第40期 菱形的性质-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 １４．（１）因为四边 形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠Ｆ＝ ∠ＢＣＥ．因为Ｅ是ＡＢ的 中点，所以ＡＥ＝ＥＢ．由 对顶角相等，得 ∠ＡＥＦ ＝∠ＢＥＣ．所以 △ＡＥＦ ≌△ＢＥＣ（ＡＡＳ）． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ ＝９０°．因为∠Ｆ＝３０°， 所以ＣＦ＝２ＣＤ＝８． １５．（１）因为四边 形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，所以ＡＥ∥ＢＣ．又因 为ＣＥ∥ ＢＤ，所以四边 形 ＢＣＥＤ是平行四边 形．所以ＣＥ＝ＢＤ．因为 ＣＥ＝ＡＣ，所以 ＡＣ＝ ＢＤ．所以四边形 ＡＢＣＤ 是矩形． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是 矩 形，所 以 ∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＣ＝ＡＤ ＝３．根据勾股定理，得 ＢＤ ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ ５．所以四边形ＢＣＥＤ的 周长为：２（ＢＣ＋ＢＤ）＝ １６． １６．因为矩形ＡＢＣＤ ≌矩形 ＡＥＦＧ，所以 ＡＢ ＝ＡＥ ＝１，∠ＤＡＢ ＝ ∠ＦＥＡ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ ＝２．所以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＡＥＢ，∠ＡＢＥ＋∠ＡＤＢ ＝９０°，∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＦ ＝１８０°－∠ＦＥＡ＝９０°． 所以∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ． 所以 ＥＨ ＝ ＤＨ． 在 Ｒｔ△ＡＥＨ中，根据勾股 定理，得 ＥＨ２ ＋ＡＥ２ ＝ ＡＨ２，即（２－ＡＨ）２＋１２ ＝ＡＨ２．解得ＡＨ＝ ５４． １７．（１）因为ＡＢ＝ ＡＣ，ＡＤ是 △ＡＢＣ的角 平分线，所以ＡＤ⊥ＢＣ， ∠ＣＡＤ＝ １２∠ＢＡＣ．所 以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ＡＮ 为 △ＡＢＣ 外 角 书 菱形以特殊的对称美 而受到人们的喜爱，在生 产、生活中都有着广泛的应 用．下面让我们一起赏析它 的应用吧！ 例１　如图１所示的木 制活动衣帽架是由三个全 等的菱形构成，根据实际需 要可以调节 ＡＥ之间的距 离．若 ＡＥ之间的距离调节 到６０ｃｍ，菱形的边长ＡＢ＝ ２０ｃｍ，则∠ＤＡＢ的度数是 （　　） Ａ．９０°　　　Ｂ．１００°　　　Ｃ．１２０°　　Ｄ．１５０° 分析：连接 ＡＥ，根据全等图形的性质可得 ＡＣ＝ ２０ｃｍ，根据菱形的性质和等边三角形的判定可得 △ＡＢＣ是等边三角形，再根据等边三角形和菱形的性质 即可求解． 解：连接ＡＥ，如图 １．因为 ＡＥ之间的距离调节到 ６０ｃｍ，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，所 以ＡＣ＝２０ｃｍ．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ ＝２０ｃｍ，∠ＤＡＢ＝２∠ＢＡＣ．所以ＡＣ＝ＡＢ＝ＢＣ．所以 △ＡＢＣ是等边三角形．所以 ∠ＢＡＣ＝６０°．所以 ∠ＤＡＢ ＝１２０°． 故选Ｃ． 例２　蜜蜂采蜜时，蜜源 很远它就会跳起“８字舞”，告 诉同伴蜜源的方向．如图 ２， 两个全等菱形的边长为１厘 米，一只蜜蜂由Ａ点开始按Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→ Ｃ→Ｇ→Ａ的顺序沿菱形的边循环运动，飞行７５２厘米 后停下，则这只蜜蜂停在 点． 分析：根据菱形的性质可得出蜜蜂飞行一周的路程 为８厘米，用７５２除以８，再确定停靠的点即可． 解：因为两个全等菱形的边长为１厘米，所以蜜蜂 沿菱形的边飞行一个“８字舞”的路程为：８×１＝８（厘 米）．因为７５２÷８＝９４，所以这只蜜蜂飞行７５２厘米后 停下的点与飞行８厘米后停下的点相同．由图可知，飞 行８厘米后停在Ａ点．所以这只蜜蜂飞行７５２厘米后停 在Ａ点． 故填Ａ． 例３　学校植物园沿路护栏的纹饰部分设计成若 干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增 加ｄｃｍ，如图３，已知每个菱形图案的边长为 槡１０３ｃｍ，其 中一个内角为６０°．若ｄ＝２６，该纹饰要用２３１个菱形图 案，则纹饰的长度ｌ＝ ｃｍ． 分析：根据菱形的性质求得菱形对角线ＢＤ的长，结 合图形发现ｌ＝菱形对角线ＢＤ的长 ＋（２３１－１）ｄ． 解：连接 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，如图 ３．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＢＣ＝６０°，所以ＢＤ＝２ＢＯ，ＡＣ⊥ＢＤ， ∠ＡＢＯ＝３０°．所以∠ＡＯＢ＝９０°．因为ＡＢ＝ 槡１０３ｃｍ， 所以ＡＯ＝ １２ＡＢ＝ 槡５３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＢＯ＝ ＡＢ２－ＡＯ槡 ２ ＝１５ｃｍ．所以 ＢＤ ＝３０ｃｍ．所以 ｌ＝ ３０＋２６×（２３１－１）＝６０１０（ｃｍ）． 故填６０１０． 书 辅助线是在几何学中用来帮助解答疑难几何图形 问题，在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线 或者线段．通过添加适当的辅助线，可以将条件中隐含 的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推 论，从而达到推导出结论的目的． 例１　如图１，在菱形ＡＢＣＤ中， ∠ＢＡＤ＝８０°，ＡＢ的垂直平分线交 对角线ＡＣ于点Ｆ，垂足为点Ｅ，连接 ＤＦ，则∠ＤＦＥ的度数为 （　　） Ａ．１５０° Ｂ．１４０° Ｃ．１３０° Ｄ．１２０° 解：连接 ＢＦ，如图 １．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形， ∠ＢＡＤ＝８０°，所以∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ＝１２∠ＢＡＤ＝４０°， ＡＢ＝ＡＤ．因为ＥＦ是线段ＡＢ的垂直平分线，所以ＡＦ＝ ＢＦ，∠ＡＥＦ＝９０°．所以 ∠ＡＢＦ＝∠ＢＡＦ＝４０°，∠ＡＦＥ ＝５０°．所以∠ＡＦＢ＝１８０°－∠ＢＡＦ－∠ＡＢＦ＝１００°．在 △ＡＤＦ和△ＡＢＦ中，ＡＤ＝ＡＢ，∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＦ，ＡＦ＝ ＡＦ，所以△ＡＤＦ≌△ＡＢＦ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＦＤ＝∠ＡＦＢ ＝１００°．所以∠ＤＦＥ＝∠ＡＦＤ＋∠ＡＦＥ＝１５０°． 故选Ａ． 例２　如图２，在菱形ＡＢＣＤ 中，∠ＡＤＣ＝１２０°，点Ｅ关于∠Ａ 的平分线的对称点为 Ｆ，点 Ｆ关 于∠Ｂ的平分线的对称点为 Ｇ， 连接ＥＧ．若ＡＥ＝１，ＡＢ＝４，则 ＥＧ的长为 ． 解：连接ＥＦ，ＦＧ，过点Ｂ作ＢＨ⊥ＦＧ于点Ｈ，如图２． 因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＤＣ＝１２０°，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＡＢＣ＝１２０°．所以∠Ａ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝６０°．因 为点Ｅ关于∠Ａ的平分线的对称点为Ｆ，点Ｆ关于∠Ｂ的 平分线的对称点为Ｇ，所以ＡＥ＝ＡＦ＝１，ＢＦ＝ＢＧ．所以 △ＡＥＦ是等边三角形，ＦＨ＝ＧＨ，∠ＧＦＢ＝ １２（１８０°－ ∠ＦＢＧ）＝３０°．所以ＥＦ＝１，∠ＡＦＥ＝６０°．所以∠ＥＦＧ ＝１８０°－∠ＡＦＥ－∠ＧＦＢ＝９０°．因为ＢＦ＝ＡＢ－ＡＦ＝ ３，所以 ＢＨ ＝ １２ＢＦ＝ ３ ２．根据勾股定理，得 ＦＨ ＝ ＢＦ２－ＢＨ槡 ２ ＝ 槡３３２．所以ＦＧ＝２ＦＨ＝ 槡３３．根据勾股 定理，得ＥＧ＝ ＥＦ２＋ＦＧ槡 ２ ＝ 槡２７． 故填 槡２７． 书 将两种特殊的四边形 融合为一体考查平行四边 形及特殊平行四边形的性 质与判定，这是常见的一种 题型．解决这类问题的关键 在于熟练掌握和运用各种 特殊四边形的性质和判定， 下面举例予以说明． 例 １　 如图 １，矩形 ＥＦＧＨ的顶点 Ｅ，Ｇ分别在 菱形ＡＢＣＤ的ＡＤ，ＢＣ边上， 顶点 Ｆ，Ｈ在菱形 ＡＢＣＤ的 对角线ＢＤ上． （１）求证：ＢＧ＝ＤＥ； （２）若Ｅ为ＡＤ的中点，ＦＨ＝２，求菱形ＡＢＣＤ的周长． 解：（１）因为四边形ＥＦＧＨ是矩形，所以ＥＨ＝ＦＧ， ＥＨ∥ＦＧ．所以∠ＧＦＨ＝∠ＥＨＦ．所以１８０°－∠ＧＦＨ＝ １８０°－∠ＥＨＦ，即∠ＢＦＧ＝∠ＤＨＥ．因为四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＧＢＦ＝∠ＥＤＨ．所以 △ＢＧＦ≌△ＤＥＨ（ＡＡＳ）．所以ＢＧ＝ＤＥ． （２）连接ＥＧ，如图１．因为Ｅ为ＡＤ的中点，所以ＡＥ ＝ＥＤ．因为ＢＧ＝ＤＥ，所以ＡＥ＝ＢＧ．又因为ＡＥ∥ＢＧ， 所以四边形ＡＢＧＥ是平行四边形．所以ＡＢ＝ＥＧ．因为四 边形ＥＦＧＨ是矩形，ＦＨ＝２，所以ＥＧ＝ＦＨ＝２．所以ＡＢ ＝２．所以菱形ＡＢＣＤ的周长为８． 例 ２　 如图 ２，四边形 ＡＢＣＤ是矩形，Ｇ是对角线ＢＤ 的中点，连接 ＧＣ并延长至点 Ｆ，使得ＣＦ＝ＧＣ，以ＤＣ，ＣＦ为 邻边作菱形ＤＣＦＥ，连接ＣＥ． （１）判断四边形ＣＥＤＧ的形状，并证明你的结论； （２）连接ＤＦ，若ＢＣ＝槡３，求ＤＦ的长． 解：（１）四边形ＣＥＤＧ是菱形．证明如下： 因为四边形 ＤＣＦＥ是菱形，所以 ＣＦ＝ＤＥ，ＣＦ∥ ＤＥ．因为ＣＦ＝ＧＣ，所以ＤＥ＝ＧＣ．所以四边形ＣＥＤＧ是 平行四边形．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，Ｇ是对角线ＢＤ的 中点，所以ＧＢ＝ＧＣ＝ＧＤ．所以四边形ＣＥＤＧ是菱形． （２）因为四边形ＤＣＦＥ是菱形，所以ＣＤ＝ＣＦ．因为 ＣＦ＝ＧＣ，所以ＧＣ＝ＧＤ＝ＣＤ＝ＧＢ．所以△ＣＤＧ是等 边三角形．所以 ∠ＣＧＤ＝∠ＧＣＤ＝６０°．所以１８０°－ ∠ＣＧＤ＝１８０°－∠ＧＣＤ，即∠ＢＧＣ＝∠ＦＣＤ．在△ＢＧＣ 和△ＦＣＤ中，因为 ＢＧ＝ＦＣ，∠ＢＧＣ＝∠ＦＣＤ，ＣＧ＝ ＤＣ，所以△ＢＧＣ≌△ＦＣＤ（ＳＡＳ）．所以ＤＦ＝ＢＣ＝槡３． 书 上期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（矩形） １９．３．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．１１０． ４．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ， ∠Ｂ＝９０°．所以∠ＤＡＦ＝∠ＡＥＢ．因为ＤＦ⊥ＡＥ，所以 ∠ＡＦＤ＝９０°＝∠Ｂ．又因为 ＤＡ＝ＡＥ，所以 △ＤＦＡ≌ △ＡＢＥ．所以ＤＦ＝ＡＢ． （２）因为ＡＢ＝４，所以ＤＦ＝４．因为四边形ＡＢＣＤ 是矩形，所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ∠ＦＤＣ＝３０°，所以 ∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－∠ＦＤＣ＝６０°．所以∠ＤＡＦ＝９０°－ ∠ＡＤＦ＝３０°．所以ＡＤ＝２ＤＦ＝８． 能力提高　５．槡４３． ６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＢ∥ＣＤ．所 以∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ． 又因为ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ．所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）连接ＯＢ，图略．因为△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ，所以ＯＡ ＝ＯＣ，即Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线的交点．所以ＯＡ＝ＯＢ． 所以∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＯ．因为ＢＥ＝ＢＦ，ＯＥ＝ＯＦ，所以ＢＯ ⊥ ＥＦ．在 Ｒｔ△ＢＥＯ中，∠ＢＥＦ＋∠ＡＢＯ ＝９０°．因为 ∠ＢＥＦ＝２∠ＢＡＣ，所以２∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°．解得 ∠ＢＡＣ＝３０°．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝ ９０°．因为ＢＣ＝２，所以ＡＣ＝２ＢＣ＝４．根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３． １９．３．１．２直角三角形斜边上的中线 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１３２． ５．连接ＣＥ，图略． （１）因为ＣＤ＝ＣＢ，Ｅ为ＢＤ的中点，所以ＣＥ⊥ＢＤ． 所以 ∠ＡＥＣ＝９０°．因为 Ｆ为 ＡＣ的中点，所以 ＥＦ＝ １ ２ＡＣ＝１． （２）ＢＣ＝ＡＭ＋ＤＭ．理由如下： 因为∠ＢＡＣ＝４５°，所以∠ＡＣＥ＝９０°－∠ＢＡＣ＝ ４５°．所以ＡＥ＝ＣＥ．因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ垂直平 分 ＡＣ．所以ＡＭ＝ＣＭ．所以ＢＣ＝ＣＤ＝ＣＭ＋ＤＭ＝ＡＭ ＋ＤＭ． １９．３．１．３矩形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ； ３．答案不惟一，如ＤＥ＝ＦＧ；　４．１３． ５．因为ＢＥ∥ＤＦ，所以∠ＤＦＣ＝∠ＡＥＢ．所以１８０° －∠ＤＦＣ＝１８０°－∠ＡＥＢ，即∠ＤＦＡ＝∠ＢＥＣ．因为ＤＦ ＝ＢＥ，ＡＦ＝ＣＥ，所以△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ．所以∠ＤＡＣ＝ ∠ＢＣＡ，ＡＤ＝ＣＢ．所以ＡＤ∥ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是平 行四边形．又因为∠ＢＡＤ＝９０°，所以四边形ＡＢＣＤ是矩 形． 能力提高　６．４． ７．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°．因为 ∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°．所以四 边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）根据折叠的性质，得∠ＢＧＥ＝∠Ａ＝９０°，ＢＧ＝ ＡＢ＝６，ＡＥ＝ＧＥ．所以∠ＥＧＦ＝１８０°－∠ＢＧＥ＝９０°． 因为Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ＤＥ．所以ＤＥ＝ＧＥ．因 为ＥＦ＝ＥＦ，所以Ｒｔ△ＤＥＦ≌Ｒｔ△ＧＥＦ（ＨＬ）．所以ＤＦ ＝ＧＦ．所以ＢＦ＝ＢＧ＋ＧＦ＝６＋ＤＦ．因为四边形ＡＢＣＤ 是矩形，所以ＣＤ＝ＡＢ＝６．在Ｒｔ△ＢＣＥ中，根据勾股定 理，得 ＢＣ２＋ＣＦ２ ＝ＢＦ２，即 ８２＋（６－ＤＦ）２ ＝（６＋ ＤＦ）２．解得ＤＦ＝ ８３． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３５°；　１０．４５；　１１．６；　１２．７２． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ ＡＤ＝８．因为ＡＢ＝６，ＡＣ＝１０，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２． 所以∠Ｂ＝９０°．所以平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． 书 动点问题是以几何知识和图形为背景，渗入运动变 化观点的一类问题．解决动点问题，有利于发展同学们的 思维，对提高同学们的解题能力也大有益处．这类问题是 通过仔细观察图形，分析、归纳与探究图形的变化规律， 抓住图形运动变化中的不变量和变化规律求解的．现将 与菱形有关的动点问题列举如下，供同学们参考． 例１　如图１，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ＢＣ，ＢＣ ＝１０， ∠ＢＣＤ＝６０°，两顶点 Ｂ，Ｄ分别 在平面直角坐标系的ｙ轴、ｘ轴的 正半轴上滑动，连接ＯＡ，则ＯＡ的 最小值是 ． 分析：推断出 ＯＡ的长最小 时的情况，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形” 判定四边形ＡＢＣＤ是菱形，运用菱形的性质以及等边三 角形的性质可求出ＯＡ的长． 解：过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，连接ＯＥ，如图１．当点 Ａ，Ｏ，Ｅ在同一条直线上时，ＯＡ最短．因为四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，ＡＢ＝ＢＣ，所以四边形 ＡＢＣＤ是菱形．因 为ＢＣ＝１０，∠ＢＣＤ＝６０°，所以ＡＢ＝ＡＤ＝１０，∠ＢＡＤ＝ ６０°．所以△ＡＢＤ是等边三角形．所以ＢＤ＝１０．所以ＤＥ ＝ １２ＢＤ＝５．根据勾股定理，得ＡＥ＝ ＡＤ ２－ＤＥ槡 ２ ＝ 槡５３．因为∠ＢＯＤ＝９０°，ＢＤ＝１０，所以ＥＯ＝５．所以ＯＡ 的最小值为：ＯＡ＝ＡＥ－ＥＯ＝ 槡５３－５． 故填 槡５３－５． 例２　如图２，点 Ｐ，Ｑ分别 是菱形 ＡＢＣＤ的 ＡＤ，ＢＣ边上的 两个动点．若线段 ＰＱ长的最大 值为 槡８５，最小值为 ８，则菱形 ＡＢＣＤ的边长为 （　　） 槡Ａ．４６　　　Ｂ．１０　　　Ｃ．１２　　　Ｄ．１６ 分析：连接ＡＣ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ，交ＣＢ的延长线于 点Ｅ，由题意可知当点Ｐ与点Ａ重合，点Ｑ与点Ｃ重合时， ＰＱ有最大值，即ＡＣ＝ 槡８５，当ＰＱ⊥ＢＣ时，ＰＱ有最小值， 即直线ＡＤ与直线ＢＣ之间的距离为８，由“平行线间的距 离处处相等”得ＡＥ＝８，再由勾股定理即可求解． 解：连接ＡＣ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ，交ＣＢ的延长线于 点Ｅ，如图２．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ． 因为线段ＰＱ长的最大值为 槡８５，最小值为８，所以ＡＣ＝ 槡８５，ＡＥ＝８．根据勾股定理，得 ＣＥ＝ ＡＣ ２－ＡＥ槡 ２ ＝ １６．在 Ｒｔ△ＡＥＢ中，ＡＢ２ ＝ＢＥ２＋ＡＥ２，即 ＢＣ２ ＝（１６－ ＢＣ）２＋６４．解得ＢＣ＝１０． 故选Ｂ． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ % & ' ! ! " !" #$% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 一、菱形的四条边都相等 例１　如图１，在菱形ＡＢＣＤ 中，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＤ，ＢＤ的中点． 若ＥＦ＝５，则菱形ＡＢＣＤ的周长 为 （　　） Ａ．２０ Ｂ．３０ Ｃ．４０ Ｄ．５０ 分析：由三角形中位线定理可求得ＡＢ＝１０，由菱形 的性质即可得解． 解：因为Ｅ，Ｆ分别是 ＡＤ，ＢＤ的中点，ＥＦ＝５，所以 ＡＢ＝２ＥＦ＝１０．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝１０．所以菱形ＡＢＣＤ的周长为：ＡＢ＋ＢＣ ＋ＣＤ＋ＡＤ＝４０．故选Ｃ． 二、菱形的对角线互相垂直 例２　如图２，在菱形ＡＢＣＤ 中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，Ｈ 为ＢＣ的中点，ＡＣ＝６，ＢＤ＝８， 则线段ＯＨ的长为 （　　） Ａ．１２５ Ｂ． ５ ２ Ｃ．３ Ｄ．５ 分析：先根据菱形的性质得出 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝４，ＯＣ＝ １ ２ＡＣ＝３，再利用勾股定理计算出ＢＣ， 最后根据直角三角形斜边上中线的性质得到ＯＨ的长． 解：因为四边形ＡＢＣＤ为菱形，ＡＣ＝６，ＢＤ＝８，所以 ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＣ＝１２ＡＣ＝３，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝４．所以∠ＢＯＣ ＝９０°．根据勾股定理，得ＢＣ＝ ＯＢ２＋ＯＣ槡 ２ ＝５．因为 Ｈ为ＢＣ的中点，所以ＯＨ＝ １２ＢＣ＝ ５ ２．故选Ｂ． 三、菱形的每一条对角线平分一组对角 例３　如图３，在菱形ＡＢＣＤ 中，∠ＡＣＤ＝４０°，则 ∠ＡＢＣ＝ °． 分析：由菱形的性质得出 ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＢＣＤ＝２∠ＡＣＤ＝ ８０°，最后根据 ∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＤ ＝１８０°即可得出答案． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＣＤ＝４０°，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＢＣＤ ＝２∠ＡＣＤ ＝８０°．所以 ∠ＡＢＣ ＝ １８０°－∠ＢＣＤ＝１００°．故填１００． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! # ! ( % $ ' ! " ! % ) ' # * ! ! # ! % ' ! # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # ! ( % $ ' ! " + ! # * ( $ % ' ! ! ( $ % ! + # ' ! ! "$%# &'()'(*+',)'- ./012!"#$%&'()*+,-./01 23456789:;<=>*?@% 34562AB#$*C9DE$FG $<HI*JK% " 7 8 9 : " ;< =>? " @A B C ! + # ( * % $ ' ! " ! ! !"#$ ! " #! !!"# " $"% !" !&!'&('!( DEF.GHIJKL,!"-M #$ N !"#$%&'" ()*+,-'. $ ! # % ' ! " ( $ % ! # + ' ! ! , " - ! % ' ) # )&! ! # ,OP "Q(RES- ,OP "Q# RES- ,TU (RVWXY- . % $ ! ) ' # / ! " " Z < [ \ ;<]^_.`a ;<]_bcIdefgh FijklmnR ko2pqr stuvwxnRyz2*+ "(,&-&-.,/- "#$% %&'()*!"+ )*+,-./0 1 23-.456789/ &#'",'!-"!)0 23:;456789/ &#'",'!-""$% #{j!|!R #}‚nR #lmƒ„…2&#'",'!-"!') #{j†‡2;<ˆ‰Š‹ŒŽ‘ !&! z?’j_“FijkDEF.lmƒ #”•l–2&#&&&) #‹—ƒ˜j™š2&#'"&'!-"!)$ "''#))#)00-,›œz- #˜ž2Ÿ {j‹—ƒ‡¡¢£s¤¥”¦,§- #”•˜ž™š2"""0' #¨©ª«˜(¬˜­®˜ # { j ¯ £ s ¤ ˆ,‹-L b ° ± ² j # { j ³ ; < ‚ ‡ ´ µ ¶ · ¸ ¹,‰ Š ‹ º » ¼ Ž ½ ¾ ¿-À ´ Q Á ¶ ´ Â Ã Ä Å Æ Q Ÿ   { j ‹ — ƒ ‡ ¡ Ç È 书 ∠ＣＡＭ的平分线，所以 ∠ＣＡＮ＝ １２∠ＣＡＭ．所 以 ∠ＤＡＥ ＝∠ＣＡＤ＋ ∠ＣＡＮ＝９０°．因为 ＣＥ ⊥ ＡＮ，所以 ∠ＡＥＣ＝ ９０°．所以四边形 ＡＤＣＥ 是矩形． （２）四边形 ＡＢＤＥ 是平行四边形．证明如 下： 由（１）知，四边形 ＡＤＣＥ是矩形．所以 ＡＥ ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＤＥ．又因 为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ， 所以 ＡＢ ＝ＤＥ，ＡＥ ＝ ＢＤ．所以四边形 ＡＢＤＥ 是平行四边形． （３）ＤＦ∥ ＡＢ，ＤＦ ＝ １２ＡＢ． 附加题　（１）因为 四边形 ＡＢＣＤ是矩形， 所以 ∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝ ∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ ＣＤ．由折叠的性质，得 ＡＢ＝ＰＤ，∠Ａ＝∠Ｐ＝ ９０°，∠Ｂ ＝ ∠ＰＤＦ ＝ ９０°．所以 ＰＤ ＝ＣＤ， ∠ＰＤＦ ＝ ∠ＡＤＣ，∠Ｐ ＝∠Ｃ．所以 ∠ＰＤＦ－ ∠ＡＤＦ ＝ ∠ＡＤＣ － ∠ＡＤＦ，即 ∠ＰＤＥ ＝ ∠ＣＤＦ．所以 △ＰＤＥ≌ △ＣＤＦ（ＡＳＡ）． （２）过点 Ｅ作 ＥＧ ⊥ＢＣ于点 Ｇ，图略．所 以 ∠ＥＧＦ＝∠ＥＧＢ＝ ９０°．所以四边形 ＡＢＧＥ 和四边形ＥＧＣＤ都是矩 形．所以 ＡＥ＝ＢＧ，ＤＥ ＝ＣＧ，ＥＧ＝ＣＤ＝４．在 Ｒｔ△ＥＧＦ中，由勾股定 理， 得 ＦＧ ＝ ＥＦ２－ＥＧ槡 ２ ＝３．由 （１）， 得 △ＰＤＥ ≌ △ＣＤＦ．所以ＰＥ＝ＣＦ， ＤＥ＝ＤＦ＝ＣＧ＝ＣＦ＋ ３．由折叠的性质，得 ＡＥ ＝ＰＥ．在 Ｒｔ△ＣＤＦ中， 由勾股定理，得 ＣＤ２ ＋ ＣＦ２ ＝ＤＦ２，即ＣＦ２＋４２ ＝（ＣＦ＋３）２．解得 ＣＦ ＝７６．所以ＢＣ＝２ＣＦ＋ ＦＧ＝１６３． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 （　　） Ａ．对角线互相垂直 Ｂ．对边相等 Ｃ．对角相等 Ｄ．对角线相等 ２．在菱形ＡＢＣＤ中，与ＡＣ互相垂直的线段是 （　　） Ａ．ＢＣ Ｂ．ＢＡ Ｃ．ＢＤ Ｄ．ＣＤ ３．如图１，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，点Ｅ为ＣＤ的中点．若ＯＥ＝３，则菱形ＡＢＣＤ的周长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．１２ Ｃ．２４ Ｄ．４８ ４．如图２，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝６， 将线段ＡＢ水平向右平移ａ个单位长度得到线段ＥＦ．若 四边形ＥＣＤＦ为菱形时，ａ的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．如图３，在平面直角坐标系中，菱 形ＡＢＣＤ的顶点Ｄ在ｘ轴上，ＢＣ边在ｙ 轴上．若点Ａ的坐标是（１２，１３），则点 Ｃ 的坐标是 （　　） Ａ．（０，－８） 　　Ｂ．（０，－５） Ｃ．（－５，０） 　　Ｄ．（０，－６） ６．下列是４位同学所画的菱形，依据所标数据，不一 定为菱形的是 （　　） ７．如图４，在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ＝６０°，ＢＥ⊥ＡＢ， ＤＦ⊥ＣＤ，垂足分别为Ｂ，Ｄ．若ＡＢ＝９ｃｍ，则ＥＦ的长是 （　　） Ａ．２ｃｍ Ｂ．６ｃｍ 槡Ｃ．３３ｃｍ Ｄ．槡 ９３ ２ ｃｍ ８．如图５，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ为ＡＣ边上 的中线，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，过点Ａ作ＢＤ的平行 线，交ＣＥ的延长线于点Ｆ，在ＡＦ的延长线上截取ＦＧ＝ ＢＤ，连接 ＢＧ，ＤＦ．若 ＣＦ＝６，ＡＣ＝ＡＦ＋２，则四边形 ＢＤＦＧ的周长为 （　　） Ａ．９．５ Ｂ．１０ Ｃ．１２．５ Ｄ．２０ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图６，四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＣＤ＝３０°，则 ∠ＢＡＤ＝ ． １０．如图７，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＤ，垂足为Ｏ， ＡＢ∥ＣＤ，要使四边形 ＡＢＣＤ为菱形，应添加的条件是 （只需写出一个条件即可）． １１．如图８，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ的长度 分别为 １６和 １２，且交于点 Ｏ，则 △ＡＯＢ的面积为 ． １２．如图９，ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线，过点Ｄ分别作 ＡＣ，ＢＣ的平行线，交ＢＣ于点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ．若∠ＡＣＢ ＝６０°，ＣＤ＝ 槡４３，则四边形ＣＥＤＦ的周长是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图１０，在菱形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＡＢ边上一 点，过点Ｅ作ＥＦ∥ＢＣ，交ＢＤ于点Ｍ，交ＣＤ于点Ｆ．求 证：ＣＦ＝ＥＭ． １４．（８分）如图１１，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢＣＤ的 ＢＣ， ＣＤ边上，ＢＥ＝ＤＦ，∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ．求证：四边形ＡＢＣＤ 是菱形． １５．（１０分）如图１２，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ， ＡＣ平分∠ＤＡＢ，ＡＢ＝２ＣＤ，Ｅ为ＡＢ的中点，连接ＣＥ． （１）求证：四边形ＡＥＣＤ是菱形； （２）若∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，求△ＡＢＣ的面积． １６．（１２分）如图１３，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交 于点Ｏ，点Ｅ在线段ＯＢ上，点Ｆ在线段ＯＤ上，且ＤＦ＝ ＢＥ，连接ＡＥ，ＡＦ，ＣＥ，ＣＦ． （１）求证：四边形ＡＥＣＦ是菱形； （２）若ＡＣ＝４，ＢＤ＝８，ＢＥ＝３，试判断△ＡＤＥ的形 状，并说明理由． １７．（１４分）菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，点Ｅ在ＢＣ边 上，点Ｆ在ＣＤ边上． （１）如图１４，若Ｅ是ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ＝６０°，求证： Ｆ是ＣＤ的中点； （２）如图 １５，若 ∠ＥＡＦ＝６０°，∠ＢＡＥ＝２０°，求 ∠ＦＥＣ的度数． （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，点Ｅ在 ＡＢ边上，点Ｆ在ＡＤ的延长线上，且点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对称，过点Ｅ作ＥＧ∥ＡＦ交ＣＤ于点Ｇ，连接ＦＧ，ＤＥ． （１）求证：四边形ＤＥＧＦ是菱形； （２）若ＡＢ＝１０，ＡＦ＝ＢＣ＝８，求四边形ＤＥＧＦ的 面积                                                                                                                                                                 ． 书 １９．３矩形、菱形、正方形（菱形） １９．３．２．１菱形的性质 １．已知四边形ＡＢＣＤ是菱形，其中ＡＢ＝４ｃｍ，则四 边形ＡＢＣＤ的周长是 （　　） 　　　 　　　　 　　　　　 　　　Ａ．５ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１２ｃｍ Ｄ．１６ｃｍ ２．如图１，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，Ｍ 是ＡＢ边的中点，点Ｐ在ＢＣ边上，且ＢＰ＝ＢＭ，将点Ｍ平 移到点Ｐ，则平移的距离为 （　　） Ａ．ＡＢ Ｂ．１２ＡＢ Ｃ．１２ＡＣ Ｄ． １ ２ＢＤ ３．如图２，已知菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ＝５，ＢＤ＝ ８，则菱形ＡＢＣＤ的面积为 ． ４．如图３，在菱形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ 与ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＢ的垂直平分线 ＥＦ交ＡＣ于点Ｆ，连接ＤＦ．若∠ＢＡＤ ＝ ７０°， 则 ∠ＤＦＯ 的 度 数 为 ． ５．如图４，在菱形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于 点Ｏ，过点Ｄ作对角线 ＢＤ的垂线交 ＢＡ的延长线于点 Ｅ．求证：四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．如图５，点Ｐ是菱形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ上一点， 连接ＣＰ，ＡＰ．求证：ＡＰ＝ＣＰ． ７．如图６，在菱形ＡＢＣＤ中，延长ＢＡ到点Ｅ，使得ＡＥ ＝ＡＢ，连接ＤＥ． （１）求证：△ＢＤＥ为直角三角形； （２）若ＤＥ＝６ｃｍ，求ＯＣ的长． ８．如图７，四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ． （１）若对角线ＡＣ＝８ｃｍ，ＢＤ＝６ｃｍ，求ＤＨ的长； （２）连接ＯＨ，求证：∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． ９．如图８，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５， Ｅ，Ｆ分别在ＢＣ和ＡＤ上．若ＤＦ＝１，ＢＥ ＝３，且此时 ＢＦ＝ＤＥ，则 ＢＦ的长为 ． １９．３．２．２菱形的判定 １．如图１，以Ｏ为圆心，ＯＡ长 为半径画弧分别交ＯＭ，ＯＮ于Ａ，Ｂ 两点，再分别以Ａ，Ｂ为圆心，以ＯＡ 长为半径画弧，两弧交于点 Ｃ，连 接ＡＣ，ＢＣ，则四边形ＯＡＣＢ一定是 （　　） Ａ．平行四边形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．无法确定 ２．要判断一个四边形是否为菱形，可行的测量方 案是 （　　） Ａ．测量两组对边是否相等 Ｂ．测量对角线是否垂直 Ｃ．测量对角线是否互相平分 Ｄ．测量对角线交点到四条边的距离是否相等 ３．如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，点Ｅ，Ｆ分 别是ＡＢ，ＡＣ边的中点，请你在△ＡＢＣ中添加一个条件： ，使得四边形ＡＥＤＦ是菱形． ４．如图３，点Ａ，Ｂ的坐标分别为（０，２），（２，０），点Ｃ 在ｙ轴上，点Ｄ为平面内一点．若四边形ＡＣＤＢ恰好构成 一个菱形，请写出点Ｄ的坐标： ． ５．如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＣ， 若ＡＢ∥ＣＤ，求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形． ６．如图５，在△ＡＢＣ中，ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ交 ＡＣ于点Ｄ，点Ｅ在线段ＢＤ上，点Ｆ在ＢＤ的延长线上， 连接ＡＥ，ＣＥ，ＡＦ，ＣＦ，且ＡＥ∥ＣＦ． （１）求证：四边形ＡＥＣＦ是菱形； （２）若ＢＦ＝ＢＡ，ＡＤ＝４，ＤＦ＝２，求ＢＦ的长． ７．如图６，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，∠ＡＤＢ＝３０°，一 动点Ｐ从Ｂ点出发沿对角线ＢＤ方向以每秒２个单位长 度的速度向点Ｄ匀速运动，同时另一动点Ｑ从Ｄ点出发 沿ＤＣ方向以每秒１个单位长度的速度向点 Ｃ匀速运 动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运 动．设点Ｐ，Ｑ运动的时间为ｔ秒（ｔ＞０）．过点Ｐ作ＰＥ⊥ ＢＣ于点Ｅ，连接ＥＱ，ＰＱ． （１）四边形ＰＥＱＤ能够成为菱形吗？如果能，求出 相应的ｔ值；如果不能，请说明理由． （２）当ｔ为何值时，△ＰＱＥ为直角三角形 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ？ !" ! 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( " # $ % ' ( EKLM/ 书 答案详解 　　　 ２０２４～２０２５学年　初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期　（２０２５年４月）　　　 ４０期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（菱形） １９．３．２．１菱形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２０；　４．７０°． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ．又因为ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（ＳＡＳ）．所以ＡＰ ＝ＣＰ． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．因为 ＡＥ＝ＡＢ，所以 ＡＥ＝ＡＤ．所以 ∠Ｅ＝ ∠ＡＤＥ．所以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＢＤＥ＝∠ＡＤＢ ＋∠ＡＤＥ＝９０°．所以△ＢＤＥ为直角三角形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＥ＝ＡＢ，所以ＯＣ＝ＯＡ＝ １２ＤＥ＝３ｃｍ． ８．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ＝４ｃｍ，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５ｃｍ．因为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＨ， 所以ＤＨ＝ＡＣ·ＢＤ２ＡＢ ＝ ２４ ５ｃｍ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＡＨ＝ ２∠ＯＡＢ．所以ＯＨ＝ＯＢ．所以∠ＯＨＢ＝∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．因为∠ＯＡＢ＝９０°－∠ＯＢＨ，所以 ∠ＤＡＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． 能力提高　９．槡１７． １９．３．２．２菱形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ； ３．答案不惟一，如ＡＢ＝ＡＣ； ４．（２，槡２２）或（２，－ 槡２２）． ５．在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＣ中， ＡＢ＝ＡＤ， ＡＣ＝ＡＣ， ＢＣ＝ＤＣ { ， 所以 △ＡＢＣ≌ △ＡＤＣ（ＳＳＳ）．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以 ＡＢ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． ６．（１）因为 ＡＥ∥ ＣＦ，所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＤ，∠ＡＥＤ＝ ∠ＣＦＤ．因为ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＤ＝ ＣＤ．所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以四边形 ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＢＤ⊥ＡＣ，所以四边形ＡＥＣＦ是菱 形． （２）因为四边形 ＡＥＣＦ是菱形，所以 ＤＥ＝ＤＦ＝２．在 Ｒｔ△ＡＤＢ中，由勾股定理，得 ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，即４２＋（２＋ ＢＥ）２ ＝（４＋ＢＥ）２．解得ＢＥ＝１．所以ＢＦ＝５． 能力提高　７．（１）能．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＰＢＥ＝∠ＡＤＢ＝３０°，ＢＣ⊥ ＣＤ．根据题意，得ＢＰ＝２ｔ，ＤＱ＝ｔ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＰＥ∥ ＣＤ，∠ＢＥＰ＝９０°．所以 ＰＥ＝ １２ＢＰ＝ｔ＝ＤＱ．所以四边形 ＰＥＱＤ是平行四边形．因为ＡＢ＝４，所以ＢＤ＝８．所以ＤＰ＝８ －２ｔ．当ＤＰ＝ＰＥ时，四边形ＰＥＱＤ为菱形．所以８－２ｔ＝ｔ．解 得ｔ＝ ８３． （２）①当∠ＥＰＱ＝９０°时，四边形ＥＰＱＣ为矩形，所以ＰＥ ＝ＱＣ，所以ｔ＝４－ｔ，解得ｔ＝２； ②当∠ＰＱＥ＝９０°时，由（１），得ＰＤ∥ＥＱ，所以∠ＤＰＱ＝ ∠ＰＱＥ＝９０°，在Ｒｔ△ＤＰＱ中，∠ＰＱＤ＝３０°，所以ＤＱ＝２ＤＰ， 所以ｔ＝２（８－２ｔ），解得ｔ＝１６５； ③不存在∠ＰＥＱ＝９０°的情况． 综上所述，当ｔ＝２或１６５时，△ＰＱＥ为直角三角形． ４０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．６０°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ； １１．２４；　１２．１６                                                        ． —１— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＤ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以四边形 ＢＣＦＥ是平行四边形， ∠ＥＭＢ＝∠ＣＢＤ．所以ＢＥ＝ＣＦ，∠ＡＢＤ＝∠ＥＭＢ．所以ＢＥ＝ ＥＭ．所以ＣＦ＝ＥＭ． １４．因为∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ，所以∠ＢＡＦ－∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ －∠ＥＡＦ，即∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，所以 ∠Ｂ ＝∠Ｄ．又因为 ＢＥ ＝ＤＦ，所以 △ＡＢＥ≌ △ＡＤＦ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １５．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＡＢ＝２ＡＥ＝２ＢＥ．因 为ＡＢ＝２ＣＤ，所以ＣＤ＝ＡＥ．因为ＡＥ∥ＣＤ，所以四边形ＡＥＣＤ 是平行四边形．因为ＡＣ平分∠ＤＡＢ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＣ．因 为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＤＣＡ＝∠ＣＡＢ．所以∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，所以 ＡＢ＝４，ＣＥ＝ＡＥ＝２，∠ＡＥＣ＝∠Ｄ＝１２０°．所以ＣＥ＝ＢＥ， ∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝６０°．所以∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＥ＝３０°， △ＣＥＢ是等边三角形．所以ＢＣ＝２，∠ＥＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＢ ＝∠ＡＣＥ ＋∠ＥＣＢ ＝９０°．根据勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ 槡２３． １６．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ ＝ＯＦ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＡＣ⊥ＥＦ，所以 四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）△ＡＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝８，所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝ＯＤ＝４．因为ＢＥ ＝３，所以ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝１，ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝５．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＥ２＝ＯＡ２ ＋ＯＥ２ ＝５，ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２＝２０．所以ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２．所 以△ＡＤＥ是直角三角形． １７．（１）连接ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＣＤ＝１８０°－ ∠Ｂ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三角形．因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以 ＡＥ⊥ＢＣ．所以∠ＡＥＣ＝９０°．因为∠ＡＥＦ＝６０°，所以∠ＦＥＣ＝ ∠ＡＥＣ－∠ＡＥＦ＝３０°．所以∠ＣＦＥ＝１８０°－∠ＦＥＣ－∠ＥＣＦ ＝３０°．所以∠ＦＥＣ＝∠ＣＦＥ．所以ＥＣ＝ＣＦ．因为ＣＥ＝１２ＢＣ， 所以ＣＦ＝ １２ＣＤ，即Ｆ是ＣＤ的中点． （２）连接ＡＣ，图略．由（１），得△ＡＢＣ是等边三角形．所以 ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以 ∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＤ－ ∠ＡＣＢ＝６０°＝∠Ｂ．因为∠ＥＡＦ＝６０°，所以∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ ＝∠ＥＡＦ－∠ＥＡＣ，即 ∠ＢＡＥ ＝∠ＣＡＦ．所以 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ（ＡＳＡ）．所以ＡＥ＝ＡＦ．所以△ＡＥＦ是等边三角形．所以 ∠ＡＥＦ＝６０°．因为 ∠ＡＥＦ＋∠ＦＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ，所以 ∠ＦＥＣ＝２０°． 附加题　（１）因为点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对称，所以ＦＤ ＝ＥＤ，ＦＧ＝ＥＧ，∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＧ．因为ＥＧ∥ＡＦ，所以∠ＥＧＤ ＝∠ＦＤＧ．所以∠ＥＧＤ＝∠ＥＤＧ．所以ＥＧ＝ＥＤ．所以ＦＤ＝ＥＤ ＝ＦＧ＝ＥＧ．所以四边形ＤＥＧＦ是菱形． （２）连接ＦＣ，ＥＣ，图略．因为∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，所以∠Ａ＋ ∠Ｂ＝１８０°．所以ＡＦ∥ ＣＢ．因为 ＡＦ＝ＢＣ＝８，所以四边形 ＡＢＣＦ是平行四边形．所以ＣＦ＝ＡＢ＝１０．根据轴对称的性质， 得ＣＥ＝ＣＦ＝１０．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＣＥ２－ＢＣ槡 ２ ＝６． 所以ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝４．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，根据勾股定理，得ＡＥ２ ＋ＡＤ２ ＝ＤＥ２，即４２＋（８－ＤＦ）２ ＝ＤＦ２．解得 ＤＦ＝５．所以 Ｓ四边形ＤＥＧＦ ＝ＤＦ·ＡＥ＝２０． ４１期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（正方形） １９．３．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ＡＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ．所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（ＳＡＳ）．所以ＣＥ＝ＣＦ．因为点 Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ ＣＤ＝１，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为ＡＥ平 分∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股 定理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＡ＝∠ＥＧＣ ＝９０°．因为ＡＥ平分∠ＣＡＤ，所以ＥＤ＝ＥＧ．因为ＡＥ＝ＡＥ，所 以Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＧＥ（ＨＬ）．所以ＡＤ＝ＡＧ＝１．所以ＣＧ＝ ＡＣ－ＡＧ＝槡２－１．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＣＤ＝ ４５°．所以∠ＣＥＧ＝９０°－∠ＧＣＥ＝４５°．所以ＥＧ＝ＣＧ＝槡２－ １．由勾股定理，得ＣＥ＝ ＥＧ２＋ＣＧ槡 ２ ＝２－槡２． 能力提高　６．槡４２． ７．连接 ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得ＥＦ２＝ＡＦ２＋ＡＥ２ ＝３２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝ ９０°．所以 ∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＡＢ．所以△ＡＤＥ≌△ＡＢＦ（ＳＡＳ）．所以ＤＥ＝ＢＦ＝２，∠                                                                      ＡＥＤ —２— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 ＝∠ＡＦＢ＝４５°．所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ＝９０°．根据勾 股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １９．３．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以ＯＢ＝１．因为 ＡＢ＝槡２，所以ＯＡ ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２．所以∠ＡＯＢ＝９０°．所以ＡＣ⊥ ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＢＥ ⊥ＥＦ，所以 ∠ＢＥＦ＝９０°．因为 ∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以 ∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０° －（∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠ＣＥＢ＋ ∠ＣＢＥ）＝４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．因为 ＡＢ＝ＣＢ，ＢＤ＝ＢＤ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＤＢ ＝∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行 四边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以ＰＭ＝ ＤＭ．所以四边形 ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． ７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四边形．所以 ＡＤ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因 为ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＡＤ∥ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为 ∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，所以 ∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为ＢＣ＝ＣＥ，所以ＦＣ⊥ＢＥ． 所以∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ４１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ 二、９．槡６；　１０．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ； １１． 槡１５２；　１２．８． 三、１３．∠ＥＤＡ的度数是２２．５°． １４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以 ∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．因为ＡＦ＝ＤＥ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形ＡＢＣＤ 是正方形． １５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＝４５°，ＡＤ＝ＢＣ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为 ＡＢ＝ＡＤ＝４，所以 ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ 槡４２＝ＡＣ．所以ＯＡ＝ＯＢ＝ 槡２２．因为ＡＥ＝ ＣＦ＝槡２，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ＯＦ＝槡２．所以四 边形ＢＥＤＦ为菱形，ＤＥ＝ ＯＤ２＋ＯＥ槡 ２ ＝槡１０．