专题17.4 勾股定理的应用（12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题17.4 勾股定理的应用（12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 【类型1】求梯子滑落高度................................................................................................................1 【类型2】求旗杆高度.......................................................................................................................3 【类型3】求小鸟飞行距离...............................................................................................................6 【类型4】求大树折断前的高度.......................................................................................................8 【类型5】解决水杯中筷子问题.....................................................................................................10 【类型6】解决航海问题................................................................................................................13 【类型7】求河宽............................................................................................................................15 【类型8】求台阶上地毯长度.........................................................................................................17 【类型9】判断汽车是否超速.........................................................................................................19 【类型10】判断是否受台风影响....................................................................................................22 【类型11】选址使到两地距离相等................................................................................................25 【类型12】求最短路径...................................................................................................................27 第二部分【题型展示与方法点拨】 【类型1】求梯子滑落高度 【例1】（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【答案】（1）；（2）的长度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理即可求出； （2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； 解：（1）在中，， 答：长为； （2）， ， 在中，， ， 答：的长度为． 【变式1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理分别求出和的长度，进而表示出长度，利用无理数的估算方法即可估算出大小. 解：斜靠在竖直的墙上，，， 在中，. 竹竿的顶端沿墙下滑2米至处， ，， 在中，. . ， . . 的长度小于2米. 故答案为：A. 【点拨】本题考查了勾股定理，无理数的估算方法，解题的关键在于理解题意，清楚知道，熟练掌握无理数的估算方法. 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 【答案】1.7 【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键． 根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案． 解：由题意得：（米）， 梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称， 米， （米）， 即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 故答案为：． 【类型2】求旗杆高度 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度， 他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高米． （1）求风筝的高度． （2）过点作，垂足为，求的长度． 【答案】（1）米；（2）12米 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 解：（1）解：在中，由勾股定理，得： （米， 所以（米． 答：风筝的高度为米． （2）解：由等积法知：， 解得：（米． 答：的长度为12米． 【变式1】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 【答案】2.6米 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 【类型3】求小鸟飞行距离 【例3】（23-24八年级下·广西贺州·期中）姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． （1）请用含有x的整式表示线段的长为 m； （2）求这棵树高有多少米？ 【答案】（1）；（2）这棵树高3.2米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键． （1）根据，计算即可； （2）在中，由勾股定理，列出方程求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ∴． 答：这棵树高有3.2米 【变式1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 【类型4】求大树折断前的高度 【例4】27．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 解：如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 【变式1】（23-24八年级下·广西南宁·期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了 勾股定理的应用，设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 解：设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，依题意得： ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部 米的位置断裂． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理实际应用．根据题意设，则，利用勾股定理列式计算即可得到本题答案． 解：∵旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处， ∴， ∵旗杆原长， ∴， ∴设，则， ∴，解得：， ∴旗杆在离底部的位置断裂， 故答案为：． 【类型5】解决水杯中筷子问题 【例5】（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】（1）12尺；（2）见分析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 解：（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， （尺）； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【变式1】（24-25七年级上·山东东营·期中）一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，首先根据问题的条件可得到当铅笔与笔筒底垂直时x最大，此时x最大值为铅笔的高减去笔筒内壁的高；分析可知，当铅笔如图放置时h最小，在中，运用勾股定理即可得到答案． 解：当铅笔与笔筒底垂直时x最大，． 当铅笔如图放置时x最小． 在中，， ∴， ∴． ∴x的取值范围：. 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水的深度为，则芦苇的长度为，根据题意，可得方程，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 解：设水的深度为，则芦苇的长度为， 由题意可得，， 解得， ∴水的深度为， 故答案为：． 【类型6】解决航海问题 【例6】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里． （1）求点与点之间的距离； （2）若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】（1）点与点之间的距离为50海里；（2）有0.7小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用航海问题，方向角的应用，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点与点之间的距离； （2）过点作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 解：（1）解：由题意，得：，； ； 海里，海里； （海里）， 即：点与点之间的距离为50海里； （2）解：过点作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有0.7小时可以接收到信号． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意． 根据题意得出，，再根据勾股定理求解即可． 解：根据题意可得：，， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·河南开封·期末）一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 海里． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握方向角，勾股定理的应用是解题的关键． 如图，为9点时两艘小船的距离，由题意知，，由勾股定理得，，计算求解即可． 解：如图，为9点时两艘小船的距离， 由题意知，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【类型7】求河宽 【例7】（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． （1）求支渠的长度．（结果保留根号） （2）若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】（1）；（2）万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 解：（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 【变式1】（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 解：在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 【变式2】（22-23九年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．    【答案】24 【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可． 解：， ，为直角三角形． ， ， ， ， 故答案为：24． 【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 【类型8】求台阶上地毯长度 【例8】（18-19八年级下·浙江台州·期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 【答案】最短路程是150cm． 【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90， 由勾股定理得：AB＝＝＝150cm， 答：最短路程是150cm． 【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长. 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用平移性质，把地毯长度分割为直角三角形的直角边. 地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，平移可得，台阶的宽之和与高之和构成了直角三角形的两条直角边，因此利用勾股定理求出水平距离即可. 解：根据勾股定理和平移可得，楼梯水平长度为：米， 则红地毯至少要米. 故答案为： 【类型9】判断汽车是否超速 【例9】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． （1）现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； （2）为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】（1）新路长度是120米；（2）该车没有超速，理由见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 解：（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 【变式1】（20-21八年级下·广东广州·期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点拨】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见分析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 【类型10】判断是否受台风影响 【例10】（2024八年级上·全国·专题练习）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】（1）受影响，理由见分析；（2）6小时 【分析】本题考查勾股定理的应用、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过A作，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，最后根据速度与距离的关系则可求时间即可． 解：（1）解：A城会受到这次台风的影响，理由如下： 如图：过A作，垂足为，则， 在中，， ∴， ∵， ∴A城会受台风影响． （2）解：设上点，使千米， 是等腰三角形， ， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，千米， ∴（千米）， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：（小时）． 【变式1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 【类型11】选址使到两地距离相等 【例11】（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？ 【答案】E站应建在离A地的地方 【分析】本题考查勾股定理，根据设，则，利用勾股定理结合C，D两村到E站距离相等，列出方程进行求解即可． 解：设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即：， 解得：， 答：E站应建在离A地的地方． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键． 根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以，的长是． 所以，． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可． 解：过点作于点N，根据题意，得， 又， 故， 设， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：8． 【类型12】求最短路径 【例12】（24-25七年级上·山东威海·期末）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）小迅家有一个长，宽，高的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点处出发，想吃到鱼缸顶部处的馒头屑，它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度． 由于鱼缸是无盖的长方体，因此画出展开图，由勾股定理得． 解：因为是鱼缸是无盖的长方体， 所以由题意得，画出展开图： ∴由勾股定理得：， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·山西晋城·期末）春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开-路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 解：圆柱体的展开图如图所示， 最短长度为 ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17.4 勾股定理的应用（12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 【类型1】求梯子滑落高度...................................................................................................................1 【类型2】求旗杆高度..........................................................................................................................2 【类型3】求小鸟飞行距离...................................................................................................................3 【类型4】求大树折断前的高度...........................................................................................................4 【类型5】解决水杯中筷子问题...........................................................................................................5 【类型6】解决航海问题......................................................................................................................6 【类型7】求河宽..................................................................................................................................7 【类型8】求台阶上地毯长度...............................................................................................................8 【类型9】判断汽车是否超速...............................................................................................................8 【类型10】判断是否受台风影响.........................................................................................................9 【类型11】选址使到两地距离相等....................................................................................................10 【类型12】求最短路径.......................................................................................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【类型1】求梯子滑落高度 【例1】（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【变式1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 【类型2】求旗杆高度 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度， 他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高米． （1）求风筝的高度． （2）过点作，垂足为，求的长度． 【变式1】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 【类型3】求小鸟飞行距离 【例3】（23-24八年级下·广西贺州·期中）姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． （1）请用含有x的整式表示线段的长为 m； （2）求这棵树高有多少米？ 【变式1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 【类型4】求大树折断前的高度 【例4】27．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·广西南宁·期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部 米的位置断裂． 【类型5】解决水杯中筷子问题 【例5】（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【变式1】（24-25七年级上·山东东营·期中）一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 ． 【类型6】解决航海问题 【例6】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里． （1）求点与点之间的距离； （2）若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河南开封·期末）一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 海里． 【类型7】求河宽 【例7】（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． （1）求支渠的长度．（结果保留根号） （2）若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【变式1】（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 【变式2】（22-23九年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．    【类型8】求台阶上地毯长度 【例8】（18-19八年级下·浙江台州·期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长. 【类型9】判断汽车是否超速 【例9】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． （1）现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； （2）为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【变式1】（20-21八年级下·广东广州·期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【类型10】判断是否受台风影响 【例10】（2024八年级上·全国·专题练习）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【变式1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【类型11】选址使到两地距离相等 【例11】（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？ 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器． 【类型12】求最短路径 【例12】（24-25七年级上·山东威海·期末）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）小迅家有一个长，宽，高的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点处出发，想吃到鱼缸顶部处的馒头屑，它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西晋城·期末）春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$