第02讲 排列与组合（3大知识点+10大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2019选修三）

第02讲 排列与组合 目录 题型归纳 1 题型01排列数的计算 3 题型02 排列数方程和不等式 5 题型03 组合数的计算 7 题型04 组合数方程和不等式 8 题型05 元素（位置）有限制的排列问题 10 题型06 相邻问题的排列问题 12 题型07 不相邻排列问题 14 题型08 组合计数问题 15 题型09 分组分配问题 17 题型10 排列组合综合 19 分层练习 22 夯实基础 22 能力提升 29 知识点01排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 知识点02排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 知识点03全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n， 即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 ==. 题型01排列数的计算 【例1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（    ） A．12 B．45 C．60 D．90 【答案】C 【知识点】排列数的计算 【分析】根据题意得，从5个人中选出3人进行排列，即可求出值班当天不同的排班种类. 【详解】5名志愿者参加文明监督岗工作，每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班， 则不同的排班种类为：. 故选：C. 【变式1】（22-23高二上·海南·期中）设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】排列数的计算 【分析】任取2个数作为A，B共有种，去掉重复的直线条数即可得解． 【详解】[详解] ∵从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有种结果， 在这些直线中有重复的直线， 当和时，结果相同； 当和时，结果相同， ∴所得不同直线的条数是， 故选：C． 【变式2】（24-25高二上·辽宁·期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】A 【知识点】排列的意义理解、排列数的计算 【分析】根据全部情况去掉两名均为男生的情况即可求解. 【详解】从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种， 故选：A 【变式3】（24-25高二上·辽宁·期末）有一种运算，三个互异的数，，运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中6种不同的运算方法.设个互异的数的不同运算方法共有种，则 ， （用数字作答）. 【答案】 12 120 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算 【分析】利用排列知识与此运算的定义可求得的值. 【详解】此种运算方法是在排列的基础上加上括号的选择（括号内至少两个数）. 首先，（对一个排列，括号只有2种乘法）， 对于，考查一个给定的排列如，共有如下几种此种运算方法， ，，，，， 共5种相乘方法， 又4个数的排列有，所以. 故答案为：12；120. 【点睛】关键点点睛：理解新定义，弄清题意，本质是在排列的基础上的两个数的此种运算的结合情况，故利用分步计数原理可求得结论. 题型02 排列数方程和不等式 【例2】（21-22高二上·全国·课后作业）不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】由， 得，解得， 所以不等式的解集是. 故选：D. 【变式1】（21-22高二·陕西榆林·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，又，， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：D. 【变式2】（21-22高二·江苏扬州·期中）若，则 . 【答案】5 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由可得， 所以，解得或， 由于，所以， 故答案为：5 【变式3】（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到车站下车为1种车票（）． (1)该铁路的客运车票有多少种？ (2)为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值． 【答案】(1)56 (2)3 【知识点】排列数方程和不等式、排列数的计算 【分析】根据条件利用排列公示建立方程就可以解决. 【详解】（1）铁路的客运车票有. （2）在新增了个车站后，共有个车站，因为客运车票增加了54种，则， 所以，解得. 题型03 组合数的计算 【例3】（23-24高二上·福建龙岩·期末）计算（　　） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】A 【知识点】组合数的计算 【分析】直接由组合数公式计算即可. 【详解】由题意. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（    ） A．3，5 B．2，5 C．5，3 D．6，2 【答案】A 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先设男生女生人数，再根据已知列式，结合排列数及组合数的计算即可解. 【详解】设男生人数为，则女生人数为， 由题意可知，即，即， 解得，所以男、女生人数为. 故选:A. 【变式2】（23-24高二上·河南焦作·期末）已知为正整数，且，则 . 【答案】5 【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由，根据排列数和组合数的公式，可得，解得. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：． （2）已知，求x． 【答案】（1）；（2）或 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算 【分析】（1）利用组合数性质，即可求出结果. （2）利用组合数性质，即可求出结果. 【详解】（1）因为， （2）由，得到或，解得或， 经验证，符合题意，所以或. 题型04 组合数方程和不等式 【例4】（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．1 【答案】C 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】由组合数公式及已知等量关系列方程，即可求参数. 【详解】根据题意，得或，解得（舍去）或. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·福建宁德·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质求出的值，再利用组合数的性质可求得的值. 【详解】因为，则，解得， 故 . 故选：D. 【变式2】（22-23高二上·上海普陀·期末）若，则的值为 . 【答案】20 【知识点】组合数的性质及应用、组合数方程和不等式、组合数的计算 【分析】通过已知得出的值，即可利用公式计算得出答案. 【详解】， ，即， ， ， 故答案为：20. 【变式3】（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【知识点】组合数的计算、排列数的计算、组合数的性质及应用、组合数方程和不等式 【分析】（1）利用排列数、组合数公式计算即得. （2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解. （3）利用组合数的性质化简求解. 【详解】（1）. （2）依题意，，则，， 整理得：，而，所以. （3） ， 因此，即，所以. 题型05 元素（位置）有限制的排列问题 【例5】（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用定序倍缩法即可得解. 【详解】因为A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，且A须在B前面出场， 所以有种出场顺序. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·河南·期中）如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先考虑左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，利用间接法可得出放法种数，同理可得出左边一列两个数字为和的放法种数，即可得解. 【详解】在、、、、、六个数字中，， 若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列， 此时，不同的填数字的方法种数为， 所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 因此，满足条件的放法种数为种. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·天津滨海新·期中）从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有 个. 【答案】30 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意，分在个位与不在个位种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分种情况讨论： ①在个位，在剩下的个数字中任选个，安排在百位、个位，有种选法， ②不在个位，需要在、中选个，个位有种选法，不能在首位，则首位有种选法， 则十位有种选法，此时有种选法， 则一共可以组成个无重复数字的三位偶数. 故答案为：30 【变式3】（23-24高二上·江西九江·期末）从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有 条用数值表示 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先根据条件知道，再根据计算原理计算即可． 【详解】解：若直线方程经过坐标原点，则， 那么，任意取两个即可，有. 故答案为：． 题型06 相邻问题的排列问题 【例6】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（    ） A．48 B．24 C．20 D．16 【答案】A 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】根据捆绑法即可求解. 【详解】由相邻问题捆绑法可得, 故选：A 【变式1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（　　） A．24 B．120 C．48 D．60 【答案】C 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】将捆绑在一起，计算得到答案. 【详解】将捆绑在一起，共有种排法. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·辽宁·期末）现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有 种. 【答案】144 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】相邻问题用捆绑法计算即可得. 【详解】采用捆绑法，将同一类的书放在一起后排列可得. 故答案为：144. 【变式3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 【答案】(1)4320 (2)720 【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置． （2）相邻问题用捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列 【详解】（1）先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排列有种排法， 则符合条件的排法共有种. （2）将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法，与其他元素进行全排列，有种排法， 则符合条件的排法共有种. 题型07 不相邻排列问题 【例7】（24-25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】C 【知识点】不相邻排列问题 【分析】不相邻问题插空法，8个同学一排有9个空，把甲、乙、丙插在9个空即可. 【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·福建漳州·期末）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（   ） A．6 B．12 C．20 D．72 【答案】B 【知识点】不相邻排列问题 【分析】利用插空法结合排列组合计数方法求解. 【详解】这2个新节目插入节目单中且不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中， 选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有种插法. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·天津滨海新·期中）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 ．（用数字作答） 【答案】 【知识点】不相邻排列问题 【分析】不相邻问题借助插空法计算即可得. 【详解】借助插空法，原定的5个节目之间会产生个空， 则不同插法的种数为种. 故答案为：. 【变式3】（22-23高二上·江西赣州·期末）某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单. (1)若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？ (2)若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示） 【答案】(1)种 (2)种 【知识点】不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）利用插空法求得正确答案. （2）利用对立事件的知识求得正确答案. 【详解】（1）2个语言类节目不能相邻的排法有种. （2）前4个节目中要有语言类节目的排法有种. 题型08 组合计数问题 【例8】（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉的选择共有（   ） A．5种 B．10种 C．20种 D．25种 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据组合数的定义即可求解. 【详解】根据题意可得小沉的选择种数为． 故选：B 【变式1】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【答案】A 【知识点】几何组合计数问题 【分析】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内，所以交点的个数就是四边形的个数，再由组合数计算即可； 【详解】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内， 所以交点的个数就是四边形的个数，即个， 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·广西·期末）的展开式中的系数为 . 【答案】 【知识点】代数中的组合计数问题、求指定项的系数 【分析】结合组合知识可得答案. 【详解】可看作5个相同的因式相乘， 个含有的括号中， 1个括号取个括号取个括号取个括号取1， 乘在一起构成这一项，或者3个括号取个括号取， 乘在一起构成这一项， 所以的系数为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江西上饶·期末）某学校有男运动员4名，女运动员6名共10名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4名运动员参加全市中学生运动会． (1)共有多少种选法； (2)若要求至少有1名队长参加，有多少种方法． 【答案】(1)210 (2)140 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）  由组合的定义即可求解； （2）1：有2名队长，可以分选一名队长及分二名队长求解；法2：也可以从反面求解. 【详解】（1）解：从10名运动员中选4名参赛共有种选法． （2）法1：由题意知，10名运动员中男、女队长各1名，共2名队长． 若选中1名队长，则有种选派方法； 若选中2名队长，则有种选派方法； ∴队长中至少有1人参加，有种方法． 法2：由题意，男运动员4名，女运动员6名，其中男、女队长各1名．选派4人， 若没有队长，则有种选派方法， 若随机选择，则有种选派方法， ∴队长中至少有1人参加，有种方法． 题型09 分组分配问题 【例9】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【答案】D 【知识点】分组分配问题 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 【答案】B 【知识点】分组分配问题 【分析】分类考虑，甲乙有可能各自参加一个足球场或者甲乙有一人和别人一起参加志愿服务，分别求出分配方案的种数，相加即得答案. 【详解】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案， 当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案， 故不同的分配方案共有种， 故选：B 【变式2】（23-24高二上·福建莆田·期末）某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有 种分配方法. 【答案】40 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】选一位老师坐第一辆车，再选3名学生坐第一辆车，列式计算即得. 【详解】选一位老师坐第一辆车，共种选法，再选3名学生坐第一辆车，共种选法， 余下的老师和3名学生坐第二辆车， 所以不同的分配方法共有种. 故答案为：40 【变式3】（23-24高二上·甘肃白银·期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案. (1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？ (2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？ 【答案】(1)945 (2)84 【知识点】组合数的计算、分组分配问题 【分析】（1）根据平均分组的分配规律，结合组合数的计算，即可得答案； （2）结合题意，利用隔板法即可求得答案. 【详解】（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案. （2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板， 则分成7组，故分配方案共有种. 题型10 排列组合综合 【例10】（24-25高二上·甘肃白银·期末）袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题、排列组合综合 【分析】根据袜口和脚趾颜色是否相同进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若袜口和脚趾颜色相同，则有种， 若袜口和脚趾颜色不同，则有种， 共有种． 故选:C 【变式1】（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题、排列组合综合 【分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·期末）一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种用数字作答． 【答案】 【知识点】排列组合综合 【分析】将问题看成可看成个坐着人的座位和个空座位排队，先将个坐着人的座位全排，然后结合插空法可得. 【详解】解：可看成个坐着人的座位和个空座位排队， 先安排个坐着人的座位，共有种坐法，产生个空， 然后安排空座位到空中，相邻的两个空座位捆在一起，看作一个元素，有种坐法， 然后再从剩余的个空中选择两个将空座位安上， 因为空座位相同，所以只需要选出两个空位即可，有种坐法， 所以共有种坐法． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品． (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】(1)720 (2)26 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】（1）分步骤确定每次测试的情况数，再根据排列组合的乘法原理计算总的测试情况数. （2）要分测试次找到所有次品和测试次找到所有次品这两种情况分别计算，最后根据加法原理得到总的测试情况数. 【详解】（1）第1次测试的是正品，从件正品中选件，有种选择. 第2次测试找到第一件次品，因为有件次品，所以第2次测试的次品有种选择. 第3次到第5次测试的是正品，从剩下的件正品中选件进行排列，有种选择. 第6次测试找到第二件次品，此时只剩下件次品，所以只有种选择. 根据排列组合的乘法原理，总的测试情况数为种. （2）测试次就找到所有次品的情况: 第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到另一件次品，有种选择，所以这种情况共有种测试情况.   测试次找到所有次品的情况: 第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况. 第1次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第2次测试找到一件次品，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况.   根据加法原理，至多测试次就能找到所有次品的测试情况数为种. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·甘肃白银·期末）某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】B 【分析】至少有一名女生入选分为两类情况，利用组合相关知识即可求解. 【详解】分两类：一类是选1个女生，则有种；另一类是选2个女生，则有种. 所以不同选法种数共有. 故选:B . 2．（23-24高二上·江西上饶·期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次分配第一、二、三组，结合平均分组法可得出不同的分配方法种数. 【详解】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生 则不同的分配方法种数为种. 故选：B. 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）若，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】直接利用排列数和组合数的公式计算. 【详解】由得， 解得 故选：B. 4．（23-24高二上·江西·期末）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．504种 B．432种 C．384种 D．240种 【答案】A 【分析】分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论 【详解】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高二上·陕西汉中·期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数与组合数的性质与计算公式一一判定即可. 【详解】根据组合数公式可知，显然两式相等，故A正确； 根据排列数公式可知，故B正确； 易知，显然两式不等，故C错误； ，显然两式相等，故D正确. 故选：ABD 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据排列数公式和组合数公式验证． 【详解】对于A，，，A错； 对于B，，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，， ∴，D正确． 故选：BCD． 三、填空题 7．（23-24高二上·重庆北碚·期中）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ． 【答案】84 【分析】先考虑所有情况，再减去不满足的情况即可. 【详解】先考虑五个音阶任意排列，有种情况， 再减去宫、角、羽三音阶都相邻的情况， 把宫、角、羽三音阶看做一个一个整体，则一共变成3个元素，有种情况， 而宫、角、羽三音阶又可以任意排列，有种情况， 所以一共的音序有种， 故答案为：84 8．（23-24高二上·江西·期末）方程（且）的解为 ． 【答案】2或4 【分析】结合排列数与组合数运算即可得. 【详解】由题意，可知，则，所以或. 故答案为：2或4. 四、解答题 9．（23-24高二上·江西南昌·期中）（1）计算：； （2）求值：. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数的定义求出的值，再代入计算可得. 【详解】（1）； （2）由组合数的定义知：，解得，又， 或. 当时； 当时. 所以的值为或. 10．（23-24高二上·北京西城·期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)120 (2)360 【分析】（1）利用组合计数，求选择的方法数； （2）利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数. 【详解】（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动， 选择方法数为种. （2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种， 故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种. 11．（24-25高二上·河南·期中）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)48 (2)120 (3)504 【分析】（1）利用捆绑法，把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外的3名工作人员全排列，即可得出结论； （2）根据题意，分2步进行分析:①在6个位置中任选3个，安排甲乙丙之外的3人，②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置，由分步计数原理计算可得答案； （3）根据题意，分2种情况讨论:①甲站在最右端，②甲不站在最右端，由分类计数原理计算可得答案. 【详解】（1）由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念， 小王与工作人员甲､乙都相邻， ∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲）， 然后总体与其余3名工作人员全排列，共有种方法， ∴小王与工作人员甲､乙都相邻，方法共有种； （2）由题意， 甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻）， ①在6个位置中任选3个,安排甲乙丙之外的3人,有种情况, ②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置,有1种情况, ∴有种不同的站法； （3）由题意， 工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端， ∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有种站法, ②甲不站在最右端,甲有4种站法,乙有4种站法, 剩下4人全排列,有种站法, ∴共有 种不同的站法 12．（24-25高二上·甘肃武威·期中）寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)150 (2)48 (3)120 (4) 【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班； （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列； （3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形. 【详解】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． （3）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京西城·期末）在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．32种 D．36种 【答案】C 【分析】根据题意可知共种选法，由正方体性质可知在6个表面中选取3个点的情况不合题意，共种，即可得出结论. 【详解】如下图所示： 在正方体中，共有6个表面，在这6个表面内任取3个点都在同一平面内，共有种； 在正方体的8个顶点中任选3个共有种； 所以这3个顶点恰好不在同一个表面中的选法共有种. 故选：C 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】分别考虑甲站在排头或排尾再结合捆绑法，求解即可. 【详解】若甲站在排头，则丙和丁相邻，则共有种方法， 若甲站在排尾，则丙和丁相邻，则共有种方法， 则共有：种方法. 故选：B. 3．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先从10人中选出3人上早班，从剩下的7人中选出3人上中班，再从剩下的4人中选出3人上中班，即可得到答案. 【详解】首先从10人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的7人中选出3人上中班，共有种， 再从剩下的4人中选出3人上晚班，共有种， 共有种. 也可以先从10人中选出9人，共有种， 再从9人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的6人中选出3人上中班，共有种， 其余3人上晚班，则共有种排法. 故选：D 4．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案. 【详解】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种. 故选：C. 二、多选题 5．（24-25高二上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 【答案】BD 【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况. 【详解】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误； 对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确； 对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误； 对D：5人站成一排，有种排法， 则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法； 甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法； 甲在最左端，乙在最右端，共有种排法； 则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 6．（24-25高二上·辽宁·期末）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（   ） A．4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B．老师站在最中间，有1440种不同的排法 C．4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D．2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 【答案】BCD 【分析】利用捆绑法排列判断A，特殊元素优先安排（即先安排都是排中间然后再在两边安排学生求解判断B，用插空法（男生插入时需先先安排男生甲）求解判断C，先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，把这四人捆绑后进行排列求解判断D． 【详解】选项A：4个男学生排在一起共有种站法，则有2880种不同的排法，故A错误； 选项B：老师站在最中间共有种站法，则有1440种不同的排法，故B正确； 选项C：先排老师和女学生，共有种站法，再排男学生甲，有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法，故C正确； 选项D：先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，有种站法，两名老师的站法有种， 再将这一男学生一女学生两位老师进行捆绑，与剩余的4个人进行全排列有种站法， 所以共有种不同的站法.故D正确. 故选：BCD． 三、填空题 7．（24-25高二上·天津红桥·期末）某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共 种(用数字填写). 【答案】24310 【分析】采用“隔板法”求解即可. 【详解】构成一个隔板模型，取18个棋子排成一排，在相邻的每两个棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，这样就把18个元素分成10个区间， 第个区间的棋子个数对应第个班级的学生名额， 因此，名额分配方案的种数与隔板插入数相等， 因隔板插入数为， 所以名额分配方案共有24310种. 故答案为：24310. 8．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成 个平行四边形． 【答案】 【分析】结合题意由组合数计算即可； 【详解】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形， 所以共有个， 故答案为：1260. 四、解答题 9．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）126；（2）． 【分析】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出并计算得解. （2）利用组合计算公式、排列数公式求解即得. 【详解】（1）因为，则，解得，经验证符合题意， 所以 . （2）由，得， 即，而由，知，解得， 所以原方程的解为. 10．（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由组合数公式计算即可； （2）由组合数公式计算即可. 【详解】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 11．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【答案】(1)16 (2)384 (3)96 【分析】（1）利用分步计数原理即可； （2）利用插空法来排列即可； （3）利用捆绑法来排列即可. 【详解】（1）先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 12．（23-24高二上·天津南开·期中）6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） (1)其中甲、乙必须相邻； (2)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (3)其中甲不站排头，乙不站排尾； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）． 【答案】(1)240 (2)144 (3)504 (4)192 (5)120 【分析】（1）采用捆绑法，把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，再和其余4人全排； （2）采用插空法，先排除了甲、乙、丙之外的3人，形成四个空，再进行插空； （3）分两类，第一类甲站排尾，第二类，甲不站排尾，根据分类计数原理可得结果； （4）从另外4人选一人排在甲乙之间，再和另外4人全排； （5）先从6个位置中选3个位置，把甲乙丙按从左到右的顺序排列，再让剩余3人在3个位置全排. 【详解】（1）甲乙相邻，直接将甲乙捆绑，有种排法； （2）将除甲、乙、丙之外的3人进行全排列，有种情况，排好后，有个空位， 在4个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有种情况， 则共有种排法． （3）甲站在排尾时，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法， 甲不站在排尾时，则甲有4个位置可选，有种排法， 乙不能在排尾，也有4个位置可选，有种排法， 剩余4人进行全排列，安排在其他4个位置，有种排法， 此时有种排法； 故甲不站排头，乙不站排尾的排法有种． （4）先将甲、乙全排列，有种情况， 在剩余的4个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法， 将三人看成一个整体，与其他3人进行全排列，有种排法， 则甲、乙中间有且只有1人共有种排法． （5）在6个位置中任取3个，安排除甲、乙、丙之外的3人，有种排法， 将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有种排法， 则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有种． 13．（20-21高二上·湖北武汉·期中）对任意，定义+，其中为正整数. （1）求的值； （2）探究是否为定值，并证明你的结论； （3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) ,; (2)是定值，答案见解析;(3) 答案见解析. 【分析】(1)由题意求出的值，即可求出的值. (2)根据，，结合平方差公式即可求出的值. (3) 假设存在正整数，使得成等差数列，结合等差数列定义可得 ，结合已知进行推导，可推出当且仅当时，等号成立，不成立，从而可证明. 【详解】解：(1)由题意知，， ， 所以， (2)是定值，证明:由题意知，，， 则， 所以. (3) 假设存在正整数，使得成等差数列，则， 当时，，即，即，因为， 所以，， 整理得，，其中为正整数，， 因为，所以， 当且仅当时等号成立，又，即不成立，即假设不成立， 所以不存在存在正整数，使得成等差数列. 【点睛】关键点睛: 本题第二问应将看作，从而代入已知条件即可求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 排列与组合 目录 题型归纳 1 题型01排列数的计算 3 题型02 排列数方程和不等式 3 题型03 组合数的计算 4 题型04 组合数方程和不等式 4 题型05 元素（位置）有限制的排列问题 5 题型06 相邻问题的排列问题 6 题型07 不相邻排列问题 6 题型08 组合计数问题 7 题型09 分组分配问题 8 题型10 排列组合综合 8 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 19 知识点01排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 知识点02排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 知识点03全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n， 即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 ==. 题型01排列数的计算 【例1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（    ） A．12 B．45 C．60 D．90 【变式1】（22-23高二上·海南·期中）设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（24-25高二上·辽宁·期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【变式3】（24-25高二上·辽宁·期末）有一种运算，三个互异的数，，运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中6种不同的运算方法.设个互异的数的不同运算方法共有种，则 ， （用数字作答）. 题型02 排列数方程和不等式 【例2】（21-22高二上·全国·课后作业）不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二·陕西榆林·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二·江苏扬州·期中）若，则 . 【变式3】（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到车站下车为1种车票（）． (1)该铁路的客运车票有多少种？ (2)为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值． 题型03 组合数的计算 【例3】（23-24高二上·福建龙岩·期末）计算（　　） A．34 B．35 C．36 D．37 【变式1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（    ） A．3，5 B．2，5 C．5，3 D．6，2 【变式2】（23-24高二上·河南焦作·期末）已知为正整数，且，则 . 【变式3】（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：． （2） 已知，求x． 题型04 组合数方程和不等式 【例4】（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．1 【变式1】（23-24高二上·福建宁德·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·上海普陀·期末）若，则的值为 . 【变式3】（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 题型05 元素（位置）有限制的排列问题 【例5】（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 【变式1】（24-25高二上·河南·期中）如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2】（23-24高二上·天津滨海新·期中）从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有 个. 【变式3】（23-24高二上·江西九江·期末）从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有 条用数值表示 题型06 相邻问题的排列问题 【例6】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（    ） A．48 B．24 C．20 D．16 【变式1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（　　） A．24 B．120 C．48 D．60 【变式2】（23-24高二上·辽宁·期末）现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有 种. 【变式3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 题型07 不相邻排列问题 【例7】（24-25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 【变式1】（23-24高二上·福建漳州·期末）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（   ） A．6 B．12 C．20 D．72 【变式2】（23-24高二上·天津滨海新·期中）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 ．（用数字作答） 【变式3】（22-23高二上·江西赣州·期末）某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单. (1)若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？ (2)若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示） 题型08 组合计数问题 【例8】（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉的选择共有（   ） A．5种 B．10种 C．20种 D．25种 【变式1】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【变式2】（24-25高二上·广西·期末）的展开式中的系数为 . 【变式3】（23-24高二上·江西上饶·期末）某学校有男运动员4名，女运动员6名共10名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4名运动员参加全市中学生运动会． (1)共有多少种选法； (2)若要求至少有1名队长参加，有多少种方法． 题型09 分组分配问题 【例9】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【变式1】（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 【变式2】（23-24高二上·福建莆田·期末）某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有 种分配方法. 【变式3】（23-24高二上·甘肃白银·期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案. (1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？ (2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？ 题型10 排列组合综合 【例10】（24-25高二上·甘肃白银·期末）袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式1】（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·期末）一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种用数字作答． 【变式3】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品． (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·甘肃白银·期末）某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 2．（23-24高二上·江西上饶·期末）名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）若，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．（23-24高二上·江西·期末）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．504种 B．432种 C．384种 D．240种 二、多选题 5．（23-24高二上·陕西汉中·期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·重庆北碚·期中）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ． 8．（23-24高二上·江西·期末）方程（且）的解为 ． 四、解答题 9．（23-24高二上·江西南昌·期中）（1）计算：； （2）求值：. 10．（23-24高二上·北京西城·期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 11．（24-25高二上·河南·期中）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 12．（24-25高二上·甘肃武威·期中）寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京西城·期末）在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．32种 D．36种 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 3．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、多选题 5．（24-25高二上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 6．（24-25高二上·辽宁·期末）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（   ） A．4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B．老师站在最中间，有1440种不同的排法 C．4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D．2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 三、填空题 7．（24-25高二上·天津红桥·期末）某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共 种(用数字填写). 8．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成 个平行四边形． 四、解答题 9．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：； （2）解方程：． 10．（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 11．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 12．（23-24高二上·天津南开·期中）6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） (1)其中甲、乙必须相邻； (2)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (3)其中甲不站排头，乙不站排尾； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）． 13．（20-21高二上·湖北武汉·期中）对任意，定义+，其中为正整数. （1）求的值； （2）探究是否为定值，并证明你的结论； （3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$