第39期 矩形、菱形、正方形-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 １４．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以 ＡＤ∥ ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ． 所 以 ∠ＡＥＢ ＝ ∠ＤＡＥ． 因为ＡＢ＝ＡＥ， 所 以 ∠Ｂ ＝ ∠ＡＥＢ． 所 以 ∠Ｂ ＝ ∠ＤＡＥ． 在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ 中，因为 ＡＢ＝ＥＡ，∠Ｂ ＝∠ＤＡＥ，ＢＣ＝ＡＤ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＥＡＤ（ＳＡＳ）． １５．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ＡＢ＝４， 所以 ＣＤ ＝ＡＢ＝ ４，ＡＤ∥ＢＣ． 因 为 ∠ＡＣＢ ＝ ３０°， 所 以 ∠ＤＡＣ ＝ ∠ＡＣＢ＝３０°． 根据折叠的性质， 得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ， ∠ＡＣＤ＝９０°． 所以 ∠Ｄ＝９０°－ ∠ＤＡＣ＝６０°． 所以 △ＡＤＥ是等 边三角形． 所以 ＡＤ ＝ＡＥ＝ ＤＥ＝２ＣＤ＝８． 所以 △ＡＤＥ的周 长为：８×３＝２４． １６．（１）因为ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线， 所 以 ∠ＣＢＤ ＝ ∠ＥＢＤ． 因为ＥＤ∥ＢＣ， 所 以 ∠ＣＢＤ ＝ ∠ＥＤＢ． 所 以 ∠ＥＢＤ ＝ ∠ＥＤＢ． 所以ＢＥ＝ＥＤ． 因为ＢＥ＝ＣＦ， 所以ＥＤ＝ＣＦ． 所以四边形 ＥＦＣＤ 是平行四边形． （２）因 为 ＢＤ 是 △ＡＢＣ的 角 平 分 线， ∠ＡＢＣ＝６０°， 所 以 ∠ＡＢＤ ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝３０°． 因 为 ∠ＡＤＢ ＝ １００°， 所以∠Ａ＝１８０°－ ∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°． 因为四边形 ＥＦＣＤ 是平行四边形， 所以ＥＦ∥ＡＣ． 所 以 ∠ＡＥＦ ＝ １８０°－∠Ａ＝１３０°． １７．（１）因为四边 书 主线一、有一个角是直角的平行四边形是矩形 例 １　 如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ ＝ＣＤ．求证：四边形 ＡＢＣＤ是矩 形． 分析：连接ＢＤ，根据三角形 全等的判定与性质得到 ＡＤ ＝ ＣＢ，得到四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，根据矩形的判定 定理即可得出结论． 证明：连接ＢＤ，如图１．在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＣＤＢ中， ＢＤ＝ＤＢ， ＡＢ＝ＣＤ{ ，所以Ｒｔ△ＡＢＤ≌Ｒｔ△ＣＤＢ（ＨＬ）．所以ＡＤ＝ ＣＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．因为 ∠Ａ＝９０°， 所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 例２　 如图 ２，在 ＡＢＣＤ 中，Ｅ为ＢＣ的中点，连接ＡＥ并延 长交ＤＣ的延长线于点 Ｆ，连接 ＢＦ，ＡＣ．若ＡＤ＝ＡＦ，求证：四边 形ＡＢＦＣ是矩形． 分析：根据平行四边形的性质得到ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ ＢＣ，利用平行线的性质和“ＡＡＳ”判定△ＡＢＥ≌△ＦＣＥ， 从而得到ＡＢ＝ＣＦ，由此可得四边形 ＡＢＦＣ是平行四边 形，ＢＣ＝ＡＦ，根据“对角线相等的平行四边形是矩形” 可得四边形ＡＢＦＣ是矩形． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ． 因为Ｅ为ＢＣ的中点，所以ＥＢ＝ＥＣ．在△ＡＢＥ和△ＦＣＥ 中， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ， ∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ， ＥＢ＝ＥＣ { ， 所以 △ＡＢＥ≌ △ＦＣＥ（ＡＡＳ）．所 以ＡＢ＝ＣＦ．所以四边形ＡＢＦＣ是平行四边形．因为 ＡＤ ＝ＡＦ，所以ＢＣ＝ＡＦ．所以四边形ＡＢＦＣ是矩形． 主线三、三个角是直角的四边形是矩形 例３　如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ ＝２，ＢＣ＝４，Ｐ为斜边ＡＢ上一动点， ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＣＡ于点Ｆ，则 线段ＥＦ长的最小值为 （　　） Ａ．槡５　　　　　　　Ｂ．２ Ｃ．４槡５５ Ｄ． ３ ２ 分析：连接ＰＣ，判定四边形 ＥＣＦＰ是矩形，得到 ＥＦ ＝ＰＣ，根据垂线段最短，可得当ＣＰ⊥ＡＢ时，ＰＣ最小，根 据等面积法求得ＰＣ的长，即可得到线段 ＥＦ长的最小 值． 解：连接ＰＣ，如图３．因为ＰＥ⊥ＢＣ，ＰＦ⊥ＣＡ，所以 ∠ＰＥＣ＝∠ＰＦＣ＝９０°．又因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以四边 形ＥＣＦＰ是矩形．所以ＥＦ＝ＰＣ．所以当ＰＣ⊥ＡＢ时，ＰＣ 的长最小，ＥＦ的长也最小．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝２，ＢＣ＝ ４，由勾股定理，得 ＡＢ＝ ２２＋４槡 ２ ＝２槡５．因为 １ ２ＡＣ· ＢＣ＝１２ＡＢ·ＰＣ，所以ＰＣ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝ ４槡５ ５．所以线段 ＥＦ长的最小值为４槡５５． 故选Ｃ． 书 上期２版 １９．２平行四边形 １９．２．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１．５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ． 因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形， 所以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°． 所以ＡＢ＝ＤＦ，ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ ＋∠ＣＤＦ，即∠ＡＢＥ＝∠ＦＤＡ． 所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（ＳＡＳ）． 所以ＡＥ＝ＡＦ． ５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝ ６０°， 所以ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°． 所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°． 因为ＡＥ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ， 所以∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°． 所以∠ＢＡＥ＝９０°－∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ ＝３０°． 所以∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ＝６０°． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＣ＝６， 所以ＡＤ＝ＢＣ＝６． 由（１）知∠ＤＡＦ＝３０°． 所以ＤＦ＝ １２ＡＤ＝３． 由勾股定理，得ＡＦ＝ ＡＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝ 槡３３． 能力提高　６．Ｂ． １９．２．２平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ ＝２ａｃ＋２ｂｄ， 所以（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｄ）２ ＝０． 所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ． 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ． 在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ中，因为 ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ，ＡＯ ＝ＣＯ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（ＡＳＡ）． 所以ＯＥ＝ＯＤ． 所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． 能力提高　７．４． １９．２．３三角形的中位线 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．４． ５．因为Ｐ是ＢＤ的中点，Ｅ是ＡＢ的中点，Ｆ是ＣＤ的 中点， 所以ＰＥ＝ １２ＡＤ，ＰＦ＝ １ ２ＢＣ． 因为ＡＤ＝ＢＣ， 所以ＰＥ＝ＰＦ． 所以∠ＰＦＥ＝∠ＰＥＦ＝１８°． ６．因为ＣＤ是△ＡＢＣ的中线， 所以ＡＤ＝ＤＢ． 因为ＥＦ＝ＡＥ， 所以ＤＥ∥ＢＦ． 又因为ＣＦ∥ＡＢ， 所以四边形ＤＢＦＣ是平行四边形． 能力提高　７．４． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１４；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．３０°； １２．６； 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＥ＝ＣＦ， 所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ＯＦ． 因为ＢＧ＝ＤＨ， 所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ． 所以四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． 书 面对矩形求值问题，根 据具体情况的不同特点，结 合数学思想，可化难为易， 捷足先登． 一、方程思想 例１　如图１，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｆ， 交ＢＣ边于点Ｅ．已知ＡＢ＝ ６，ＡＤ＝８，则 ＣＥ的长为 ． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ 是矩形，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝ ６，∠ＡＤＣ＝∠ＤＣＥ＝９０°． 因为ＡＤ＝８，所以ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝１０．因为ＤＥ⊥ ＡＣ，所以∠ＣＦＤ＝∠ＣＦＥ＝９０°，１２ＡＤ·ＣＤ＝ １ ２ＡＣ· ＤＦ．所 以 ＤＦ ＝ ＡＤ·ＣＤＡＣ ＝ ４．８． 所 以 ＣＦ ＝ ＣＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝３．６．在Ｒｔ△ＣＤＥ中，ＣＤ２＋ＣＥ２＝ＤＥ２， 即６２＋ＥＦ２＋３．６２＝（４．８＋ＥＦ）２．解得ＥＦ＝２．７．所以 ＣＥ＝ ＥＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝４．５． 故填４．５． 二、分类讨论思想 例２　在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点 Ｏ，过点Ｂ作ＡＣ的垂线，垂足为点Ｅ．若ＡＣ＝１０，ＯＥ＝ ３，则线段ＢＣ的长为 ． 解：①如图２，当点Ｅ在线段ＯＡ上时，因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，ＡＣ＝１０，所以ＯＢ＝ＯＣ＝１２ＡＣ＝５．因 为ＢＥ⊥ＡＣ，ＯＥ＝３，所以ＢＥ＝ ＯＢ２－ＯＥ槡 ２ ＝４，ＣＥ ＝ＯＣ＋ＯＥ＝８．所以ＢＣ＝ ＢＥ２＋ＣＥ槡 ２ ＝４槡５． ②如图 ３，当点 Ｅ在线段 ＯＣ上时，因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，ＡＣ＝１０，所以ＯＢ＝ＯＣ＝１２ＡＣ＝５．因 为ＢＥ⊥ＡＣ，ＯＥ＝３，所以ＢＥ＝ ＯＢ２－ＯＥ槡 ２ ＝４，ＣＥ ＝ＯＣ－ＯＥ＝２．所以ＢＣ＝ ＢＥ２＋ＣＥ槡 ２ ＝２槡５． 故填２槡５或４槡５． 三、整体思想 例３　 如图 ４，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别 在边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＡＤ上，且ＢＥ＝ＢＦ ＝ＤＧ＝ＤＨ．求证：四边形 ＥＦＧＨ是 矩形． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形，ＡＢ＝ＢＣ，所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，ＡＢ∥ＣＤ， ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠Ｃ＋∠Ｄ＝ １８０°．因为ＢＥ＝ＢＦ＝ＤＧ＝ＤＨ，所以ＡＢ－ＢＥ＝ＢＣ－ ＢＦ＝ＣＤ－ＤＧ＝ＡＤ－ＤＨ，即ＡＥ＝ＣＦ＝ＣＧ＝ＡＨ， ∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ＝１２（１８０°－∠Ｂ），∠ＤＧＨ＝ １ ２（１８０° －∠Ｄ）．所以 ∠ＡＥＨ ＝ １２（１８０°－∠Ａ），∠ＣＦＧ ＝ ∠ＣＧＦ＝ １２（１８０°－∠Ｃ）．所以 ∠ＦＥＨ ＝１８０°－ （∠ＡＥＨ＋∠ＢＥＦ） ＝１８０°－［１２（１８０°－∠Ａ）＋ １ ２（１８０°－∠Ｂ）］＝９０°，∠ＥＦＧ＝１８０°－（∠ＢＦＥ＋ ∠ＣＦＧ）＝１８０°－［１２（１８０°－∠Ｂ）＋ １ ２（１８０°－∠Ｃ）］ ＝９０°，∠ＦＧＨ＝１８０°－（∠ＣＧＦ＋∠ＤＧＨ）＝１８０°－ ［ １ ２（１８０°－∠Ｃ）＋ １ ２（１８０°－∠Ｄ）］＝９０°．所以四边形 ＥＦＧＨ是矩形． 书 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一 定理揭示了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关 系，它是研究线段倍分问题的基础．对于与直角三角形 有关或条件中隐含着直角三角形的证明问题，若能联想 到直角三角形斜边上的中线，通过添加斜边上的中线这 条辅助线，可以理清角与角或线段与线段之间的关系， 从而把题设与结论结合起来，使问题得以圆满地解决． 例１　 如图１，ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｅ，ＡＤ＝ＡＥ，ＣＢ＝ＣＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是 ＤＥ，ＢＥ，ＡＣ的中点．求证：ＦＨ＝ＧＨ． 思路分析：连接ＡＦ，ＧＣ，如图１． 因为ＡＤ＝ＡＥ，Ｆ是ＤＥ的中点， 所以ＡＦ⊥ＤＦ． 因为Ｈ是ＡＣ的中点， 所以ＦＨ是Ｒｔ△ＡＦＣ斜边ＡＣ上的中线． 所以ＦＨ＝ １２ＡＣ． 同理可得ＧＨ＝ １２ＡＣ． 所以ＦＨ＝ＧＨ． 例２　如图２，已知ＡＣ⊥ＢＣ 于点Ｃ，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＤ和ＡＣ交于 点Ｅ，ＡＢ＝ １２ＤＥ．求证：∠ＤＢＣ ＝ １３∠ＡＢＣ． 思路分析：取ＤＥ的中点Ｍ，连接ＡＭ，如图２． 因为ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＣ， 所以∠ＤＡＣ＝９０°，∠Ｄ＝∠ＤＢＣ． 所以ＡＭ ＝ １２ＤＥ． 因为ＡＢ＝ １２ＤＥ， 所以ＡＭ ＝ＡＢ． 所以∠ＡＭＢ＝∠ＡＢＭ． 又因为∠ＡＭＢ＝２∠Ｄ，∠Ｄ＝∠ＤＢＣ， 所以∠ＡＢＭ ＝２∠ＤＢＣ． 所以∠ＡＢＣ＝３∠ＤＢＣ． 所以∠ＤＢＣ＝ １３∠ＡＢＣ． 例３　如图３，ＡＤ是△ＡＢＣ的高 线，且ＢＤ＝１２ＡＣ，Ｅ是ＡＣ的中点，连 接ＢＥ，取 ＢＥ的中点 Ｆ，连接 ＤＦ．求 证：ＤＦ⊥ＢＥ． 思路分析：连接ＤＥ，如图３． 