精品解析：湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试卷

公安三中2024级高一下学期3月考试数学试卷 命题人：刘军 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角关系结合象限角三角函数值的符号分析求解. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以. 故选：A. 2. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若，，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知所求弓形的面积为扇形的面积减去等边三角形的面积，所以根据已知条件求出扇形的面积和等边三角形的面积即可. 【详解】因为，，所以为等边三角形， 因为，所以， 所以弧与弦围成的弓形的面积为 . 故选：B 3. 已知且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可. 【详解】由，得，即， 所以，所以. 故选:C. 4. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将、、进行化简，利用正弦函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为， ， ， 且函数在上为增函数，且， 所以，，即. 故选：B. 5. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 6. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有三角函数的定义得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可. 【详解】将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 7. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据x的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案. 【详解】因为的图象经过点，所以，又，所以， 则函数，当时，， 因为在上恰有2个零点， 所以，所以，即实数ω的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（ ） A. 6 B. C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质结合对称中心个数分类求出的值. 【详解】函数，其最小正周期， 由函数在区间上恰有两个对称中心，得， 即，解得，又， 则当是函数图象对称轴时，，解得， 此时或，或； 当与为周期长的区间两个端点时，，解得，符合题意， 所以的所有可能取值之和是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由在区间上的对称中心个数得求出范围，再结合函数值相等分类求解是关键. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的余弦公式可判断B选项；利用两角差的正切公式可判断C选项；利用二倍角的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求得，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，进而求解. 【详解】由题图可得，，故，所以， 又，即， 所以，，又，所以，所以． 对于A：当时，，故A正确； 对于B：当时，为最小值， 故的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数： 的图象，故C错误； 对于D：当时，， 则当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增， 因为，，， 所以方程在上有两个不相等的实数根时， 的取值范围是，故D正确． 故选：ABD 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为14 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期可判断A选项；结合已知和对称性得，，，，进而利用周期性求和可判断B选项；将的零点转化为函数图象的交点问题即可求解C选项；结合与的函数值的符号，根据奇函数的性质和周期性可判断D选项. 【详解】为偶函数，， ，且函数的图象关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，，， ，且函数的图象关于点对称， 函数的周期为4，故A错误； 当时，，， 而，，， ，故B正确； 函数的零点可看作与的图象交点的横坐标， 作出与的图象， 观察图象知，直线与的图象共有7个交点，且它们关于点成中心对称， 所有零点之和为，故C正确； 当时，，，与均为奇函数， 则当时，，， 当时，， 又与的周期都为4， 在上成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：(1)关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；(2)关于周期：若，或，可知函数的周期为. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用和的关系，先求出的值，再利用和的关系，开方时结合角的范围检验，即可求得结果. 【详解】由题意得， 所以， 因为，所以可得 ， 所以， 又因为是第二象限角，则，可得 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，则函数的值域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方关系降幂，再利用二倍角公式化简后，结合正弦函数值域与二次函数性质得值域． 【详解】， 又， 所以， 故答案为：． 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，问题转化为这两个函数在定义域内同正同负或同为0，结合函数图象得出它们的图象与轴交点重合，从而得出关系，代入，再由基本不等式得最小值． 【详解】由已知的定义域是， 设，，显然它们在定义域内都是增函数， 因此恒成立，则与在定义域内同正同负或同为0， 作出图象，要求，只要它们的图象与轴的交点重合，如图所示， 由，由， 所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知. （1）化简； （2）若，且满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式直接化简即可； （2）由（1）可得，解得，再利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简代入计算即可. 【小问1详解】 由题意可知 . 【小问2详解】 由（1）可知，则，即， 可得， 且，可得， 所以 16. 已知函数，． （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若为锐角且，满足，求． 【答案】（Ⅰ），，． （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）把使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间. （Ⅱ）化简，求出，进一步求出的正弦及余弦，令，利用两角差的正弦公式代入计算即可. 【详解】解：（Ⅰ） ． 所以的最小正周期， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， 因为为锐角，所以，， 又因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题． 17. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）；单调递减区间是， （2），；， （3） 【解析】 【分析】（1）由的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间； （2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值； （3）由余弦函数的性质解不等式． 【小问1详解】 的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. 【小问2详解】 ∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 【小问3详解】 ，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 18. 已知函数（，，）是定义在上的奇函数. （1）求和实数b的值； （2）当时，若满足，求实数t的取值范围； （3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 【答案】（1）， （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）直接代入计算出，由奇函数的定义求出值； （2）利用奇函数的性质变形不等式，再由单调性化简后求解； （3）假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立，利用奇偶性单调性变形化简不等式转化为二次不等式恒成立（注意定义域），分别求解后求交集得出． 【小问1详解】 依题意，， 又是上的奇函数，则，即， 亦即，整理得，于是，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 显然函数在上单调递减， 由奇函数性质及，得， 当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 不等式化为，解得， 【小问3详解】 假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立， 即恒成立， 当时，由（2）知函数在上单调递增， 不等式化为，整理得， 于有对任意恒成立，则， 当时，，因此； 有对任意恒成立，设， ①当时，函数的图象开口向上，对称轴， （i）当，即时，必有，则； （ii）当，即时，在上恒成立，则； （iii）当，即时，在上恒成立，则； ②当时，，不满足在上恒成立， 综上得且， 所以存在使得对定义域内的一切，都有恒成立. 19. 已知函数，其中t为常数. （1）当时，若，求x的值； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入后可得，结合范围计算即可得解； （2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有，即可得，即可得证. 【小问1详解】 时，即为，， 或 所以或，， 【小问2详解】 ①令，因为，所以，则， 则， 由在上单调递增， 故关于的方程在上有两个不相等实数根， 即有， 解得，即的取值范围为； ②令，， 则，为关于的方程的两根， 则有，， 所以，， 所以， 即， 即有，由①知， 故，又，故， 由于，则，故， 又在上单调递增，故， 即. 【点睛】方法点睛：与有关的零点问题，可能通过换元法转化为一元二次方程的根的分布问题，而要证明零点满足的不等式，需要找出两个零点之间的关系及其中一个零点的范围，然后利用函数的性质如单调性证明出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 公安三中2024级高一下学期3月考试数学试卷 命题人：刘军 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若，，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知且，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则有（ ） A B. C. D. 5. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（ ） A. 6 B. C. D. 16 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 已知是定义在上奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为14 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____. 13. 已知函数，则函数的值域为___________． 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知. （1）化简； （2）若，且满足，求的值. 16. 已知函数，． （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若为锐角且，满足，求． 17. 已知函数，． （1）求函数最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 18. 已知函数（，，）是定义在上奇函数. （1）求和实数b的值； （2）当时，若满足，求实数t的取值范围； （3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 19. 已知函数，其中t为常数. （1）当时，若，求x的值； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $