第七章 二元一次方程组易错必刷题型-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

第七章 二元一次方程组易错必刷题型 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列方程：；；；；．其中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）把方程改成用含x的代数式表示y为 ． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）若一个二元一次方程的一个解为，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）根据表中所给的x的值以及x与y的对应关系，填写下表： x 1 2 3 4 5 6 7 （2）根据上表，写出二元一次方程的三个解． 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组的解】 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 8．（2024七年级下·全国·专题练习）写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 9．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？ 【易错必刷四 已知二元一次方程组的解求参数】 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程组解是，则 ． 12．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？ 【易错必刷五 加减、代入消元法】 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组，下列最合适的变形是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组用加减法消去x的方法是 ，消去y的方法是 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： (1)（用代入消元法） (2)（用加减消元法） 【易错必刷六 二元一次方程组的特殊解法】 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程组 则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）已知a、b、c满足，，则 ． 18．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【易错必刷七 方程组相同解问题】 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于，的两个方程组与有相同的解，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如果方程组与有相同的解，则 ， ． 21．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值． 【易错必刷八 二元一次方程组的错解复原问题】 22．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值是（    ） A．1 B． C．10 D． 23．（23-24七年级下·山东泰安·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算 ． 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 【易错必刷九 构造二元一次方程组求解】 25．（23-24七年级下·全国·单元测试）对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 27．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于x、y定义一种新运算“”，，其中a，b是常数，例如：，求的值． 【易错必刷十 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组的解满足方程，求的值． 【易错必刷十一 三元一次方程组的定义及解】 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 32．（2024七年级下·天津·专题练习）方程组的解为 ． 33．（23-24七年级下·山东威海·期中）（1）解方程组； （2） （3）解三元一次方程组． 【易错必刷十二 根据实际问题列二元一次方程组】 34．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中任意摸出一个球，摸到红球得2分，摸到白球得3分．某人摸到个红球，个白球，共得12分．列出关于x、y的二元一次方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解． 35．（2024七年级下·天津·专题练习）某工厂计划招聘A，B两个工种的工人共120人，A，B两个工种的工人月工资分别为3200元和4000元，若该工厂每月支付工人的工资为440000元，那么A，B两个工种的工人各招聘多少人？设招聘A工种的工人x人，招聘B工种的工人y人． (1)根据题意填空： 根据题意，列方程组得 　　； (2)完成对本题的解答： 36．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 (1)求出x，y的值； (2)周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了12公里，用时16分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 【易错必刷十三 根据几何图形列二元一次方程组】 37．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）一副三角板按如图方式摆放，已知的度数比的度数大，若设，，列出方程组并解答．    38．（23-24七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    39．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 【易错必刷十四 方案问题】 40．（2024七年级下·全国·专题练习）某中学决定组织部分班级去三清山开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ 41．（23-24七年级下·山东日照·期中）为实现“乡村振兴”战略目标，开发出了某新型农产品，计划租用A，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，两次租用这两种货车的情况如下表： A货车（辆） B货车（辆） 总量（吨） 第一次 1 2 11 第二次 2 3 18 (1)1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？ (2)现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载．若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案设计出来？并算出最少费用． 42．（23-24七年级下·山西临汾·期中）为了丰富学生的阅读内容，拓展阅读活动，某校计划从甲、乙两家书店中购买《跟我学数学》和《数学名师讲解》）两种图书.甲、乙两家书店这两本书的标价相同.已知购买5本《跟我学数学》与购买4本《数学名师讲解》的价格相同；购买3本《跟我学数学》比购买2本《数学名师讲解》多花费10元． (1)分别求《跟我学数学》和《数学名师讲解》的单价． (2)书店推出多买多送活动，甲、乙两家书店的优惠方案如下： 甲书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《数学名师讲解》打六折． 乙书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《跟我学数学）打五折． 该校计划购买两种图书共60本，设购买《数学名师讲解》本． ①求当m为何值时，在两家书店所用的费用相同． ②当该校计划购买《数学名师讲解》28本，若只能在其中一家书店购买，请问在哪家书店购买划算？ 【易错必刷十五 行程问题】 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）一轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时，求轮船在静水中的速度和水流速度． 44．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． (1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ (2)求的长度． 45．（23-24七年级下·福建厦门·期中）福厦高铁去年开通后，不再受现有深杭线慢速铁道200km/h的限制，速度大幅提升后，福州厦门可以快速联通。某型号高铁由一节车头和若干节车厢组成，且每节车厢的长度都相等．已知该型号高铁挂8节车厢以57m/s的速度通过某观测点用时与挂12节车厢以82m/s的速度通过该观测点的用时均为4秒． (1)车头及每节车厢的长度分别是多少米？ (2)小兮乘坐该型号高铁从厦门前往福州，小蔡在对向的高铁里从福州前往厦门，在途中，小兮看到对向的高铁从身边呼啸而过，若将两条铁轨看作是两条直线，已知高铁的车厢有8节和16节两种． ①从看到车头到高铁车尾离开，大约经过了3s，此时小蔡看到车内屏幕显示车速为180km/h，小兮看到车里的屏幕显示324km/h．交汇时高铁的速度不发生变化．请你通过上述测量数据估计此时从福州开往厦门的高铁车厢的节数，并通过计算说明理由． ②若小兮在最后一节车厢，已知从车头到车尾高铁的车厢号按从小到大的顺序排列，小兮的妈妈此时正在前往4号车厢里的路上购买她们的午餐，若小兮妈妈比小兮正好早1.25s看到车头经过，请问此时小兮妈妈应该在第几号车厢？ 【易错必刷十六 工程问题】 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 47．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 48．（24-25七年级下·全国·随堂练习）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______， 根据题意，得 请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米．请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【易错必刷十七 数字问题】 49．（23-24七年级下·山东东营·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 50．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 51．（23-24七年级下·山东淄博·期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 9：00 9：48 11：00 里程碑 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0 如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么： (1)小明9：00时看到的两位数为______； (2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______； (3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数． 【易错必刷十八 年龄问题】 52．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 53．（23-24七年级下·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 54．（23-24七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【易错必刷十八 分配问题】 55．（2024·吉林白山·一模）在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 56．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 57．（2024·安徽合肥·模拟预测）小明在某商店购买商品A，共三次，只有其中一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第 次购物打了折扣； (2)求出商品A、B的标价； 【易错必刷二十 销售、利润问题】 58．（24-25七年级下·全国·课后作业）在端午节来临之际，某商店订购了种粽子和种粽子，其中种粽子每千克28元，种粽子每千克24元．若订购的种粽子的质量比种粽子的2倍少，订购两种粽子共用了2560元，则两种粽子各订购了多少千克？ 59．（24-25七年级下·全国·课后作业）A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本/（元/个） 销售价格/（元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，一共需要410元．求a，b的值． 60．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）根据下表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年五一劳动节，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买12杯A型咖啡，8杯B型咖啡需176元． 素材2 小华购买A、B两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 求小华A、B型的咖啡各买了多少杯？ 【易错必刷二十一 和差倍分问题】 61．（2024·陕西·一模）某日，小明去商店购买生活用品．已知1个A型商品和1个B型商品的总价为30元，3个A型商品和2个B型商品的总价为70元，求A型商品和B型商品的单价．． 62．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话： 请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题： (1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？ (2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由． 63．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元． (1)求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？ (2)据悉，长沙市到今年年底在建及通车地铁里程（不含1、2号线）将达到276千米，这些在建及通车地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，那么到今年年底长沙市修建地铁线网（不含1、2号线）共投资了多少亿元？ 【易错必刷二十二 几何问题】 64．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 65．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．已知大长方形的长和宽分别为，，求小长方形的长和宽． 66．（23-24六年级下·全国·单元测试）某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【易错必刷二十三 古代问题】 67．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 68．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？根据题意，嘉嘉所列的方程组为 (1)嘉嘉所列的方程组中x表示的意义是________________；y表示的意义是________________； (2)嘉嘉所列的方程②依据的等量关系是________； (3)淇淇看了嘉嘉所列的方程组后说：“也可以设买甜果m个，买苦果n个．”请你根据淇淇的方法列出方程组，不用求解． 69．（2024·广东佛山·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？ (1)求甲、乙两人各带的钱数； (2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？ 【易错必刷二十四 其他问题】 70．（24-25七年级下·全国·单元测试）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米． 71．（2025七年级下·全国·专题练习）为迎接中考，很多同学购买了铅笔和涂卡尺．根据图中信息，求每支铅笔和每个涂卡尺的价格． 72．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 【易错必刷二十五 三元一次方程组的应用】 73．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 74．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：，即． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 75．（23-24七年级下·四川成都·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【易错必刷二十六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 76．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）如图，两直线，的交点坐标可以看作方程组（   ）的解． A． B． C． D． 77．（23-24七年级下·山东淄博·开学考试）直线与的交点在 象限． 78．（23-24七年级下·山东济南·期末）我们曾探究过“以方程 的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．规定：以方程 的解为坐标的所有点的全体叫做方程． 的图象；结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线示例：如图1，我们在画方程 的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程中的两个二元一次方程的图象． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ； 【拓展延伸】 （3）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程 的图象 和 的图象 ，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组 的解的情况 ． 