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高线，Ｅ是ＡＣ的中点， 所以ＤＥ＝ １２ＡＣ． 因为ＢＤ＝ １２ＡＣ，所以ＤＥ＝ＢＤ． 又因为Ｆ是ＢＥ的中点，所以ＤＦ⊥ＢＥ． ! " # $ % & ' ( ! ! ! ( " $ & ' ! " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! "! " # $ !$ & ( ' " ! ! ( # ! & " $ ' % ! # " ! % & ' ( % ) ( ! $ ' " ! $ 书 矩形是特殊的平行四边形，在有关矩形的求值问题 中，涉及到众多知识点，下面选取几例加以说明，供同学 们参考． 一、矩形和坐标 例１　如图１，在矩形ＯＡＢＣ 中，点Ｂ的坐标是（１，３），则Ａ，Ｃ 两点间的距离是 （　　） Ａ．４　　　　　　Ｂ．槡１３ Ｃ．槡１０ Ｄ．２槡２ 分析：根据矩形的性质即可 求出答案． 解：连接ＡＣ，ＯＢ，如图１． 因为Ｂ（１，３），所以ＯＢ＝ １２＋３槡 ２ ＝槡１０． 因为四边形ＯＡＢＣ是矩形，所以ＡＣ＝ＯＢ＝槡１０． 故选Ｃ． 二、矩形和中位线 例２　如图２，在矩形ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ， 点Ｅ，Ｆ分别是ＡＯ，ＡＤ的中点，连 接 ＥＦ．若 ＡＢ ＝６ｃｍ，ＢＣ ＝ ８ｃｍ，则ＥＦ的长是 （　　） Ａ．２．２ｃｍ　　　　　　　Ｂ．２．３ｃｍ Ｃ．２．４ｃｍ Ｄ．２．５ｃｍ 分析：根据矩形的性质得出 ∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ＝ ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ，根据勾股定理求出ＡＣ的长，进而求出ＯＤ 的长，最后根据三角形的中位线定理即可求出ＥＦ的长． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ＝ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ， 由勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝１０ｃｍ． 所以ＢＤ＝１０ｃｍ． 所以ＯＤ＝ １２ＢＤ＝５ｃｍ． 因为点Ｅ，Ｆ分别是ＡＯ，ＡＤ的中点， 所以ＥＦ＝ １２ＯＤ＝２．５ｃｍ． 故选Ｄ． 三、矩形和折叠 例３　 如图３，将矩形纸片 ＡＢＣＤ沿ＢＥ折叠，使点Ａ落在对 角线ＢＤ上的Ａ′处．若∠ＤＢＣ＝ ２４°，则∠Ａ′ＥＢ＝ （　　） Ａ．６６°　　　　　　Ｂ．６０° Ｃ．５７° Ｄ．４８° 分析：由矩形的性质得∠Ａ＝∠ＡＢＣ＝９０°，由折叠 的性质得 ∠ＢＡ′Ｅ＝∠Ａ＝９０°，∠Ａ′ＢＥ＝∠ＡＢＥ＝ １ ２（∠ＡＢＣ－∠ＤＢＣ）＝３３°，根据“直角三角形的两锐 角互余”即可得出答案． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠Ａ＝∠ＡＢＣ＝９０°． 由折叠的性质，得∠ＢＡ′Ｅ＝∠Ａ＝９０°，∠Ａ′ＢＥ＝ ∠ＡＢＥ． 因为 ∠ＤＢＣ ＝２４°，所以 ∠Ａ′ＢＥ ＝∠ＡＢＥ ＝ １ ２（∠ＡＢＣ－∠ＤＢＣ）＝３３°． 所以∠Ａ′ＥＢ＝９０°－∠Ａ′ＢＥ＝５７°． 故选Ｃ． 四、矩形和全等三角形 例 ４　 如图 ４，ＥＦ过矩形 ＡＢＣＤ对角线的交点 Ｏ，且分别 交 ＡＢ，ＣＤ于点 Ｅ，Ｆ．若矩形 ＡＢＣＤ的面积是１２，则阴影部分 的面积是 ． 分析：根据矩形的性质和“ＡＳＡ”可判定 △ＡＯＥ≌ △ＣＯＦ，可得Ｓ△ＡＯＥ ＝Ｓ△ＣＯＦ，进而可得 Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ４Ｓ矩形ＡＢＣＤ． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＡＢ∥ＣＤ，ＯＡ＝ＯＣ． 所以∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ． 由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ． 在△ＡＯＥ和△ＣＯＦ中， ∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ， ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ { ， 所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（ＡＳＡ）． 所以Ｓ△ＡＯＥ ＝Ｓ△ＣＯＦ． 所以Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＢＥＯ＋Ｓ△ＣＯＦ ＝Ｓ△ＢＥＯ＋Ｓ△ＡＯＥ ＝Ｓ△ＡＯＢ ＝ １４Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝３． 故填３． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! %&'" )*+,*+-.*/)*0 12345!'!"#$%&'()*+, -./0123456789:;<=> *?@' ('!"ABCB$DEF<GH<()/I J23KLHMNOHMPQ;R' 67895 ST#$*U9VE$< WR*XY' & ! ( $ " ' ! ( ! ( * & $ ' " ! ( ! ( '! $ ' " ! " ! & ( * " $ ' ! # ! ( " ' ! % " :; <=> " ?@ A B + ' " , ! * ! % ' &! - $ " ! " ! ! !"#$ ! " #! !!"! " $"% !" ()(*&"'(+( CDE1FGHIJKL!"0M #$ N !"#$%&'" ()*+,-'. LOP %Q# RDS0 LTU # RVWXY0 LOP (Q" RDS0 ! ( * $ " ' ! ( ! 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ＡＢ∥ ＣＤ．所 以四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形． （２）过点Ａ作ＡＧ⊥ ＣＤ于点 Ｇ，图略．所以 ＡＧ∥ ＣＦ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＢ⊥ ＣＥ，所以 ＣＦ ＝ＡＧ．根据勾股定理， 得 ＡＣ２－ＣＧ２ ＝ＡＤ２－ ＤＧ２，即４２－（３－ＤＧ）２ ＝３２－ＤＧ２．解得ＤＧ＝ １ ３．所以 ＣＦ＝ＡＧ＝ ＡＤ２－ＤＧ槡 ２ ＝ 槡４５３． 因为 ＡＣ ＝ＡＥ，ＡＢ⊥ ＣＥ，所以 ＣＥ＝２ＣＦ＝ 槡８５ ３． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，两条公路ＡＣ，ＢＣ互相垂直，公路ＡＢ的中 点Ｍ与点Ｃ被湖隔开．若测得ＡＢ的长为１０ｋｍ，则Ｍ，Ｃ 两点之间的距离为 （　　） Ａ．５ｋｍ Ｂ．１０ｋｍ 槡 槡Ｃ．５２ｋｍ Ｄ．５３ｋｍ ２．两个矩形的位置如图２所示．若 ∠１＝１２０°，则 ∠２＝ （　　） Ａ．３０° Ｂ．７５° Ｃ．６０° Ｄ．１５０° ３．如图３，四边形ＡＢＣＤ的对角线互相平分，要使它 成为矩形，那么需要添加的条件是 （　　） Ａ．ＡＢ＝ＢＣ Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ Ｄ．ＡＣ＝ＢＤ ４．如图 ４，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ＡＢＣＤ，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下 面判断错误的是 （　　） Ａ．四边形ＡＢＣＤ由矩形变为平行四边形 Ｂ．对角线ＢＤ的长度减小 Ｃ．四边形ＡＢＣＤ的面积不变 Ｄ．四边形ＡＢＣＤ的周长不变 ５．如图５，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＥ⊥ＡＣ，Ｄ是ＡＢ 的中点，连接ＤＥ．若ＤＥ＝ＢＥ，则∠Ｃ的度数是（　　） Ａ．６５° Ｂ．７０° Ｃ．７５° Ｄ．８０° ６．如图６，Ａ，Ｂ为５×５的正方形网格中的两个格点， 称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以Ａ， Ｂ为顶点的格点矩形共可以画出 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ７．如图７，∠ＡＯＢ＝９０°，ＯＣ平分 ∠ＡＯＢ，ＰＥ⊥ ＯＡ 于点Ｅ，ＰＦ⊥ＯＣ于点Ｆ，ＰＧ⊥ＯＢ于点Ｇ，则ＯＥ＋ＯＧＯＦ 的 值是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ 槡 槡Ｃ．２ Ｄ．３ ８．如图８，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ为ＣＤ边的中点，连 接ＡＥ，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ ＡＥ交 ＢＣ于点 Ｆ，连接 ＡＦ．若 ∠ＢＡＦ＝α，则∠ＥＦＣ的度数是 （　　） Ａ．α Ｂ．４５°＋α２ Ｃ．４５°－α２ Ｄ．９０°－α 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图９，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ， ∠ＡＯＢ＝７０°，则∠ＡＣＢ的大小为 ． １０．如图１０，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ在ＢＣ边上， ＤＦ∥ＡＢ，ＤＥ∥ＡＣ，则当∠Ｂ＝ °时，四边形 ＡＥＤＦ是矩形． １１．如图１１，矩形ＡＢＣＤ的对角线相交于点Ｏ，过点 Ｏ的直线分别交ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ．若ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，则 图中阴影部分的面积为 ． １２．如图１２，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ为 ＢＣ上的高 线，Ｅ为ＡＢ边上一点，ＥＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，交ＣＡ的延长线 于点Ｇ．已知ＥＦ＝２，ＥＧ＝３，则ＡＤ的长为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图１３，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６， ＡＣ＝１０，ＡＤ＝８．求证：平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． １４．（１０分）如图１４，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＡＢ的中 点，连接ＣＥ并延长，交ＤＡ的延长线于点Ｆ． （１）求证：△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ； （２）若ＣＤ＝４，∠Ｆ＝３０°，求ＣＦ的长． １５．（１０分）如图１５，四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ＣＥ∥ＢＤ交ＡＤ的延长线于点Ｅ，ＣＥ＝ＡＣ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）若ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，求四边形ＢＣＥＤ的周长． １６．（１０分）如图１６，矩形ＡＢＣＤ≌矩形ＡＥＦＧ，点Ｅ 在ＢＤ上，ＥＦ与ＡＤ相交于点Ｈ，连接ＡＦ．若ＡＢ＝１，ＢＣ ＝２，求ＡＨ的长． １７．（１４分）如图１７，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，ＡＮ是△ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线， ＣＥ⊥ＡＮ，垂足为点Ｅ． （１）求证：四边形ＡＤＣＥ是矩形； （２）连接ＤＥ，交ＡＣ于点Ｆ，请判断四边形ＡＢＤＥ的 形状，并证明； （３）线段ＤＦ与ＡＢ有怎样的关系？请直接写出你的 结论． （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，将矩形纸片ＡＢＣＤ折叠，使点Ｂ与点Ｄ重合， 点Ａ落在点Ｐ处，折痕为ＥＦ． （１）求证：△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ； （２）若ＣＤ＝４，ＥＦ＝５，求ＢＣ的长                                                                                                                                                                 ． 书 １９．３矩形、菱形、正方形（矩形） １９．３．１．１矩形的性质 １．如图１，点Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ与ＢＤ的交 点．若ＡＣ＝６，则ＢＤ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．６ ２．如图２，矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， Ｅ为ＡＢ的中点，连接ＯＥ．若∠ＡＣＤ＝３０°，则∠ＡＯＥ＝ （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０° ３．“美丽乡村”建设使我市农 村住宅旧貌变新颜，如图３为一农 村民居侧面截图，屋坡 ＡＦ，ＡＧ分 别架在墙体的点Ｂ，Ｃ处，且ＡＢ＝ ＡＣ，侧面四边形ＢＤＥＣ为矩形．若 测得 ∠ＦＢＤ ＝５５°，则 ∠Ａ ＝ °． ４．如图４，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在ＢＣ边上，ＡＥ＝ ＡＤ，ＤＦ⊥ＡＥ，垂足为点Ｅ． （１）求证：ＤＦ＝ＡＢ； （２）若∠ＦＤＣ＝３０°，且ＡＢ＝４，求ＡＤ的长． ５．如图５，在矩形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝４，ＡＤ＝８，点 Ｅ在 ＢＣ边 上．若ＥＡ平分∠ＢＥＤ，则ＥＣ＝ ． ６．如图６，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ边上 的点，ＡＥ＝ＣＦ，连接ＥＦ，ＢＦ，ＥＦ与对角线ＡＣ交于点Ｏ， 且ＢＥ＝ＢＦ，∠ＢＥＦ＝２∠ＢＡＣ． （１）求证：ＯＥ＝ＯＦ； （２）若ＢＣ＝２，求ＡＢ的长． １９．３．１．２直角三角形斜边上的中线 １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ是斜边 ＡＢ上的中线．若ＣＤ＝４，则ＡＢ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ ２．如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ为ＢＡ延长线上一 点，Ｆ为ＣＥ的中点，以点Ｂ为圆心，ＢＦ长为半径的圆弧 过ＡＤ与ＣＥ交于点Ｇ，连接ＢＧ．若ＡＢ＝４，ＣＥ＝１０，则 ＡＧ＝ （　　） Ａ．２ Ｂ．２．５ Ｃ．３ Ｄ．３．５ ３．如图３，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１２，ＢＣ＝８，ＡＤ平 分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ，点Ｅ为ＡＣ的中点，连接ＤＥ，则 △ＣＤＥ的周长是 （　　） Ａ．２０ Ｂ．１２ Ｃ．１６ Ｄ．１３ ４．如图４，Ｏ是矩形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ的中点，Ｅ是 ＡＢ边的中点．若ＡＢ＝１２，ＯＥ＝５２，则线段ＯＣ的长为 ． ５．如图５，在 △ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝４５°，点 Ｄ在 ＡＢ 上，ＣＤ＝ＣＢ，点Ｅ为ＢＤ的中点，Ｆ为ＡＣ的中点，连接 ＥＦ交ＣＤ于点Ｍ，连接ＡＭ． （１）若ＡＣ＝２，求ＥＦ的长； （２）探究线段 ＡＭ，ＤＭ，ＢＣ之间的数量关系，并说 明理由． １９．３．１．３矩形的判定 １．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量 两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条 对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的依据是 （　　） Ａ．两组对边分别相等的四边形是矩形 Ｂ．有一个角是直角的平行四边形是矩形 Ｃ．对角线相等的四边形是矩形 Ｄ．对角线相等的平行四边形是矩形 ２．如图１，直角三角形 ＡＢＣ 的面积为４，点 Ｄ是斜边 ＡＢ的 中点，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ ＡＣ于点 Ｅ，ＤＦ⊥ ＢＣ于点 Ｆ，则四边形 ＤＥＣＦ的面积为 （　　） Ａ．１ 　　　　Ｂ．２ Ｃ．２．５ 　　　　Ｄ．３ ３．如图２，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点， 点Ｆ，Ｇ在ＢＣ边上，且ＤＧ＝ＥＦ．只需添加一个条件即可 证明四边形 ＤＦＧＥ是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）． ４．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｏ是 ＢＣ的中 点，ＣＥ∥ＯＡ，ＡＥ∥ＢＣ，连接ＯＥ．若ＯＡ＝５，ＢＣ＝２４， 则ＯＥ的长为 ． ５．如图４，Ｅ，Ｆ是四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ上的两 点，且ＡＦ＝ＣＥ，ＢＥ＝ＤＦ，ＢＥ∥ＤＦ．若∠ＢＡＤ＝９０°， 求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形． ６．如图５，在矩形ＡＢＣＤ中， Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ上的动点，Ｐ 是线段 ＥＦ的中点，ＰＧ⊥ ＢＣ， ＰＨ⊥ ＣＤ，Ｇ，Ｈ为垂足，连接 ＧＨ．若ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，ＥＦ＝２， 则ＧＨ的最小值是 ． ７．如图６，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｄ＝ ９０°，点Ｅ是ＡＤ的中点，连接ＢＥ，将△ＡＢＥ沿ＢＥ折叠后 得到△ＧＢＥ，且点 Ｇ在四边形 ＡＢＣＤ内部，延长 ＢＧ交 ＤＣ于点Ｆ，连接ＥＦ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）若ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，求ＤＦ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ．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书 答案详解 　　　 ２０２４～２０２５学年　初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第３６～３９期　（２０２５年３月）　　　 ３６期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ａ 二、１１．ｘ≥－６；　１２．－２；　１３．９０°；　１４．槡２２； １５．７６． 三、１６．（１） 槡８７７；　（２）槡２３－１． １７．（１）ｘ１ ＝３＋ 槡２５，ｘ２ ＝３－ 槡２５； （２）ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－４． １８．（１）由题意，得ＯＡ＝６０米，ＯＤ＝８０米，∠ＡＯＤ＝９０°． 在Ｒｔ△ＯＡＤ中，由勾股定理，得ＡＤ＝ ＯＡ２＋ＯＤ槡 ２ ＝１００米． 因为ＢＤ＝１００米，ＡＢ＝ 槡１００２米，所以ＡＤ ２＋ＢＤ２ ＝２００００， ＡＢ２ ＝２００００．所以ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２．所以∠ＡＤＢ＝９０°． （２）过点Ｂ作ＢＥ⊥ＯＤ交ＯＤ的延长线于点Ｅ，图略．所以 ∠ＢＥＤ＝９０°＝∠ＡＯＤ．所以 ∠ＥＢＤ＋∠ＢＤＥ＝９０°．因为 ∠ＡＤＢ＝９０°，所以 ∠ＡＤＯ＋∠ＢＤＥ＝９０°．所以 ∠ＡＤＯ＝ ∠ＥＢＤ．又因为 ＡＤ＝ＢＤ，所以 △ＡＯＤ≌ △ＤＥＢ（ＡＡＳ）．所以 ＢＥ＝ＯＤ＝８０米，ＤＥ＝ＯＡ＝６０米．所以ＯＥ＝ＯＤ＋ＤＥ＝ １４０米．在Ｒｔ△ＢＥＯ中，由勾股定理，得ＯＢ＝ ＢＥ２＋ＯＥ槡 ２ ＝ 槡２０ ６５米． 答：地铁Ｂ出口与学校Ｏ之间的距离是 槡２０ ６５米． １９．（１）设全天包车数的月平均增长率为ｘ． 根据题意，得２５（１＋ｘ）２ ＝６４． 解得ｘ１ ＝０．６＝６０％，ｘ２ ＝－２．６（舍去）． 答：全天包车数的月平均增长率为６０％． （２）设应将每辆车的全天包车租金降价ｙ元，则十一月份 的全天包车数达到（６４＋ｙ１０×８）次． 根据题意，得（１２０－ｙ）（６４＋ｙ１０×８）＝７９２０． 整理，得ｙ２－４０ｙ＋３００＝０． 解得ｙ１ ＝１０，ｙ２ ＝３０． 因为要尽可能地让利顾客，所以ｙ＝３０． 答：应将每辆车的全天包车租金降价３０元． ２０．（１）４，槡１７－４． （２）５－槡２３，槡２３－４． （３）槡２３ｘ－ｘｙ＋１７＝槡２３（５－槡２３）－（５－槡２３）（槡２３ －４）＋１７＝ 槡５ ２３－２３－ 槡５ ２３＋２０＋２３－ 槡４ ２３＋１７＝３７ － 槡４ ２３． ２１．（１）因为ａ＝１，ｂ＝－２（ｎ－２），ｃ＝ｎ２－４ｎ，所以Δ＝ ｂ２－４ａｃ＝［－２（ｎ－２）］２－４（ｎ２－４ｎ）＝１６＞０．所以方程有 两个不相等的实数根． （２）因为ｘ２－２（ｎ－２）ｘ＋ｎ２－４ｎ＝（ｘ－ｎ）（ｘ－ｎ＋４） ＝０，所以ｘ１＝ｎ，ｘ２＝ｎ－４．由题意，得ＡＢ≠ＡＣ．因为△ＡＢＣ 是等腰三角形，所以有两种情况： 当ｎ＝１０时，ｎ－４＝６．因为６，１０，１０能组成等腰三角形， 所以ｎ＝１０符合题意． 当ｎ－４＝１０时，ｎ＝１４．因为１０，１０，１４能组成等腰三角 形，所以ｎ＝１４符合题意． 综上所述，ｎ的值为１０或１４时，△ＡＢＣ是等腰三角形． ３６期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ 二、１１．ｘ（ｘ－１）＝１８２；　１２．２０２６；　１３．５２ｃｍ； １４．６；　１５．２或１＋槡２． 三、１６．（１）ｘ１ ＝２＋槡６，ｘ２ ＝２－槡６； （２）ｘ１ ＝－２，ｘ２ ＝４． １７．（１）原式 ＝－ａ２＋ａ－５．当ａ＝槡２－１时，原式 ＝ 槡３２ －９． （２）原式 ＝ｍ－１＋１ｍ．当ｍ＝２＋槡３时，原式 ＝３． １８．（１）是． （２）因为关于ｘ的一元二次方程ａｘ２－槡３ａｘ＋ｃ＝０（ａ≠ ０）是“倍根方程”，所以设方程的两根分别为 ｍ，２ｍ．由根与系 数的关系，得ｍ＋２ｍ＝槡３， ｃ ａ ＝２ｍ ２．解得ｍ＝槡３３， ｃ ａ ＝ ２ ３． 所以ｃ＝ ２３ａ． １９．（１）槡２－１． （２）３ｘ－ １２ ＝ １ １＋槡３ ＋ １ 槡３＋槡５ ＋ １ 槡５＋槡７ ＋… ＋ １ 槡９７＋槡９９ ＝ 槡３－１ （槡３＋１）（槡３－１） ＋ 槡５－槡３ （槡５＋槡３）（槡５－槡３） ＋ 槡７－槡５ （槡７＋槡５）（槡７－槡５） ＋… ＋ 槡９９－槡９７ （槡９９＋槡９７）（槡９９－槡９７） ＝ １ ２（槡３－１＋槡５－槡３＋槡７－槡５＋…＋槡９９－槡９７）＝ １ ２（槡９９ －１）． 解得ｘ＝槡１１２ ． ２０．（１） ４＋（８－ｘ）槡 ２ ＋ １＋ｘ槡 ２                                                        ． —１— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第３６～３９期 （２）槡７３． （３）已知ＡＢ＝１，ＤＥ＝２，ＢＤ＝３，取Ｐ为线段ＢＤ上一动 点，分别过点Ｂ，Ｄ作ＡＢ⊥ＢＤ，ＥＤ⊥ＢＤ，连接ＡＰ，ＥＰ．设ＢＰ＝ ｘ．根据勾股定理，得ＡＰ＝ ｘ２＋槡 １，ＰＥ＝ （３－ｘ） ２＋槡 ４．所 以ＡＰ＋ＰＥ＝ ｘ２＋槡 １＋ （３－ｘ） ２＋槡 ４．要使ＡＰ＋ＰＥ的值 最小，则需满足Ａ，Ｐ，Ｅ三点共线，即最小值为 ＡＥ的长．过点 Ａ 作ＡＣ⊥ＤＥ，交ＥＤ的延长线于点Ｃ，连接ＡＥ，图略．所以ＡＣ＝ ＢＤ＝３，ＣＥ ＝ ＡＢ＋ＤＥ ＝３．所以代数式 ｘ２＋槡 １ ＋ （３－ｘ）２＋槡 ４的最小值为：ＡＥ＝ ＡＣ ２＋ＣＥ槡 ２ ＝ 槡３２． ２１．（１）过点Ｐ作ＰＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，图略．设经过ｘｓ，Ｐ，Ｑ两 点之间的距离是１０ｃｍ．根据题意，得（１６－２ｘ－３ｘ）２＋６２ ＝ １０２．解得ｘ１ ＝ ８ ５，ｘ２ ＝ ２４ ５． 答：经过 ８ ５ｓ或 ２４ ５ｓ，Ｐ，Ｑ两点之间的距离是１０ｃｍ． （２）设经过ｙｓ，△ＰＢＱ的面积为１２ｃｍ２． ①当０≤ｙ≤１６３时，ＰＢ＝１６－３ｙ．所以 １ ２ＰＢ·ＢＣ＝ １ ２ ×（１６－３ｙ）×６＝１２．解得ｙ＝４； ②当１６３ ＜ｙ≤ ２２ ３时，ＢＰ＝３ｙ－１６，ＱＣ＝２ｙ．所以 １ ２ＢＰ· ＱＣ＝ １２×（３ｙ－１６）×２ｙ＝１２．解得 ｙ１ ＝６，ｙ２ ＝－ ２ ３（舍 去）； ③当２２３ ＜ｙ≤８时，ＰＱ＝ＣＱ－ＰＣ＝２２－ｙ．所以 １ ２ＰＱ· ＢＣ＝ １２×（２２－ｙ）×６＝１２．解得ｙ＝１８（舍去）． 答：经过４ｓ或６ｓ，△ＰＢＱ的面积为１２ｃｍ２． ３７期２版 １９．１多边形内角和 １９．１．１多边形的概念 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ａ．　 ４．（１）３，１２． （２）因为△ＡＢＣ边界上的格点数是８，Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２×３×４ ＝６，正方形ＤＥＦＧ内的格点数是４，Ｓ正方形ＤＥＦＧ ＝３×３＝９，所以 ３ｍ＋８ｎ－１＝６， ４ｍ＋１２ｎ－１＝９{ ．解得 ｍ＝１， ｎ＝ １２ { ． （３）１８． 能力提高　５．原多边形纸片的边数为３或４或５．图略． １９．１．２多边形的内角和 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１８；　４．１０． ５．因为ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝７０°，所以 ∠Ｃ＝１８０°－∠Ｂ＝ １１０°．因为五边形的内角和为：（５－２）×１８０°＝５４０°，所以ｘ° ＋１２０°＋１４０°＋７０°＋１１０°＝５４０°．解得ｘ＝１００． ６．（１）６０． （２）因为ＣＥ∥ＡＤ，∠Ｄ＝１４０°，所以∠ＤＣＥ＝１８０°－∠Ｄ ＝４０°．因为ＣＥ平分∠ＢＣＤ，所以∠ＢＣＤ＝２∠ＤＣＥ＝８０°．所 以∠Ｂ＝（４－２）×１８０°－∠Ａ－∠ＢＣＤ－∠Ｄ＝４０°． 能力提高　７．根据题意，得１７８０°＜（ｎ－２）×１８０°＜ １７８０°＋１８０°．解得１１８９ ＜ｎ＜１２ ８ ９．因为ｎ为正整数，所以 ｎ＝１２．所以除去的内角的度数为：（１２－２）×１８０°－１７８０°＝２０°． １９．１．３多边形的外角和 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．４０°；　５．７２°． ６．因为 ∠ＡＢＥ是四边形 ＡＢＣＤ的外角，所以 ∠ＡＢＥ＋ ∠ＡＢＣ＝１８０°．因为∠ＡＢＥ＝∠Ｄ，所以∠ＡＢＣ＋∠Ｄ＝１８０°． 又因为四边形的内角和等于３６０°，所以 ∠Ａ＋∠Ｃ＝３６０°－ （∠ＡＢＣ＋∠Ｄ）＝１８０°． ７．设这个正多边形的一个外角的度数为ｘ．根据题意，得ｘ ＋３２ｘ＝１８０°．解得ｘ＝７２°．所以这个正多边形的边数为：３６０° ÷７２°＝５． 能力提高　８．根据题意，得王明所走路径是一个正多边 形．因为王明第一次回到Ａ点时走了７２米，每次沿直线走６米 转弯，所以这个正多边形的边数为：７２÷６＝１２．所以θ＝３６０° ÷１２＝３０°． ３７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ 二、９．２ｎ；　１０．５４；　１１．８，１３５°；　１２．３６６． 三、１３．图略． １４．延长ＡＧ，ＣＤ交于点Ｈ，图略．因为∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝ ∠ＣＤＥ＝∠ＡＧＦ＝９０°，所以∠Ｈ＝（４－２）×１８０°－∠Ａ－∠Ｂ －∠Ｃ＝９０°，∠ＥＤＨ＝１８０°－∠ＣＤＥ＝９０°，∠ＦＧＨ＝１８０°－ ∠ＡＧＦ＝９０°．所以∠Ｆ＝（５－２）×１８０°－∠ＥＤＨ－∠Ｅ－ ∠ＦＧＨ－∠Ｈ＝１３０°≠１４０°．所以这个零件不合格． １５．（１）六边形 ＡＢＣＤＥＦ的内角和为：（６－２）×１８０°＝ ７２０°． （２）因为六边形 ＡＢＣＤＥＦ的内角和为７２０°，∠１＋∠２＋ ∠３＋∠４＋∠５＝４７０°，所以∠ＧＢＣ＋∠Ｃ＋∠ＣＤＧ＝７２０°－ ４７０°＝２５０°．所以∠Ｇ＝３６０°－（∠ＧＢＣ＋∠Ｃ＋∠ＣＤＧ）＝ １１０°． １６．设这个多边形的边数是ｍ．根据题意，得１２８０°－１８０° ＜（ｍ－２）×１８０°＜１２８０°．解得８１９ ＜ｍ＜９ １ ９．因为ｍ是 正整数，所以ｍ＝９．所以他重复加的那个角的度数是：１２８０° －（９－２）×１８０°＝２０°． １７．（１）∠ＡＣＤ＝∠Ａ＋∠Ｂ． （２）因为∠Ａ＋∠Ｂ＋∠ＢＣＤ＋∠Ｄ＝（４－２）×１８０°＝ ３６０°，所以∠ＢＣＤ＝３６０°－∠Ａ－∠Ｂ－∠Ｄ．因为∠ＤＣＥ是四 边形ＡＢＣＤ的外角，所以∠ＤＣＥ＝１８０°－∠ＢＣＤ＝∠Ａ＋∠Ｂ ＋∠Ｄ－１８０°． （３）ｙ－ｘ＝１８０（ｎ－３）． 附加题　（１）正确． （２）设应加内角的度数为ｘ，所加外角的度数为ｙ．根据题 意，得（ｎ－２）×１８０°＝２０２０°－ｙ＋ｘ．因为－１８０°＜ｘ－ｙ＜ １８０°，所以２０２０°－１８０°＜（ｎ－２）×１８０°＜２０２０°＋１８０°．解 得１２２９ ＜ｎ＜１４ ２ ９．因为ｎ是正整数，所以ｎ＝１３或１４．所 以嘉嘉求的是十三边形或十四边形的内角和． ３８期２版 １９．２平行四边形 １９．２．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１．５                                                                      ． —２— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第３６～３９期 ４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形， 所以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°．所以ＡＢ＝ ＤＦ，ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ，即∠ＡＢＥ＝ ∠ＦＤＡ．所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（ＳＡＳ）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝６０°，所以 ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°． 因为ＡＥ⊥ ＢＣ，ＡＦ⊥ ＣＤ，所以 ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以 ∠ＢＡＥ＝９０°－∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ＝３０°．所以 ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ＝６０°． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＣ＝６，所以ＡＤ＝ ＢＣ＝６．由（１）知∠ＤＡＦ＝３０°．所以ＤＦ＝１２ＡＤ＝３．由勾股 定理，得ＡＦ＝ ＡＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝ 槡３３． 能力提高　６．Ｂ． １９．２．２平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ ｄ）２ ＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ 中，因为 ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ，ＡＯ＝ＣＯ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ，所以 △ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（ＡＳＡ）．所以ＯＥ＝ＯＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是 平行四边形． 能力提高　７．４． １９．２．３三角形的中位线 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．４． ５．因为Ｐ是ＢＤ的中点，Ｅ是ＡＢ的中点，Ｆ是ＣＤ的中点，所 以ＰＥ＝１２ＡＤ，ＰＦ＝ １ ２ＢＣ．因为ＡＤ＝ＢＣ，所以ＰＥ＝ＰＦ．所 以∠ＰＦＥ＝∠ＰＥＦ＝１８°． ６．因为 ＣＤ是 △ＡＢＣ的中线，所以 ＡＤ＝ＤＢ．因为 ＥＦ＝ ＡＥ，所以ＤＥ∥ＢＦ．又因为ＣＦ∥ＡＢ，所以四边形ＤＢＦＣ是平行 四边形． 能力提高　７．４． ３８期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１４；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．３０°； １２．６； 三、１３．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＯＡ＝ＯＣ， ＯＢ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ ＯＦ．因为ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ．所 以四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ．因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ． 所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ中，因为ＡＢ＝ＥＡ，∠Ｂ ＝∠ＤＡＥ，ＢＣ＝ＡＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（ＳＡＳ）． １５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝４，所以 ＣＤ＝ ＡＢ＝４，ＡＤ∥ＢＣ．因为∠ＡＣＢ＝３０°，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝ ３０°．根据折叠的性质，得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＤ＝９０°．所 以∠Ｄ＝９０°－∠ＤＡＣ＝６０°．所以△ＡＤＥ是等边三角形．所以 ＡＤ＝ＡＥ＝ＤＥ＝２ＣＤ＝８．所以△ＡＤＥ的周长为：８×３＝２４． １６．（１）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＥＢＤ．因为ＥＤ∥ＢＣ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以∠ＥＢＤ＝ ∠ＥＤＢ．所以ＢＥ＝ＥＤ．因为ＢＥ＝ＣＦ，所以ＥＤ＝ＣＦ．所以四 边形ＥＦＣＤ是平行四边形． （２）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＢＣ＝６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝ １２∠ＡＢＣ＝３０°．因为 ∠ＡＤＢ＝１００°，所以 ∠Ａ＝ １８０°－∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°．因为四边形ＥＦＣＤ是平行四边 形，所以ＥＦ∥ＡＣ．所以∠ＡＥＦ＝１８０°－∠Ａ＝１３０°． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ， ＡＢ∥ＣＤ．因为ＣＥ＝ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＤ．所以∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ ＝ １２（１８０°－∠ＤＣＥ）＝９０°－ １ ２∠ＤＣＥ．所以 ∠ＡＥＤ ＝ ∠ＣＤＥ＝９０°－１２∠ＤＣＥ． （２）延长ＤＡ，ＦＥ交于点Ｍ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是平 行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｍ＝∠ＥＦＢ．因为Ｅ是ＡＢ的 中点，所以ＡＥ＝ＢＥ．由对顶角相等，得∠ＡＥＭ＝∠ＢＥＦ．所以 △ＡＥＭ≌△ＢＥＦ（ＡＡＳ）．所以ＭＥ＝ＦＥ，ＡＭ＝ＢＦ＝２．所以ＤＭ ＝ＡＤ＋ＡＭ ＝６．因为ＤＦ⊥ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ，所以ＤＦ⊥ＡＤ，即 ∠ＭＤＦ ＝９０°．在 Ｒｔ△ＭＤＦ中，由勾股定理，得 ＭＦ ＝ ＤＭ２＋ＤＦ槡 ２ ＝ 槡６２．所以ＥＦ＝ １ ２ＭＦ＝ 槡３２． 附加题　（１）因为 ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，所以 ＡＢ⊥ ＣＥ， ∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ，∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ．所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＣ＝ ∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥ，即∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＢ．因为∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，所 以∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＤ．所以ＢＣ∥ＡＤ．因为ＣＤ⊥ＣＥ，所以ＡＢ∥ ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． （２）过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，图略．所以ＡＧ∥ＣＦ．因为 ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＦ＝ＡＧ．根据勾股定理，得ＡＣ２－ＣＧ２ ＝ＡＤ２－ＤＧ２，即４２－（３－ＤＧ）２ ＝３２－ＤＧ２．解得ＤＧ＝１３． 所以ＣＦ＝ＡＧ＝ ＡＤ２－ＤＧ槡 ２ ＝ 槡４５３．因为 ＡＣ＝ＡＥ，ＡＢ⊥ ＣＥ，所以ＣＥ＝２ＣＦ＝ 槡８５３． ３９期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（矩形） １９．３．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．１１０． ４．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｂ＝ ９０°．所以∠ＤＡＦ＝∠ＡＥＢ．因为ＤＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＤ＝９０°＝ ∠Ｂ．又因为ＤＡ＝ＡＥ，所以△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ．所以ＤＦ＝ＡＢ． （２）因为ＡＢ＝４，所以ＤＦ＝４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为∠ＦＤＣ＝３０°，所以∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－ ∠ＦＤＣ＝６０°．所以∠ＤＡＦ＝９０°－∠ＡＤＦ＝３０°．所以ＡＤ＝ ２ＤＦ＝８． 能力提高　５．槡４３． ６．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．又因为 ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ．所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）连接ＯＢ，图略．因为△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ，所以ＯＡ＝ＯＣ， 即Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线的交点．所以ＯＡ＝ＯＢ．所以∠ＢＡＣ ＝∠ＡＢＯ．因为ＢＥ＝ＢＦ，ＯＥ＝ＯＦ，所以ＢＯ⊥ＥＦ．在Ｒｔ△ＢＥＯ 中，∠ＢＥＦ＋∠ＡＢＯ ＝９０°．因为 ∠ＢＥＦ ＝２∠ＢＡＣ，                                                                      所以 —３— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第３６～３９期 ２∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°．