第09讲 平行四边形（4个知识清单+9类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

第09讲 平行四边形 课程标准 学习目标 1三角形中位线定理 2平行四边形的性质 3平行四边形的判定 4 平行四边形的判定与性质 1.理解并掌握平行四边形的定义. 2.掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2. 3.理解两条平行线的距离的概念. 【学习重点】 平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等、对角线互相平分的性质，以及性质的应用. 【学习难点】 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算. 知识点01三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 【即学即练1】 1．（2023春•砀山县校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点，分别为，的中点，则线段的长为 　　． 【即学即练2】 2．（2023春•大观区校级期末）如图，在中，点，分别是，的中点，是延长线上的一点，且．试猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 知识点02平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【即学即练1】 3．（2023春•无为市期末）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】 4．（2023春•金安区校级期末）在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为 　　． 知识点03平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 【即学即练1】 5．（2023春•无为市期末）能判定四边形为平行四边形的条件是　　 A．， B．， C．， D．， 【即学即练2】 6．（2023春•淮北期末）点，，在坐标网格中的位置如图所示，已知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）求的面积； （2）若点也在坐标网格中，且以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 知识点04 平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【即学即练1】 7．（2023春•宿州期末）下列说法不正确的是　　 A．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 B．等腰三角形的两个底角必为锐角 C．平行四边形的对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 【即学即练2】 8．（2023春•谢家集区期中）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件　 　 ，使．（填一种情况即可） 题型01 利用平行四边形的性质求解 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）在在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，点P是平行四边形内一点，连接，，，． （1）若的面积为s，则的面积为a，的面积为b，则 (用含s的式子表示)； （2）若的面积为3，的面积为，则的面积为 ． 3．（22-23八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，延长交的延长线于．    (1)若，求的度数； (2)若，求的面积． 题型02利用平行四边形的性质证明 4．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接、，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D． 5．（20-21八年级下·安徽阜阳·期末）如图，P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S3＝S2+S4，②若S3＝2S1，则S2＝2S4，③若S1+S3＝5，则ABCD的面积为10；④S1+S2＝S3+S4．其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）． 6．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，．求证：． 题型03 平行四边形性质的其他应用 7．（八年级下·安徽淮南·期末）将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（    ） A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种 8．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为5. 现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C的对应点的坐标为 . 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上． (1)请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）； (2)在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）． 题型04 判断能否构成平行四边形 10．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段的端点，都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中画出，使（点，都在正方形网格的格点上，画出一个符合题意的图形即可）； （2）在（1）中所画出的的对角线的长是______． 题型05 添一个条件成为平行四边形 12．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，四边形中，，对角线AC、BD相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 13．（八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法. 你所添加的条件： ； 证明： 题型06 证明四边形是平行四边形 14．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如上图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 15．（22-23八年级·安徽合肥·阶段练习）把一张长方形纸按如图所示折叠，所得的四边形是 四边形． 16．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）用剪刀将形状如图（1）所示的矩形纸片沿着直线剪成①②两部分，其中M为的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图（2）中的 就是拼成的一个图形．用这两部分纸片除了可以拼成图（2）中的 外，还可以拼成一些特殊的四边形．请你试一试，把拼好的特殊四边形分别画在图（3）、图（4）的网格内． 题型07与三角形中位线有关的求解问题 17．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 18．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，连接并延长，分别交，的延长线于点M，N，且，则的长为 ． 19．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，分别为边，上的中线，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 题型08 与三角形中位线有关的证明 20．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，点，分别是边，的中点，点是边上的动点，连接，，，则下列四个判断中不一定正确的是（    ） A．若点是的中点，则 B．若，则点是的中点 C．若点是的中点，则 D．若，则点是的中点 21．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 题型09 三角形中位线的实际应用 22．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，某校园内小池塘的岸边有 A、B两点，难以直接测量 A、B两点间的距离，数学实践活动小组的同学们在A、B外选择了一点C，取线段，的中点D，E，测得，则A、B两点的距离是（      ）    A． B． C． D． 23．（21-22八年级下·安徽宿州·期末）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度，选取可以直达，两点的点处，再分别取，的中点，，量得，则池塘的宽度为 ． 24．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在中，，点D为形外一点，且，，M为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不需要证明）      (1)在图1中，画出的边上的中线； (2)在图2中，先画出边的中点E，再画出的边上的高． 一、单选题 1．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(　　) A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7 C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶5 2．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知平行四边形ABCD的一条边长是5，则两条对角线的长可能是（  ） A．6和16 B．6和6 C．5和5 D．8和18 4．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为5，那么平行四边形ABCD的周长是（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 5．如图，若平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4，∠B=150°，则平行四边形ABCD的面积为（      ） A．6 B．12 C． D．24 6．若△ABC的周长是12cm,则△ABC三条中位线围成的三角形的周长为 (    ) A．24cm B．6cm C．4cm D．3cm 7．如图，中，D、E分别、的中点，平分，交于点F，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C． D．4 8．如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论不正确的是（　　） A． 点G是△ABC的重心 B．DE∥BC C．△ABC的面积=2△ADE的面积 D．BG=2GE 9．如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，．点C关于的对称点为E，连接交于点F，点G为的中点，连接，，则＝（    ） A． B． C．16 D．32 二、填空题 11．和直线l距离为8 cm的直线有 条. 12．已知中，，则 ． 13．四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点，若，则的周长为 ． 14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，合适的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E．若，则的长为 ．    三、解答题 15．如图：平行四边形ABCD中，MNAC，交DA、DC的延长线于点M、N，试说明MQ＝NP． 16．如图，在□中，、的平分线分别交对边于点、，交四边形的对角线于点、．求证：．    17．如图，在的对角线交于点,点分别是的中点.试判断之间的关系并说明理由. 18．如图，点是的中点，，，连接，求证：四边形是平行四边形． 19．如图，如果四边形和都是平行四边形，那么四边形是平行四边形吗？小明认为四边形是平行四边形，并且给出了证明． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ．② 又∵四边形也是平行四边形， ∴，③ ．④ 由①③，得 ．⑤ 由②④，得 ，⑥ 即． ∴四边形是平行四边形． 小明的考虑全面吗？为什么？你是怎样想的？把你的想法写出来． 20．（1）如图，在中，，求证：四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是平行四边形吗？ （3）如果呢？你能得出一个一般性的结论吗？ 21．如图，四边形和都是平行四边形．求证：四边形是平行四边形． 22．如图，在中，对角线相交于点O，，，点E，F分别是的中点，连接，，垂足为点M，交于点N． (1)求证：； (2)若，求的面积． 23．如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点作于点，若，，求的长． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 平行四边形 课程标准 学习目标 1三角形中位线定理 2平行四边形的性质 3平行四边形的判定 4 平行四边形的判定与性质 1.理解并掌握平行四边形的定义. 2.掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2. 3.理解两条平行线的距离的概念. 【学习重点】 平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等、对角线互相平分的性质，以及性质的应用. 【学习难点】 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算. 知识点01三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 【即学即练1】 1．（2023春•砀山县校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点，分别为，的中点，则线段的长为 　　． 【分析】首先依据勾股定理求得的长，然后再依据三角形的中位线定理求解即可． 【解答】解：在中， 由勾股定理可知：， 点、分别为、的中点， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是勾股定理、三角形的中位线定理，根据勾股定理求得的长是解题的关键． 【即学即练2】 2．（2023春•大观区校级期末）如图，在中，点，分别是，的中点，是延长线上的一点，且．试猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 【分析】根据三角形中位线定理得到，等量代换，得到答案． 【解答】解：， 理由如下：点，分别是，的中点， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 知识点02平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【即学即练1】 3．（2023春•无为市期末）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质得出，，再根据点的坐标求出点的坐标即可． 【解答】解：平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，， ，， 点的横坐标，纵坐标点的纵坐标， 即点的坐标是， 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，能熟记平行四边形的对边平行且相等是解此题的关键． 【即学即练2】 4．（2023春•金安区校级期末）在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为 　　． 【分析】根据平行线的性质得到，由平分，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论． 【解答】解：①如图1，当点在右侧时，在中， ，，，， ，， 平分交于点，平分交于点， ，， ，， ，， ， ， ； ②当点在左侧时，在中， ，，，， ，， 平分交于点，平分交于点， ，， ，， ，， ， ， ； 综上所述：的长为8或5． 故答案为：8或5． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出． 知识点03平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 【即学即练1】 5．（2023春•无为市期末）能判定四边形为平行四边形的条件是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断． 【解答】解：、若，，无法判定，四边形为平行四边形，故此选项错误； 、，，无法判定，四边形为平行四边形，故此选项错误； 、，，可判定是平行四边形的条件，故此选项正确； 、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判别方法是说明一个四边形为平行四边形的理论依据，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【即学即练2】 6．（2023春•淮北期末）点，，在坐标网格中的位置如图所示，已知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）求的面积； （2）若点也在坐标网格中，且以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【分析】（1）运用割补法解答即可； （2）先在坐标网格中，画出所有以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，然后读出点的坐标即可． 【解答】解：（1） 的面积为：； （2）根据平行四边形的判定：在坐标网格中画出所有以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，如图所示： 则符合条件的点的坐标为，，． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 知识点04 平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【即学即练1】 7．（2023春•宿州期末）下列说法不正确的是　　 A．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 B．等腰三角形的两个底角必为锐角 C．平行四边形的对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 【分析】根据等边三角形的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，判断即可． 【解答】解：．一个角等于的等腰三角形是等边三角形，正确，故不符合题意； ．等腰三角形的两个底角必为锐角，正确，故不符合题意； ．平行四边形的对角线互相平分，正确，故不符合题意； ．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，原说法错误，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是要熟悉课本中的定义与定理． 【即学即练2】 8．（2023春•谢家集区期中）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件　 　 ，使．（填一种情况即可） 【分析】根据平行四边形的判定和性质添加条件证明． 【解答】解：添加的条件：（答案不唯一）． 理由是：， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握定理内容是解题的关键． 题型01 利用平行四边形的性质求解 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）在在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等，邻角互补，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，点P是平行四边形内一点，连接，，，． （1）若的面积为s，则的面积为a，的面积为b，则 (用含s的式子表示)； （2）若的面积为3，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 / 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点分别作于点，延长交于点，根据平行四边形的性质和三角形面积公式可得到，即可求解； （2）由（1）知：，再根据，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）过点分别作于点，延长交于点， ∵ ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知：， ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，延长交的延长线于．    (1)若，求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)32 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出，，根据的平分线交于点，求出，即可求出的度数． （2）根据已知条件求出，利用勾股定理求出，即可求出面积． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ∴，，，， ，， 的平分线交于点， ， ， ，； （2），，， ， ， ， 的面积． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、勾股定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 题型02利用平行四边形的性质证明 4．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接、，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质、三角形的面积公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、与同高，且， ，则此项正确，不符合题意； B、，， ， ，则此项正确，不符合题意； C、， ， 即，则此项错误，符合题意； D、， ，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 5．（20-21八年级下·安徽阜阳·期末）如图，P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S3＝S2+S4，②若S3＝2S1，则S2＝2S4，③若S1+S3＝5，则ABCD的面积为10；④S1+S2＝S3+S4．其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）． 【答案】①③ 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质可以得到AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理判断即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， 设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，hAB、hBC分别为平行四边形的AB边和BC边的高 则S1＝AB•h1，S2＝BC•h2，S3＝CD•h3，S4＝AD•h4，hAB= h1+h3，hBC=h2+h4 ∴AB•h1+CD•h3＝AB•hAB，BC•h2+AD•h4＝BC•hBC， 又∵S平行四边形ABCD＝AB•hAB＝BC•hBC， ∴S2+S4＝S1+S3，故①正确； 根据S3=2S1只能判断h3=2h1，不能判断h2=2h4，即不能得出S2=2S4，故②错误； 根据S1+S3＝S2+S4，S1+S3＝5，能得出ABCD的面积为5×2＝10，故③正确； 由题意只能得到S2+S4＝S1+S3无法得到S1+S2＝S3+S4，故④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积是解题的关键． 6．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证，最后证明即可求出答案． 【详解】证明：∵是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型03 平行四边形性质的其他应用 7．（八年级下·安徽淮南·期末）将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（    ） A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种 【答案】D 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的对称中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形． 【详解】∵平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分平行四边形的面积， ∴这样的折纸方法共有无数种． 故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形，是解题的关键． 8．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为5. 现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C的对应点的坐标为 . 【答案】 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【详解】分析：根据勾股定理，可得 ,根据平行四边形的性质，可得答案. 详解：由勾股定理得：= ,即(0,4). 矩形ABCD的边AB在x轴上，∴四边形是平行四边形， A=B, =AB=4-(-3)=7, 与的纵坐标相等，∴（7,4），故答案为（7,4）. 点睛：本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出A=B,=AB=4-(-3)=7是解题的关键. 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上． (1)请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）； (2)在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】无刻度直尺作图、添一个条件成为平行四边形、平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可； （2）根据平行四边形的性质以及数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求． （2）连接交于点，作直线，直线即为所求． 题型04 判断能否构成平行四边形 10．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形要求边、角、对角线成立的条件逐个判断，即可解决问题． 【详解】解：A．，， 根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； B．，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C．，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D．，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：A． 11．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段的端点，都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中画出，使（点，都在正方形网格的格点上，画出一个符合题意的图形即可）； （2）在（1）中所画出的的对角线的长是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】判断能否构成平行四边形、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可． （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求． （2）BD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 题型05 添一个条件成为平行四边形 12．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，四边形中，，对角线AC、BD相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】A. 由，可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C. 由，可知，四边形的一组对边平行且相等，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D. 由，可知，，即，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 13．（八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法. 你所添加的条件： ； 证明： 【答案】AE=CF 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【详解】试题分析：要证四边形ABCD是平行四边形，只要得出一组对边（AB和CD）平行且相等即可，即只要添加一个条件使得△ABE≌△CDF，由已知可得两三角形全等的条件有∠E＝∠F，BE＝DF，故可添加AE＝CF（答案不唯一），利用SAS证明△ABE≌△CDF． 试题解析：答案不唯一，例如：添加AE＝CF． 证明如下： ∵AE∥CF， ∴∠E＝∠F， 又BE＝DF，AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， ∴∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，通过题目已有条件分析得出证明四边形ABCD为平行四边形只需证明△ABE≌△CDF是解决问题的关键． 题型06 证明四边形是平行四边形 14．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如上图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了． 根据平行四边形的判断求解即可； 【详解】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小， 故选：C． 15．（22-23八年级·安徽合肥·阶段练习）把一张长方形纸按如图所示折叠，所得的四边形是 四边形． 【答案】平行 【知识点】折叠问题、证明四边形是平行四边形 【分析】长方形对边平行，有；由折叠知根据“有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”作出判断． 【详解】解：纸片为长方形， ∴． ∴， 由叠法知， ． ∴， ∴， 是平行四边形． 故答案为：平行． 【点睛】此题考查了平行四边形的判断，折叠的性质，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 16．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）用剪刀将形状如图（1）所示的矩形纸片沿着直线剪成①②两部分，其中M为的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图（2）中的 就是拼成的一个图形．用这两部分纸片除了可以拼成图（2）中的 外，还可以拼成一些特殊的四边形．请你试一试，把拼好的特殊四边形分别画在图（3）、图（4）的网格内． 【答案】见解析 【知识点】格点作图题、证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了图形的剪拼，平行四边形的判定，根据相等的边为与，与让相等的边重合，即可拼成等腰梯形和平行四边形． 【详解】根据题意，可以拼成如下四边形： 题型07与三角形中位线有关的求解问题 17．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，在中，根据点为中点可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，在中，点为的中点， ∴， 同理，在中，， 在中，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：B ． 18．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，连接并延长，分别交，的延长线于点M，N，且，则的长为 ． 【答案】4.9 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造中位线；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 连接，取的中点G，连接、，根据E，G分别是，的中点，得到为的中位线，，同理得到为的中位线，，根据为的中位线，得到，推出，同理，结合，得到，，，结合，即可求出的长． 【详解】解：连接，取的中点G，连接、， ，G分别是，的中点， 为的中位线， ， ∵F，G分别是，的中点， 为的中位线， ， 为的中位线， ， ， 为的中位线， ， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：4.9． 19．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，分别为边，上的中线，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 【答案】见详解 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理解答． 连接，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】证明：连接， ，分别为的中线，点，分别是，的中点， ，，，， ，， ． 题型08 与三角形中位线有关的证明 20．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，点，分别是边，的中点，点是边上的动点，连接，，，则下列四个判断中不一定正确的是（    ） A．若点是的中点，则 B．若，则点是的中点 C．若点是的中点，则 D．若，则点是的中点 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的证明 【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的定义判断即可． 【详解】解：A、∵点D，F，E分别是边AB，BC，AC的中点， ∴EF=AB，DB=AB， ∴EF=DB，本选项说法正确，不符合题意； B、如图，EF=DB， 但点F不是BC的中点，本选项说法错误，符合题意； C、∵点D，F，E分别是边AB，BC，AC的中点， ∴DF=AC，EC=AC， ∴EC=DF，本选项说法正确，不符合题意； D、∵DF=EC=AE， ∴DF=AC， ∵D是AB的中点， ∴F是BC的中点，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 21．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据等边对等角证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理证得是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质证得结论． 【详解】证明：∵在四边形中，F、G分别是的中点． ∴是的中位线， ∴． 同理推知，是的中位线， 则． 又∵， ∴， ∴． 题型09 三角形中位线的实际应用 22．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，某校园内小池塘的岸边有 A、B两点，难以直接测量 A、B两点间的距离，数学实践活动小组的同学们在A、B外选择了一点C，取线段，的中点D，E，测得，则A、B两点的距离是（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可． 【详解】解：∵取线段，的中点D，E， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型． 23．（21-22八年级下·安徽宿州·期末）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度，选取可以直达，两点的点处，再分别取，的中点，，量得，则池塘的宽度为 ． 【答案】100 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】根据三角形中位线的性质定理解答即可． 【详解】解：∵点M、N是OA、OB的中点， ∴MN是△ABO的中位线， ∴AB=2MN． 又∵MN=50m， ∴AB=100m． 故答案是：100． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 24．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在中，，点D为形外一点，且，，M为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不需要证明）      (1)在图1中，画出的边上的中线； (2)在图2中，先画出边的中点E，再画出的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形中位线的实际应用、平行四边形性质和判定的应用、三线合一、画三角形的高 【分析】（1）连接，与交于点，连接，即为所求； （2）分别连接，交于一点，并连接与交于点，连接，即为所求． 【详解】（1）如图所示；    作法：连接，与交于点，连接，即为所求； 证明：∵，M为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵，M为的中点， ∴为的中位线， ∴是的中点， 即为的边上的中线． （2）如图所示；    作法：分别连接，交于一点，并连接与交于点，连接，即为所求；如图：    证明：∵四边形为平行四边形， ∴，是平行四边形的对角线， ∴点是，的中点， 又∵为的中位线， ∴， ∴的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即是的中点， ∵， ∴是的边上的高． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，中位线的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 一、单选题 1．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(　　) A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7 C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶5 【答案】D 【详解】解：因为平行四边形的对角相等，∠A与∠C是对角，∠B与∠D是对角， 所以∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是7∶5∶7∶5， 故选：D 2．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．逐一判定即可求解． 【详解】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以判定，故正确； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确． D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误． 故选：D． 【点睛】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 3．已知平行四边形ABCD的一条边长是5，则两条对角线的长可能是（  ） A．6和16 B．6和6 C．5和5 D．8和18 【答案】B 【详解】试题解析：对于A，两条对角线的一半长分别为3，8，由于5+3=8，不能构成三角形，则A不符合题意； 对于B，两条对角线的一半长分别为3，3，由于3+3＞5，能构成三角形，则B符合题意； 对于C，两条对角线的一半长分别为2.5，2.5，由于2.5+2.5=5，不能构成三角形，则C不符合题意； 对于D，两条对角线的一半长分别为4，9，由于4+5=9，不能构成三角形，则D不符合题意. 故选B. 点睛：三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边. 4．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为5，那么平行四边形ABCD的周长是（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵OM⊥AC， ∴AM=CM， ∵△CDM的周长为5， ∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=5， ∴平行四边形ABCD的周长是：2×5=10． 故选：A 5．如图，若平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4，∠B=150°，则平行四边形ABCD的面积为（      ） A．6 B．12 C． D．24 【答案】B 【分析】作平行四边形的高DF，由平行四边形的性质求出∠A=30°，由含30°角的直角三角形的性质求出DF，即可求出平行四边形的面积． 【详解】作DF⊥AB于F，如图所示； ∵平行四边形ABCD中，∠B=150°， ∴∠A=30°， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，求出AB边上的高DF是解决问题的关键． 6．若△ABC的周长是12cm,则△ABC三条中位线围成的三角形的周长为 (    ) A．24cm B．6cm C．4cm D．3cm 【答案】B 【详解】试题分析：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，已知△ABC的周长是12cm，根据三角形的中位线定理可得△ABC三条中位线围成的三角形的周长=×12=6cm．故答案选B. 考点：三角形的中位线定理. 7．如图，中，D、E分别、的中点，平分，交于点F，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】首先根据条件、分别是、的中点可得，再求出，根据等角对等边可得到． 【详解】解：中，、分别是、的中点， ，， ， 平分， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是证明，可得到． 8．如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论不正确的是（　　） A． 点G是△ABC的重心 B．DE∥BC C．△ABC的面积=2△ADE的面积 D．BG=2GE 【答案】C 【详解】解：∵△ABC的中线BE与CD交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴DE∥BC且DE=BC，所以选项A、B正确； ∵点G是△ABC的重心，根据重心性质或利用三角形相似可得BG=2GE，∴选项D正确； 由△ADE∽△ABC，可知△ABC的面积=4△ADE的面积，所以选项C错误． 故选C． 9．如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E，则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，给出证明，再过点E作EF⊥B于点F，由勾股定理求出EF的长，再求得F＝BD＋D－BE＝3，最后利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵ ∴∠ADB＝90° ∵， ∴AB＝2 由勾股定理得 BD＝ ∴AD＝BD＝2 ∴∠BAD＝∠ABD＝45° ∵E是AB的中点， ∴BE＝AE＝AB＝ 延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E， 则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，如下图， 理由如下： ∵ ’ ，D＝BD＝2， ∴ AD垂直平分B ∴AD上任意一点P,总有PB＝P， 由“两点之间，线段最短”可知，点P在E与AD的交点处时， PE＋PB的值最小，最小值为E的长，此时过点E作EF⊥B于点F，如上图， 则∠EFB＝∠EF＝90°， ∵∠ABD＝45° ∴EF＝BF ∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2 ∴EF＝BF＝＝1 ∴F＝BD＋D－BE＝3 在Rt△EF中，由勾股定理得 E＝＝＝ 即的最小值为 故选：C 【点睛】本题考查了最短路径问题、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，掌握最短路径的确定方法、灵活应用勾股定理是解题的关键． 10．如图，在中，，．点C关于的对称点为E，连接交于点F，点G为的中点，连接，，则＝（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】B 【分析】如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．构建计算即可 【详解】解：如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于． ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题 11．和直线l距离为8 cm的直线有 条. 【答案】2 【详解】解：在同一平面上，和直线l距离为8cm的直线在直线L的两侧各有一条．故答案为2． 点睛：本题考查了平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等是解答此题的关键． 12．已知中，，则 ． 【答案】 【分析】可证，从而可求，进而即可求解． 【详解】解：如图    四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 13．四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点，若，则的周长为 ． 【答案】28或20 【分析】分两种情况：①当的平分线交线段于点，②当的平分线交的延长线于点，画出图像，分别求解即可． 【详解】解：①当的平分线交线段于点，如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠BEA， ∵AE平分， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠BEA=∠BAE， ∴BE=AB=6， ∴BC=BE+CE=6+2=8， ∴的周长=（6+8）×2=28， ②当的平分线交的延长线于点，如图，    同理可得：AB=BE=6， ∴BC=6-2=4， ∴的周长=（6+4）×2=20， 综上所述：的周长为28或20． 故答案是：28或20． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，画出图形，进行分类讨论，是解题的关键． 14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，合适的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E．若，则的长为 ．    【答案】6 【分析】由作图方法可知是的角平分线，则，再由平行四边的性质得到，进而推出，则，由得到，求出的长进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可知是的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义和角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 三、解答题 15．如图：平行四边形ABCD中，MNAC，交DA、DC的延长线于点M、N，试说明MQ＝NP． 【答案】见解析 【分析】分别证明四边形MACQ是平行四边形，四边形APNC是平行四边形，得到MQ=AC=NP即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∵MNAC， ∴四边形MACQ是平行四边形， ∴MQ＝AC， ∵ABCD，MNAC， ∴四边形APNC是平行四边形， ∴PN＝AC， ∴MQ＝NP． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 16．如图，在□中，、的平分线分别交对边于点、，交四边形的对角线于点、．求证：．    【答案】证明见解析. 【分析】先根据平行四边形的性质，利用ASA判定△ADH≌△CBG；再根据全等三角形的对应边相等，从而得到AH=CG，则AH+HG=CG+HG，即． 【详解】证明：∵平行四边形, ∴,AD∥CB，∠ADC=∠CBA ∵、分别为角平分线， ∴  , ， 在 △ADH和△CBG中 ∴ ∴． ∴AH+HG=CG+HG，即． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 17．如图，在的对角线交于点,点分别是的中点.试判断之间的关系并说明理由. 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵点E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝OF， 在△DFO与△BEO中 ， ∴△DFO≌△BEO（SAS） ∴BE＝DF，∠FDO＝∠EBO， ∴BE∥DF ． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出对角线平分解答． 18．如图，点是的中点，，，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由证明，得到，证出，即可得出结论． 【详解】证明：点是的中点， ； 在与中，， ， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． 19．如图，如果四边形和都是平行四边形，那么四边形是平行四边形吗？小明认为四边形是平行四边形，并且给出了证明． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ．② 又∵四边形也是平行四边形， ∴，③ ．④ 由①③，得 ．⑤ 由②④，得 ，⑥ 即． ∴四边形是平行四边形． 小明的考虑全面吗？为什么？你是怎样想的？把你的想法写出来． 【答案】小明的考虑不全面，原因见解析，想法见解析 【分析】小明的考虑不全面．他只分析了点B和点C分别在直线和上这种特殊情况下四边形的形状．如图，连接，当点B和点C不在直线和上时，根据平行四边形的性质与判定证明四边形是平行四边形． 【详解】小明的考虑不全面．他只分析了点B和点C分别在直线和上这种特殊情况下四边形的形状． 正确证法：如图，连接 ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵四边形也是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 20．（1）如图，在中，，求证：四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是平行四边形吗？ （3）如果呢？你能得出一个一般性的结论吗？ 【答案】（1）见解析；（2）是；（3）四边形是平行四边形，结论见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，再根据平行四边形的判定即可得出答案； （2）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，再根据平行四边形的判定即可得出答案； （3）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，再根据平行四边形的判定即可得出答案； 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∴AM∥CN ∵， ∴AM=CN， ∴四边形AMCN是平行四边形． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∴AM∥CN ∵， ∴AM=CN， ∴四边形AMCN是平行四边形． （3）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∴AM∥CN ∵， ∴AM=CN， ∴四边形AMCN是平行四边形． 一般性的结论：在中M、N分别是AB、CD上的点，如果，那么四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 21．如图，四边形和都是平行四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，且AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形． 【详解】证明：∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD＝EF，且AD∥EF， 同理可得BC＝EF，且BC∥EF， ∴AD＝BC，且AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形． 22．如图，在中，对角线相交于点O，，，点E，F分别是的中点，连接，，垂足为点M，交于点N． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，进而推出，均为等腰直角三角形，可得，从而得到是的中位线，等量代换可得； （2）由（1）知，，，可求出的面积，根据，所以，可求出，，进而求出的面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵，点是的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴，均为等腰直角三角形． ∴． ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． （2）由（1）知，，， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、中位线定理，熟练运用其性质求解是解题的关键． 23．如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后由面积法求出的长即可． 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$