【易错必刷二十七 图象法解二元一次方程组】 79．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，直线、的交点坐标可以看做下列方程组（  ）的解． A． B． C． D． 80．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，函数y=ax＋b和y=kx的图象交于一点，则二元一次方程组的解是 ．    81．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【易错必刷二十八 求直线围成的图形面积】 82．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）在直角坐标系中A（2，0）、B（－3，－4）、O（0，0），则△AOB的面积（    ） A．4 B．6 C．8 D．3 83．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 84．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）如图，直线：与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴y轴交于、，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 二元一次方程组易错必刷题型 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列方程：；；；；．其中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义求解即可，正确理解二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知数的次数是的整式方程叫做二元一次方程是解题的关键． 【详解】是二元一次方程； 不是二元一次方程； 不是二元一次方程； 是二元一次方程； 不是二元一次方程， 综上可知：是是二元一次方程， 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·期中）把方程改成用含x的代数式表示y为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握移项的方法． 通过移项即可得出答案． 【详解】解：把方程，移项，得 即. 故答案为：. 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【详解】解：存在． ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，，解得． 故当时，方程是关于x，y的二元一次方程． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）若一个二元一次方程的一个解为，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．将代入方程检验即可得到结果． 【详解】解：由可得： A、，等式左右两边不相等，故该选项不符合题意； B、，等式左右两边不相等，故该选项不符合题意； C、，等式左右两边相等，故该选项符合题意； D、，等式左右两边不相等，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．根据x与y的值列出方程即可． 【详解】解：若一个二元一次方程的解为， 则这个方程可以是， 故答案为：(答案不唯一)． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）根据表中所给的x的值以及x与y的对应关系，填写下表： x 1 2 3 4 5 6 7 （2）根据上表，写出二元一次方程的三个解． 【答案】（1）见解析；（2），，（答案不唯一） 【分析】本题侧重考查二元一次方程的解． （1）分别将，2，…，7代入即可求出y的值； （2）运用表格中的数据找出方程的解． 【详解】解：（1）填写表格如下： x 1 2 3 4 5 6 7 2 5 8 11 14 17 （2）由表格知，二元一次方程的三个解为： ，，（答案不唯一）． 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组的解】 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案． 【详解】解：A.把代入得：，，故该选项符合题意； B. 把代入得：，，故该选项不合题意； C. 把代入得：，故该选项不合题意； D. 把代入得：，故该选项不合题意． 故选：A． 8．（2024七年级下·全国·专题练习）写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．据此求解即可． 【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？ 【答案】满足，不一定 【分析】根据“方程组”的解的定义，可知方程组的解是方程组中每个方程的解，而二元一次方程有无数个解，并不都是方程组的解． 【详解】满足，不一定． ∵的解既是方程的解，也满足， ∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程的解有无数组， 如，，不满足方程组． 因此满足的一对的值不一定是方程组的解． 【点睛】此题考查二元一次方程的解的定义和二元一次方程组的解的定义的区别：二元一次方程组的解一定是每个二元一次方程的解，其中一个二元一次方程的解不一定是方程组的解． 【易错必刷四 已知二元一次方程组的解求参数】 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解的含义及解一元一次方程，本题属于基础题型．已知方程的一个解，直接将解代入到方程中，得到关于的一个新的方程，求出它的解，即可解决问题． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程组解是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程租的求解以及二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解方法．将代入方程组，得到关于的方程组，然后求解即可． 【详解】解：将代入方程组，得 ①②，得，解得 将代入得，，解得 ∴ 故答案为： 12．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？ 【答案】 【分析】根据方程组解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可得到关于a，b的方程，解得a，b的值． 【详解】解：根据题意 是②方程的解， 是①方程的解， ∴ ， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义． 【易错必刷五 加减、代入消元法】 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组，下列最合适的变形是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，根据最优化原则进行判断即可． 【详解】解：用代入法解方程组，下列最合适的变形是由②，得， 故选：D． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组用加减法消去x的方法是 ，消去y的方法是 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是掌握加减消元法的步骤． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解方程组用加减法消去x的方法是； 消去y的方法是． 故答案为：，． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： (1)（用代入消元法） (2)（用加减消元法） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 【易错必刷六 二元一次方程组的特殊解法】 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程组 则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据题意，两式相加可得，由此即可求解． 【详解】解： 得，， ∴， 故选：A ． 17．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）已知a、b、c满足，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了解二元一次方程组．观察方程组的特点，两式相加即可求解． 【详解】解：∵①，②， ∴得， ∴， 故答案为：20． 18．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键． 将方程②变形为，再整体代入即可求方程组． 【详解】解：     将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得， 所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 【易错必刷七 方程组相同解问题】 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于，的两个方程组与有相同的解，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．先由方程组求得，结合，得到，解得，再分别求得x、y的值，即可求得b的值，最后判断点所在的象限． 【详解】解：方程组， 得， ∵， ∴， 解得， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴点即在第一象限， 故选：A． 20．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如果方程组与有相同的解，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了同解方程组，由题意求解方程组得；再解方程组即可． 【详解】解：解方程组得： 由方程组得： 将代入得： 故答案为：①2②1 21．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组求出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与方程组的解相同， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为， 把别代入和， 得方程组， 解这个方程组得， ． 【易错必刷八 二元一次方程组的错解复原问题】 22．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值是（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了方程①中的a，那么甲的结果符合方程②，乙看错了②中的b，那么乙的结果符合方程①，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， 故选：D． 23．（23-24七年级下·山东泰安·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组错解问题，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以． 故答案为： 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 【答案】4，5，；乙把抄成了 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 根据题意把代入方程组，把代入，分别求出，进而求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得 解得． 把代入，得， 可得新的方程组 解得 把代入， 得， 解得 ，，，乙把抄成了． 【易错必刷九 构造二元一次方程组求解】 25．（23-24七年级下·全国·单元测试）对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，先根据，求出a，b的值，再代入计算． 【详解】解：根据题意得：，， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于x、y定义一种新运算“”，，其中a，b是常数，例如：，求的值． 【答案】 【分析】根据新定义型运算公式，将条件中的数字代入即可求出a与b的值，然后再将15与代入公式即可求出答案． 本题考查新定义运算，涉及二元一次方程组的解法，代数式求值问题，属于中等题型． 【详解】解：由题意可知：, ∴， ∴解得：， ∴． 【易错必刷十 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先解方程组得出，，然后将，代入，求出k的值即可． 【详解】解：， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， 将，代入，得， 解得． 故选：C． 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．首先用加减消元计算得到，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：． 得， ， ． 故答案为：． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组的解满足方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将与联系立方程组求解，再将解代入方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意重新联立方程组，得 由②，得．③ 将③代入①，得，解得． 将代入③，得． 所以原方程组的解为 因为方程组的解满足方程， 所以将代入，解得， 所以的值为5． 【易错必刷十一 三元一次方程组的定义及解】 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 32．（2024七年级下·天津·专题练习）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先用得出关于x，z的方程组，再消去z求出x，然后代入分别求出答案即可． 【详解】解：， 得：； 得：， 解得， 将代入得：， 将，代入得：， 则方程组的解为， 故答案为． 33．（23-24七年级下·山东威海·期中）（1）解方程组； （2） （3）解三元一次方程组． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算． （1）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）得：，把代入得：，即，把代入③得：，即，解关于a、c的方程组即可． 【详解】解：（1） 原方程组可变为：， 得：， 解得： 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）， 得：， 把代入得：，即， 把代入③得：，即， 得：，解得：， 把代入④得：，解得：， ∴方程组的解为：． 【易错必刷十二 根据实际问题列二元一次方程组】 34．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中任意摸出一个球，摸到红球得2分，摸到白球得3分．某人摸到个红球，个白球，共得12分．列出关于x、y的二元一次方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解． 【答案】， 【分析】本题考查了列二元一次方程和求二元一次方程整数解，根据题意列出列出关于x、y的二元一次方程，再求出解即可. 【详解】解：依题意得：， ∴， ∵、是正整数， ∴ 35．（2024七年级下·天津·专题练习）某工厂计划招聘A，B两个工种的工人共120人，A，B两个工种的工人月工资分别为3200元和4000元，若该工厂每月支付工人的工资为440000元，那么A，B两个工种的工人各招聘多少人？设招聘A工种的工人x人，招聘B工种的工人y人． (1)根据题意填空： 根据题意，列方程组得 　　； (2)完成对本题的解答： 【答案】(1) (2)应招聘A工种的工人50人，B工种的工人70人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用工资总额＝每人的月工资×人数，结合该工厂每月需支付给120名工人440000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组； （2）解（1）中方程组，即可得出结论． 【详解】（1）解：设招聘A工种的工人x人，招聘B工种的工人y人． ∵该工厂计划招聘A，B两个工种的工人共120人， ∴； ∵A，B两个工种的工人月工资分别为3200元和4000元，若该工厂每月支付工人的工资为440000元， ∴． 将两方程组成方程组， 故答案为：． （2）解（1）的方程组得：． 答：应招聘A工种的工人50人，B工种的工人70人． 36．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 (1)求出x，y的值； (2)周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了12公里，用时16分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 【答案】(1) (2)总费用为20元 【分析】（1）本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系式列方程组是解决问题的关键．总费用由里程费和耗时费组成，根据小明和小刚打车的费用表格，可以列出两个关于，的等式组成二元一次方程组，解这个方程组即可求出、的值． （2）第一问已求得里程费和耗时费的单价、，根据小华打车的里程和耗时分别乘以单价得到里程费与耗时费，两者之和即是打车总费用． 【详解】（1）解：根据题意得方程组 解方程组得 （2）解： 小华的里程数是12公里，时间为16分钟． 总费用是：（元）． 答：总费用是20元． 【易错必刷十三 根据几何图形列二元一次方程组】 37．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）一副三角板按如图方式摆放，已知的度数比的度数大，若设，，列出方程组并解答．    【答案】，，． 【分析】本题考查了角的和差计算，二元一次方程组的应用，根据平角的定义及已知条件列出方程组求解即可． 【详解】解：由已知得， 得：，解得：， 将代入①，解得：， 原方程组的解为， ，． 38．（23-24七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    【答案】，见解析 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 39．