6.2.3 组合（同步教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 6.2.3 组合 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 题型探究 方法归纳 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系； 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明； 3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 解析：从三名学生中选出两名学生，然后将选出的两名学生按照一定的顺序（上午和下午）进行排列，共有 种方法. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲乙、甲丙、乙丙 新知探究 上面两个问题有什么区别？ 答：（1）第一个问题是从已知的3个不同元素中每次取出2个元素 ,按照一定的顺序排成一列。不仅要选出2个元素，而且要对所选出的元素进行按照一定的顺序排列。 （2）第二个问题是从已知的3个不同元素中取出2个元素 ,不需要按照一定的顺序排列. 组合 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 要点归纳： (1)组合的特点:组合要求n个元素是不同的,取出的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性:元素的无序性.取出的m个元素不讲究顺序,即元素没有位置的要求. 概念归纳 相同点：两者都是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素. 思考：排列与组合有什么异同点？ 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的； 两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 排列与顺序有关 组合与顺序无关 校门口停放着9辆共享单车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，则 思考：下列问题是排列问题还是组合问题？ （1）从中选择3辆，有多少种不同的方法？ （2）从中选择3辆给3位同学，有多少种不同的方法？ 组合问题 排列问题 例5 平面内有A，B，C，D共4个点. （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ 解：一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为： 例题讲解 （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 解：由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有：AB、AC、AD、BC、BD、CD六条. 例5 平面内有A，B，C，D共4个点. 例题讲解 1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方； (2) 列出所有冠、亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁. (2) 冠军 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁 亚军 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙 课堂练习 解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4个. 2. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形. 3. 现有1, 3, 7, 13这4个数. (1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? (2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差? 【例1】判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ 题型1　组合的概念 题型探究方法归纳 解：(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题． (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题． (3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题． 组合与排列的区别方法 先弄清楚事件是什么，再根据有无顺序区分排列与组合．区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 【例2】现有6名教师，其中4名男教师，2名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 题型2　简单的组合问题 解：(1)设4名男教师分别为“男1，男2，男3，男4”，2名女教师分别为“女1，女2”，则从中选2名的选法有“男1，男2；男1，男3；男1，男4；男1，女1；男1，女2；男2，男3；男2，男4；男2，女1；男2，女2；男3，男4；男3，女1；男3，女2；男4，女1； 男4，女2；女1，女2”共15种． (2)从4名男教师中选2名有“男1，男2；男1，男3；男1，男4；男2，男3；男2，男4；男3，男4”共6种，2名女教师只有1种选法，根据分布乘法计数原理，共有不同的选法6×1＝6(种)． 【例题迁移】　(改变问法)本例已知条件不变，若改为“现从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？” 解：至少有1名男教师可分两类：1男1女和2男0女． 由例2知，1男1女有8种，2男0女有6种，根据分类加法计数原理，有8＋6＝14(种)． 最多有1名男教师包括两类：1男1女和0男2女． 由例2知，1男1女有8种， 0男2女有1种， 根据分类加法计数原理，有8＋1＝9(种)． 简单的组合问题的解题思路及注意点 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题．排列问题与元素顺序有关，而组合问题与元素的顺序无关． 2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． 【例3】某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？ 解：由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语． 第一类：从只会英语的6人中选1人说英语有6种方法， 则会日语的有2＋1＝3(种)．此时共有6×3＝18(种)． 第二类：选既会英语又会日语的1人说英语有1种方法，此时选会日语的有2种． 故方法共有1×2＝2(种)． 所以由分类计数原理知，选法共有18＋2＝20(种)． 题型3　双重元素的组合问题 本题用到两个计数原理解题，两个原理的区别在于：分类每次得到的是最后结果，分步每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成． 【例4】有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从5人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有________种(用数字作答)． 易错警示　“排列”“组合”概念混淆不清 易错防范：错因是“排列”“组合”概念混淆不清．承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题．(设5人分别为A，B，C，D，E，则有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种) 正解一：先从5人中选出2人承担任务甲；再从余下3人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的2人中选出1人去承担任务丙．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有10×3×2＝60(种)． 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 1. 组合定义: 课堂小结 2.如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？ 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 3.排列、组合的区别与联系： 共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”， 而组合“与顺序无关”. (1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解. 4.求一个组合问题的所有组合个数的基本方法： 课堂小结 错解：分3步完成：第一步，从5人中选出4人，有5种方法． 第二步，从这4人中选出2人承担任务甲，有A种方法． 第三步，剩下的2人分别承担任务乙、丙，有A种方法． 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有5AA＝120(种)． 正解二：先从5人中选出2人承担任务甲；再从余下3人中选出2人分别承担任务乙、丙．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有10×A＝60(种)． $$