所以四边形 ＢＥＤＦ的周长为：４ＤＥ＝ 槡４ １０． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和ＣＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ ＥＦ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ，所以 ＨＧ ＝ ＫＥ ＝ ＡＢ．所 以 △ＡＤＨ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（ＳＡＳ）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ．所 以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ＋ ∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连接ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ＝槡１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理，得 ＫＥ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ＝ ４．所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，四边形 ＥＦＧＨ为菱形， 所以∠Ｄ＝∠Ａ＝９０°，ＨＥ＝ＧＨ．因为ＡＨ＝ＤＧ，所以Ｒｔ△ＡＨＥ ≌Ｒｔ△ＤＧＨ（ＨＬ）．所以∠ＡＥＨ＝∠ＤＨＧ．因为∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ ＝９０°，所以∠ＡＨＥ＋∠ＤＨＧ＝９０°．所以∠ＥＨＧ＝９０°．所以四 边形ＥＦＧＨ为正方形． （２）因为ＡＤ＝６，ＤＣ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以ＤＨ＝ＡＤ－ ＡＨ＝４，ＣＧ ＝ＤＣ－ＤＧ ＝５．由勾股定理，得 ＨＧ ＝ ＤＧ２＋ＤＨ槡 ２ ＝ 槡２５．因为四边形ＥＦＧＨ是正方形，所以ＦＧ＝ 槡２５，∠ＥＦＧ＝９０°．所以∠ＣＦＧ＝１８０°－∠ＥＦＧ＝９０°．由勾股 定理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５． 附加题　（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＣ＝ ９０°．所以 ∠ＥＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°．所以平行四边形 ＢＥＦＧ是矩形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ，图略．因为正方形ＡＢＣＤ和平行四边 形ＢＥＦＧ，所以ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ∥ＧＦ，ＤＣ＝ＢＣ．所以ＤＣ∥ＧＦ． 所以∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ．因为Ｐ是线段ＤＦ的 中点，所以ＤＰ＝ＦＰ．所以△ＤＨＰ≌△ＦＧＰ（ＡＡＳ）．所以ＨＰ＝ ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ．当∠ＣＰＧ＝９０°时，ＰＧ⊥ＰＣ．所以ＣＨ＝ＣＧ．所 以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ－ＣＧ，即ＤＨ＝ＢＧ．所以ＢＧ＝ＦＧ．                                                                      所以平行 —３— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 四边形ＢＥＦＧ是菱形．由（１）知四边形ＢＥＦＧ是矩形．所以四边 形ＢＥＦＧ是正方形． ４２期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ 二、１１．２０；　１２．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ；　１３．３０°； １４．４５°；　１５．槡２２或槡１０或２． 三、１６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ａ＝∠Ｃ， ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．又因为 ∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ，所以 △ＡＤＥ≌ △ＣＢＦ（ＡＳＡ）．所以 ＡＥ＝ＣＦ．所以 ＡＢ－ＡＥ＝ＣＤ－ＣＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ． １７．因为ＣＥ⊥ＢＡ，ＢＦ⊥ＣＡ，所以∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＢ＝９０°． 因为Ｍ是ＢＣ的中点，所以ＥＭ＝１２ＢＣ＝ＢＭ，ＦＭ＝ １ ２ＢＣ＝ ＣＭ．所以∠ＢＥＭ ＝∠ＡＢＣ，∠ＣＦＭ ＝∠ＡＣＢ．所以 ∠ＣＭＥ＝ ∠ＢＥＭ＋∠ＡＢＣ＝５６°，∠ＢＭＦ＝∠ＣＦＭ＋∠ＡＣＢ＝９６°．所以 ∠ＥＭＦ＝１８０°－∠ＣＭＥ－∠ＢＭＦ＝２８°． １８．四边形ＡＤＣＢ是菱形．理由如下： 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＯ．又因为ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，所以△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ．所以ＡＢ＝ＣＤ．所以四 边形ＡＤＣＢ是平行四边形．因为四边形 ＯＤＥＣ是矩形，所以 ∠ＣＯＤ＝９０°．所以ＢＤ⊥ＡＣ．所以四边形ＡＤＣＢ是菱形． １９．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＤ＝ＣＤ，∠ＤＡＥ＝ ∠ＤＣＦ．因为ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°． 所以△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）． （２）因为 △ＡＤＥ≌ △ＣＤＦ，所以 ＡＥ＝ＣＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ．所以 ∠ＭＡＥ＝∠ＮＣＦ．又因为 ∠ＡＥＭ＝∠ＣＦＮ＝９０°，所以△ＡＭＥ≌△ＣＮＦ（ＡＳＡ）．所以ＡＭ ＝ＣＮ． ２０．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°， ＡＢ＝ＣＤ．因为ＡＤ＝２ＡＢ，点Ｍ是ＡＤ的中点，所以ＡＢ＝ＡＭ＝ ＤＭ ＝ＣＤ．所以∠ＡＭＢ＝∠ＤＭＣ＝４５°．所以∠ＢＭＣ＝１８０° －∠ＡＭＢ－∠ＤＭＣ＝９０°．因为 ＰＥ⊥ ＭＣ，ＰＦ⊥ ＢＭ，所以 ∠ＰＥＭ ＝∠ＰＦＭ ＝９０°．所以四边形ＰＥＭＦ为矩形． （２）当点Ｐ为ＢＣ的中点时，矩形ＰＥＭＦ变为正方形．理由 如下： 在△ＡＢＭ和△ＤＣＭ中，因为ＡＢ＝ＤＣ，∠Ａ＝∠Ｄ，ＡＭ＝ ＤＭ，所以△ＡＢＭ≌△ＤＣＭ（ＳＡＳ）．所以ＢＭ＝ＣＭ．因为点Ｐ为 ＢＣ的中点，所以点Ｐ在∠ＢＭＣ的平分线上．所以ＰＥ＝ＰＦ．所 以矩形ＰＥＭＦ为正方形． ２１．问题解决：（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＤＡＢ ＝∠ＡＢＦ＝９０°．所以∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＧ＝９０°．因为ＤＥ⊥ＡＦ， 所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＧ＝９０°．所以∠ＡＤＥ＝ ∠ＢＡＦ．因为ＤＥ＝ＡＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＢＡＦ（ＡＡＳ）．所以ＡＤ＝ ＢＡ．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． （２）△ＡＨＦ是等腰三角形．理由如下： 因为△ＡＤＥ≌△ＢＡＦ，所以ＡＥ＝ＢＦ．因为ＢＨ＝ＡＥ，所以 ＢＨ＝ＢＦ．因为∠ＡＢＦ＝９０°，所以ＡＢ⊥ＨＦ．所以ＡＨ＝ＡＦ，即 △ＡＨＦ是等腰三角形． 类比迁移：延长ＣＢ到点Ｈ，使ＢＨ＝ＡＥ，连接ＡＨ，图略．因 为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ．所以∠ＡＢＨ ＝∠ＤＡＥ．在 △ＤＡＥ和 △ＡＢＨ中，因为 ＡＥ＝ＢＨ，∠ＤＡＥ＝ ∠ＡＢＨ，ＡＤ＝ＢＡ，所以△ＤＡＥ≌△ＡＢＨ（ＳＡＳ）．所以ＡＨ＝ＤＥ， ∠Ｈ＝∠ＤＥＡ＝６０°．因为ＤＥ＝ＡＦ，所以ＡＨ＝ＡＦ．所以△ＡＨＦ 是等边三角形．所以ＡＨ＝ＨＦ．所以ＤＥ＝ＨＦ＝ＢＨ＋ＢＦ＝９． ４３期２版 ２０．１数据的频数分布 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．０．２５；　５．１２． ６．（１）７０，０．１２．　（２）补图略． （３）２０００×（０．０８＋０．２）＝５６０（人）． 答：该校安全意识不强的学生约有５６０人． ２０．２．１数据的集中趋势 ２０．２．１．１平均数 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．５；　４．１４． ５．（１）甲的最终得分是：１４×（９＋８＋７＋５）＝７．２５；乙的 最终得分是： １ ４×（８＋６＋８＋６）＝７；丙的最终得分是： １ ４× （８＋９＋８＋５）＝７．５．因为７＜７．２５＜７．５，所以丙将被录用． （２）学历、经验、能力和态度四项得分按４∶１∶１∶４的比例 确定．甲的最终得分是：（９×４＋８×１＋７×１＋５×４）÷（４＋ １＋１＋４）＝７．１；乙的最终得分是：（８×４＋６×１＋８×１＋６ ×４）÷（４＋１＋１＋４）＝７；丙的最终得分是：（８×４＋９×１＋ ８×１＋５×４）÷（４＋１＋１＋４）＝６．９．因为６．９＜７＜７．１， 所以甲将被录用． ２０．２．１．２中位数和众数 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．５；　５．６． ６．（１）表格从左到右、从上到下依次填入 ９０分、９０分、 １００分． （２）八年级２班的竞赛成绩更优秀．理由如下： 因为八年级１班和八年级２班竞赛成绩的中位数相同，                                                                      但 —４— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 从平均数和众数两方面来分析，２班比１班的成绩好，所以八年 级２班的竞赛成绩更优秀． 能力提高　７．１４６． ４３期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ 二、９．白色；　１０．２１元；　１１．１７；　１２．５． 三、１３．这１０名学生所在家庭平均月使用塑料袋：１１０×（６５ ＋７０＋８５＋７５＋８５＋７９＋７４＋９１＋８１＋９５）＝８０（只）．中位 数是８０只，众数是８５只． １４．（１）甲的最后成绩为：１３×（８４＋９６＋９０）＝９０（分）； 乙的最后成绩为： １ ３×（８９＋９９＋８５）＝９１（分）． 因为９１＞９０，所以乙将获得冠军． （２）甲的最后成绩为：（８４×２＋９６×３＋９０×５）÷（２＋３ ＋５）＝９０．６（分）； 乙的最后成绩为：（８９×２＋９９×３＋８５×５）÷（２＋３＋５） ＝９０（分）． 因为９０．６＞９０，所以甲将获得冠军． １５．（１）频数分布表从上到下依次填入５，７，４．补图略． （２）３６００×５２０＝９００（株）． 答：该大棚每株西红柿上小西红柿的个数在３６≤ ｘ＜４４ 的约有９００株． １６．（１）２０万元，１７万元，２２万元． （２）基本销售额应定为２２万元．理由如下： 本组数据的平均数、众数、中位数这三个量作为基本销售 额都具有合理性，其中中位数２２万元最大，选择中位数作为基 本销售额对公司最有利，付出成本最低；对员工来说，这只是个 中等水平，可以接受．所以基本销售额应定为２２万元． １７．（１）Ｃ等级的同学有５人，成绩（单位：分）分别为７７， ７３，７２，７９，７８．所以３月份体育测试成绩为Ｃ等级的同学的平均 成绩为： １ ５×（７７＋７３＋７２＋７９＋７８）＝７５．８（分）． （２）由表中数据可知，３０名同学中，Ａ等级的有１０人，Ｂ等 级的有１１人，Ｃ等级的有５人，Ｄ等级的有４人．所以强化训练 后该班同学平均成绩所提高的分数为： １ ３０×（０．９×１０＋５×１１ ＋１０×５＋１５×４）＝５．８（分）． 附加题　（１）当ｎ≥１６时，ｙ＝１６×（１０－５）＝８０；当０ ≤ｎ＜１６时，ｙ＝１０ｎ－１６×５＝１０ｎ－８０． 所以当日的利润ｙ关于当日需求量ｎ的函数表达式为ｙ＝ １０ｎ－８０（０≤ｎ＜１６）， ８０（ｎ≥１６）{ ． （２）①１７，１５． ②应购进１７枝．理由如下： 平均日需求量为： １ １００×（１４×１０＋１５×２０＋１６×１６＋１７ ×１６＋１８×１５＋１９×１３＋２０×１０）＝１６．８５（枝）． 若购进１６枝，由（１）知盈利８０元； 若购进１７枝，则盈利为：１０×１７－８０＝９０（元）． 因为８０＜９０，所以应购进１７枝． ４４期２版 ２０．２．２数据的离散程度 基础训练　 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．２； ６．３．６；　７．８７． ８．该班应选择甲参加学校的展示活动．理由如下： 甲的平均成绩为： １ ６×（１２．１＋１２．１＋１２．０＋１１．９＋１１．８ ＋１２．１）＝１２，方差为：１６×［３×（１２．１－１２） ２＋（１２．０－１２）２ ＋（１１．９－１２）２＋（１１．８－１２）２］＝ １７５； 乙的平均成绩为： １ ６×（１２．２＋１２．０＋１１．８＋１２．０＋１２．３ ＋１１．７）＝１２，方差为：１６×［（１２．２－１２） ２＋２×（１２．０－１２）２ ＋（１１．８－１２）２＋（１２．３－１２）２＋（１１．７－１２）２］＝１３３００． 因为１２＝１２，１７５＜ １３ ３００， 所以该班应该选择甲参加学校的展示活动． 能力提高　９．Ａ；　１０．１或６． １１．（１）表格从左到右、从上到下依次填入８５，８５，８０． （２）初中代表队与高中代表队选手决赛成绩的平均数相 同，初中代表队选手决赛成绩的中位数高，故初中代表队的决 赛成绩较好． （３）初中代表队选手决赛成绩的方差为：１５ ×［（７５－ ８５）２＋（８０－８５）２＋２×（８５－８５）２＋（１００－８５）２］＝７０； 高中代表队选手决赛成绩的方差为： １ ５ ×［（７０－８５） ２＋ （７５－８５）２＋（８０－８５）２＋２×（１００－８５）２］＝１６０． 因为７０＜１６０，所以初中代表队选手的成绩较为稳定                                                                      ． —５— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 ４４期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ 二、１１．乙；　１２．５８；　１３．９；　１４．６； １５．１９５或４或 ２１ ５． 三、１６．甲的平均成绩为：８５×７＋９０×３７＋３ ＝８６．５（分）； 乙的平均成绩为： ９２×７＋８２×３ ７＋３ ＝８９（分）． 因为８６．５＜８９，所以乙将被录取． １７．（１）１１，７９，７８．８． （２）１１＋４＝１５（人）．１５＜１８，人数不超． ７９×１１＋５２．３×４＝１０７８．２（ｋｇ）＜１１００ｋｇ，总重不超． 所以这队运动员和这４位女士能一起安全地搭乘这部电 梯． １８．何亮的成绩更稳定．理由如下： 赵明在训练中排球垫球个数的平均数为： １ ５×（２５＋２３＋ ２７＋２９＋２１）＝２５，方差为：１５×［（２５－２５） ２＋（２３－２５）２＋ （２７－２５）２＋（２９－２５）２＋（２１－２５）２］＝８； 何亮在训练中排球垫球个数的平均数为： １ ５×（２４＋２５＋ ２３＋２６＋２７）＝２５，方差为：１５×［（２４－２５） ２＋（２５－２５）２＋ （２３－２５）２＋（２６－２５）２＋（２７－２５）２］＝２． 因为２５＝２５，８＞２，所以何亮的成绩更稳定． １９．（１）８，７２． （２）小明的说法错误．理由如下： 本次调查中平均每周家务劳动时长的中位数是３．５ｈ． 因为小明平均每周家务劳动时长是３．６ｈ，比中位数大，所 以他做家务劳动的时长超过一半的人． （３）本次调查中，获奖的学生有：５０－５－８－１５＝ ２２（名）． １５００×２２５０＝６６０（名） 答：获奖的学生约有６６０名． ２０．（１）ａ＝６，ｂ＝４．７，ｃ＝４．７５． （２）若选择众数４．７ｋｇ，这３００箱大枣共损坏了：３００×（５ －４．７）＝９０（千克）； 若选择平均数或中位数４．７５ｋｇ，这３００箱大枣共损坏了： ３００×（５－４．７５）＝７５（千克）． （３）若选择众数，１０×５×３００÷（３００×５－９０）≈ １０．６４（元），所以至少定价１０．７元才不亏本； 若选择平均数或中位数，１０×５×３００÷（３００×５－７５）≈ １０．５３（元），所以至少定价１０．６元才不亏本． ２１．（１）１４４．乙车间４月份工资为５千元的有：１０－５－２－ １＝２（名）．补图略． （２）由扇形统计图，得甲车间员工工资为４千元、５千元、 ６千元、７千元、８千元的员工分别有１名、２名、４名、２名、１名． 所以甲车间员工的平均工资为： １ １０×（４×１＋５×２＋６× ４＋７×２＋８×１）＝６（千元）， 方差为： １ １０×［（４－６） ２＋２×（５－６）２＋４×（６－６）２＋ ２×（７－６）２＋（８－６）２］＝１．２． 因为１．２＜７．６， 所以甲车间员工的工资收入比较稳定． （３）原来甲车间员工工资的中位数为：６＋６２ ＝６（千元）． 因为甲车间员工工资低于６千元的有３名，不低于６千元的有 ７名，所以新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 以ｎ的最小值为：７－３＝４．所以当这４名员工工资低于６千元， 且是较高工资时，这４名员工的工资和取得最大值．所以这４名 员工的工资分别为４千元、４千元、５千元、５千元．所以这４名员 工的工资和的最大值为：４＋４＋５＋５＝１８（千元）                                                       ． —６— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期