浙江省金华市永康市2024-2025学年上学期八年级数学期末学业水平监测试卷

2024-2025学年浙江省金华市永康市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）小明同学教室的座位在第2排第7列，可以用有序数对（7，2）表示，那么小华同学的座位在第3排第2列可表示为（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2） 2．（3分）甲骨文是刻写在龟甲和兽骨上的文字，为我们提供了了解商代历史的珍贵资料．下面是四个甲骨文字，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度AB，设计了如图所示的方案．在河边选了一点O，然后在BO的延长线上找一点C，使OC＝OB，在C点沿与河边垂直的方向直走到点D，观察到A，O，D三点在同一直线上．测得CD的长，就是河流的宽度AB，小明这种测量方法的原理是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．（3分）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表： … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … … 9 5 1 ﹣2 ﹣7 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（　　） A．9 B．5 C．﹣2 D．﹣7 6．（3分）如图，小明在A处，小华在B处，AB＝3km．对于小华的位置，下列描述能确定位置的是（　　） A．小华在小明的北偏东50°方向 B．小华在小明的北偏东50°方向，相距为3km处 C．小华在小明的北偏东40°方向 D．小华在小明的北偏东40°方向，相距为3km处 7．（3分）如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（3分）对于实数a，b，定义一种运算“⊕”：a⊕b＝a2+2ab，那么不等式组的解在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）若直线y＝mx+2与函数y＝|x|的图象有两个交点，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞1或m＜﹣1 B．﹣1＜m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜1 10．（3分）如图，在△ABC中，D，E为BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，连结AD，AE．若∠BAC＝100°，则∠DAE的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）写出一个函数值y随自变量x增大而增大的一次函数的解析式：　 　． 12．（3分）如图是边长均为1的小正方形网格，A，B，C，D均在格点上，则∠1+∠2＝ 　 　°． 13．（3分）某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打　 　折出售． 14．（3分）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E在槽中可以滑动，且CE＝DE＝CP．若∠DEB＝87°，则∠APB的度数为 　 　°． 15．（3分）甲、乙两地相距2千米，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地．小明、小华离甲地的距离y（千米）与出发的时间x（分）的函数图象如图所示，则小明出发后　 　分两人第二次相遇． 16．（3分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，△ABC的面积为1． （1）∠A＝　 　°． （2）如图2，若点P，Q分别是线段AC和AB上的两个动点，则BP+PQ的最小值为　 　． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17．（8分）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得2﹣3（x+4）＞2（1﹣x）．① 去括号，得2﹣3x﹣12＞2﹣2x．② 移项，得﹣3x+2x＞﹣2+12+2．③ 合并同类项，得﹣x＞12．④ 两边都除以﹣1，得x＜﹣12．⑤ 18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC上两点，连结AD，AE，且AD＝AE．求证：BD＝CE． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明△ABD≌△ACE得到．” 小华：“可以通过证明△ABE≌△ACD得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数y2＝﹣1.5x的图象交于点C．已知点B的坐标为（0，3），点C的纵坐标为6． （1）求一次函数y1＝kx+b的表达式； （2）当y1＞y2＞0时，直接写出自变量x的取值范围． 20．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12． （1）在图1中用尺规作图作AB的垂直平分线交AB于点D（保留作图痕迹）．连结CD，求CD的长． （2）用如图2的尺规作图的方法作射线交BC边于点E，求CE的长． 21．（8分）把△ABC放置在如图的网格纸中，已知每个小正方形的边长都为1． （1）请在网格纸中建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣1），（﹣1，﹣2）； （2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （3）已知点P是线段CC1上任意一点，用恰当的方式表示点P的坐标． 22．（10分）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形ABCD和小正方形EFGH．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路AB的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量AC＝5km，CD＝4km． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 23．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 【驱动问题】如何安排废水处理方案费用最省？ 【问题情境】为了响应国家环保政策，某工厂需要对废水进行处理．现有三种方式：（1）自己建造废水处理车间处理；（2）交给第三方处理；（3）一部分自己建造废水处理车间处理，剩余部分交给第三方处理． 素材1：建造一个废水处理车间需要费用5万元，可以处理废水6000吨，并且每处理一吨废水还需费用5元． 素材2：第三方处理废水费用15元/吨． 素材3：工厂生产产生的废水量少于10000吨． 【问题解决】 任务1：当工厂需要处理废水多少吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等． 任务2：若工厂需处理废水8000吨，如何安排废水处理方案，废水处理费用最省． 任务3：直接写出工厂生产产生不同废水量的处理方案，使废水处理费用最省． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C为射线AO上一动点（点C不与点A重合），以点B为直角顶点，BC为直角边在BC的右侧作等腰直角三角形BCD． （1）如图1，当点C是AO的中点时，求点D的坐标． （2）如图2，当点C在AO上移动时，连结AD，交y轴于点E．求证：AE＝DE． （3）点C在射线AO上运动过程中，当△ACD是等腰三角形时，求△ACD的面积． 2024-2025学年浙江省金华市永康市八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C C D D A B B 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）小明同学教室的座位在第2排第7列，可以用有序数对（7，2）表示，那么小华同学的座位在第3排第2列可表示为（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2） 【分析】由已知条件知：有序数对的表示方法是（列，排），据此即可解答． 【解答】解：由题意可知座位的表示方法为列在前，排在后， 得小华的座位可记作（2，3）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是做到在生活中理解数学的意义． 2．（3分）甲骨文是刻写在龟甲和兽骨上的文字，为我们提供了了解商代历史的珍贵资料．下面是四个甲骨文字，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【解答】解：从四个选项的甲骨文看，只有选项C中的甲骨文能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，而其余甲骨文则不具备这样的特性． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．（3分）下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的稳定性进行解答． 【解答】解：含有三角形结构的支架不容易变形． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的稳定性和多边形．当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 4．（3分）小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度AB，设计了如图所示的方案．在河边选了一点O，然后在BO的延长线上找一点C，使OC＝OB，在C点沿与河边垂直的方向直走到点D，观察到A，O，D三点在同一直线上．测得CD的长，就是河流的宽度AB，小明这种测量方法的原理是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】由垂直的定义得到∠DCO＝∠ABO＝90°，由ASA推出△OCD≌△OBA，得到AB＝CD． 【解答】解∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠DCO＝∠ABO＝90°， 在△OCD和△OBA中， ， ∴△OCD≌△OBA（ASA）， ∴AB＝CD， ∴小明这种测量方法的原理是ASA． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握：ASA． 5．（3分）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表： … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … … 9 5 1 ﹣2 ﹣7 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（　　） A．9 B．5 C．﹣2 D．﹣7 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：由题知， 当x＝﹣2时，y＝9，当x＝﹣1时，y＝5， 则x增加1，y减少4． 当x＝0时，y＝1， 满足x增加1，y减少4的要求． 当x＝1时，y＝﹣2， 不满足x增加1，y减少4的要求． 所以﹣2是计算错误的函数值． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 6．（3分）如图，小明在A处，小华在B处，AB＝3km．对于小华的位置，下列描述能确定位置的是（　　） A．小华在小明的北偏东50°方向 B．小华在小明的北偏东50°方向，相距为3km处 C．小华在小明的北偏东40°方向 D．小华在小明的北偏东40°方向，相距为3km处 【分析】根据方向角的定义，即可解答． 【解答】解：如图，小明在A处，小华在B处，AB＝3km，小华在小明的北偏东40°方向，相距为3km处， 故选：D． 【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 7．（3分）如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【解答】解：①BC边上的中线BD：如图1，使点A、C重合，中点为点D，连接AD，此时BD即为AC边上的中线； ②∠ABC的平分线BE：如图2，沿直线BE折叠，使AB与CB重叠，此时BE即为∠ABC的角平分线； ③AC边上的高BF：如图3，沿直线BF折叠，使AF与CF重合，此时BF即为AC边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故选：D． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键． 8．（3分）对于实数a，b，定义一种运算“⊕”：a⊕b＝a2+2ab，那么不等式组的解在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据定义的新运算可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：， 解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x≤1， ∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤1， ∴原不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9．（3分）若直线y＝mx+2与函数y＝|x|的图象有两个交点，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞1或m＜﹣1 B．﹣1＜m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜1 【分析】先作函数的图象，再根据图象求解． 【解答】解：函数的图象如下图所示： 由图象得：当﹣1＜m＜1时，两个函数有两个交点， 故选：B． 【点评】本题考查了两条直线的相交于平行，理解数形结合思想和一次函数的性质是解题的关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，D，E为BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，连结AD，AE．若∠BAC＝100°，则∠DAE的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 【分析】由三角形内角和定理求出∠B+∠C＝80°，由等腰三角形的性质得到∠BEA＝90°﹣∠B，∠ADC＝90°﹣∠C，因此∠BEA+∠ADC＝180°﹣（∠B+∠C），由三角形内角和定理得到∠DAE＝（∠B+∠C）＝40°． 【解答】解：∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°， ∵AB＝BE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴∠BEA＝×（180°﹣∠B）＝90°﹣∠B， 同理：∠ADC＝90°﹣∠C， ∴∠BEA+∠ADC＝180°﹣（∠B+∠C）， ∴∠DAE＝180°﹣（∠BEA+∠ADC）＝（∠B+∠C）＝40°． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由以上知识点推出∠DAE＝（∠B+∠C）． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）写出一个函数值y随自变量x增大而增大的一次函数的解析式：　y＝x+3（答案不唯一）　． 【分析】首先可以用待定系数法设此一次函数关系式是：y＝kx+b（k≠0），再由函数值y随自变量x的增大而增大确定k的符号，进而可得出结论． 【解答】解：设此一次函数关系式是：y＝kx+b（k≠0）． ∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴k＞0． ∴函数解析式可以为：y＝x+3． 故答案为：y＝x+3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数的定义，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 12．（3分）如图是边长均为1的小正方形网格，A，B，C，D均在格点上，则∠1+∠2＝ 　90　°． 【分析】设网格中的正方形的边长为1，可得AE＝DF＝2，BE＝CF＝3，∠AEB＝∠DFC＝90°，然后利用全等三角形的性质和判定解决问题即可． 【解答】解：设网格中的正方形的边长为1，则AE＝DF＝2，BE＝CF＝3，∠AEB＝∠DFC＝90°，∠2+∠DCF＝90°， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠DCF＝∠1， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案为：90． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角，边与边之间的相互关系． 13．（3分）某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打　八　折出售． 【分析】设该移动手环打x折销售，利用利润＝售价×折扣率﹣进价，结合单件利润不低于24元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：设该移动手环打x折销售， 根据题意得：280×﹣200≥24， 解得：x≥8， ∴x的最小值为8， ∴最低可打八折出售． 故答案为：八． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 14．（3分）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E在槽中可以滑动，且CE＝DE＝CP．若∠DEB＝87°，则∠APB的度数为 　29　°． 【分析】由等腰三角形的性质推出∠P＝∠CEP，∠ECD＝∠EDC，由三角形的外角性质得到3∠P＝∠DEB，即可求出∠APB的度数． 【解答】解：∵CE＝DE＝CP， ∴∠P＝∠CEP，∠ECD＝∠EDC， ∵∠ECD＝∠P+∠CEP＝2∠P， ∠EDC＝2∠P， ∵∠P+∠CDE＝∠DEB， ∴3∠P＝∠DEB， ∵∠DEB＝87°， ∴∠APB＝29°． 故答案为：29． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是由以上知识点推出3∠P＝∠DEB． 15．（3分）甲、乙两地相距2千米，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地．小明、小华离甲地的距离y（千米）与出发的时间x（分）的函数图象如图所示，则小明出发后　　分两人第二次相遇． 【分析】先分别求出两个人的函数关系式，再列方程组求出交点即可． 【解答】解：由题意得：小华返回乙地方时间为8分钟， 设小华：y＝kx+b（x≥4）， 则：， 解得：， ∴小华：y＝x﹣2（x≥4）， 设小明：y＝ax， 则：10a＝2，解得：a＝0.2， 则小明：y＝0.2x， 解， 得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和两条直线的关系是解题的关键． 16．（3分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，△ABC的面积为1． （1）∠A＝　30　°． （2）如图2，若点P，Q分别是线段AC和AB上的两个动点，则BP+PQ的最小值为　　． 【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，结合三角形的面积公式可得＝，则BD＝1，即AB＝2BD，则可得∠A＝30°． （2）取点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'M⊥AB于点M，交AC于点N，连接BB'交AC于点D，连接BN，AB'，当点P与点N重合，点Q与点M重合时，BP+PQ取得最小值，为B'M的长．由题意可得△ABB'为等边三角形，则BM＝＝1，B'M＝＝，进而可得答案． 【解答】解：（1）如图1，过点B作BD⊥AC于点D， ∵AB＝AC＝2，△ABC的面积为1， ∴＝， ∴BD＝1， ∴AB＝2BD， ∴∠A＝30°． 故答案为：30． （2）如图2，取点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'M⊥AB于点M，交AC于点N，连接BB'交AC于点D，连接BN，AB'， 当点P与点N重合，点Q与点M重合时，BP+PQ取得最小值，为B'M的长． 由（1）可知，BD＝1， ∴BB'＝2BD＝2， ∴AB＝BB'． ∵点B与点B'关于AC对称， ∴AC垂直平分BB'， ∴AB＝AB'， ∴AB＝BB'＝AB'， ∴△ABB'为等边三角形， ∵B'M⊥AB， ∴BM＝＝1， ∴B'M＝＝＝， ∴BP+PQ的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的面积、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17．（8分）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得2﹣3（x+4）＞2（1﹣x）．① 去括号，得2﹣3x﹣12＞2﹣2x．② 移项，得﹣3x+2x＞﹣2+12+2．③ 合并同类项，得﹣x＞12．④ 两边都除以﹣1，得x＜﹣12．⑤ 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：首次出现错误步骤的序号是：①，错误的原因是：去分母时，2漏乘了6， 正确的解答过程如下： ， 12﹣3（x+4）＞2（1﹣x）， 12﹣3x﹣12＞2﹣2x， ﹣3x+2x＞2﹣12+12， ﹣x＞2， x＜﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC上两点，连结AD，AE，且AD＝AE．求证：BD＝CE． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明△ABD≌△ACE得到．” 小华：“可以通过证明△ABE≌△ACD得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 【分析】由等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，由邻补角的性质得到∠ADB＝∠AEC，判定△ABD≌△ACE（AAS），推出BD＝CE． 【解答】解：选择小明的方法完成证明，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED， ∴∠ADB＝∠AEC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝CE． 【点评】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，判定△ABD≌△ACE（AAS）． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数y2＝﹣1.5x的图象交于点C．已知点B的坐标为（0，3），点C的纵坐标为6． （1）求一次函数y1＝kx+b的表达式； （2）当y1＞y2＞0时，直接写出自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法求解； （2）根据数形结合思想求解． 【解答】解：（1）当y＝6时，﹣1.5x＝6， 解得：x＝﹣4， ∴C（﹣4，6）， ∵y1＝kx+b的图象经过点C（﹣4，6）和B（0，3）， ∴﹣4k+3＝6， 解得：k＝﹣， ∴一次函数的表达式为：y1＝﹣x+3； （2）由图象得：y1＞y2＞0时，自变量x的取值范围为：﹣4＜x＜0． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． 20．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12． （1）在图1中用尺规作图作AB的垂直平分线交AB于点D（保留作图痕迹）．连结CD，求CD的长． （2）用如图2的尺规作图的方法作射线交BC边于点E，求CE的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；由线段垂直平分线的性质可得点D为AB的中点，则CD为Rt△ABC的斜边上的中线，可得CD＝.利用勾股定理求出AB的长，进而可得答案． （2）过点E作EF⊥AB于点F，由作图痕迹可知，AE为∠BAC的平分线，可得EF＝CE．根据S△ABC＝S△ACE+S△ABE，可得，代入求出CE即可． 【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求． ∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴点D为AB的中点， ∴CD为Rt△ABC的斜边上的中线， ∴CD＝． 由勾股定理得，AB＝＝＝13， ∴CD＝＝． （2）过点E作EF⊥AB于点F， 由作图痕迹可知，AE为∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴EF＝CE． 设EF＝CE＝x， ∵S△ABC＝S△ACE+S△ABE， ∴， 即 解得x＝， ∴CE＝． 【点评】本题考查作图—复杂作图、三角形的面积、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（8分）把△ABC放置在如图的网格纸中，已知每个小正方形的边长都为1． （1）请在网格纸中建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣1），（﹣1，﹣2）； （2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （3）已知点P是线段CC1上任意一点，用恰当的方式表示点P的坐标． 【分析】（1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）由题意得，点P的纵坐标为2，横坐标大于等于﹣2小于等于2，进而可得答案． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点C1的坐标为（2，2）． （3）点P的坐标为（m，2）（﹣2≤m≤2）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 22．（10分）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形ABCD和小正方形EFGH．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路AB的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量AC＝5km，CD＝4km． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 【分析】（1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）①由勾股定理直接求出AD； ②设AB＝BC＝x，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为b﹣a， 大正方形的面积为c2，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积＝4×ab+（a﹣b）2， 小正方形的面积为（b﹣a）2， 大正方形的面积＝4×ab+（a﹣b）2， ∴4×ab+（a﹣b）2＝c2， 化简可得，a2+b2＝c2； （2）①当AD⊥BC时，C到停靠站D的距离最短． 在Rt△ACD中，AC＝5km，CD＝4km， AD＝＝3km， 答：停靠站A与D之间的距离为3km； ②设AB＝BC＝x， ∵AC＝5，CD＝4，AD＝3，BD＝AB﹣AD＝x﹣3， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝BD2+CD2， 即x2＝42+（x﹣3）2， 解得x＝， 即BC＝km， 答：停靠站B到村庄C的距离为km． 【点评】本题是四边形综合题，考查勾股定理的证明与应用，理解题意和题目中体现的方法是解题的关键． 23．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 【驱动问题】如何安排废水处理方案费用最省？ 【问题情境】为了响应国家环保政策，某工厂需要对废水进行处理．现有三种方式：（1）自己建造废水处理车间处理；（2）交给第三方处理；（3）一部分自己建造废水处理车间处理，剩余部分交给第三方处理． 素材1：建造一个废水处理车间需要费用5万元，可以处理废水6000吨，并且每处理一吨废水还需费用5元． 素材2：第三方处理废水费用15元/吨． 素材3：工厂生产产生的废水量少于10000吨． 【问题解决】 任务1：当工厂需要处理废水多少吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等． 任务2：若工厂需处理废水8000吨，如何安排废水处理方案，废水处理费用最省． 任务3：直接写出工厂生产产生不同废水量的处理方案，使废水处理费用最省． 【分析】任务1：设工厂需要处理废水x吨，根据方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等列方程求解；任务2：由于自己建造废水处理车间只能处理6000吨废水，故处理8000吨废水只能选择方式（2）或（3），而由任务1可知，当废水量等于5000吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等，当大于5000吨时，方式（1）处理的废水越多越省钱，又自己建造车间最多只能处理6000吨，故方式（3）中自己处理6000吨，交给第三方处理2000吨最合适，根据题意计算出方式（2）和（3）的费用，比较大小即可；任务3：根据任务1，2的计算可得出结论． 【解答】解：任务1：设工厂需要处理废水x吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等， 由题意得：5x+50000＝15x， 解得：x＝5000， 答：工厂需要处理废水5000吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等； 任务2：由题意得，处理8000吨废水只能选择方式（2）或（3）， 8000吨废水按照方式（2）处理废水的费用为：15×8000＝120000（元）， 按照方式（3）处理废水的费用为：50000+5×6000+15×（8000﹣6000）＝110000（元）， ∵110000＜120000， ∴按照方式（3）处理废水更省， 答：6000吨自己建造废水处理车间处理，2000吨交给第三方处理，费用最省； 任务3：由任务1，2可知： 当废水量小于5000吨时，选择方式（2）即交给第三方处理费用最省， 当废水量等于5000吨时，选择方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等， 当废水量大于5000吨且小于或等于6000吨时，选择方式（1）处理费用最省， 当废水量大于6000吨且小于10000吨时，选择方式（3）即6000吨自己处理，剩余部分交给第三方处理，费用最省． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，方案选择问题，发现废水量超过5000吨时，自己建造处理车间最省钱是解决问题的关键． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C为射线AO上一动点（点C不与点A重合），以点B为直角顶点，BC为直角边在BC的右侧作等腰直角三角形BCD． （1）如图1，当点C是AO的中点时，求点D的坐标． （2）如图2，当点C在AO上移动时，连结AD，交y轴于点E．求证：AE＝DE． （3）点C在射线AO上运动过程中，当△ACD是等腰三角形时，求△ACD的面积． 【分析】（1）由A（﹣4，0），B（0，4），得OA＝OB＝4，由OC＝，因为△CBD是等腰直角三角形，所以∠CBD＝90°，DB＝BC，作DP⊥y轴于P，则∠DPB＝∠BOC＝90°，推导出∠DBP＝∠BCO，进而证明△DBP≌△BCO，得PB＝OC＝2，PD＝OB＝4，求得OP＝2，则D（4，2）； （2）作DF⊥y轴于F，则∠AOE＝∠DFE＝90°，由（1）得△DBF≌△BCO，则FD＝OB＝OA，再证明△AEO≌△DEF，则AE＝DE； （3）分三种情况讨论，一是A、B、D三点在同一条直线上，可证明DC＝AC，则△ACD是等腰三角形，求得DC＝AC＝2OA＝8，则S△ACD＝AC•DC＝32；二是AD＝CD，作DN⊥x轴于点N，DM⊥y轴于点M，可证明△DBM≌△BCO，得MD＝OB＝4，MB＝OC，则ON＝MD＝4，求得CN＝AN＝8，则DN＝MO＝16，所以S△ACD＝AC•DN＝128；三是假设AC＝AD，可证明△ABC≌△ABD，则∠ABC＝∠ABD＝135°，则∠CBO＝90°，所以点B与点O重合，与B（0，4）相矛盾，可知不存在△ACD是等腰三角形，且AC＝AD的情况． 【解答】（1）解：∵A（﹣4，0），B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∵点C是AO的中点， ∴OC＝， ∵△CBD是等腰直角三角形， ∴∠CBD＝90°，DB＝BC， 如图1，作DP⊥y轴于P，则∠DPB＝∠BOC＝90°， ∵∠CBO+∠DBP＝∠CBO+∠BCO＝90°， ∴∠DBP＝∠BCO， 在△DBP和△BCO中， ， ∴△DBP≌△BCO（AAS）， ∴PB＝OC＝2，PD＝OB＝4， ∴OP＝OB﹣PB＝4﹣2＝2， ∴D（4，2）． （2）证明：如图2，作DF⊥y轴于F，则∠AOE＝∠DFE＝90°， 由（1）得△DBF≌△BCO（AAS）， ∴FD＝OB＝OA， 在△AEO和△DEF中， ， ∴△AEO≌△DEF（AAS）， ∴AE＝DE． （3）解：如图3，A、B、D三点在同一条直线上， ∵OA＝OB，∠AOB＝90°，DB＝BC，∠CBD＝90°， ∴∠CAD＝∠OBA＝45°，∠D＝∠BCD＝45°， ∴∠CAD＝∠D， ∴DC＝AC， ∴△ACD是等腰三角形， ∵DC＝AC，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠D＝90°，CB⊥AD， ∴CB＝AB＝DB＝AD， ∵OB⊥AC， ∴OC＝OA＝4， ∴DC＝AC＝2OA＝8， ∴S△ACD＝AC•DC＝×8×8＝32； 如图4，△ACD是等腰三角形，且AD＝CD， 作DN⊥x轴于点N，DM⊥y轴于点M，则∠DMB＝∠BOC＝∠CBD＝90°， ∴∠DBM＝∠BCO＝90°﹣∠CBO， 在△DBM和△BCO中， ， ∴△DBM≌△BCO（AAS）， ∴MD＝OB＝4，MB＝OC， ∴ON＝MD＝4， ∴CN＝AN＝OA+ON＝4+4＝8， ∴DN＝MO＝MB+OB＝OC+OA＝AC＝2CN＝16， ∴S△ACD＝AC•DN＝×16×16＝128； 如图4，假设△ACD是等腰三角形，且AC＝AD， 在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SSS）， ∴∠ABC＝∠ABD＝×（360°﹣90°）＝135°， ∴∠CBO＝135°﹣45°＝90°， ∴CB⊥y轴， ∴点B与点O重合，与B（0，4）相矛盾， ∴不存在△ACD是等腰三角形，且AC＝AD的情况， 综上所述，△ACD的面积为32或128． 【点评】此题重点考查坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$