8.1　相交线 同步练习 2024-2025学年青岛版数学七年级下册

六　相交线(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　对顶角和邻补角 1.下面各图中,∠1与∠2是邻补角的是( ) 2.如图,图中的对顶角共有( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 3.光线从空气射入玻璃时,光的传播方向发生了改变,一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线,一部分光线穿过玻璃发生了折射,如图所示,由科学实验知道, ∠1=∠2,∠4<∠3,那么∠1和∠2是对顶角吗,∠3和∠4是对顶角吗?为什么? 知识点2　对顶角、邻补角的性质 4.如图,是一种测量角的仪器,它依据的原理是( ) A.等角的补角相等 B.对顶角相等 C.两点之间线段最短 D.等角的余角相等 5.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠AOC+∠BOD=120°,则∠AOC=( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.40° B.50° C.60° D.70° 6.(2024·滨州沾化模拟)利用如图的工具可以测得∠1的大小是 °.  7.如图,直线AB和CD交于点O,OE平分∠AOD.若∠AOC=52°,求∠BOE的度数. 【B层 能力进阶】 8.(2024·淄博博山质检)下列各图中,一定能得出∠1与∠2相等的图形个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9.如图,直线m与直线n相交于点O,若∠2=∠1+100°,则∠3的度数为( ) A.40° B.35° C.50° D.45° 10.泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家,据说“两条直线相交,对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等”使用的依据是( ) A.等角的补角相等 B.同角的余角相等 C.等角的余角相等 D.同角的补角相等 11.如图,AB,CD两条直线相交于点O,OF平分∠AOD,已知∠BOC=40°,则∠FOB= °.  12.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOE=2∠AOC,若∠1=38°,则∠DOE等于 .  13.如图,直线AB,CD相交于点O,OM平分∠BOD,ON平分∠BOC,∠1∶∠2=7∶1,则∠AON的度数为 °.  14.(2024·德州禹城市质检)如图,直线MD,CN相交于点O,OA是∠MOC内的一条射线,OB是∠NOD内的一条射线,∠MON=70°.若∠AOD=2∠BOD,∠BOC=3∠AOC,求∠BON的度数. 【C层 创新挑战（选做）】 15.(运算能力、推理能力、几何直观)黄冈旅游资源十分丰富,“桃林春色,柏子秋荫”便是其八景之一.为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角(图中∠ABC)的大小,张扬同学设计了两种测量方案: 方案1:作AB的延长线,量出∠CBD的度数,便知∠ABC的度数; 方案2:作AB的延长线,CB的延长线,量出∠DBE的度数,便知∠ABC的度数. 同学们,你能解释他这样做的道理吗? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六　相交线(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　对顶角和邻补角 1.下面各图中,∠1与∠2是邻补角的是(D) 2.如图,图中的对顶角共有(A) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 3.光线从空气射入玻璃时,光的传播方向发生了改变,一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线,一部分光线穿过玻璃发生了折射,如图所示,由科学实验知道, ∠1=∠2,∠4<∠3,那么∠1和∠2是对顶角吗,∠3和∠4是对顶角吗?为什么? 【解析】∠1和∠2不是对顶角,∠3和∠4也不是对顶角, 因为∠1和∠2,∠3和∠4这两对角均有一边互为反向延长线,一边不互为反向延长线. 知识点2　对顶角、邻补角的性质 4.如图,是一种测量角的仪器,它依据的原理是(B) A.等角的补角相等 B.对顶角相等 C.两点之间线段最短 D.等角的余角相等 5.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠AOC+∠BOD=120°,则∠AOC=(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.40° B.50° C.60° D.70° 6.(2024·滨州沾化模拟)利用如图的工具可以测得∠1的大小是　30　°.  7.如图,直线AB和CD交于点O,OE平分∠AOD.若∠AOC=52°,求∠BOE的度数. 【解析】因为∠AOC=52°, 所以∠BOD=∠AOC=52°,∠AOD=180°-∠AOC=180°-52°=128°, 又因为OE平分∠AOD, 所以∠DOE=∠AOD=×128°=64°, 所以∠BOE=∠BOD+∠DOE=52°+64°=116°. 【B层 能力进阶】 8.(2024·淄博博山质检)下列各图中,一定能得出∠1与∠2相等的图形个数是(C) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9.如图,直线m与直线n相交于点O,若∠2=∠1+100°,则∠3的度数为(A) A.40° B.35° C.50° D.45° 10.泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家,据说“两条直线相交,对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等”使用的依据是(D) A.等角的补角相等 B.同角的余角相等 C.等角的余角相等 D.同角的补角相等 11.如图,AB,CD两条直线相交于点O,OF平分∠AOD,已知∠BOC=40°,则∠FOB=　160　°.  12.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOE=2∠AOC,若∠1=38°,则∠DOE等于　66°　.  13.如图,直线AB,CD相交于点O,OM平分∠BOD,ON平分∠BOC,∠1∶∠2=7∶1,则∠AON的度数为　110　°.  14.(2024·德州禹城市质检)如图,直线MD,CN相交于点O,OA是∠MOC内的一条射线,OB是∠NOD内的一条射线,∠MON=70°.若∠AOD=2∠BOD,∠BOC=3∠AOC,求∠BON的度数. 【解析】因为∠MON=70°, 所以∠COD=∠MON=70°, 设∠AOC=x,则∠BOC=3x,∠AOD=x+70°, 所以∠BOD=3x-70°, 因为∠AOD=2∠BOD, 所以x+70°=2(3x-70°), 解得x=42°, 所以∠BOC=126°, 所以∠BON=180°-∠BOC=54°. 【C层 创新挑战（选做）】 15.(运算能力、推理能力、几何直观)黄冈旅游资源十分丰富,“桃林春色,柏子秋荫”便是其八景之一.为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角(图中∠ABC)的大小,张扬同学设计了两种测量方案: 方案1:作AB的延长线,量出∠CBD的度数,便知∠ABC的度数; 方案2:作AB的延长线,CB的延长线,量出∠DBE的度数,便知∠ABC的度数. 同学们,你能解释他这样做的道理吗? 【解析】方案1:因为∠CBD与∠ABC为邻补角,所以根据邻补角的性质可得: ∠CBD+∠ABC=180°, 所以量出∠CBD的度数,便知∠ABC的度数; 方案2:因为∠DBE与∠ABC为对顶角, 所以根据对顶角相等可得:∠ABC=∠DBE,所以量出∠DBE的度数,便知∠ABC的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七　相交线(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　垂直的定义及性质 1.(2024·潍坊昌乐模拟)用三角板过点A作BC所在直线的垂线,如图三角板的位置摆放正确的是( ) 2.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,如果∠AOC=30°,EF⊥CD,那么∠AOF的度数为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.55° B.60° C.70° D.120° 3.如图,点O在直线AB上,CO⊥AB,∠2-∠1=34°,那么∠AOD的度数是 .  4.如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB,若∠BOC=4∠1,求∠MOD的度数. 知识点2　垂线段的性质及应用 5.(2024·烟台福山模拟)如图,小华同学的家在点P处,他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆,他选择沿线段PC去公路边,他的这一选择用到的数学知识是( ) A.两点确定一条直线　　 B.两点之间直线最短 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短 6.在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示,直线l表示起跳线,经测量,PB=2.4米,PC=2.3米,PD=2.6米,则该同学立定跳远的实际成绩是 米.  7.(2024·泰安肥城模拟)小丽在探究垂线的性质时,是这样做的:首先通过直线l外一点P作直线l的垂线,垂足为O.然后在直线l上任取三点A,B,C(与点O不重合),连接PA,PB,PC,通过比较PA,PB,PC,PO的长短,结果发现PO最短.如图所示,小丽这样做发现了垂线的性质是: .  8.如图所示,在三角形ABC中,AC=5,BC=6,BC边上的高AD=4,若点P在边AC上(不含端点)移动,求BP最短时的值. 【B层 能力进阶】 9.(2024·淄博博山质检)直线l上有A,B,C三点,直线l外有一点P,若PA=5 cm,PB= 3 cm,PC=2 cm,那么P点到l的距离( ) A.等于2 cm　　　 B.小于2 cm C.不大于2 cm D.大于2 cm而小于3 cm 10.已知P是直线l外一点,以P为一个端点作线段PQ,使端点Q在直线l上,并且使线段PQ的长为5 cm,这样的线段的条数不可能的是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 11.如图,在△ABC中,BC=10,S△ABC=30,P为边BC上一动点,连接AP,以AP为边向左侧作正方形APDE,则正方形APDE的面积的最小值为( ) A.12 B.36 C.24 D.52 12.(2024·威海文登模拟)如图,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB于点O,且∠BOD∶∠EOD=1∶2,则∠EOC的度数为 .  13.点P是直线AB上的一个动点,点C是直线AB外一定点,现给出以下结论: ①点P在运动过程中,使直线PC⊥AB的点P有两个; ②若∠CBA>90°,当点P从A出发,沿射线AB的方向运动时,∠CPB先变大再变小; ③若AB=2AP,则△ACP与△BCP的面积相等; ④当∠CPA=90°时,线段CP的长度就是点C到直线AB的距离. 其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)  14.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O,OF平分∠BOD,OE与OF在直线CD的同侧. (1)若∠AOC=50°,求∠EOF的度数; (2)若∠EOF=60°,求∠BOC的度数; (3)试猜想∠EOF与∠BOC之间的数量关系,并说明理由. 【C层 创新挑战（选做）】 15.(运算能力、推理能力、几何直观)(2024·滨州博兴模拟)已知,点O在直线AB上,OC⊥OD,OE平分∠BOC. 【问题初探】 (1)如图1,若∠AOC=116°,求∠DOE的度数; 【类比分析】 (2)如图1,试探究∠DOE与∠AOC之间的数量关系,并说明理由; 【拓展应用】 (3)如图2,若OM平分∠AOC,ON平分∠BOE,试探究2∠MON+∠DOE的值是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七　相交线(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　垂直的定义及性质 1.(2024·潍坊昌乐模拟)用三角板过点A作BC所在直线的垂线,如图三角板的位置摆放正确的是(B) 2.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,如果∠AOC=30°,EF⊥CD,那么∠AOF的度数为(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.55° B.60° C.70° D.120° 3.如图,点O在直线AB上,CO⊥AB,∠2-∠1=34°,那么∠AOD的度数是　118°　.  4.如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB,若∠BOC=4∠1,求∠MOD的度数. 【解析】因为OM⊥AB, 所以∠MOB=90°, 因为∠BOC=4∠1,∠BOC=∠MOB+∠1, 所以90°+∠1=4∠1, 所以∠1=30°, 所以∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°. 知识点2　垂线段的性质及应用 5.(2024·烟台福山模拟)如图,小华同学的家在点P处,他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆,他选择沿线段PC去公路边,他的这一选择用到的数学知识是(D) A.两点确定一条直线　　 B.两点之间直线最短 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短 6.在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示,直线l表示起跳线,经测量,PB=2.4米,PC=2.3米,PD=2.6米,则该同学立定跳远的实际成绩是　2.3　米.  7.(2024·泰安肥城模拟)小丽在探究垂线的性质时,是这样做的:首先通过直线l外一点P作直线l的垂线,垂足为O.然后在直线l上任取三点A,B,C(与点O不重合),连接PA,PB,PC,通过比较PA,PB,PC,PO的长短,结果发现PO最短.如图所示,小丽这样做发现了垂线的性质是:　垂线段最短　.  8.如图所示,在三角形ABC中,AC=5,BC=6,BC边上的高AD=4,若点P在边AC上(不含端点)移动,求BP最短时的值. 【解析】因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°,所以根据垂线段最短可知,当BP⊥AC时,BP最短, 因为S三角形ABC=BC·AD=AC·BP, 所以6×4=5BP, 所以BP=,即BP最短时的值为. 【B层 能力进阶】 9.(2024·淄博博山质检)直线l上有A,B,C三点,直线l外有一点P,若PA=5 cm,PB= 3 cm,PC=2 cm,那么P点到l的距离(C) A.等于2 cm　　　 B.小于2 cm C.不大于2 cm D.大于2 cm而小于3 cm 10.已知P是直线l外一点,以P为一个端点作线段PQ,使端点Q在直线l上,并且使线段PQ的长为5 cm,这样的线段的条数不可能的是(D) A.0 B.1 C.2 D.3 11.如图,在△ABC中,BC=10,S△ABC=30,P为边BC上一动点,连接AP,以AP为边向左侧作正方形APDE,则正方形APDE的面积的最小值为(B) A.12 B.36 C.24 D.52 12.(2024·威海文登模拟)如图,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB于点O,且∠BOD∶∠EOD=1∶2,则∠EOC的度数为　120°　.  13.点P是直线AB上的一个动点,点C是直线AB外一定点,现给出以下结论: ①点P在运动过程中,使直线PC⊥AB的点P有两个; ②若∠CBA>90°,当点P从A出发,沿射线AB的方向运动时,∠CPB先变大再变小; ③若AB=2AP,则△ACP与△BCP的面积相等; ④当∠CPA=90°时,线段CP的长度就是点C到直线AB的距离. 其中正确的是　②④　.(写出所有正确结论的序号)  14.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O,OF平分∠BOD,OE与OF在直线CD的同侧. (1)若∠AOC=50°,求∠EOF的度数; (2)若∠EOF=60°,求∠BOC的度数; (3)试猜想∠EOF与∠BOC之间的数量关系,并说明理由. 【解析】(1)因为∠AOC=50°, 所以∠BOD=∠AOC=50°, 因为OF平分∠BOD, 所以∠BOF=∠DOF=25°, 因为EO⊥CD, 所以∠COE=90°, 所以∠BOE=180°-90°-50°=40°, 所以∠EOF=40°+25°=65°; (2)因为∠EOF=60°,∠COE=90°, 所以∠FOD=180°-60°-90°=30°, 所以∠BOD=2∠FOD=60°, 所以∠BOC=180°-60°=120°; (3)∠BOC=2∠EOF,理由如下: 设∠AOC=α,则∠BOD=α, 由(1)得:∠BOE=90°-α,∠BOF=α, 所以∠BOC=180°-α,∠EOF=α+90°-α=90°-α, 所以∠BOC-2∠EOF=180°-α-(180°-α)=0, 所以∠BOC=2∠EOF. 【C层 创新挑战（选做）】 15.(运算能力、推理能力、几何直观)(2024·滨州博兴模拟)已知,点O在直线AB上,OC⊥OD,OE平分∠BOC. 【问题初探】 (1)如图1,若∠AOC=116°,求∠DOE的度数; 【类比分析】 (2)如图1,试探究∠DOE与∠AOC之间的数量关系,并说明理由; 【拓展应用】 (3)如图2,若OM平分∠AOC,ON平分∠BOE,试探究2∠MON+∠DOE的值是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由. 【解析】(1)因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-116°=64°. 因为OE平分∠BOC, 所以∠BOE=∠COE=∠BOC=×64°=32°. 因为∠DOC=90°, 所以∠DOE=∠DOC-∠COE=90°-32°=58°. (2)∠DOE=∠AOC. 理由:因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠BOC=180°-∠AOC. 因为OE平分∠BOC, 所以∠BOE=∠COE=∠BOC=(180°-∠AOC)=90°-∠AOC. 因为∠DOC=90°,所以∠DOE=∠DOC-∠COE=90°-(90°-∠AOC)=∠AOC.所以∠DOE=∠AOC. (3)2∠MON+∠DOE=270°. 理由:因为OM平分∠AOC, 所以∠COM=∠AOC. 由(2)得∠DOE=∠AOC, 所以∠COM=∠DOE. 因为ON平分∠BOE. 所以∠BON=∠EON=∠BOE. 因为∠BOE=∠COE=90°-∠AOC, 所以∠EON=(90°-∠AOC)=45°-∠AOC, 所以∠MON=∠MOC+∠COE+∠EON =∠AOC+90°-∠AOC+45°-∠AOC =135°-∠AOC. 因为∠DOE=∠AOC, 所以∠MON=135°-∠DOE, 所以2∠MON+∠DOE=270°. 学科网（北京）股份有限公司 $$