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 【易错必刷十四 方案问题】 40．（2024七年级下·全国·专题练习）某中学决定组织部分班级去三清山开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ 【答案】参加此次研学旅行活动的老师有16人，学生有284人 【分析】此题考查二元一次方程组的应用．设参加此次研学旅行活动的老师有x人，学生有y人，再根据“每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生”列出方程组即可解答． 【详解】解：设参加此次研学旅行活动的老师有x人，学生有y人， 根据题意，得， 解得． 故参加此次研学旅行活动的老师有16人，学生有284人． 41．（23-24七年级下·山东日照·期中）为实现“乡村振兴”战略目标，开发出了某新型农产品，计划租用A，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，两次租用这两种货车的情况如下表： A货车（辆） B货车（辆） 总量（吨） 第一次 1 2 11 第二次 2 3 18 (1)1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？ (2)现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载．若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案设计出来？并算出最少费用． 【答案】(1)1辆型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送4吨； (2)3种，940元 【分析】（1）设1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满洋葱一次可运走10吨；用2辆型车和3辆型车载满洋葱一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解之即可； （2）设租用型货车辆，型货车辆，根据一次运送31吨该农产品，即可得出关于，的二元一次方程，解之，均为非负整数，即可得出各租车方案； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送吨， 由题意可得：， 解得：， 答：1辆型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送4吨； （2）设租用型货车辆，型货车辆， 由题意可得：, ， 又，均为非负整数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆型车，1辆型车； 方案2：租用5辆型车，4辆型车； 方案3：租用1辆型车，7辆型车， 方案1的费用：（元）， 方案2的费用：（元）， 方案3的费用：（元）， ， 方案3最省钱． 42．（23-24七年级下·山西临汾·期中）为了丰富学生的阅读内容，拓展阅读活动，某校计划从甲、乙两家书店中购买《跟我学数学》和《数学名师讲解》）两种图书.甲、乙两家书店这两本书的标价相同.已知购买5本《跟我学数学》与购买4本《数学名师讲解》的价格相同；购买3本《跟我学数学》比购买2本《数学名师讲解》多花费10元． (1)分别求《跟我学数学》和《数学名师讲解》的单价． (2)书店推出多买多送活动，甲、乙两家书店的优惠方案如下： 甲书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《数学名师讲解》打六折． 乙书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《跟我学数学）打五折． 该校计划购买两种图书共60本，设购买《数学名师讲解》本． ①求当m为何值时，在两家书店所用的费用相同． ②当该校计划购买《数学名师讲解》28本，若只能在其中一家书店购买，请问在哪家书店购买划算？ 【答案】(1)《跟我学数学》的单价为每本20元，《数学名师讲解》的单价为每本25元； (2)①当m为本时，在两家书店所用的费用相同；②在乙书店购买划算． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． （1）设《跟我学数学》的单价为每本a元，《数学名师讲解》的单价为每本b元，根据题意列方程组求解即可； （2）先列式，得：甲书店的费用，乙书店的费用，①根据费用相同，列得方程，解方程即可求解；②分别计算两家书店的费用，比较即可求解． 【详解】（1）解：设《跟我学数学》的单价为每本a元，《数学名师讲解》的单价为每本b元， 依题意得， 解得， 答：《跟我学数学》的单价为每本20元，《数学名师讲解》的单价为每本25元； （2）解：甲书店的费用：， 乙书店的费用：， ①依题意得，解得， 答：当m为本时，在两家书店所用的费用相同； ②当时， 甲书店的费用：（元）， 乙书店的费用：（元）， ， 答：在乙书店购买划算． 【易错必刷十五 行程问题】 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）一轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时，求轮船在静水中的速度和水流速度． 【答案】轮船在静水中的速度为12千米/时，水流速度为3千米/时 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解等量关系是解题的关键． 设轮船在静水中的速度和水流速度分别为千米/时和千米/时，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度和水流速度分别为千米/时和千米/时． 根据题意，得 解得 答：轮船在静水中的速度为12千米/时，水流速度为3千米/时． 44．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． (1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ (2)求的长度． 【答案】(1) (2)的长度分别是 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用； （1）根据路程除以速度等于时间列式计算即可； （2）设的长度是的长度是，根据题意列出二元一次方程组计算求解即可． 【详解】（1）解： ． 故小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要． （2）解：∵骑行一圈需要，沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 又∵沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 设的长度是的长度是． 根据题意，得， 解得， 故的长度分别是． 45．（23-24七年级下·福建厦门·期中）福厦高铁去年开通后，不再受现有深杭线慢速铁道200km/h的限制，速度大幅提升后，福州厦门可以快速联通。某型号高铁由一节车头和若干节车厢组成，且每节车厢的长度都相等．已知该型号高铁挂8节车厢以57m/s的速度通过某观测点用时与挂12节车厢以82m/s的速度通过该观测点的用时均为4秒． (1)车头及每节车厢的长度分别是多少米？ (2)小兮乘坐该型号高铁从厦门前往福州，小蔡在对向的高铁里从福州前往厦门，在途中，小兮看到对向的高铁从身边呼啸而过，若将两条铁轨看作是两条直线，已知高铁的车厢有8节和16节两种． ①从看到车头到高铁车尾离开，大约经过了3s，此时小蔡看到车内屏幕显示车速为180km/h，小兮看到车里的屏幕显示324km/h．交汇时高铁的速度不发生变化．请你通过上述测量数据估计此时从福州开往厦门的高铁车厢的节数，并通过计算说明理由． ②若小兮在最后一节车厢，已知从车头到车尾高铁的车厢号按从小到大的顺序排列，小兮的妈妈此时正在前往4号车厢里的路上购买她们的午餐，若小兮妈妈比小兮正好早1.25s看到车头经过，请问此时小兮妈妈应该在第几号车厢？ 【答案】(1)每节车厢的长度是米，车头的长度是米； (2)小兮妈妈应该在第10号车厢． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设每节车厢的长度是米，车头的长度是米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①根据速度时间求得高铁的总长，再计算求解即可； ②根据速度时间求得小兮与妈妈之间的距离，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：设每节车厢的长度是米，车头的长度是米， 依题意得， 解得， 答：每节车厢的长度是米，车头的长度是米； （2）解：①180km/h等于50m/s，324km/h等于90m/s， 从福州开往厦门的高铁的总长为， 共有车厢（节）， 答：从福州开往厦门的高铁共有16节车厢； ②小兮与妈妈之间的距离为， 相距的车厢共有（节）， 如果小兮乘坐该型号高铁只有8节车厢，则小兮妈妈应该在第2号车厢，但与题意不符； 则小兮乘坐该型号高铁有16节车厢，则小兮妈妈应该在第10号车厢． 【易错必刷十六 工程问题】 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 【答案】甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 【分析】本题考列二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，根据题意，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为． 由题意，得， 解得， 甲单独完成装修天数：（天）， 乙单独完成装修天数：（天）． 答：甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 47．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元 (2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析 【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得； （2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得． 【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元， 依题意得：， 解得， 答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元． （2）解：甲单独完成：（元） 乙单独完成：（元） 甲、乙两队完成：（元） ， ∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算． 48．（24-25七年级下·全国·随堂练习）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______， 根据题意，得 请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米．请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 故答案为，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，，． （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【易错必刷十七 数字问题】 49．（23-24七年级下·山东东营·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【答案】72 【分析】设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则根据“得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9”列出方程组，通过解方程组来求原来的两位数．本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 【详解】解：设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则 ， 解得，， ∴原来的两位数是72． 50．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． (2)第一次他们拼成的两位数为45． 【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 51．（23-24七年级下·山东淄博·期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 9：00 9：48 11：00 里程碑 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0 如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么： (1)小明9：00时看到的两位数为______； (2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______； (3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1) (2)； (3)小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15 【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字即是此两位数； （2）同样用数位的概念进行表达即可，9：48时十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了，则十位数字为y，个位数字为x，11：00时看到的三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y； （3）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程，解出方程即可． 【详解】（1）∵两位数的十位数字为x，个位数字为y， ∴两位数可表示为； 故答案为；． （2）∵9：48时看到的两位数十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴两位数可表示为； ∵11：00看到的数字是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴11：00时的三位数可表示为：； 故答案为；；． （3）根据题意可知行驶速度不变，从9:00到9:48用时48分钟，到11:00用时120分钟，列方程如下： ， 解得：． ∴小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15． 答：小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15． 【点睛】本题考查了数位的概念和二元一次方程组的应用，理解数位的概念和表达方法，找到题中的等量关系列出方程是解题的关键． 【易错必刷十八 年龄问题】 52．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 53．（23-24七年级下·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 54．（23-24七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【易错必刷十八 分配问题】 55．（2024·吉林白山·一模）在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 56．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 57．（2024·安徽合肥·模拟预测）小明在某商店购买商品A，共三次，只有其中一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第 次购物打了折扣； (2)求出商品A、B的标价； 【答案】(1)三 (2)A：90元，B：120元 【分析】（1）根据图表可得小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物． （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值． 【详解】（1）∵第三次购买的数量最多，总费用最少， ∴小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物． 故答案为：三． （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 根据题意，得， 解得：， 答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据已知列方程是解题的关键． 【易错必刷二十 销售、利润问题】 58．（24-25七年级下·全国·课后作业）在端午节来临之际，某商店订购了种粽子和种粽子，其中种粽子每千克28元，种粽子每千克24元．若订购的种粽子的质量比种粽子的2倍少，订购两种粽子共用了2560元，则两种粽子各订购了多少千克？ 【答案】订购了种粽子，种粽子． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组再求解． 设订购了种粽子，种粽子，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设订购了种粽子，种粽子， 由题意，得， 解得， ∴订购了种粽子，种粽子． 59．（24-25七年级下·全国·课后作业）A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本/（元/个） 销售价格/（元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，一共需要410元．求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，一共需要410元，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：由题意知， 解得． 60．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）根据下表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年五一劳动节，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买12杯A型咖啡，8杯B型咖啡需176元． 素材2 小华购买A、B两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 求小华A、B型的咖啡各买了多少杯？ 【答案】任务1：款咖啡销售单价8元，款咖啡销售单价10元；任务2：小华购买38杯款咖啡，22杯款咖啡． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 任务1：设款咖啡的销售单价是元，款咖啡的销售单价是元，根据“买10杯款咖啡，15杯款咖啡需230元；买12杯型咖啡，8杯型咖啡需176元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设小华购买杯款咖啡，杯款咖啡，利用总价单价数量，结合“小华购买、两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：任务1：设款咖啡的销售单价是元，款咖啡的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：款咖啡的销售单价是8元，款咖啡的销售单价是10元； 任务2：设小华购买杯款咖啡，杯款咖啡， 根据题意得：， 解得：． 答：小华购买38杯款咖啡，22杯款咖啡． 【易错必刷二十一 和差倍分问题】 61．（2024·陕西·一模）某日，小明去商店购买生活用品．已知1个A型商品和1个B型商品的总价为30元，3个A型商品和2个B型商品的总价为70元，求A型商品和B型商品的单价．． 【答案】A型商品和B型商品的单价分别为10元，20元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A型商品和B型商品的单价分别为x元，y元，根据1个A型商品和1个B型商品的总价为30元，3个A型商品和2个B型商品的总价为70元列出方程组求解即可． 【详解】解：设A型商品和B型商品的单价分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A型商品和B型商品的单价分别为10元，20元． 62．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话： 请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题： (1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？ (2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由． 【答案】(1)淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本． (2)不能找回68元，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意列方程求解即可； （2）设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 根据依题意，得，     解得，     则（本）．     答：淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本． （2）不能，理由如下； 设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 根据题意，得，    解得， ∵不是整数， ∴不能找回68元． 63．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元． (1)求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？ (2)据悉，长沙市到今年年底在建及通车地铁里程（不含1、2号线）将达到276千米，这些在建及通车地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，那么到今年年底长沙市修建地铁线网（不含1、2号线）共投资了多少亿元？ 【答案】(1)1号线平均每千米造价6亿元，2号线平均每千米造价5.5亿元 (2)共投资了1987.2亿元 【分析】（1）根据两条线路的长度及总费用列方程组即可； （2）根据第一问求出的一号线的平均造价求地铁网线的造价再求总造价即可． 【详解】（1）设1号线平均每千米造价x亿元，2号线平均每千米造价y亿元 解得： 答：1号线平均每千米造价6亿元，2号线平均每千米造价5.5亿元 （2）亿元 答：共投资了1987.2亿元 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的运用，能根据题意列式并计算是解题关键． 【易错必刷二十二 几何问题】 64．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 【答案】当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A种积木的高度是，种积木的高度是，根据图②所示的立体图形列出方程组并解答，再由可得答案． 【详解】解：设A种积木的高度是，种积木的高度是． 根据题意，得， 解得， ． 故当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是． 65．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．已知大长方形的长和宽分别为，，求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长和宽分别为， 【分析】本题考查了二元一次方程组在几何问题中的应用，能够在图形中找到隐含等量关系式是解决问题的关键．设小长方形的长和宽分别为、，根据图形中隐含的等量关系列出方程组并解之即可得解． 【详解】解：设小长方形的长和宽分别为、，根据图形可得： ， 解得：， 答：小长方形的长和宽分别为，． 66．（23-24六年级下·全国·单元测试）某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)可以做成甲种盒子个，乙种盒子个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可作图； （2）设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解如图： （2）解：设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意，得 解这个方程组，得 答：可以做成甲种盒子个，乙种盒子个． 【易错必刷二十三 古代问题】 67．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 68．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？根据题意，嘉嘉所列的方程组为 (1)嘉嘉所列的方程组中x表示的意义是________________；y表示的意义是________________； (2)嘉嘉所列的方程②依据的等量关系是________； (3)淇淇看了嘉嘉所列的方程组后说：“也可以设买甜果m个，买苦果n个．”请你根据淇淇的方法列出方程组，不用求解． 【答案】(1)买甜果的钱数；买苦果的钱数 (2)买甜果的数量＋买苦果的数量＝买二果的总数量 (3)所列方程组为 【分析】（1）根据题中的方程意义得到x、y的意义； （2）根据题意中的数量关系得到答案； （3）根据题意中的“九百九十九文钱，甜果苦果买一千”列方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意得，买甜果x文；买苦果y文， 故答案为：买甜果的钱数；买苦果的钱数； （2）根据“甜果苦果买一千”列得方程； 故答案为：买甜果的数量＋买苦果的数量＝买二果的总数量； （3）根据九百九十九文钱，列得， 根据甜果苦果买一千，列得， ∴所列方程组为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意设得相应的未知数是解题的关键． 69．（2024·广东佛山·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？ (1)求甲、乙两人各带的钱数； (2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？ 【答案】(1)甲带钱，乙持钱 (2)他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本 【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）分别计算出分开买和合起来买的数量，再比较即可作答． 【详解】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y， 根据题意得： ， 解得：， 答：甲带钱，乙持钱； （2）分开买：（本）； 合起来买：（本）， 即：（本）， 即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本． 【点睛】本题主要考查了使用二元一次方程组解答古代问题的知识，明确题意，列出方程组是解答本题的关键． 【易错必刷二十四 其他问题】 70．（24-25七年级下·全国·单元测试）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米． 【答案】编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米，根据编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米，再建立二元一次方程组解题即可； 【详解】解：设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 根据题意，得， 解得； 答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米． 71．（2025七年级下·全国·专题练习）为迎接中考，很多同学购买了铅笔和涂卡尺．根据图中信息，求每支铅笔和每个涂卡尺的价格． 【答案】每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为0.8元和1.5元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为元，元，根据题意，列出二元一次方程组，计算求解即可． 