精品解析：山西省太原市某校2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

2024-2025学年第二学期 高一年级开学考试（数学） 测试时长：120分 总分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的运算求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：D. 3. 已知函数的零点在区间内，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为，， 所以函数在区间内有零点，所以. 故选：C. 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的解析式，可得函数为奇函数，排除C选项，在上函数值大于0，排除D选项，再由接近8，排除A，只有B的图象接近函数的图象. 【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称， 又因为， 所以函数为奇函数，排除C选项， 当时，，排除D选项， 当时，，所以A不正确，B正确 故选：B. 5. 中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为（ ） A. 128 B. C. D. 192 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为，利用扇形的弧长公式可得，解得，利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】因为的长为，的长为，，， 则， 如图，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为， 则，解得， 则扇环的面积. 故选：D. 6. 已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若（为自然对数的底数），则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增， 因为 所以，即. 故选：C. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式同角关系将条件转化为关于，的方程组，解方程求，，再结合两角和正弦公式求结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设推出函数的周期性和图象的对称性，再利用这些性质推出，根据和，利用周期性即可求得结果. 【详解】因对于，，则， 故函数为周期函数，4是函数的一个周期， 又是上奇函数，则，故的图象关于点对称， 于是，， 在，取，得， 因， 则 ， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对称性解题. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用作差法计算可得A错误，C正确，取特殊值可得B错误，由不等式性质计算可判断D正确. 【详解】对于A，由可得，所以，即，即A错误； 对于B，不妨取，，此时，即B错误； 对于C，由可得，所以，即，因此C正确； 对于D，由可得，又，所以，即D正确. 故选：CD 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 该图象向左平移个单位长度可得图象 C. 该图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来倍可得图象 D. 函数在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】由图可知，由得，将点代入求得，从而得，验证 是否为0可判断A；根据三角函数图象的变换规律求得变换后的函数解析式可判断B、C；利用三角函数的图象及其单调性可判断D. 【详解】由图可知，由得 ，， 将点的坐标代入中，可得， 则，因为，所以，得， 对于A，将代入，得到， 故函数的图象关于点对称，故A正确； 对于B， 图象向左平移个单位， 则，故B正确； 对于C，对于，如果横坐标伸长到原来的2倍，则； 同时纵坐标缩短到原来的倍，得，故C正确； D.由于，则，而在不单调 故函数在上不单调，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点第一次到达最高点需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C. 当水轮转动50秒时，点水面下方，距离水面2米 D. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，，，解得, ，则. 当时，，则， 又，则. 综上，，故D正确； 令，则， 若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确. 故选：B. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则＝______ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据条件确定函数的解析式，再求函数值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或1， 又的图象与坐标轴无公共点，故，故， 所以． 故答案为： 13. 函数的减区间是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，令，分别求出，在定义域上的单调性，再由复合函数的单调性即可求出答案. 详解】要使函数有意义，则，即或， 设，则当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减． ∵函数在定义域上为单调递增函数， ∴根据复合函数的单调性之间的关系可知， 函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数的递减区间为. 故答案为:. 14. 若，，且 ，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】首先化简得，再利用乘“1”法即可得到最小值. 【详解】，即，， 则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可. （2）根据对数的运算性质计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知关于的不等式的解集为或 （1）求的值； （2）解关于的不等式 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可； （2）先化简不等式，因式分解后，讨论的范围得到解集. 【小问1详解】 根据题意，得方程的两个根为1和， 由根与系数的关系得， 解之得 【小问2详解】 由（1）得关于的不等式， 即，因式分解得． ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； 17. 已知. （1）若，求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，然后结合同角三角函数关系式即可得到结果. （2）由，且，得出，代入即可得到结果. 【小问1详解】 ， ， ， . 【小问2详解】 ， ， ， ， ， . 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求函数图象的对称中心； （3）求函数在区间 上的最大值和最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简函数，再求出周期即得. （2）利用余弦函数图象的对称性求出对称中心. （3）利用余弦函数的性质求出在指定区间上的最值. 【小问1详解】 函数 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由，解得， 所以函数图象的对称中心是. 【小问3详解】 当时，， 则当，即时，；当，即时，， 所以函数在区间 上的最大值和最小值分别为. 19. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.已知函数. （1）对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求不等式的解集； （3）当时，求的最大值. 【答案】（1）是，定值1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将两函数式代入计算即得； （2）利用函数的奇偶性和单调性转化求解抽象不等式即得； （3）令，求得，将函数换元化成，利用二次函数的图象性质结合区间即可分段求得的解析式，再合并表示即可. 【小问1详解】 由， 可得 ， 即 是定值，定值为1. 【小问2详解】 易知的定义域为， 又，所以为奇函数， 由不等式可得， 又易得是上的增函数，所以，所以， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 令，因在上单调递增，故得， 又因为，， 则，， ① 当时，函数在上单调递增， 故当时，取得最大值为； ② 当时，函数在上单调递减， 故当时，取得最大值为； ③当时，函数上单调递增，在上单调递减， 所以时取最大值； 综上可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期 高一年级开学考试（数学） 测试时长：120分 总分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的零点在区间内，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为（ ） A. 128 B. C. D. 192 6. 已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若（为自然对数的底数），则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 该图象向左平移个单位长度可得图象 C. 该图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来倍可得图象 D. 函数在上单调递减 11. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点第一次到达最高点需要20秒 B 当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则＝______ 13. 函数的减区间是______. 14. 若，，且 ，则的最小值为____. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 16. 已知关于的不等式的解集为或 （1）求的值； （2）解关于不等式 17. 已知. （1）若，求的值； （2）若，且，求的值. 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求函数图象的对称中心； （3）求函数在区间 上的最大值和最小值. 19. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.已知函数. （1）对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求不等式的解集； （3）当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $