精品解析：北京市北京大学附属中学元培学院2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

2023—2024学年第一学期北大附中元培学院高一期中考试 数学试卷 考生须知： 1．考生要认真填写考场号和座位序号． 2．本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共110分． 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 4．考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 设是两个正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知存在，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数：下列说法不正确的是（ ） A. 时， B. 时，函数取得最大值 C. 函数值域是 D. 函数在上是增函数 10. 设函数，下列选项中错误的是（ ） A. 任意 B. 在和上是增函数 C. 任意，指数函数的图象与的图象恰有2个公共点 D. 任意，二次函数的图象与的图象只有公共点 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是___________． 12. 函数的单调递减区间是______． 13. 已知函数，则______；函数的所有零点组成的集合是______． 14. 已知函数的定义域是，且对任意，写出满足条件的一个函数的解析式：______． 15. 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小．为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯蒂模型：，其中是正常数，表示初始时刻种群数量，叫做种群的内禀增长率，是环境容纳量．可以近似刻画时刻的种群数量．给出下列四个结论：①如果，那么存在； ②如果，那么存在； ③如果，那么对任意； ④如果，那么存在，任意． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）． 17. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，求的值域； （3）若在上单调递减，求实数的取值范围． 18. 天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 （1）已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） （2）如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 055 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； （3）如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 19. 已知函数． （1）判断函数的单调性和奇偶性，并给出证明； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 20 已知函数，其中． （1）求与的值； （2）证明：对任意，函数存在零点； （3）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 21. 设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． （1）判断是否为“好集”，并说明理由； （2）证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； （3）求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第一学期北大附中元培学院高一期中考试 数学试卷 考生须知： 1．考生要认真填写考场号和座位序号． 2．本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共110分． 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 4．考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合集合的并集运算求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：D. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数性质依次判断选项即可. 【详解】对于A选项：指数函数，底数，所以函数在上单调递减；对于B选项：幂函数，，所以幂函数在上单调递减；对于C选项：二次函数，对称轴为，所以二次函数在上单调递减，在上单调递增；对于D选项：对数函数，底数，所以对数函数在上单调递增. 故选：D. 【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的求解方法判断即得. 【详解】不等式化为：，而， 所以的不等式无解，即解集为. 故选：B 4. 已知，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合指数函数、幂函数单调性分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增，则，即； 又因为在定义域内单调递增，则，即； 综上所述：. 故选：A. 5. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，函数与的定义域分别为R和，A不是； 对于B，函数与的定义域分别为非0实数集和正实数集，B不是； 对于C，函数与的定义域分别为和，C不是； 对于D，函数与的定义域均为非0实数集，且， 即对应法则也相同，D是. 故选：D 6. 设是两个正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即可. 【详解】若正实数满足，则； 反之，取，满足，而， 所以“”是“”的充分不必要条件，A正确. 故选：A. 7. 已知存在，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 8. 已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：对任意恒成立，分和两种情况，结合二次不等式恒成立问题分析求解. 【详解】由题意可知：对任意恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 9. 当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数：下列说法不正确的是（ ） A. 时， B. 时，函数取得最大值 C. 函数的值域是 D. 函数在上是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数值判断A；求出最大值判断；求出值域判断C；取特值计算判断D. 【详解】对于A，当时，，A正确； 对于B，当时，， 当且仅当时取等号，而当时，， 又，因此当时，函数取得最大值，B正确； 对于C，函数在上递增，， 在上递增，，因此函数的值域是，C正确； 对于D，，因此函数在上不单调，D错误. 故选：D 10. 设函数，下列选项中错误的是（ ） A. 任意 B. 在和上是增函数 C. 任意，指数函数的图象与的图象恰有2个公共点 D. 任意，二次函数的图象与的图象只有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据函数解析式代入运算证明；对于B：整理可得，结合单调性性质分析判断；对于C：根据函数图象分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：任意，，故A正确； 对于选项B：因为的定义域为， 且，可知在和上是增函数，故B正确； 对于选项C：若，分别作出指数函数的图象与的图象， 由图象可知：指数函数的图象与的图象恰有2个公共点，故C正确； 对于选项D：例如，令，则， 可知为二次函数的图象与的图象的交点，故D错误； 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】因为， 所以，则且， 故的定义域是. 故答案为：. 12. 函数的单调递减区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质作出函数图象，即可得函数单调区间. 【详解】函数的图象即为的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变， 据此可得函数的图象，如图所示： 由图可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 13. 已知函数，则______；函数的所有零点组成的集合是______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据函数解析式直接代入可得；令可得或，结合函数单调性分析求解. 【详解】因为的定义域为， 且在定义域为内单调递增， 所以在定义域为内单调递增. 可得； 令，解得或， 因为在定义域为内单调递增，且，， 由或，可得或， 所以函数的所有零点组成的集合是. 故答案为：1；. 14. 已知函数的定义域是，且对任意，写出满足条件的一个函数的解析式：______． 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】 【分析】举例，结合对数运算题意验证即可. 【详解】例如，可知函数的定义域是， 对任意， 可得， 即符合题意. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）. 15. 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小．为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯蒂模型：，其中是正常数，表示初始时刻种群数量，叫做种群的内禀增长率，是环境容纳量．可以近似刻画时刻的种群数量．给出下列四个结论：①如果，那么存在； ②如果，那么存在； ③如果，那么对任意； ④如果，那么存在，任意． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①：令，运算求解即可；对于②：利用作差法分析判断即可；对于③：结合函数单调性分析判断；对于④：根据函数值域结合函数单调性分析判断. 【详解】对于①：当时，， 令，解得：， 因为r为种群的内禀增长率，，所以，故①正确； 对于②：因为， 因为，，则，可得， 则，所以对任意的，故②错误； 对于③：因为，且在内单调递减， 若，，可知，可知在内单调递减， 则在内单调递增， 所以对任意，故③正确； 对于④：因为，且， 则，可得，所以， 又因为在内单调递增， 所以存在，任意，故④正确； 故答案为：①③④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用指数函数单调性解不等式. （2）利用一元二次不等式解法及指数函数单调性求解不等式. （3）利用对数运算及对数函数单调性求解不等式. 【小问1详解】 不等式化为：，即，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式化为：，则或，解得或， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式化为：，则， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，求的值域； （3）若在上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接代入运算求解即可； （2）根据函数单调性，分别分析在和内的值域，再取并集； （3）根据分段函数单调性列式求解即可，注意端点值的大小关系. 【小问1详解】 因为， 则，解得. 【小问2详解】 因为，且， 可知在内单调递增，则， 所以在内的值域为； 且在内单调递增，则， 所以在内的值域为； 注意到， 所以在内的值域为. 【小问3详解】 若在上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 （1）已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） （2）如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； （3）如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 【答案】（1） （2）天狼星、牛郎星、织女星 （3）该恒星距地球的距离大于光年（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】 分析】（1）由题意可得：，结合题意圆求解即可； （2）整理可得，结合题意分析求解即可； （3）根据题意可得，进而分析即可. 【小问1详解】 设太阳、天狼星的视星等是，亮度分别为， 由题意可知：，可得， 所以太阳与天狼星的亮度之比为. 【小问2详解】 因为，可得， 则随着增大而增大， 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 由表可知：由小到大依次为：天狼星、牛郎星、织女星， 所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为：天狼星、牛郎星、织女星. 【小问3详解】 若一颗恒星的视星等大于绝对星等，则， 可知， 所以该恒星距地球的距离大于光年. 19. 已知函数． （1）判断函数的单调性和奇偶性，并给出证明； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在定义域内单调递增，且为奇函数，证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数单调性证明函数的单调性，并结合奇函数的定义证明奇偶性； （2）根据单调性和奇偶性可得对任意恒成立，利用基本不等式结合恒成立问题运算求解. 【小问1详解】 函数在定义域内单调递增，且为奇函数， 对任意，且， 因为在定义域内单调递增，则， 可得，即，则， 可得，即， 所以函数在定义域内单调递增， 又因为，所以函数为奇函数. 【小问2详解】 因为，可得， 又因为函数在定义域内单调递增，则，即， 注意到，可得， 由题意可知：对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 20. 已知函数，其中． （1）求与的值； （2）证明：对任意，函数存在零点； （3）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）代入求出函数值. （2）按的取值情况分类讨论，结合函数零点存在性定理推理得证. （3）求出函数的值域，将给定问题转化为函数的值域包含，进而转化为函数的值域包含，再按分类讨论求解. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 ，令， 当时，，由，得，即函数有零点； 当时，若，则，函数在有定义， 且在上的图象连续不断，而，因此函数在内有零点； 当时，，恒成立，函数定义域为， 由，得函数在内有零点； 当时，，，，函数在内有零点； 当时，，当且仅当时取等号， ，在上各有一个根， 记在上的零点为，当从小于的方向趋近于时，从大于0的方向趋近于0， 趋近于负无穷大，则趋近于正无穷大，而，函数在内有零点， 所以对任意，函数存在零点. 【小问3详解】 ，函数的值域为， 由对任意，存在，使得成立，得函数值域包含， 而函数在上单调递增，因此函数值域包含， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，即函数值域为， 由，解得，此时函数值域包含，因此， 所以实数的取值范围是. 21. 设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． （1）判断是否为“好集”，并说明理由； （2）证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； （3）求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3），，，，. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义即可判断； （2）利用“好集”的定义，证明该结论； （3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案. 【小问1详解】 由于，，二者交集为空，故是“好集”. 【小问2详解】 显然此时，，而，故，所以是“好集”. 【小问3详解】 由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $