7.1-7.2二元一次方程组的解法（6大题型提分练，含讲解课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

7.1-7.2二元一次方程组的解法 题型一、二元一次方程的解 1．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 2．按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 4．已知是方程的一个解，则 ． 5．已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 题型二、利用二元一次方程组的解求参数 6．和都是方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．7 7．已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知关于x，y的方程组的解是，则p的值为（   ） A． B． C． D． 9．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 10．学习情境▪墨迹覆盖关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 11．方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 12．已知方程组的解满足，则k 的值为（    ） A． B．4 C． D．2 13．已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 题型三、利用代入法解二元一次方程 14．用代入法解方程组下列变形中，化简较容易的是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 15．解二元一次方程组用代入消元法消去x，得到的方程是（  ） A． B． C． D． 16．用代入消元法解关于的方程组时，代入正确的是（      ） A． B． C． D． 17．在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：，得 小华．由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 18．解方程组： 解：解法一：由①，得．③ 将③代入①，得，即， 所以原方程组无解． 解法二：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 19．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 20．对于二元一次方程，下列用表示正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四、利用加减法解二元一次方程组 21．关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 22．解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（   ） A． B． C． D． 23．利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（   ） A．要消去y， 可以将 B．要消去x， 可以将 C．要消去y， 可以将 D．要消去x， 可以将 24．（跨学科）声音在某介质中传播的速度随着温度的变化而变化，若用表示声音在该介质中的传播速度，表示温度，则，满足公式：（，为常数）．若时，；时，，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 25．对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 26．代数式（k≠0，且k、b为常数）的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时代数式对应的值，则关于x的方程的解为 ． x 0 4 8 4 6 8 10 12 27．（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法解答． 请直接写出方程组的解为________； （2）实践运用： 请用“整体代入法”解方程组：． 28．小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 29．已知是实数，且与互为相反数，求的平方根． 30．用加减消元法解方程组： (1) (2) 题型五、二元一次方程组的特殊解法 31．已知方程组，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 32．若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 33．已知方程组的解，满足，则 ． 34．已知关于的方程组，若，则k的值为 ． 35．已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 36．已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值是 ． 37．若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为 38．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 39．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)请按照小云的方法求出m的值； (2)请按照小辉的思路求出m的值； (3)小辉用了哪种数学思想？ 40．阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 41．关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 42．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 43．已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（　　） ①当时，方程组的解也是的解； ②均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 44．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 45．当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为 ． 46．对于实数a，b，定义运算“#”： 例如，因为，所以． 若x， y满足方程组，则 47．下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， . (1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因． (2)请你改正并完善两名同学的解题过程． 48．已知关于的二元一次方程组和的解相同，求的平方根． 49．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 50．已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 51．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 52．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 53．在平面直角坐标系中，我们定义：点沿着水平和竖直方向运动到达点的路径长度之和叫作，两点之间的“横纵距离”．如图，点A，，均在格点上，若点的坐标为，则A，两点之间的“横纵距离”为5． (1)求A，两点之间的“横纵距离”； (2)若，两点之间的“横纵距离”为3，且点在第一象限的格点上，求满足条件的点的坐标． 试卷第6页，共36页 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1-7.2二元一次方程组的解法 题型一、二元一次方程的解 1．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 2．按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解的定义是解答此题的关键．根据题意，运算程序即计算，选择满足方程的、即可． 【详解】解：根据题意，运算程序即计算，即， A选项，当时，，符合题意； B选项，当时，，不符合题意； C选项，当时，，不符合题意； D选项，当时，，不符合题意． 故选：A． 3．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程两边都相等的未知数的值，理解解的定义是关键． 把与的值代入方程计算求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则， 故选：A． 4．已知是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，解一元一次方程．根据二元一次方程解的定义把代入方程中得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得． 故答案为：． 5．已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，先将分别代入方程与方程，求出，，然后再代入求值即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 把代入方程， 得， 解得， ． 题型二、利用二元一次方程组的解求参数 6．和都是方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．将方程的解代入方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：将方程的解代入方程得： ，解得：， ∴， 故选：C． 7．已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组，将代入二元一次方程组得到的值，再代入式子求解即可． 【详解】解：将代入中，得： 根据，解得 根据，解得： 故选：C． 8．已知关于x，y的方程组的解是，则p的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组两个方程左右两边都相等的未知数的值，据此把代入中，求出y的值，再把x、y的值代入中求出p的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，利用整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故选A． 10．学习情境▪墨迹覆盖关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入可得，则，即可求解． 【详解】解：把代入可得， 由题意得，解得， 故选：D． 11．方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义．先把代入求y的值，然后直接求解即可． 【详解】解：由题意得： 把代入，得：， ∴得到； ∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1． 故选：A． 12．已知方程组的解满足，则k 的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解． 把两方程相加，利用整体代入的方法得到，然后解关于k的一次方程即可． 【详解】解：， 得， 即， ∵， ∴， 解得． 故选A． 13．已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求整式的值，二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，将代入方程组，解关于、的二元一次方程组，即可求解；理解二元一次方程组解的定义，会解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解方程组得， ， 故答案为：． 题型三、利用代入法解二元一次方程 14．用代入法解方程组下列变形中，化简较容易的是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查了代入消元法的运用，掌握代入消元法的计算方法，整式的运算法则是解题的关键． 根据代入消元法计算，一般情况将方程组中系数比较简单的未知数进行转换，即由②得，再代换①中的，此种方法比较简单，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，方程组中②中的系数为，由移项得，再代换①中的，此种方法比较简单， 故选：D ． 15．解二元一次方程组用代入消元法消去x，得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用代入消元法消去系数为1的未知数项，从而达到消元的目的，掌握此知识点是解答本题的关键． 将①变形代入②即可消去x，得到方程． 【详解】解：， ①变形为, 将其代入②可得：， 即． 故选：D． 16．用代入消元法解关于的方程组时，代入正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，根据方程组的结构特征，将①代入②即可得到答案，熟练掌握代入消元法是解决问题的关键． 【详解】解：， 将①代入②得， 故选：A． 17．在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：，得 小华．由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 【答案】(1)正确，不正确 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解题意，找出合适的解方程组的方法是解此题的关键． （1）根据解方程组的步骤分别判断即可； （2）由②得，把①代入，得，求解即可． 【详解】（1）解：小丽：，得，正确； 小华．由②得③，把①代入③，得，故不正确； （2）解：， 由②，得， 把①代入，得， 解得， 把代入①得，， 所以方程组的解是． 18．解方程组： 解：解法一：由①，得．③ 将③代入①，得，即， 所以原方程组无解． 解法二：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 【答案】上面的两种解答均不正确，理由和过程见解析 【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式．根据二元一次方程组的解法分析即可． 【详解】解：上面的两种解答均不正确．理由如下： 解法一：犯了循环代入的错误，即③是由①变形得到的，再将其代入①，肯定恒等，应将③代入②． 解法二：最后没有写出方程组的解． 正确的解答过程如下： 由①，得③ 将③代入②，得，解得． 将代入③，得， ∴原方程组的解为． 19．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键． （1）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案； （2）把②代入①，得，解得，进而求得即可得到答案； （3）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案． 【详解】（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 将代入③，得 方程组的解为． （2）解： 把②代入①，得 解得： 把代入②，得 方程组的解为． （3）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 把代入③，得 方程组的解为． 20．对于二元一次方程，下列用表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据等式的性质变形，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 题型四、利用加减法解二元一次方程组 21．关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】这道题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的概念，解题的关键是通过重新联立方程组求出两个方程组的公共解．将两个方程组中的方程与重新联立方程组成方程组，求出相同解，然后将这个解代入到方程和方程中，得到关于和的方程组，最后解这个方程组，得到和的值，然后计算即可． 【详解】解：解方程组，解得， 将代入方程组，得， 解这个方程组得，， ， 故选：C． 22．解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】消去未知数，变形思路是①②，再得出选项即可．本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：依题意，， ①，得③， ②，得④， ③④，得， 即变形的思路是． 故选：C． 23．利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（   ） A．要消去y， 可以将 B．要消去x， 可以将 C．要消去y， 可以将 D．要消去x， 可以将 【答案】B 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据加减消元法解二元一次方程组，观察字母系数，化为相同或者互为相反数再使用减法或者加法消元即可． 【详解】解：， 要消去y，可以将， 要消去x，可以将， 故选：B． 24．（跨学科）声音在某介质中传播的速度随着温度的变化而变化，若用表示声音在该介质中的传播速度，表示温度，则，满足公式：（，为常数）．若时，；时，，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解题意，代入得到二元一次方程组，运用加减消元法计算是解题的关键 ． 根据题意，把时，；时，代入，联立方程组求解即可． 【详解】解：，满足公式：（，为常数）．若时，；时，， ∴， 解得，， 故选：B ． 25．对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义和解二元一次方程组及代数式求值，解题关键是理解新定义的含义．根据已知条件和新定义，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入求解即可． 【详解】解：，且，， 即 解得 ． 故选B． 26．代数式（k≠0，且k、b为常数）的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时代数式对应的值，则关于x的方程的解为 ． x 0 4 8 4 6 8 10 12 【答案】 【分析】本题考查解方程和方程组．根据表中和，得到关于和的二元一次方程并求解，将和的值代入解方程即可． 【详解】解：由和， 得， 解得， 将代入， 解得， 故答案为：． 27．（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法解答． 请直接写出方程组的解为________； （2）实践运用： 请用“整体代入法”解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解： 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2） 由①得， 将③代入②得：， 解得， 将代入③，得， 解得， 则原方程组的解为． 28．小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 【答案】(1)加减消元法，等式的性质 (2)二，合并常数项时计算错误 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据解题步骤可知，为加减消元法，变形依据为等式的性质； （2）第二步出现错误，合并常数项时计算错误； （3）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； （2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错； （3）解：得，③， 得，， 所以，， 将代入①得，． 所以这个方程组的解是． 29．已知是实数，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【详解】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，求平方根．根据非负数的性质可得关于x，y的方程组，求出x，y的值，即可求解． 解：与互为相反数， ， ， 解得， ， 的平方根为． 30．用加减消元法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法可进行求解； （2）根据加减消元法可进行求解 【详解】（1）解：将①化简，得．③ ，得，解得． 将代入②，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：，得．③ ，得．④ ，得．⑤ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解是 题型五、二元一次方程组的特殊解法 31．已知方程组，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法.直接利用方程可得答案. 【详解】解：， 得：， 故选：B. 32．若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据题意，得到，求解即可． 【详解】解：关于方程组（其中是常数）的解为， 方程组的解为， 解得，， 故选：． 33．已知方程组的解，满足，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．用求出，然后得出关于k的方程求解即可． 【详解】解：， ，得 ， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 34．已知关于的方程组，若，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得： 故答案为：． 35．已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解题关键．两个二元一次方程相加可得，两边同时除以4即可得到结果． 【详解】解：， 两式相加可得，即， ， 故答案为：5． 36．已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，求出是解题关键．把两个方程相减即可求出，再根据得出，然后进行计算即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， 故答案为：0． 37．若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组．根据已知条件，利用换元法列出关于，的方程，解方程求出，即可． 【详解】解：关于，的方程组的解为， 关于，的方程组中，， 解得：，， 关于，的方程组的解为：， 故答案为：． 38．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 39．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)请按照小云的方法求出m的值； (2)请按照小辉的思路求出m的值； (3)小辉用了哪种数学思想？ 【答案】(1)； (2)； (3)整体思想． 【分析】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）将①③联立得到，得，，解得，把代入①求得即可； （2）得，则，得到，即可得到，求出的值即可． （3）由解法可得答案； 【详解】（1）解：将①③联立得到 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴， ∴， 解得：； （2），得， 即， ∴， ∵，   ∴， 解得． 即的值为1． （3）解：小辉用了整体数学思想． 40．阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）利用“加减消元法”解方程组； （2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可． 【详解】（1）解：， ，得 ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：猜想关于、的方程组的解为， 理由如下： 得， ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是． 41．关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟知概念、掌握求解的方法是关键．根据二元一次方程的解的定义，结合、均为非负整数解答即可． 【详解】解： ，其中、为非负整数， 那么时，， 时，， 时，， 时，， 共4组， 故选：B． 42．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 43．已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（　　） ①当时，方程组的解也是的解； ②均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【详解】解：①当时，方程组整理得， 由①+②可得， 当时，方程得， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； ②解方程组，①+②得 当，均为正整数时，则有或， ∴共有2对，故②错误； ③解方程组，①+②得 ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故③正确； ④解方程组，①+②得， 当方程组的解满足时， 解得，代入原方程组可得 解得，，故④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：A． 44．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误． 【详解】解：由， 移项可得：， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， A选项不符合题意； 把代入得：， 故乙计算正确， B选项不符合题意； 去分母可得：， 去括号可得：， 故丙计算错误， C选项符合题意； 丁看到的是， 移项可得：， 合并同类项得：， 解得：， 把代入可得：， 故丁计算正确， D选项不符合题意． 故应选：C． 45．当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解求参数，熟练掌握该知识点是解题关键．把代入不含参数的方程求出的值，再将和的值代入含有参数的方程求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 解得， 将，代入， 得到， 解得， 故答案为：． 46．对于实数a，b，定义运算“#”： 例如，因为，所以． 若x， y满足方程组，则 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、新定义运算等知识点，理解新定义运算是解题的关键． 先解方程组求得x、y的值，然后根据新定义运算法则计算即可． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵， ∴． 故答案为：． 47．下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， . (1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因． (2)请你改正并完善两名同学的解题过程． 【答案】(1)甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错；乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了采用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组， （1）结合加减消元法和代入消元法的求解方法逐步判断即可作答； （2）利用加减消元法和代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错； 乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错． （2）甲同学：，得， 解得. 将代入①，得， 解得. 原方程组的解为 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， 解得. 将代入①，得， 解得. 原方程组的解为 48．已知关于的二元一次方程组和的解相同，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是掌握“消元”的方法． 先解，求出，然后代入得，求出a， b，即可求出的平方根． 【详解】解：根据题意重新联立方程组，得 ①，得③， ②+③，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 方程组的解为， 方程组和的解相同， 将代入得 ④+⑤，得， 解得， 将代入④，得， 解得， ， 的平方根为． 49．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)，， (2)． 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：． （2）解：∵， ， 由（1）得，， ． ，即的平方根是． 50．已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键是正确求出方程组的解． （1）根据二元一次方程组的解法即可求出答案． （2）将代入，然后根据a,b的值即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程组， 得， 它们的相同解是； （2）把代入 得 解得 所以． 51．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n的值代入方程组求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； （2）把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得： ， 则方程组的解为． 52．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 【答案】[解决问题]：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克；[拓展设计]：①当时，；②当时，；③当时，． 【分析】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程的整数解， [解决问题]设每个乒乓球的质量是克，根据题意列出方程求解即可； [拓展设计]根据题意可知，化简得，找到满足条件得解即可． 【详解】解：[解决问题]： 设每个乒乓球的质量是克，则 依题意得：，解得：， 或 答：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克． [拓展设计] ①当时， ②当时， ③当时，． 53．在平面直角坐标系中，我们定义：点沿着水平和竖直方向运动到达点的路径长度之和叫作，两点之间的“横纵距离”．如图，点A，，均在格点上，若点的坐标为，则A，两点之间的“横纵距离”为5． (1)求A，两点之间的“横纵距离”； (2)若，两点之间的“横纵距离”为3，且点在第一象限的格点上，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，，或 【分析】本题考查了坐标与图形，正确理解横纵距离是解题的关键． （1）根据A，B两点之间的“横纵距离”的意义求解即可； （2）先表示出C的坐标，设，列出方程，且利用第一象限坐标特征，解方程解答． 【详解】（1）解：由题意可得点的坐标为， ，两点之间的“横纵距离”为． （2）解：设，由题意可得点的坐标为． ，两点之间的“横纵距离”为3，点在第一象限的格点上， ， 当时，；当时，或； 时，，点的坐标为，，或． 试卷第6页，共36页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$7.1-7.2二元一次方程组的解法 简单数学工作室 1 题型一、二元一次方程的解 1．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 解：把代入方程得：，即， 则， 故选：A． 2．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．14 B．11 C．7 D．4 解：根据题意，把代入， 得 ∴ 故选：B． 简单数学工作室 3．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 4．按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（   ）   A． B． C． D． 解：根据题意，运算程序即计算，即， A选项，当时，，符合题意； B选项，当时，，不符合题意； C选项，当时，，不符合题意； D选项，当时，，不符合题意． 故选：A． 简单数学工作室 5．已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x，y的方程组的解是，则p的值为（   ） A． B． C． D． 解：将代入中，得： 根据，解得 根据，解得： 故选：C． 解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型二、利用二元一次方程组的解求参数 简单数学工作室 8．若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（   ） A． B． C． D． 解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 9．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 解：把代入，得：， ∴； 故选A． 简单数学工作室 10．方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 解：由题意得： 把代入，得：， ∴得到； ∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1． 故选：A． 11．已知方程组的解满足，则k 的值为（    ） A． B．4 C． D．2 解：， 得， 即， ∵， ∴， 解得． 故选A． 简单数学工作室 题型三、利用代入法解二元一次方程 12．用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 解：由①得，，再代入②， 得到，这种变形方法最为简便， 故选：B． 13．已知方程，则可用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 解：把方程4移项得，， 方程左右两边同时除以得，． 故选：A． 14．用代入法解方程组下列变形中，化简较容易的是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 解：根据题意，方程组中②中的系数为，由移项得，再代换①中的，此种方法比较简单， 故选：D ． 15．解二元一次方程组用代入消元法消去x，得到的方程是（  ） A． B． C． D． 解：， ①变形为, 将其代入②可得：， 即． 故选：D． 简单数学工作室 16．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) （1）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 将代入③，得 方程组的解为． （2）解： 把②代入①，得 解得： 把代入②，得 方程组的解为． （3）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 把代入③，得 方程组的解为． 简单数学工作室 题型四、利用加减法解二元一次方程组 17．利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（   ） A．要消去y， 可以将 B．要消去x， 可以将 C．要消去y， 可以将 D．要消去x， 可以将 解：， 要消去y，可以将， 要消去x，可以将， 故选：B． 19．用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 解： 得到，， 故选：B 20．对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 解：，且，， 即 解得 ． 故选B． 18．利用加减消元法解方程组下列做法错误的是（    ） A．要消去x， B．要消去x， C．要消去y， D．要消去y， 要消去x，或； 要消去y，    故选：D． 简单数学工作室 21．用加减消元法解方程组： (1) (2) （1）解：将①化简，得．③ ，得，解得． 将代入②，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：，得．③ ，得．④ ，得．⑤ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解是 简单数学工作室 题型五、二元一次方程组的特殊解法 22．已知方程组，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 23．若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 解：， 得：， 故选：B. 解：关于方程组（其中是常数）的解为， 方程组的解为， 解得，， 故选：． 简单数学工作室 24．已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值是 ． 解：， 得：， ， ， ， 故答案为：0． 25．若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为 解：关于，的方程组的解为， 关于，的方程组中，， 解得：，， 关于，的方程组的解为：， 故答案为：． 简单数学工作室 26．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 题型六、提升训练  解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 简单数学工作室 27．已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（　　） ①当时，方程组的解也是的解；②均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数；④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 解：①当时，方程组整理得， 由①+②可得， 当时，方程得， ∴当时，方程组的解也是的解， 故①正确； ②解方程组，①+②得 当，均为正整数时，则有或， ∴共有2对，故②错误； ③解方程组，①+②得 ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数， 故③正确； ④解方程组，①+②得， 当方程组的解满足时， 解得，代入原方程组可得 解得，，故④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：A． 简单数学工作室 28．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 请你探究，的值． 解：[解决问题]： 设每个乒乓球的质量是克，则 依题意得：，解得：， 或 答：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克． [拓展设计] ①当时， ②当时， ③当时，． 简单数学工作室 $$