1 5.1.1 数列的概念-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5．1　数列基础 5．1.1　数列的概念 知识 目标 1.了解数列的概念及其表示方法．　2.掌握数列的通项公式及应用．　3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．　4.了解数列与函数的关系． 素养 目标 通过数列概念的学习，培养数学抽象素养；通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理素养；通过数列与函数关系的学习，提高直观想象、数学运算素养. 问题1.观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； (2)2023年杭州亚运会中国获得的奖牌总数、金牌、银牌、铜牌依次为：383，201，111，71； (3)2 024，2 024，2 024，2 024，2 024； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：2，0，2，5，2，0，2，5，2，0，2，5…； (5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(2)(3)项数有限，(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化． 问题2.回顾函数的表示方法：列表、图象、解析法，数列可以用上面的方法表示吗？ 提示：可以，但是对于解析式来说，数列不同于连续函数的表示，需要重新作定义． 知识点一　数列的概念与一般形式 1．数列：一般地，我们把按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项(或首项)，第2项……. 2．一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． [微提醒]　(1)数列与集合的关系 数列 集合 数列的各项必须是数 集合中的元素可以是数字，也可以是其他形式 数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性，如{1，2，3}＝{1，3，2} 同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，… 集合中的元素具有互异性，如1，1，1，1…组成的集合只能写为{1} (2)数列{an}与an是不同的．{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an表示数列中的第n项． 学生用书↓第2页 知识点二　数列的表示 1．数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式． [微提醒]　(1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式，即an＝f(n)，数列的通项公式必须适合数列中的任何一项． (2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项． (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝(k∈N*)，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列． (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样． 2．数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式． 3．数列的其他表示方法 数列是特殊的函数，所以与函数一样，数列可以用通项公式来表示，也可以用平面直角坐标系中的点直观地表示． (1)图象法 由于数列的定义域为正整数集N*(或它的有限子 集{1，2，…，n})，因此，数列的图象是以(n，an)为坐标的无限(或有限)个孤立的点． (2)数列的分类 ①按项数，分为有穷数列和无穷数列． ②按单调性 类别 含义 数列的 单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 [微提醒]　(1)函数图象是连续的曲线，数列的图象是相应函数图象上横坐标为正整数的一系列孤立的点． (2)在画图时，平面直角坐标系中两条坐标轴上的单位长度可以不同． 1．(多选)有下列四个结论，不正确的是(　　) A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数 C．数列的项数一定是无限的 D．数列的通项公式的形式是唯一的 答案：ACD 解析：数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A不正确；数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，故B正确；数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故C错误；数列的通项公式的形式不一定是唯一的，故D错误． 2．数列3，4，5，6，…的一个通项公式可能为(　　) A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n 答案：C 解析：经验证可知，数列3，4，5，6，…符合an＝n＋2，故该数列的一个通项公式为an＝n＋2. 3．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 答案：C 解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20. 4．观察下列数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，________，，…. 答案：3 解析：根据规律可知通项为an＝，所以a5＝3. 5．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项． 答案：24 解析：an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.　　　　 题型一　数列的概念与分类 例1　 (1)下列关于数列的说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列 学生用书↓第3页 (2)已知下列数列： ①2 021，2 022，2 023，2 024，2 025，2 026； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1，0，－1，…，sin，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(填序号) [点拨]　(1) (2) 答案：(1)A　(2)①⑤　②　⑥ 解析：(1)根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；数列和数的顺序有关，集合中的元素具有无序性，故C错误；当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．故选A． (2)①为递增数列；②为递减数列；⑤为递增数列；⑥为常数列．③④不具备单调性． 数列及其分类的判定方法 1．判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数． 2．有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需看数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． 3．数列单调性的判断 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an<an＋1，则是递增数列；若满足an>an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．　　 对点练1.给出下列数列： (1)2017～2024年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，119，129，130，132，135； (2)无穷多个构成数列，，，，…； (3)(－2)1，(－2)2，(－2)3，(－2)4，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…. 其中，递增数列是________，常数列是________． 答案：(1)　(2) 解析：(1)为递增数列；(2)为常数列；(3)不具备单调性． 题型二　由数列的前几项写通项公式 例2　 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，13，…； (2)，，，，，…； (3)0，1，0，1，0，1，…； (4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，－6，12，－20，30，－42，…. (1) 解：从3开始的奇数列，an＝2n＋1. (2) 解：分子为偶数，分母为相邻两奇数的积 an＝. (3)an＝或an＝. (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，所以an＝n＋. (5)将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，5×6，…，所以an＝(－1)n＋1n(n＋1)． 1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． 2．观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)或进行转换使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 学生用书↓第4页 对点练2.写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，－，，－，…； (2)，2，，8，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)－2，0，－2，0，…. 解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数的一半，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (3)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*. (4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是－2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n－1，n∈N*. 题型三　数列通项公式的应用 例3　 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ [点拨]　(1) (2) 解：(1)a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝(舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不符合题意，所以68不是该数列的项． 1．求项或判断某数是否为数列项的方法 代入法 如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列的相应项 解方程法 判断某数值是否为该数列的项，先假设它是数列中的项，然后列出方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的项 2．判断数列单调性的方法 (1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an＋1和an的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法． (2)利用相应的函数性质判断，即函数单调，相应的数列必单调，如an＝3－2n，由一次函数y＝3－2x是减函数知，数列{an}是递减数列．但要注意，函数不单调时，相应的数列仍可能单调，如an＝2n2－5n，函数y＝2x2－5x在[1，＋∞)上不单调，而数列{an}是递增数列．　　 对点练3.(1)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第________项． (2)已知数列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是第________项． 答案：(1)10　(2)12或13 解析：(1)因为＝，所以n(n＋2)＝10×12，所以n＝10. (2)因为an＝－＋是关于n的二次函数，又n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，an最大． 对点练4.已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性． 解：(1)因为f(x)＝x－，f(an)＝－2n， 所以an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0， 解得an＝－n±，因为an>0， 所以an＝－n. (2)方法一(作差法) 因为an＋1－an＝－(n＋1)－(－n) ＝－－1 ＝－1 ＝－1， 又>n＋1，>n， 所以<1. 所以an＋1－an<0，即an＋1<an.所以数列{an}是递减数列． 方法二(作商法) 因为an>0，所以＝＝<1. 所以an＋1<an.所以数列{an}是递减数列． 学生用书↓第5页 易错点　观察法求数列的通项公式 把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)． 则第7个三角形数是(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 [易错分析]　本题易出现以下错误： 在解答过程中，误把三角形数看成三角形的个数，导致在看图时发现三角形的个数是0，1，2，3，…，与题设不符． [误区警示]　解答此类问题时，一定要仔细读题，以免算到最后发现没答案再重新审题，耽误时间． 答案：B [正解]　根据三角形数的增长规律1，3，6，10，15，21，…可以发现从第二项起，每一项与前一项的差是这一项本身的序号，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，根据这个规律可知a5＝15，a6＝a5＋6＝15＋6＝21，所以第7个三角形数是a7＝a6＋7＝28. 1．(2024·重庆永川高二检测)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，…，，… B．sin ，sin ，sin ，…，sin ，… C．－1，－，－，－，…，－，… D．1，，，…， 答案：C 2．(多选)(2024·湖北武汉高二检测)下列说法不正确的是(　　) A．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8} B．一个数列的任意两项均不可能相同 C．数列的通项可以有限，也可以无限 D．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 答案：ABD 解析：{2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，故A不正确；常数列的任意两项都相同，故B不正确；由数列按项的多少分类可知，数列的通项可以有限，也可以无限，故C正确；常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故D不正确．故选ABD． 3．数列，－，，－，…的通项公式可能是(　　 ) A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n－1 C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n－1 答案：D 解析：法一：将n＝1，2，3，4代入各选项验证易得答案．故选D． 法二：将数列，－，，－，…变为，－，，－，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n＋2，再结合正负的调节，可知其通项公式为an＝(－1)n－1.故选D． 4．已知数列{an}的通项公式an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 024－a2 023＝________，199是数列的第________项． 答案：27　4　50 解析：a7＝4×7－1＝27，a2 024－a2 023＝(4×2 024－1)－(4×2 023－1)＝4.令4n－1＝199，解得n＝50. 课时测评1　数列的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．下列叙述正确的是(　　) A．数列1，3，5，7与数集{1，3，5，7}是一样的 B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n} C．数列0，1，0，1，…是常数列 D．数列是递增数列 答案：D 解析：由数列的通项an＝知，an＋1－an＝－＝>0，即数列是递增数列．故选D． 2．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则该数列的前4项依次为(　　) A．1，0，1，0　　　　　　　　 B．0，1，0，1 C．，0，，0 D．2，0，2，0 答案：A 解析：当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.故选A． 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项 答案：C 解析：令n2－n－50＝－8，解得n＝7或n＝－6(舍去)． 4．若数列{an}满足an＝，则此数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．以上都不是 答案：A 解析：因为an＝＝＝2－，所以an－an－1＝－＝－＝>0，因此数列{an}是递增数列．故选A． 5．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则下列结论正确的是(　　) A．3不是数列{an}中的项 B．3是数列{an}的第2项 C．3是数列{an}的第6项 D．a3<0 答案：BC 解析：令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项，a3＝9－24＋15＝0.故选BC． 6．已知数列，，，，，…那么3是这个数列的第________项． 答案：25 解析：由数列前五项得，an＝，令＝3，得n＝25. 7．数列{an}的通项公式为an＝，则数列的第2项是________，3－2是此数列的第________项． 答案：－　8 解析：a2＝＝－，an＝＝＝－，因为3－2＝－，所以3－2是该数列的第8项． 8．观察图中5个图形相应的小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有________个小圆圈． 答案：n2－n＋1 解析：观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1.故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)×n＋1＝n2－n＋1. 9．(10分)在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数． (1)求{an}的通项公式；(4分) (2)判断224是不是数列{an}中的项．(6分) 解：(1)设an＝kn＋b，k≠0. 则解得 所以an＝4n－2，n∈N*. (2)令an＝224，即4n－2＝224，解得n＝56.5∉N*. 所以224不是数列{an}中的项． 10．(10分)在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负？(3分) (2)这个数列从第几项开始递增？(3分) (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．(4分) 解：(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)， 所以当0<n<10，n∈N*时，an<0， 所以数列{an}共有9项为负． (2)因为an＋1－an＝2n－7， 所以当an＋1－an>0时，n>， 故数列{an}从第4项开始递增． (3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36， 根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，即这个数列有最小值，最小值为－36. 11．(5分)(多选)数列{an}的通项公式为an＝n＋，则(　　) A．当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B．当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C．当0<a<4时，a是数列{an}中的项 D．当a<2时，{an}为递增数列 答案：ABD 解析：当a＝2时，an＝n＋，由f(x)＝x＋的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确；令an＝n＋＝a，得n2－an＋a＝0，当0<a<4时，Δ＝a2－4a<0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C错误；若{an}是递增数列，则an＋1>an，即n＋1＋>n＋，得a<n2＋n，又n2＋n≥2，所以a<2，D正确．故选ABD． 12．(5分)已知数列{an}的通项公式是an＝ 则a3＋＝________． 答案： 解析：因为a3＝2－3＝，a4＝＝，所以＝，a3＋＝. 13．(10分)(一题多解)已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×(n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由． 解：方法一　作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性． an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝×. 当n<5时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>5时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 故a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>a8>…， 所以数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝. 方法二　作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性． ＝＝. 易知an>0，令>1，解得n<5；令＝1，解得n＝5；令<1，解得n>5. 故a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>a8>…， 所以数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝. 方法三　假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则 即 解得即5≤n≤6. 故数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝. 14．(5分)(原创题)正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例如a4，3＝9，则a64，8等于(　　) 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 … A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 答案：C 解析：根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝＋1＝1，第2行第1列的数为2，此时a2，1＝＋1＝2，第3行第1列的数为4，此时a3，1＝＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为a64，1＝＋1＝2 017，则a64，8＝2 024.故选C． 15．(15分)(2024·江苏扬州高二期中)已知数列的通项公式为an＝. (1)判断是不是数列中的项；(4分) (2)判断数列中的项是否都在区间内；(5分) (3)判断在区间内有没有数列中的项．(6分) 解：(1)因为an＝＝＝， 所以由an＝＝，解得n＝.因为不是正整数，所以不是数列中的项． (2)因为an＝＝＝1－，n∈N*，0<<1，所以0<an<1，所以数列中的项都在区间内． (3)令<an<，即<<，则解得<n<.又n∈N*， 所以n＝2.故在区间内有数列中的项，且只有一项，是第二项，即a2＝. 学生用书↓第6页 学科网（北京）股份有限公司 $$