解得∠ＢＡＣ＝３０°．因为四边形ＡＢＣＤ 是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＢＣ＝２，所以ＡＣ＝２ＢＣ＝４． 根据勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３． １９．３．１．２直角三角形斜边上的中线 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１３２． ５．连接ＣＥ，图略． （１）因为ＣＤ＝ＣＢ，Ｅ为ＢＤ的中点，所以ＣＥ⊥ＢＤ．所以 ∠ＡＥＣ＝９０°．因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ＝ １２ＡＣ＝１． （２）ＢＣ＝ＡＭ＋ＤＭ．理由如下： 因为∠ＢＡＣ＝４５°，所以∠ＡＣＥ＝９０°－∠ＢＡＣ＝４５°．所 以ＡＥ＝ＣＥ．因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ垂直平分ＡＣ．所以 ＡＭ ＝ＣＭ．所以ＢＣ＝ＣＤ＝ＣＭ＋ＤＭ ＝ＡＭ＋ＤＭ． １９．３．１．３矩形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ； ３．答案不惟一，如ＤＥ＝ＦＧ；　４．１３． ５．因为 ＢＥ∥ ＤＦ，所以 ∠ＤＦＣ＝∠ＡＥＢ．所以 １８０°－ ∠ＤＦＣ＝１８０°－∠ＡＥＢ，即∠ＤＦＡ＝∠ＢＥＣ．因为ＤＦ＝ＢＥ，ＡＦ ＝ＣＥ，所以△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ．所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＤ＝ＣＢ． 所以ＡＤ∥ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．又因为∠ＢＡＤ ＝９０°，所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 能力提高　６．４． ７．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°．因为∠Ａ＝ ∠Ｄ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是 矩形． （２）根据折叠的性质，得∠ＢＧＥ＝∠Ａ＝９０°，ＢＧ＝ＡＢ＝ ６，ＡＥ＝ＧＥ．所以∠ＥＧＦ＝１８０°－∠ＢＧＥ＝９０°．因为Ｅ是ＡＤ 的中点，所以 ＡＥ＝ＤＥ．所以 ＤＥ＝ＧＥ．因为 ＥＦ＝ＥＦ，所以 Ｒｔ△ＤＥＦ≌Ｒｔ△ＧＥＦ（ＨＬ）．所以ＤＦ＝ＧＦ．所以ＢＦ＝ＢＧ＋ＧＦ ＝６＋ＤＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝６．在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，根据勾股定理，得ＢＣ２＋ＣＦ２ ＝ＢＦ２，即８２＋（６－ ＤＦ）２ ＝（６＋ＤＦ）２．解得ＤＦ＝ ８３． ３９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３５°；　１０．４５；　１１．６；　１２．７２． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ＝ ８．因为ＡＢ＝６，ＡＣ＝１０，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２．所以∠Ｂ＝ ９０°．所以平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． １４．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｆ ＝∠ＢＣＥ．因为Ｅ是ＡＢ的中点，所以ＡＥ＝ＥＢ．由对顶角相等， 得∠ＡＥＦ＝∠ＢＥＣ．所以△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ（ＡＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°．因为∠Ｆ ＝３０°，所以ＣＦ＝２ＣＤ＝８． １５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＥ∥ＢＣ． 又因为ＣＥ∥ＢＤ，所以四边形ＢＣＥＤ是平行四边形．所以ＣＥ＝ ＢＤ．因为ＣＥ＝ＡＣ，所以ＡＣ＝ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＣ＝ ＡＤ＝３．根据勾股定理，得ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝５．所以四边形 ＢＣＥＤ的周长为：２（ＢＣ＋ＢＤ）＝１６． １６．因为矩形 ＡＢＣＤ≌ 矩形 ＡＥＦＧ，所以 ＡＢ＝ＡＥ＝１， ∠ＤＡＢ＝∠ＦＥＡ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝２．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＢＥ＋∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＦ＝１８０°－∠ＦＥＡ＝ ９０°．所以∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ．所以ＥＨ＝ＤＨ．在Ｒｔ△ＡＥＨ中，根 据勾股定理，得ＥＨ２＋ＡＥ２＝ＡＨ２，即（２－ＡＨ）２＋１２＝ＡＨ２．解 得ＡＨ＝ ５４． １７．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以ＡＤ ⊥ ＢＣ，∠ＣＡＤ ＝ １２∠ＢＡＣ．所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ＡＮ为 △ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线，所以 ∠ＣＡＮ＝ １２∠ＣＡＭ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＮ＝９０°．因为ＣＥ⊥ＡＮ，所以∠ＡＥＣ＝ ９０°．所以四边形ＡＤＣＥ是矩形． （２）四边形ＡＢＤＥ是平行四边形．证明如下： 由（１）知，四边形ＡＤＣＥ是矩形．所以ＡＥ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＤＥ． 又因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，所以ＡＢ＝ＤＥ，ＡＥ＝ＢＤ．所以四边 形ＡＢＤＥ是平行四边形． （３）ＤＦ∥ＡＢ，ＤＦ＝ １２ＡＢ． 附加题 　（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ａ＝ ∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ．由折叠的性质，得ＡＢ＝ ＰＤ，∠Ａ＝∠Ｐ＝９０°，∠Ｂ＝∠ＰＤＦ＝９０°．所以 ＰＤ＝ＣＤ， ∠ＰＤＦ＝∠ＡＤＣ，∠Ｐ＝∠Ｃ．所以∠ＰＤＦ－∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－ ∠ＡＤＦ，即∠ＰＤＥ＝∠ＣＤＦ．所以△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ）． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＦ＝∠ＥＧＢ ＝９０°．所以四边形ＡＢＧＥ和四边形ＥＧＣＤ都是矩形．所以ＡＥ＝ ＢＧ，ＤＥ＝ＣＧ，ＥＧ＝ＣＤ＝４．在Ｒｔ△ＥＧＦ中，由勾股定理，得ＦＧ ＝ ＥＦ２－ＥＧ槡 ２ ＝３．由（１），得 △ＰＤＥ≌ △ＣＤＦ．所以 ＰＥ＝ ＣＦ，ＤＥ＝ＤＦ＝ＣＧ＝ＣＦ＋３．由折叠的性质，得ＡＥ＝ＰＥ．在 Ｒｔ△ＣＤＦ中，由勾股定理，得ＣＤ２＋ＣＦ２ ＝ＤＦ２，即ＣＦ２＋４２ ＝ （ＣＦ＋３）２．解得ＣＦ＝ ７６．所以ＢＣ＝２ＣＦ＋ＦＧ＝ １６ ３                                                         ． —４— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第３６～３９期