素养 目标 借助等差数列概念的学习，培养数学抽象素养；通过等差数列通项公式的求解与运用，提升数学运算素养. 问题．观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，每一圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63； (2)全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5； (3)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986； (4)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 提示：对于(1)，我们发现18－9＝9，27－18＝9，36－27＝9，45－36＝9，54－45＝9，63－54＝9，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；对于(2)，24.5－25＝－0.5，…；对于(3)，1758－1682＝76，…，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1986＋76＝2062.对于(4)，10－10＝0，有同样的取值规律． 学生用书↓第11页 知识点一　等差数列的定义 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差． [微提醒]　(1)定义中“从第2项起”是因为首项没有“前一项”． (2)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻． 知识点二　等差数列的通项公式 1．通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． [微提醒]　(1)要确定等差数列的通项公式，只需确定首项和公差． (2)在通项公式an＝a1＋(n－1)d中有四个量：an，a1，n，d，只要知道任意三个就可求出第四个． 2．从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 d． 3．等差数列与一次函数的区别与联系 － 等差数列 一次函数 通项公式 (解析式) an＝kn＋b(n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0) 不同点 定义域为N*或N*的子集{1，2，3，…，n}，图象是一系列孤立的点(在直线上) 定义域为R，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式 4．等差数列的单调性 等差数列{an}的公差为d， (1)当d>0时，数列{an}为递增数列； (2)当d<0时，数列{an}为递减数列； (3)当d＝0时，数列{an}为常数列． [微提醒]　等差数列是定义域为N*或N*的子集{1，2，3，4，…，n}的一次函数的函数值． [提示]　等差数列的通项公式不一定都是关于n的一次函数，常数列a，a，a，…，a的通项公式an＝a为常函数． 5．等差数列通项公式的变形及推广 已知等差数列{an}中的任意两项an，am(n，m∈N*，m≠n)，则 ⇒an－am＝(n－m)d， 所以(1)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)； (2)d＝(m，n∈N*，且m≠n)． [微提醒]　(1)通项公式的变形的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． (2)若已知等差数列中的任意两项即可求得其公差，进而求得其通项公式；若已知等差数列中的某一项与公差，就可以确定等差数列的任意一项． 1．下列数列是等差数列的是(　　) A．，，，　　　　　　 B．1，，， C．1，－1，1，－1 D．0，0，0，0 答案：D 解析：因为－≠－，故排除A；因为－1≠－，故排除B；又因为－1－1≠1－(－1)，故排除C；对选项D，每一项与前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义． 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 答案：C 解析：an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n. 3．(多选)若数列{an}为等差数列，则下列说法中正确的有(　　) A．数列2a1，2a2，2a3，…，2an为等差数列 B．数列a2，a4，a6，…，a2n为等差数列 C．数列{anan＋1}为等差数列 D．数列{an＋an＋1}为等差数列 答案：ABD 解析：设等差数列{an}的公差为d，对于A中，由2an＋1－2an＝2(an＋1－an)＝2d(常数)，所以A正确；对于B中，由a2(n＋1)－a2n＝a1＋(2n＋1)d－[a1＋(2n－1)d]＝2d(常数)，所以B正确；对于C中，由anan＋1－an－1an＝an(an＋1－an－1)＝2and，当d＝0时，2and＝0(常数)，此时数列{anan＋1}为等差数列；当d≠0时，2and＝2a1d＋2(n－1)d2(不是常数)，此时数列{anan＋1}不是等差数列，所以C不正确；对于D中，由an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝2d(常数)，所以D正确．故选ABD． 4．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________． 答案：3 解析：(－3)－(－6)＝3，故d＝3. 5．已知等差数列{an}，若a3＋a5＋a10＝9，则a3＋a9＝________． 答案：6 解析：因为a3＋a5＋a10＝a6－3d＋a6－d＋a6＋4d＝3a6＝9，解得a6＝3，所以a3＋a9＝2a6＝6. 学生用书↓第12页 题型一　等差数列的通项公式及其应用 例1　 (1)已知数列{an}是首项为2，公差为4的等差数列，若an＝2 026，则n＝(　　) A．504 B．505 C．506 D．507 (2)在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是(　　) A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项 (3)在等差数列{an}中，若a3＝12，a6＝27，则其通项公式为__________． [点拨]　设出基本量a1，d，根据已知条件列方程组求解an. 答案：(1)D　(2)C　(3)an＝5n－3 解析：(1)根据题意，数列{an}是首项为2，公差为4的等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝4n－2，若an＝2 026，则4n－2＝2 026，解得n＝507.故选D． (2)因为首项a1＝40，公差d＝－3 ，所以an＝40－3(n－1)＝43－3n.令an＝43－3n<0，解得n>.因为n∈N*，所以n≥15，即第一个负数项是第15项．故选C． (3)设首项为a1，公差为d，则 解得故an＝2＋5(n－1)＝5n－3. 　 等差数列通项公式的四个主要应用 1．已知an，a1，n，d中的任意三个量，可以求出第四个量． 2．由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意一项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项． 3．根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项． 4．若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常函数，则可判断数列{an}是等差数列．　对点练1.(1)等差数列{an}中，已知a3＋a5＝8，a1＝2，则公差d＝(　　) A．　　　　 B． C．1　　　　 D．2 (2)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　) A．15　　　　 B．30 C．3　　　　 D．64 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)由a3＋a5＝2a1＋6d＝8，a1＝2，可得公差d＝.故选B． (2)设等差数列{an}的公差为d，则即解得所以a12＝a1＋11d＝－＋11×＝＝15，所以a12的值是15.故选A． 题型二　an＝am＋(n－m)d的应用 例2　 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17.求数列的公差及通项公式． [点拨]　利用公式an＝am＋(n－m)d直接求公差d，进而求通项公式． 解：因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因为an＝a2＋(n－2)d， 所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*. 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减轻记忆负担．　　 对点练2.(1)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝______． (2)若公差d≠0，且b2 025＝b20＋b25，则的值为________． 答案：(1)8　(2)1 981 解析：(1)方法一　因为{bn}为等差数列，所以可设其公差为d，则d＝＝＝2，所以bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.所以b8＝2×8－8＝8. 方法二　由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. (2)由b2 025＝b20＋b25得b25＋2 000d＝b20＋b25，所以2 000d＝b20，所以b1＝1 981d，即＝1 981. 题型三　等差数列的判定与证明 例3　 (1)以下选项构不成等差数列的是(　　) A．2，2，2，2 B．3m，3m＋a，3m＋2a，3m＋3a C．cos 0，cos 1，cos 2，cos 3 D．a－1，a＋1，a＋3 (2)判断下列数列是否为等差数列： ①an＝3n＋2；②an＝n2＋n； (3)在数列{an}中，a1＝0，当n≥2时，＝ . 求证：数列{an}是等差数列． 学生用书↓第13页 [点拨]　(1)(2) (3) 答案：(1)C 解析：(1)选项A是公差为0的等差数列；选项B是公差为a的等差数列；选项D是公差为2的等差数列． (2)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列． (3)证明：当n≥2时，由＝，得(n－1)an＋1＝nan，所以nan＋2＝(n＋1)an＋1，两式相减得：nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1，所以an＋2＋an＝2an＋1，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an.又因为a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1，所以数列{an}是等差数列． 等差数列的判定方法有以下三种 方法 内容 定义法 an＋1－an＝d(d为常数，n≥1)⇒{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇒{an}是等差数列 等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2⇒{an}是等差数列 [注意]　如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．　　 对点练3.已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)． (1)求a2，a3； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式an. 解：(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20. (2)证明：因为an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)， 所以＝＋1(n≥2，且n∈N*)， 即－＝1(n≥2，且n∈N*)， 所以数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列． (3)由(2)得，＝＋(n－1)×1＝n－， 所以an＝·2n. 易错点　等差数列的判断 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，判断{an}是否是等差数列． [易错分析]　本题容易出现由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，忽略a2－a1＝1，a3－a2＝，不满足等差数列的定义，而作出数列{an}是等差数列的错误结论． [误区警示]　解决此种问题，一定要注意等差数列定义an－an－1＝d中的条件为n≥2. [正解]　当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3得an＋1－an＝. 但a2－a1＝1≠， 故数列{an}不是等差数列． 1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　 ) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 答案：ABD 解析：A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．故选ABD． 2．已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝(　　) A．0 B．2 C．－1 D．－2 答案：D 解析：因为数列{an}是等差数列，公差为d，若a1＝2，a4＝2a3，则2＋3d＝2(2＋2d)，解得d＝－2.故选D． 3．若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则当am＝－2 024时，m的值是(　　 ) A．679 B．680 C．681 D．682 答案：D 解析：因为a1＝19，an＋1－an＝－3(n∈N*)，所以{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.所以当am＝－2 024时，m＝682.故选D． 4．在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝________________________________________________________________________. 答案：6n－14 解析：方法一：设公差为d，则解得所以an＝a1＋(n－1)d＝6n－14. 方法二：设公差为d，则d＝＝＝6，an＝a4＋(n－4)·d＝10＋6(n－4)＝6n－14. 课时测评3　等差数列的定义 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是(　　) A．92 B．47 C．46 D．45 答案：C 解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则a1＝1，d＝(－1)－1＝－2，故an＝a1＋(n－1)d＝3－2n，令－89＝3－2n，解得n＝46.故选C． 2．(多选)等差数列20，17，14，11，…中的负数项可以是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 答案：BCD 解析：因为a1＝20，d＝－3，所以an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，所以a7＝2>0，a8＝－1<0.故数列中的负数项是第8项及其之后的项．故选BCD． 3．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 答案：B 解析：因为公差d＝a2－a1＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)×(－4)＝88－4n，令即⇒21<n≤22.又因为n∈N*，所以n＝22. 4．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为(　　) A． B．－ C．－ D．－1 答案：B 解析：设原等差数列的公差为d，则8＋4d＝2，解得d＝－，因此新等差数列的公差为－. 5．(多选)在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则(　　) A．a4＝ B．a3＝1 C．d＝ D．d＝ 答案：ABD 解析：数列的公差为d，则－＝4d，代入数据可得d＝.因此＝＋2d＝，故a4＝，由＝＋＝＋＝，解得a3＝1.故选ABD． 6．已知等差数列{an}的前3项依次为x，2x，2x＋1，则x＝__________，a2 025＝__________． 答案：1　2 025 解析：由等差数列{an}的前3项依次为x，2x，2x＋1，得2x－x＝2x＋1－2x＝1，解得x＝1，故公差d＝1，所以an＝1＋(n－1)×1＝n，所以a2 025＝2 025. 7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若6，a，b，c，2成等差数列，则该三角形的面积为________． 答案：6 解析：若6，a，b，c，2成等差数列，则公差d＝＝－1，故a＝5，b＝4，c＝3，所以a2＝b2＋c2，△ABC为直角三角形，故三角形的面积S＝×3×4＝6. 8．(数学文化)二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长度之和为18尺，立冬的日影子长度为10.8尺，则夏至的日影子长度为________尺． 答案：3.6 解析：设夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，则a3＋a4＋a5＝3a1＋9d＝18，a10＝a1＋9d＝10.8，所以d＝0.8，a1＝3.6，则夏至的日影子长度a1＝3.6. 9．(10分)在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100. (1)求出首项a1与公差d，并写出通项公式；(4分) (2){an}中有多少项属于区间[－18，18]．(6分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由a4＝70，a21＝－100， 得 解得a1＝100，d＝－10， 所以an＝a1＋(n－1)d＝100＋(n－1)×(－10)＝－10n＋110. (2)由－18≤－10n＋110≤18， 得9.2≤n≤12.8， 因为n∈N*， 所以n＝10，11，12，共三项． 10．(10分)已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)． (1)证明：数列是等差数列；(4分) (2)求{an}的通项公式．(6分) 解：(1)证明：an＋1＋1＝， 所以＝＝＋3， 所以－＝3. 因为＝3，所以是以3为首项，3为公差的等差数列． (2)由(1)知＝3n， 所以an＋1＝，an＝－1，n∈N*. 11．(5分)(多选)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}分别满足下列各式，其中数列{bn}必为等差数列的是(　　) A．bn＝3an B．bn＝a C．bn＝ D．bn＝－ 答案：AD 解析：设数列{an}的公差为d，选项A中bn－bn－1＝3an－3an－1＝3d，所以选项A正确；同理可证B、C都不满足bn－bn－1＝同一常数，所以选项B、C错误；对于选项D，bn－bn－1＝－＋＝＝－，所以数列{bn}必为等差数列．故选AD． 12．(5分)已知a>0，b>0，若a，1，b成等差数列，则a＋b＝__________，＋的最小值为__________． 答案：2　 解析：因为a>0，b>0，且a，1，b成等差数列，所以a＋b＝2，所以＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故＋的最小值为. 13．(10分)(2024·江苏南通高二期中)已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1＝. (1)求证：是等差数列，并求{an}的通项公式．(4分) (2)是否存在正整数m，使得a2m＝2am＋1？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．(6分) 解：(1)证明：由an＋1＝，得＝＝－2， 所以－＝－2， 又＝1，所以数列是以1为首项，－2为公差的等差数列． 所以＝1－2(n－1)＝－2n＋3，所以an＝. (2)因为a2m＝2am＋1，所以＝＋1， 则2m2－6m＋3＝0，解得m＝，不符合题意． 所以不存在正整数m，使得a2m＝2am＋1. 14．(5分)已知数列{an}，a1＝1，a2＝，且＋ ＝(n≥2)，则an＝________． 答案： 解析：因为＋＝(n≥2)，所以数列是等差数列，公差d＝－＝.所以 ＝＋(n－1)d＝1＋(n－1)＝.所以an＝. 15．(15分)(新定义)设数列{an}是等差数列，且公差为D．若数列{an}中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”． (1)若等差数列{an}中，a1＝4，d＝2，求证：数列{an}是“封闭数列”；(6分) (2)若an＝2n－7，试判断等差数列{an}是否为“封闭数列”，并说明理由．(9分) 解：(1)证明：因为a1＝4，d＝2， 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2， 所以对任意的s，t∈N*，s≠t，有as＋at＝(2s＋2)＋(2t＋2)＝2(s＋t＋1)＋2. 因为s＋t＋1∈N*， 所以as＋at是数列{an}中的项． 所以数列{an}是“封闭数列”． (2)数列{an}不是“封闭数列”．理由如下： 因为an＝2n－7，所以a1＝－5，a2＝－3，所以a1＋a2＝－8. 令an＝－8，即2n－7＝－8，可得n＝－∉N*. 所以数列{an}不是“封闭数列”． 学生用书↓第14页 学科网（北京）股份有限公司 $$