【详解】解：设每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为元，元，根据题意， 得 解得 答：每支2B铅笔和每个涂卡尺的价格分别为0.8元和1.5元． 72．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 【答案】任务一：见详解；任务二，240张学生椅 【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：根据50张该型号板材,以及学生椅的尺寸列式，即可 本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程． 【详解】解：任务一： 设一张该板材裁切靠背张，坐垫张， 根据题意得：， ， ，为非负整数， 或或， 则方法一：裁切靠背16张和坐垫0张； 方法二：裁切靠背9张和坐垫3张； 方法三：裁切靠背2张和坐垫6张； 任务二：依题意，（张， 该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅； 【易错必刷二十五 三元一次方程组的应用】 73．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【答案】上坡路是，平路是，下坡路是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答． 【详解】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 由题意，得， 解得， 故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 74．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：，即． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组，三元一次方程组的应用； （1）根据图形得出关于的二元一次方程组，代入，即可求出； （2）根据图形得出关于的三元一次方程组，代入，即可求出． 【详解】（1）解：依题意， 得 当时， （2）依题意，得 当时， 75．（23-24七年级下·四川成都·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆； (2)方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得： ， 解得：， 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得： ， 消去z得， ∴， 因x，y是非负整数，且不大于18，得，5，10，15， 则，10，8，6； 又z是非负整数，解得z=6，3，0， ∴或或， ∴共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【易错必刷二十六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 76．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）如图，两直线，的交点坐标可以看作方程组（   ）的解． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应分别解四个选项中的方程组，然后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、方程组的解为：，故错误，不符合题意； B、方程组的解为：，故正确，符合题意； C、方程组的解为：，故错误，不符合题意； D、方程组的解为：，故错误，不符合题意， 故选：B． 77．（23-24七年级下·山东淄博·开学考试）直线与的交点在 象限． 【答案】第二 【分析】本题考查了两直线相交的问题，联立直线解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：联立， 解得， 所以，交点坐标为在第二象限． 故答案为：第二． 78．（23-24七年级下·山东济南·期末）我们曾探究过“以方程 的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．规定：以方程 的解为坐标的所有点的全体叫做方程． 的图象；结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线示例：如图1，我们在画方程 的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程中的两个二元一次方程的图象． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ； 【拓展延伸】 （3）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程 的图象 和 的图象 ，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组 的解的情况 ． 【答案】（1）见解析；（2），，（3）无解． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是关键． （1）利用描点法画出两条直线图象即可； （2）利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到方程组的解； （3）根据图象，两直线没有交点，方程组无解即可． 【详解】解：（1）如图示：    （2）观察图象，两条直线的交点坐标为，由此你得出这个二元一次方程组的解是； 故答案为：，； （3）根据图象，两直线没有交点，方程组无解． 故答案为：无解． 【易错必刷二十七 图象法解二元一次方程组】 79．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，直线、的交点坐标可以看做下列方程组（  ）的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据图象判定交点坐标，然后代入方程组即可. 【详解】由图象，得直线、的交点坐标是（2,3），将其代入，得 A选项，满足方程组，符合题意； B选项，不满足方程组，不符合题意； C选项，不满足方程组，不符合题意； D选项，不满足方程组，不符合题意； 故选：A. 【点睛】此题主要考查一次函数图象和二元一次方程组的综合应用，熟练掌握，即可解题. 80．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，函数y=ax＋b和y=kx的图象交于一点，则二元一次方程组的解是 ．    【答案】 【分析】根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的方程组的解即可解答． 【详解】由图知，函数y=ax＋b和y=kx的图象交于点（2，2）， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确将图象交点坐标转化为方程组的解是解答本题的关键． 81．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解； （2）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解． 【详解】（1）解：如图所示：   两函数图象交于点， 方程组的解为； （2）解：如图所示：   两函数图象交点为， 方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根据二元一次方程画出函数图象． 【易错必刷二十八 求直线围成的图形面积】 82．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）在直角坐标系中A（2，0）、B（－3，－4）、O（0，0），则△AOB的面积（    ） A．4 B．6 C．8 D．3 【答案】A 【详解】由三个点的坐标可得，△AOB的边OA=2，高为0-（-4）=4，据此求三角形的面积即可．解：△AOB的面积=×2×4=4． 故选A． “点睛”解决本题的关键是得到三角形相应的底边长度和高．当一边在坐标轴时，通常选用坐标轴上的边为三角形的底边． 83．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式． 先求出，，从而得出，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】直线中，令，则 直线中，令，则 ， 将与联立 解得： 点C的坐标为 故答案为：． 84．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）如图，直线：与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴y轴交于、，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了求两直线的交点坐标，直线围成的图形面积： （1）将直线与直线的解析式组成方程组，求出，，即得点的坐标； （2）首先求出点B、A、D的坐标，可得的长，然后求出与的面积，即可得的面积． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 点的坐标为； （2）解：把，代入得，， ∴点B的坐标为 在中，令， 解得：， 点坐标为； 把，代入得，， 点的坐标为； ， ，， 的面积为：． 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $$