精品解析：山东省日照市岚山区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024～2025学年度上学期期末质量检测八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 汉字是中华文明的标志，从甲骨文到后来的金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 北京时间2024年10月30日神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功，此次神舟十九号航天员乘组将开展空间材料科学实验．其中某种材料的分子直径仅米，将用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，关键是确定n与a的值，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上零）．据此即可求解． 【详解】解：； 故选：D． 3. 已知某三角形的三边长分别为10，3，，则的值可以是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：根据三角形的三边关系定理得：， 解得：， 四个选项中，符合的只有9， 故选：D． 4. 如图，是的外角，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质得出，再根据题意得出，求解即可得出答案 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故选：B 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法，完全平方公式，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 6. 如图，根据下列条件，不能说明的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【详解】解：A、由、，结合可得； B、由，，结合可得； C、由、不能说明； C、由、，结合可得； 故选：C． 7. 若干个完全一样的正五边形排成环状，如图所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ） A 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键． 先根据多边形的内角和公式求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，最后减去3即可解答． 【详解】解：∵五边形的内角和为， ∴正五边形的每一个内角为， 如图，延长正五边形的两边相交于点O， 则，， ∵已经有3个五边形， ∴， 即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：D． 8. 如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则为（ ） A. 15 B. 22 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 9. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出方程的解，根据解的情况，结合分式有意义的条件，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴，且， ∴且， ∴且； 故选D． 10. 如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的三线合一得到点F在的平分线上，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上， ， 如图，当，点D在上时，最小， 在中，， 则， 由勾股定理得：， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴等边的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卡相应 位置上） 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 12. 分解因式：＝________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知，，，为正整数，则______（用含，的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法的逆用，掌握这两种幂的运算法则是解题的关键，特别是逆用；由已知得，而，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，是高，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，作射线，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识．由三角形内角和求得的度数，由角平分线可求得的度数；由高及三角形内角和可求得的度数，则由即可求解． 【详解】解：由三角形内角和得， 由尺规作图知，平分， ∴； ∵是高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，的面积是，边的垂直平分线分别交，边于点，．若点，分别为线段，边上的动点，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 如图所示，过点作于点，交于点，连接，根据三角形面积的计算得到，由垂直平分线的性质得到，，根据垂线段最短，得到当点三点共线，且垂直于时，的值最小，即最小值为的值，由此即可求解． 【详解】解：∵，，，如图所示，过点作于点，交于点，连接， ∴，即， 解得，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 根据垂线段最短，得到当点三点共线，且垂直于时，的值最小，即最小值为的值， ∴的最小值为， 故答案为：8 ． 16. 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套校服，探索衣物清洗中的用水策略．若第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．残留洗衣液的浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）．第一次漂洗加清水，拧干后第二次漂洗加清水，则第二次漂洗后校服上残留洗衣液浓度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值．根据题意把相应的数值代入计算即可求解． 【详解】解：第一次漂洗后校服上残留洗衣液浓度为； 第二次漂洗后校服上残留洗衣液浓度为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式： （1）先进行乘方运算，再利用单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 解得：； 检验：当时，， ∴是原方程解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键；先计算括号里分式的减法，再计算除法，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 20. 如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为．直角三角形两内角互余．根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 21. 2024年11月28日-12月1日，岚山区中学生足球联赛成功举办，比赛不仅丰富了校园文体生活，还极大激发了同学们对足球运动的兴趣，某校足球社团人数迅增，急需购进、两种品牌足球．学校为学生购买A、B两种品牌足球共40个，共花费3870元，其中品牌的足球花费2250元，已知品牌足球的单价比品牌高20%，求品牌足球的单价． （1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 品牌 总价（元） 单价（元/个） 购买个数 2250 （2）请完整解答本题． 【答案】（1）见解析 （2）每个B品牌足球的价格为90元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）先求出品牌足球花费元，再根据每个品牌足球的价格比品牌足球的价格高得到每个品牌足球的价格为元，据此可求出购买品牌足球个； （2）根据（1）所求结合一共购买40个品牌足球列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，品牌足球花费元， ∵每个品牌足球的价格比品牌足球的价格高， ∴每个品牌足球的价格为元， ∴购买品牌足球个， 表格内容补充如下： 品牌 总价（元） 单价（元/个） 购买个数 1620 2250 【小问2详解】解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每个B品牌足球的价格为90元． 22. 如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”．两点的等距线有无数条． （1）如图1，直线经过线段的中点，试说明直线是点，的一条等距线； （2）如图2，在平面直角坐标系中，顶点，，均在正方形网格的格点上． ①画出关于轴对称的，并写出顶点的坐标； ②请在图中作出所有的直线，使直线过点且直线是“，两点的等距线”． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）①作图见详解，；②作图见详解 【解析】 【分析】本题主要新定义，轴对称图形与坐标，全等三角形的判定和性质，理解新定义，掌握轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）如图所示，过点作于点，过点作于点，运用角角边可证，得到，由“两点的等距线”即可求解； （2）①根据轴对称图形的性质作图即可；②结合（1）及“两点的等距线”的定义分2种情况作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作于点，则， ∵直线经过线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由“两点的等距线”的定义得到，直线是点，的一条等距线； 【小问2详解】 解：①如图所示，即为所求图形， ∴； ②如图，两条直线即为所求； 由（1）可知，“，两点的等距线”过线段的中点，有无数条， ∵直线等距线过点， ∴如图所示，直线即为所求图形， 证明方法同（1），过点作于点，过点作于点，则，且， ∴， ∴， ∴直线是“，两点的等距线”． 根据平行线间的距离处处相等， ∴过点作的平行线也满足题意． 23. 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的常数项，使式子中出现完全平方式，再减去这个常数项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个二次三项式分解因式，还能解决一些求代数式最大值、最小值的问题等．先阅读下面两个例子，再解决问题． 例1 分解因式： 解： 例2 求代数式的最小值． 解： ∵， ∴， 即代数式的最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______． （2）多项式有最大值还是最小值？并求出这个最大值或最小值． （3）已知等腰的两边长分别为，，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2）有最大值，最大值为6 （3）10 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的应用，等腰三角形的性质，掌握完全平方公式的结构特点并灵活运用是解题的关键； （1）把前两项凑成完全平方式后，利用平方差公式分解因式即可； （2）提取负号后，再把前两项凑成完全平方式，利用非负数的性质即可求解； （3）由已知等式可化为，由非负数的性质可求得a与b的值，分两种情况考虑，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 即多项式有最大值，且最大值为6； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ∵是等腰三角形， ∴三边的情况为：2，2，4或4，4，2； 由于，不符合构成三角形的条件，不符合题意， 而，符合构成三角形的条件， ∴的周长为． 24. 是边长为4的等边三角形．点，分别从顶点，同时出发，沿射线，运动，且它们的速度都为1单位长度/秒．设点的运动时间为（秒）． （1）如图1，点，分别在线段，上运动时，，相交于点，则的度数为______； （2）如图2，当点，分别运动到，的延长线上时，与的反向延长线相交于点，求此时的度数； （3）连接，若恰为直角三角形，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）秒或秒 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到，然后由等边三角形的性质得到，，证明出，得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）首先得到，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）首先表示出单位长度，单位长度，然后分和两种情况讨论，分别根据含角直角三角形的性质列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，分别从顶点，同时出发，沿射线，运动，且它们的速度都为1单位长度/秒． ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ，， ， 即， 单位长度， 即， 在和中， ，，， ， ， ，； ； 【小问3详解】 解：由题意得单位长度，单位长度， 如图，当时， ， ， ，得， 解得（秒）， 如图，当时， ， ． ，得， 解得（秒）． 综上所述，当为直角三角形时，秒或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度上学期期末质量检测八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 汉字是中华文明的标志，从甲骨文到后来的金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 北京时间2024年10月30日神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功，此次神舟十九号航天员乘组将开展空间材料科学实验．其中某种材料的分子直径仅米，将用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某三角形的三边长分别为10，3，，则的值可以是（ ） A 1 B. 5 C. 7 D. 9 4. 如图，是的外角，若，，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，根据下列条件，不能说明的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若干个完全一样的正五边形排成环状，如图所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则为（ ） A. 15 B. 22 C. 28 D. 30 9. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卡相应 位置上） 11. 使分式有意义的取值范围是________． 12. 分解因式：＝________________． 13. 已知，，，为正整数，则______（用含，代数式表示）． 14. 如图，在中，，，是高，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，作射线，则的度数是______． 15. 如图，在中，，，的面积是，边的垂直平分线分别交，边于点，．若点，分别为线段，边上的动点，则的最小值为______． 16. 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套校服，探索衣物清洗中的用水策略．若第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．残留洗衣液的浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）．第一次漂洗加清水，拧干后第二次漂洗加清水，则第二次漂洗后校服上残留洗衣液浓度为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 21. 2024年11月28日-12月1日，岚山区中学生足球联赛成功举办，比赛不仅丰富了校园文体生活，还极大激发了同学们对足球运动的兴趣，某校足球社团人数迅增，急需购进、两种品牌足球．学校为学生购买A、B两种品牌足球共40个，共花费3870元，其中品牌的足球花费2250元，已知品牌足球的单价比品牌高20%，求品牌足球的单价． （1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 品牌 总价（元） 单价（元/个） 购买个数 2250 （2）请完整解答本题． 22. 如果两点到一条直线距离相等，则称该直线为“两点的等距线”．两点的等距线有无数条． （1）如图1，直线经过线段的中点，试说明直线是点，的一条等距线； （2）如图2，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． ①画出关于轴对称的，并写出顶点的坐标； ②请在图中作出所有的直线，使直线过点且直线是“，两点的等距线”． 23. 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的常数项，使式子中出现完全平方式，再减去这个常数项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个二次三项式分解因式，还能解决一些求代数式最大值、最小值的问题等．先阅读下面两个例子，再解决问题． 例1 分解因式： 解： 例2 求代数式的最小值． 解： ∵， ∴， 即代数式的最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______． （2）多项式有最大值还是最小值？并求出这个最大值或最小值． （3）已知等腰的两边长分别为，，且满足，求的周长． 24. 是边长为4的等边三角形．点，分别从顶点，同时出发，沿射线，运动，且它们的速度都为1单位长度/秒．设点的运动时间为（秒）． （1）如图1，点，分别在线段，上运动时，，相交于点，则的度数为______； （2）如图2，当点，分别运动到，的延长线上时，与的反向延长线相交于点，求此时的度数； （3）连接，若恰为直角三角形，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $