精品解析：四川省内江市资中县资中县球溪高级中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

球溪高级中学2024—2025学年（上）高三期末考试（普通班） 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再利用交集定义即可求得. 【详解】由可得：，即，解得或， 故,因，则． 故选：C 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算两复数模可得答案. 【详解】虚数不能比较大小，，，故． 故选：B 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，解得，所以． 故选：A 4. 设为数列前项和，若，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果. 【详解】当时，，∴， 当时，，则， ∴，即数列是首项，公比的等比数列， 即， ∴ 故选：D. 5. 为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通过简单随机抽样从中抽取了1000户进行调查，得到其月用水量的平均数为9吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数（ ） A. 一定为9吨 B. 高于9吨 C. 约为9吨 D. 低于9吨 【答案】C 【解析】 【分析】由样本估计总体相关知识即可求解. 【详解】推测全市居民用户月用水量的平均数是估计值，约为9吨. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式、两角和与差的正弦公式即可求解. 【详解】因为 ， 所以， 即. 故选：A. 7. 如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为x，由可得x，即可得答案. 【详解】由题设分析 如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 8. 已知函数，若关于的方程有2个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为与的图象有2个交点，分、和，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解. 【详解】由题意，关于的方程有2个不相等的实数解， 即与的图象有2个交点，如图所示， 当，直线与的图象交于点， 又当时，，故直线与（）的图象无公共点， 故当时，与的图象只有一个交点，不合题意； 当，直线与曲线（）相切时， 此时与的图象有2个交点， 设切点，则，又由过点， 所以，解得，所以； 当时，若，则，由，可得， 所以当时，直线与的图象相切， 由图得当时，直线与的图象有2个交点． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解. 【详解】当时，单调递增， 由图可知时，，单调递增，故A正确； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故B错误； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，故C正确； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l且与x轴交于点Q，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据题意写出直线方程，再将直线的方程与抛物线联立，消去得到关于的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求逐项判断. 【详解】对C:抛物线的焦点为，，准线为，易知，则，C正确； 对D,设,，,，，到准线的距离分别为，， 由抛物线的定义可知，，于是 ． ，则 直线的倾斜角为或，斜率为，因为，故，D错误； 对AB:,， 直线的方程为， 将，代入方程，并化简得， ， 于是．,故AB正确； 故选：ABC． 11. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 函数的初相位为 B. 若函数的最小正周期为，则 C. 若，则函数的图象关于直线对称 D. 若函数的图象关于直线对称，则的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据初相位的概念，可判断A的正误；根据最小正周期公式，可判断B的正误，根据的对称性，代入计算，即可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】对于A，根据解析式，可得的初相位为，故A正确； 对于B：若的最小正周期为，则，解得，故B正确； 对于C：若，则， 当时，，， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D：若函数的图象关于直线对称，则， 解得，又，所以的最小值为1，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值，根据椭圆与双曲线定义可求出的值，根据三边关系即可求出面积. 【详解】由题可知，的离心率为2，则的离心率为，则. 根据对称性，不妨设在第一象限，则，解得， 则，所以为直角三角形， 则的面积为. 故答案为：6. 13. 已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法结合函数图象分析方程的根的情况即可. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示， 令，则可化为， 则或， 则关于的方程恰有5个不同的实数解 等价于的图象与直线的交点个数之和为5个， 由图可得函数的图象与直线的交点个数为2， 所以的图象与直线的交点个数为3个， 即此时，解得. 故答案为：. 14. 某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有_________种.（用数字作答） 【答案】180 【解析】 【分析】由派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，分别求得两类分法的种数，再由分类计数原理，即可求解． 【详解】由题意，派遣8名干部分成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，第一类有种；第二类有种， 由分类计数原理，可得共有种不同的方案. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，及排列、组合的应用，其中解答中根据题意合理分组，分别求得两组分法的种数，再由分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简得解； （2）由余弦定理及三角形面积公式计算得解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以，， 即． 因为，所以． 由于，所以． 【小问2详解】 由余弦定理， 得，解得或（舍去）． 所以， 所以的面积． 16. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断原函数的单调性； （2）分析可知在上恒成立，令，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 当时，由于，所以恒成立，从而在上单调递增； 当时，若则，；若，则； 可知在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，则， 若在上单调递增， 可知在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 若，当趋近于，可知趋近于； 若，当时，；当时，； 可知内单调递减，在内单调递增， 则的最小值为， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，F为棱PC上的点（异于端点），平面ADF与棱PB交于点E． （1）求证：平面ABCD． （2）若，且平面平面ABCD，求异面直线PB与DF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由底面ABCD是正方形，可得，进而可得平面PBC．然后由线面平行性质可得，即可完成证明； （2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后由，结合题意可得，对应坐标，即可得答案. 【小问1详解】 因为底面ABCD是正方形，所以， 因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． 又因为平面ADFE，平面平面，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD． 【小问2详解】 因为平面平面ABCD，平面平面，，平面PAD， 所以平面ABCD，又由四边形ABCD为正方形，得． 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． 由可得， 又，则，即， 又由（1），则，得 则，因 所以，所以，． 设异面直线PB与DF所成的角为， ， 故异面直线PB与DF所成角的余弦值为． 18. 已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点. （1）求直线斜率的取值范围； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围； （2）设直线的方程为，设点、，由平面向量的坐标运算可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 解：在双曲线中，，，则， 该双曲线的左焦点为，若直线的斜率不存在，则直线与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 因为直线与双曲线左、右两支分别相交于、两点， 所以，，解得， 因此，直线的斜率的取值范围是. 【小问2详解】 解：因为，， 由可得，则， 当直线与轴重合时，则点、，，， 此时，，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， 由（1）可得，则或， 由韦达定理可得，则， ，即，解得，则， 所以，. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法 （1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解． 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． （1）若，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到第二次“和扩充”后得到数列，从而计算出； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为，得到，构造等比数列，求出，从而得到不等式，求出解集； （3）得到，从而利用累加法求和得到，从而得到结论. 【小问1详解】 ，第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ； 【小问2详解】 数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，故， ， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得， 【小问3详解】 因为， ，， 依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或. 【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 球溪高级中学2024—2025学年（上）高三期末考试（普通班） 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为数列的前项和，若，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 5. 为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通过简单随机抽样从中抽取了1000户进行调查，得到其月用水量的平均数为9吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数（ ） A. 一定为9吨 B. 高于9吨 C. 约为9吨 D. 低于9吨 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方中间一层转动了45°之后，表面积增加了（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有2个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 处取得极小值 D. 在处取得极大值 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l且与x轴交于点Q，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 函数的初相位为 B. 若函数的最小正周期为，则 C. 若，则函数的图象关于直线对称 D. 若函数的图象关于直线对称，则的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为__________. 13. 已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为__________． 14. 某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有_________种.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若，，求面积． 16. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，F为棱PC上的点（异于端点），平面ADF与棱PB交于点E． （1）求证：平面ABCD． （2）若，且平面平面ABCD，求异面直线PB与DF所成角的余弦值． 18. 已知、是双曲线左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点. （1）求直线斜率的取值范围； （2）若，求的面积. 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． （1）若，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$