第七章 二元一次方程组压轴满分题型-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

第七章 二元一次方程组压轴满分题型 【压轴题型一 方程组同解问题】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，由两方程组的解相同，可得出两方程组的解与关于x，y的方程组的解相同，解该方程组可求出x，y的值，将其代入中，可得出关于a，b的二元一次方程组，方程组中两方程相加，可得出，等式两边再同时除以2，即可求出的值． 【详解】解：关于的方程组和的解相同， ， 解得， 将代入方程组，得， ∴， 整理得， ∴． 2．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组的问题、解二元一次方程组： （1）根据题意可得方程组，解得，据此代值计算即可； （2）根据（1）所求得到方程组，解得，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵方程组和方程组的解相同， ∴方程和方程有相同的解， 联立，解得， ∴； （2）解：由（1）可知方程组， 解得， ∴． 3．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解， （1）根据题意联立，解方程组即可； （2）把代入，解方程组后求出，的值，然后代入计算后再求立方根即可； 掌握同解方程组的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）把代入得：， 整理得：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为． 4．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为多少？ 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 联立不含a与b的方程求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：， ∴． 5．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解， (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解，这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1) (2) (3)对，见解析 【分析】（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可； （2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出，即说明这句话对． 【详解】（1）由题意可得：， 解得； （2）将代入含有的方程得：， 解得：； （3）将代入，得： ， 化简得：，即． 所以无论取何值，都是方程的解． 【点睛】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题： 已知满足，且，求m的值． 小璐同学说：“先解关于的方程组再求m的值．” 小明同学观察后说：“方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但中不含m……” 请你选择其中一种方法，求出m的值． 【答案】 【详解】解：示例：选择小明的方法． 解方程组 由②，得．③ 把③代入①，得，解得． 把代入③，得， 所以该方程组的解为 把代入中，得， 解得． 【压轴题型二 构造二元一次方程组求解】 7．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）定义一种新运算“”：规定，其中a，b为常数，且，，求的值． 【答案】 【分析】根据新运算的法则，以及，，列出方程组求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 原方程组可化为， 解得：， ∴． 即：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，列出二元一次方程组． 8．（24-25七年级下·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，计算即可求出所求． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； （2）解：∵， ∴①， ∵， ∴②， 得 ∴． 9．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． （2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 10．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，∵，∴452是“七巧数”；，∵，∴724不是“七巧数”. (1)判断766，285是否为“七巧数”？请说明理由． (2)若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，求的值． 【答案】(1)766是“七巧数”， 285不是“七巧数”，理由见解析； (2)m的值为801或711或621或531 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）利用定义和已知列方程，分情况讨论即可． 【详解】（1）∵， ∴766是“七巧数”， 285不是“七巧数”； （2）设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c, 根据题意得：，（n为正整数）且 ①＋②得：， ∴当时，，， ∴，或，或，或，， 当，3，4……得不到符合题意的m， ∴m的值为801或711或621或531． 【点睛】本题考查了实数与整式的新定义，以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题． 11．（23-24七年级下·湖南永州·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，因为，所以3674是“交替数”，对于四位数2353，因为，所以2353不是“交替数”． (1)判断3986是否是“交替数”，并说明理由； (2)最小的“交替数”是______，最大的“交替数”是______． (3)若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是21，且十位数字与个位数的和能被5整除．请求出所有满足条件的“交替数”． 【答案】(1)不是，理由见解析． (2)1001，9999 (3)5214或5269 【分析】本题主要考查数的十进制，因式分解的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． （1）根据“交替数”的概念进行判断； （2）根据最小的正整数是1，最大的一位数是9，结合“交替数”的概念求解； （3）根据题意得到： ， ， ，先根据求出a，b的值，再根据求出k的值解答即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下∶ ∵， ∴ 3986不是“交替数”． （2）解：最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999． 故答案为：1001，9999； （3）解：设这个“交替数”为， k为正整数． 由题意得 ∶ ， ， ． ∵ ， 且 ∴   ，   ， 解得(舍去)  ，    ， ∵ ( k为正整数) ， ∴ 取1或2或3  ， 又∵ ， 即 ， 则 ， ① 当取1时， 即   ， ∴ 解得     ， ∴ “交替数”是5214． ② 当取2时， 即   ， ∴ 解得 (舍去) ， ③ 当取3时， 即   ， ∴ 解得     ， ∴ “交替数”是5269． 综上所述，满足条件的“交替数”为5214或5269． 12．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点，，的横坐标x值与纵坐标y值的有序实数对，都是方程的解，则称，，三点共线．（如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解．） (1)已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？ ，，，．请写出判断过程． (2)已知方程， ①对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解： ②以①的解中x值为点M的横坐标，y值为点M的纵坐标，若点，与点M三点共线，求a与t的值． 【答案】(1)A，B，D三点共线，见解析 (2)①；②， 【分析】（1）根据共线的条件判断即可； （2）①法一：任取a的2个值代入，得到2个关于x、y的方程，联立求解即可； 法二：去括号，合并关于a的同类项，令a的系数等于零求解即可； ②将3个点的坐标分别代入，然后解方程组即可． 【详解】（1）对于，；   对于，；      对于，；     对于，． ∴A，B，D三点共线； （2）①法一：因为a为任意实数，不妨取和， 当时得， 当时得， 联立，   解得．      所以固定的解为． 法二：得， 即． 因为对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解， 所以，   解得．    所以固定的解为．         ②由①得，因为，与点M三点共线，所以，得，     解得． 所以，． 【点睛】本题考查了知识拓展-三点共线，解二元一次方程组，正确理解三点共线的条件是解答本题的关键． 【压轴题型三 二元一次方程组的错节复原问题】 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解. 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．将错解分别代入未看错的方程中得到新的方程组，得到的值，即可求出原方程组的正确解． 【详解】解：由题意可知是的解， 于是可得，解得， 同理可得， 故原方程组为， 由①，得③， 把③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得乙看错了方程②中的，解得，试求的值． 【答案】0 【分析】本题考查的是二元一次方程组的错解问题，把代入②，把代入①，再进一步解题即可． 【详解】解：甲、乙两人同解方程组时， 甲看错了方程①中的，解得， 乙看错了方程②中的，解得， 把代入②，得，解得； 把代入①，得，解得， ． 15．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求关于x方程的解． 【答案】 【分析】本题考查方程组错解复原问题，根据方程组的解满足的那个方程，求出的值，进而解一元一次方程即可． 【详解】解：由题意，得：满足方程， ∴， ∴， 满足方程， ∴， ∴， ∴转化为：， ∴． 16．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解． 根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵小明看错了方程①中的，所以满足方程②， 即，解得， ∵小红看错了方程②中的，所以满足方程①， 即，解得， ∴． 17．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求方程组的解及的值． （2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二元一次方程组综合，涉及同解二元一次方程组求参数问题，读懂题意，由所给方程组得到系数确定的二元一次方程组求解即可得到答案，熟练掌握同解方程问题的解法是解决问题的关键． （1）由题中两个方程组同解，得到新的二元一次方程组，解方程后，将代入含参数的方程，构成参数方程组求解即可得到答案； （2）解，设被墨水污染的为，点为，为，将方程组的解代入同解方程组解得，再结合题意构造新的二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】解：（1）方程组与有相同的解． 联立得方程组，解得，代入得，解得； （2）， 由②－①，得． 把代入②，得，解得， 方程组的解为， 设被墨水污染的为，点为，为． 这个方程组的解是， ， ． 看错了第二个方程中的的系数，求出的解是， ， ，解得， 原方程组为． 18．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3 (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． （1）把代入①，能求出，把代入②，能求出； （2）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （3）加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：（1）把代入①，得， 解得：； 把代入②，得， 解得， 所以甲把看成了1，乙把看成了3； （2）解：把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； ∴，； （3）解：原方程组为，解得原方程组的正确解为：． 【压轴题型四 根据二元一次方程组的定义求字母的值】 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）运算能力  我们把（a，b为常数，x，y为未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．请你判断是否存在常数n，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同．若存在，求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，“完美值”为． 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 根据“雅系二元一次方程”的“完美值”的定义得，解得；，解得；再根据两方程的“完美值”相同，得出，再求解即可． 【详解】解：存在． 根据题意，把代入“雅系二元一次方程”，得，解得． 把代入“雅系二元一次方程”，得，解得． 又∵这两个方程的“完美值”相同， ，解得． 把代入，得． 综上所述，存在，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同，此时的“完美值”为． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 21．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知是二元一次方程的解． (1)求的值； (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程； (3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答：如果不是，请再写出它的另一个解． 【答案】(1)4； (2)不唯一，例如； (3)不是，． 【分析】（1）把方程的解代入方程得到，即可求出的值； （2）二元一次方程的解有无数个，不唯一，根据二元一次方程的定义写出符合题意的二元一次方程即可； （3）二元一次方程的解有无数个，根据二元一次方程写出其他解即可； 【详解】（1）解：是二元一次方程的解， ， ； （2）解：不唯一，例如； （3）解：不是，例如． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 22．（23-24七年级下·河北唐山·期中）已知是二元一次方程的解． (1)求的值； (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程； (3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答；如果不是，请再写出它的另一个解． 【答案】(1) (2)不唯一，（答案不唯一） (3)不是，（答案不唯一） 【分析】（1）根据二元一次方程解的定义代入求解即可得到答案； （2）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案； （3）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是二元一次方程的解， 将代入，得； （2）解：以为解的二元一次方程不唯一； 比如的解也是； （3）解：二元一次方程的解不是只有这一个解；比如也是的解． 【点睛】本题考查二元一次方程的解得定义，读懂题意，掌握二元一次方程解的定义是解决问题的关键． 23．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的各个数位上的数字之和记为. 例如时，. (1)对于“相异数”，若，请你写出一个的值； (2)若都是“相异数”，其中，(，都是正整数)，规定：，当时，求的最小值. 【答案】(1)见解析；(2). 【分析】（1）由定义可得； （2）根据题意先求出F（a）=x+3，F（b）=8+y，代入可得二元一次方程x+y=7，求出x，y的解代入可得k的值． 【详解】(1)若，请你写出一个的值为123(或132，或213，或231，或312，或321). (2)∵都是“相异数”， ∴. ∵， ∴. ∴. ∵，都是正整数， ∴ 或 或 或 或 或      ∵是“相异数”，∴，. ∵是“相异数”，∴，. ∴ 或 或     ∴ 或 或 ∴ 或 或 . ∴的最小值是. 【点睛】本题是考查学生阅读理解能力，以及二元一次方程的运用． 24．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵； （2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b． 【详解】（1）解：整理方程得，， 因此矩阵形式为：； （2）根据矩阵形式得到方程组为： ， 将代入上述方程得，， 解得：． 【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算． 【压轴题型五 根据实际问题列二元一次方程组】 25．（24-25七年级下·全国·假期作业）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 26．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）周末，小亮帮奶奶去超市买菜，回家后与奶奶有一段对话： 小亮：牛肉和鸡蛋一共6斤，单价分别是元/斤和元/斤，您给了我元，现找回元． 奶奶：你肯定搞错了． 小亮：哦，我把自己口袋里的5元一起当作找回的钱款了． 奶奶：这就对了． 根据上面的信息，请你列方程组求小亮买了牛肉和鸡蛋各多少斤． 【答案】小亮买了牛肉2斤,鸡蛋4斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.设小亮买了牛肉x斤，鸡蛋y斤,根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可. 【详解】设小亮买了牛肉斤，鸡蛋斤， 由题意得:, 解得:, 答:小亮买了牛肉2斤,鸡蛋4斤. 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）某地需要将一段长为米的河道进行整修，整修任务由，两个工程队先、后接力完成．已知工程队每天整修米，工程队每天整修米，共用时天．问，两个工程队整修河道分别工作了多少天？ (1)以下是甲同学的做法： 设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天．根据题意，得方程组：________， 解得， 请将甲同学的上述做法补充完整； (2)乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：， 在乙同学的做法中，表示________，表示________； 请将乙同学所列方程组补充完整． 【答案】(1) ， ，； (2)工程队在整修河道中整修的米数，工程队在整修河道中工作的天数； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找到合适的等量关系是解题的关键． （）根据工程队与工程队的工作时间共天，工程队与工程队共修河道米，列方程组进行求解即可； （）观察乙所列的方程，可知乙把每个队整修的河道长作为了未知数，由此进行分析即可得到的答案； 【详解】（1）解：设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天， 根据题意，得方程组： ， 解得， 故答案为： ， ，； （2）解：在乙同学的做法中，表示工程队在整修河道中整修的米数，表示工程队在整修河道中工作的天数， 故答案为：工程队在整修河道中整修的米数，工程队在整修河道中工作的天数， 根据上面可列方程，， 故答案为：． 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②－①，得， 解方程组得． 29．（23-24七年级下·福建泉州·期末）在数学活动课上，某同学在一个大长方形中画出如图所示的8个大小一样的小长方形． (1)求小长方形的长和宽． (2)求大长方形中阴影部分的面积． 【答案】(1)5，2 (2)28 【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，图形建立二元一次方程组，再解二元一次方程组即可得到答案； （2）分别计算出大长方形和小长方形的面积，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形可得，即 解方程组得， 长方形的长和宽分别为5，2； （2）设大长方形长为，宽为， 由题意得，， ∴，， ∴， 故大长方形中阴影部分的面积28． 【点睛】本题考查利用二元一次方程组解决问题，依据题意建立二元一次方程组是解本题的关键． 30．（23-24七年级下·河南南阳·期末）某校组织学生参加数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 王晓林 李毅 (1)观察、分析表格提供的数据可知：答对题得______分，答错题扣______分； (2)若设答对题数是，得分为，请用含的代数式表示； (3)参赛者李小萌得了分，求他答对了几道题； (4)参赛者马小虎说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5；1 (2) (3)答对了道题 (4)不可能，见解析 【分析】（1）设答对一题得分，答错一题扣分，根据题意得：，进行计算即可得； （2）若答对道题，得分为分，则答错道题，依题意得：； （3）根据（2）中的所得y与x的关系式，将代入计算即可得； （4）令，即，进行计算即可得． 【详解】（1）解：设答对一题得分，答错一题扣分，根据题意得： ， 解得：， 即答对一题得分，答错一题得分， 故答案为：；； （2）解：若答对道题，得分为分，则答错道题，依题意得： ； （3）解：依题意得： ， 解得：， 即他答对了道题； （4）不可能，理由如下： 解：依题意，得： ， 解得：， 不为整数， 参赛者马小虎不可能得0分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找出等量关系列出方程． 【压轴题型六 二元一次方程组的应用（行程、销售、利润、分配）问题】 31．（23-24七年级下·河南南阳·期末）某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？ 【答案】安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，根据生产车间有18名工人，每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，由题意，得： ， 解得：； 答：安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名． 32．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．先设计出两种方案图，然后根据甲、乙两种作物的总产量的比是2：1列出方程组，求出方程的解即可． 【详解】解：方案1：如图①，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米， 由题意得，，解得 所以，过长方形土地边长上离一端160米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 方案2：如图②，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米，由题意得， ，解得． 所以，过长方形土地边长上离A一端80米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）某水果店以3650元购进A，B两种水果，这两种水果的进价和售价如下表所示：若按售价出售完A，B两种水果，可获利润1600元（利润售价进价），则A，B两种水果各购进多少千克？ A种水果 B种水果 进价/（元/） 35 45 售价/（元/） 50 65 【答案】A种水果购进种水果购进 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据等量关系列出二元一次方程组是解题的关键．设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，根据进货费用3650元、毛利润1600元列二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设A种水果购进种水果购进． 由题意，得 即 解得 故A种水果购进种水果购进． 34．（24-25七年级下·四川成都·开学考试）如图，有一条三角形的环路，A至B 段是上坡路，B至C段是下坡路，A至C段是平路，A至B、B至C、C至A三段距离的比是，小琼和小芳同时从A出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C至D段是多少千米？ 【答案】2千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设，根据时间路程速度，结合2个半小时后在上的D 点相遇，列出方程组求解即可． 【详解】解：设， 由题意得， 解得， 答：的实际距离为2千米 35．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 36．（24-25七年级下·全国·期末）请根据图中信息，回答下列问题： (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由． 【答案】(1)一个暖瓶70元，一个水杯30元 (2)到乙商场购买更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分别求出到两商城购买所需费用． （1）设一个暖瓶x元，一个水杯y元，根据“购买一个暖瓶、一个水杯共需100元，购买两个暖瓶、三个水杯共需230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据两商城的促销方案，分别求出到两商城购买所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个暖瓶元，一个水杯元，根据题意， 得 解得 答：一个暖瓶70元，一个水杯30元． （2）解：若到甲商场购买，则所需的钱数为（元）； 若到乙商场购买，则所需的钱数为（元）． ， 到乙商场购买更合算． 【压轴题型七 二元一次方程组的应用（数字、图表、工程、几何）问题】 37．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【答案】49 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找出等量关系、列出方程组是解题的关键． 设原来的两位数的个位数字为，十位数字为，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意，得，解得． 所以，原来的两位数为． 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【答案】填写的数字分别为2，9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y． 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9． 39．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图(甲)中，各行、各列及对角线上的三个数之和都相等. 3 2 y       甲           3 2 乙 (1)通过计算求x与y的值； (2)把满足（甲）的其他6个数填入图（乙）中的方格内. 【答案】(1)x与y的值分别为与1 (2)见解析 【分析】解答本题的关键是找出等量关系，列方程组求出、的值，再根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等这个已知条件求解即可． （1）由题意可以知道等量关系：即各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．据此列方程组分别求得、的值； （2）根据题意，分别求得方格内的数即可． 【详解】（1）由题意可列方程组 解得． x与y的值分别为与1； （2）由题意可知：图中对角线从上到下的数依次为，，； 设第二行最前面的数位，第三行第一个和第二个数分别为、． 由第一行数的和第二行数的和得：，解得； 由第二列数的和第三列数的和得：，解得； 由第一列数的和第二列数的和得：，解得． 故第一行应填：；第二行依次应填：5，1；第三行依次应填：0，，4． 如图 40．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度． 【答案】这种书的厚度为，竖放时的高度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先设这种书的厚度为，竖放时的高度为，然后根据题干信息找到等量关系，列出方程组，即可求解； 【详解】解：设这种书的厚度为，竖放时的高度为， 根据题意，得， 解得， 答：这种书的厚度为，坚放时的高度为． 41．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)补全方程组见解析；A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为 ； 故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）解：选甲同学所列方程组解答如下： ， 得， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：， B工程队整治河道的米数为：； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 选乙同学所列方程组解答如下： 由题意可得， 解得， 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 42．（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 【压轴题型八 三元一次方程组的综合应用】 43．（2024七年级下·全国·专题练习）某个商店出售三种生日贺卡，已知种贺卡每张0.5元，种贺卡每张1元，种贺卡每张2.5元．营业员统计三月份的经营情况如下：三种贺卡共卖出150张，收入合计180元，则该商店3月份出售种贺卡至少多少张？ 【答案】20张 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，难度较大，对于本题的解答，列示比较简单，难点在与通过加减消元法得到与，与的关系，根据、判定的最小值．首先假设、、三种贺卡售出的张数分别为，，．根据题意列方程组得：然后通过加减消元法得到，根据的取值判定的最小值． 【详解】解：设、、三种贺卡售出的张数分别为，，， 则由题意得组得：， 由①②得，，即， ②①得，，即， 由，得， 由，得， ， 答：该商店3月份出售种贺卡至少20张． 44．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）某农场欲销售甲、乙两种苹果，甲种苹果每箱重千克，乙种苹果每箱重千克．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元，箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元． (1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)该农场欲租车把苹果运往外地某客户，每辆车能运货千克（假设恰好能装满），若该客户购买的甲、乙两种苹果的总售价为万元，则农场需租几辆车才能运完？ 【答案】(1)甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元 (2) 【分析】（1）设甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲苹果购买为箱，乙苹果购买为箱，需要租用辆车运输苹果，根据题意列方程即可推得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元， ， 解得， 故甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元； （2）解：设甲苹果购买为箱，乙苹果购买为箱，需要租用辆车运输苹果， 则， 整理得：． 整理得：， 故， 解得：， 故农场需租辆车才能运完． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程的应用，根据车辆运输的总质量和购买苹果的总售价进行列式求解是解题的关键． 45．（23-24七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 【答案】(1)；； (2)3 (3)元 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； （3）设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，根据题意建立三元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由①②得：， 整理得：， 由①②得：， 整理得：， 则． （3）解：设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元， 由题意得：， ∴②①得，， ∴． 将代入①整理得，． ∴． ∴． 答：采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元． 46．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)①甲9辆，乙6辆，丙3辆；②甲10辆，乙2辆，丙6辆；方案②最省 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）解：设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是正整数，且三种车共18辆要求同时参与 ∴x与y都不能大于16， 解得或． ∴共有两种方案：①甲车9辆，乙车6辆，丙车3辆；②甲车10辆，乙车2辆，丙车6辆； 两种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）； ∵， ∴方案②最省． 47．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）用如图的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的木块先按图1放置，再按图2放置，测得的数据如图（单位：）．    (1)求出桌子的高度； (2)如果两次测量的数据分别是和，直接写出桌子的高度．（用含、的式子表示） 【答案】(1)桌子的高度为 (2)桌子的高度为； 【分析】（1）根据图1和图2，列出相应的方程组，然后两个方程组作和即可解答本题； （2）根据（1）的结论来判断结果． 【详解】（1）解：设木块长，宽为，桌子的高为， 根据题意可列出以下方程组： ，解得， ∴桌子的高度为 （2）解：通过（1）的计算可知，桌子的高度与两次测量的数据之和存在确定的数量关系，即桌子的高度等于两次测量的数据之和的一半， ∴桌子的高度为； 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件. 48．（23-24七年级下·陕西西安·期末）问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）1330朵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，可得，即可求解； （3）黄花一共用了M朵．则，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：（1）得， 故答案为：． （2）， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）设黄花一共用了M朵．则， 由题意，得， 由，得④， 由，得，即． 答：黄花一共用了1330朵． 【压轴题型九 二元一次方程组与一次函数综合问题 】 49．（23-24七年级下·全国·单元测试）方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到方程组的解，然后把方程组的解代入方程组，求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：根据图象得：方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 50．（23-24七年级下·山东东营·期末）一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系．熟练掌握两直线的交点与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 根据二元一次方程的解是两直线的交点坐标的横、纵坐标，数形结合求解作答即可． 【详解】解：由题意和图象可知，方程组的解为， 故答案为：． 51．（2024七年级·全国·专题练习）图象法解方程组． 【答案】，图象见解析 【分析】利用描点法分别画出一次函数和一次函数的函数图象，两个一次函数图象的交点即为方程组的解． 【详解】解：列表如下： x … 0 1 2 3 … … 0 2 4 x … 0 2 4 6 … … 4 3 2 1 0 画函数图象如下所示： 由函数图象可知，一次函数和一次函数的交点坐标为， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，熟知两个一次函数的交点的横纵坐标即为这两个一次函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 52．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，，满足方程． (1)求A、B两点坐标； (2)若在直线上的点横纵坐标均为上面方程的解，则直线叫做方程的图象，已知点是线段上一点，写出m和n的关系式（用n表示m）并写出m的取值范围． 【答案】(1)，或， (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将y看作已知数求出x． （1）把y看作已知数表示出x，即可确定出正整数解，从而求得A、B两点坐标； （2）图象上点的坐标满足解析式即可求得，根据A、B点横坐标即可求得m的取值范围． 【详解】（1）解：方程， 解得：x， 当时，；时，， 则方程的所有正整数解为，． ∵点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，， ∴，或，； （2）∵点是线段上一点， ∴， ∴， ∵点是线段上一点， ∴． 53．（23-24七年级下·河南周口·期末）某班“数学活动小组”尝试在平面直角坐标系中把二元一次方程的解直观地表示出来，例如，，是二元一次方程的一个解，就用点表示这个解，探究过程如下： (1)请在已知坐标系中标出4个以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，你有什么发现？ (2)如果以方程的解为坐标的点的全体叫做该方程的图象，则方程的图象是___________________？ (3)根据（2）的结论，请在如图所示坐标系中画出方程的图象，由这两个图象你能得出这个二元一次方程组的解吗？若能，请写出解来；若不能，请说明理由． (4)这种用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，体现的数学思想是_______________． 【答案】(1)见解析 (2)方程的图象是一条直线 (3)能，见解析 (4)数形结合 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象， （1）分别写出的4组解，再描点画图解答即可； （2）根据图象可得方程的图象是一条直线； （3）由（2）的结论可得的图象是一条直线，再写出方程的两组解，描点画图，再根据图象可得答案； （4）根据图象解方程组，方法就是数形结合． 【详解】（1）解：的4组解分别为： ，，， 描点画图如下： ∴这四个点在一条直线上． （2）解：方程的图象是一条直线； （3）解：∵的两组解为：，， 以这两组解为点的坐标描点画图如图所示： 由图象可知，方程组的解为． （4）解：这种用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，体现的数学思想是数形结合． 54．（23-24七年级下·山东临沂·期末）综合与探究 【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和．作出直线． 【解决问题】 (1)已知、、，则点______（填“A或B或C”）在方程的图象上． (2)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） (3)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______． 【答案】(1)A (2)作图见解析 (3)，； 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）分别把，代入求出值，根据是否一致进行判断即可； （2）求出方程的两组解，确定两个点，即可画出的图象，用同样的方法画出的图象即可； （3）观察（2）中的图象，找出交点坐标，即可解答； 【详解】（1）代入得：， 所以点A在方程的图象上； 代入得：， 所以点B不在方程的图象上； 代入得：， 所以点C不在方程的图象上； 故答案为：A， （2）解：把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； ∴的图象经过，，； 把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； ∴的图象经过，； 如图即为所求： （3）解：由（2）可得：的图象与的图象相交于， ∴这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 二元一次方程组压轴满分题型 【压轴题型一 方程组同解问题】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 2．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 3．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的立方根． 4．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为多少？ 5．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解， (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解，这句话对吗？请你说明理由． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题： 已知满足，且，求m的值． 小璐同学说：“先解关于的方程组再求m的值．” 小明同学观察后说：“方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但中不含m……” 请你选择其中一种方法，求出m的值． 【压轴题型二 构造二元一次方程组求解】 7．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）定义一种新运算“”：规定，其中a，b为常数，且，，求的值． 8．（24-25七年级下·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 9．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 10．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，∵，∴452是“七巧数”；，∵，∴724不是“七巧数”. (1)判断766，285是否为“七巧数”？请说明理由． (2)若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，求的值． 11．（23-24七年级下·湖南永州·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，因为，所以3674是“交替数”，对于四位数2353，因为，所以2353不是“交替数”． (1)判断3986是否是“交替数”，并说明理由； (2)最小的“交替数”是______，最大的“交替数”是______． (3)若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是21，且十位数字与个位数的和能被5整除．请求出所有满足条件的“交替数”．                     12．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点，，的横坐标x值与纵坐标y值的有序实数对，都是方程的解，则称，，三点共线．（如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解．） (1)已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？ ，，，．请写出判断过程． (2)已知方程， ①对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解： ②以①的解中x值为点M的横坐标，y值为点M的纵坐标，若点，与点M三点共线，求a与t的值． 【压轴题型三 二元一次方程组的错节复原问题】 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解. 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得乙看错了方程②中的，解得，试求的值． 15．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求关于x方程的解． 16．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 17．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求方程组的解及的值． （2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 18．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 【压轴题型四 根据二元一次方程组的定义求字母的值】 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）运算能力  我们把（a，b为常数，x，y为未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．请你判断是否存在常数n，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同．若存在，求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 21．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知是二元一次方程的解． (1)求的值； (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程； (3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答：如果不是，请再写出它的另一个解． 22．（23-24七年级下·河北唐山·期中）已知是二元一次方程的解． (1)求的值； (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程； (3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答；如果不是，请再写出它的另一个解． 23．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的各个数位上的数字之和记为. 例如时，. (1)对于“相异数”，若，请你写出一个的值； (2)若都是“相异数”，其中，(，都是正整数)，规定：，当时，求的最小值. 24．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【压轴题型五 根据实际问题列二元一次方程组】 25．（24-25七年级下·全国·假期作业）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 26．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）周末，小亮帮奶奶去超市买菜，回家后与奶奶有一段对话： 小亮：牛肉和鸡蛋一共6斤，单价分别是元/斤和元/斤，您给了我元，现找回元． 奶奶：你肯定搞错了． 小亮：哦，我把自己口袋里的5元一起当作找回的钱款了． 奶奶：这就对了． 根据上面的信息，请你列方程组求小亮买了牛肉和鸡蛋各多少斤． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）某地需要将一段长为米的河道进行整修，整修任务由，两个工程队先、后接力完成．已知工程队每天整修米，工程队每天整修米，共用时天．问，两个工程队整修河道分别工作了多少天？ (1)以下是甲同学的做法： 设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天．根据题意，得方程组：________， 解得， 请将甲同学的上述做法补充完整； (2)乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：， 在乙同学的做法中，表示________，表示________； 请将乙同学所列方程组补充完整． 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 29．（23-24七年级下·福建泉州·期末）在数学活动课上，某同学在一个大长方形中画出如图所示的8个大小一样的小长方形． (1)求小长方形的长和宽． (2)求大长方形中阴影部分的面积． 30．（23-24七年级下·河南南阳·期末）某校组织学生参加数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 王晓林 李毅 (1)观察、分析表格提供的数据可知：答对题得______分，答错题扣______分； (2)若设答对题数是，得分为，请用含的代数式表示； (3)参赛者李小萌得了分，求他答对了几道题； (4)参赛者马小虎说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【压轴题型六 二元一次方程组的应用（行程、销售、利润、分配）问题】 31．（23-24七年级下·河南南阳·期末）某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？ 32．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）某水果店以3650元购进A，B两种水果，这两种水果的进价和售价如下表所示：若按售价出售完A，B两种水果，可获利润1600元（利润售价进价），则A，B两种水果各购进多少千克？ A种水果 B种水果 进价/（元/） 35 45 售价/（元/） 50 65 34．（24-25七年级下·四川成都·开学考试）如图，有一条三角形的环路，A至B 段是上坡路，B至C段是下坡路，A至C段是平路，A至B、B至C、C至A三段距离的比是，小琼和小芳同时从A出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C至D段是多少千米？ 35．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 36．（24-25七年级下·全国·期末）请根据图中信息，回答下列问题： (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由． 【压轴题型七 二元一次方程组的应用（数字、图表、工程、几何）问题】 37．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 39．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图(甲)中，各行、各列及对角线上的三个数之和都相等. 3 2 y       甲           3 2 乙 (1)通过计算求x与y的值； (2)把满足（甲）的其他6个数填入图（乙）中的方格内. 40．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度． 41．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 42．（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【压轴题型八 三元一次方程组的综合应用】 43．（2024七年级下·全国·专题练习）某个商店出售三种生日贺卡，已知种贺卡每张0.5元，种贺卡每张1元，种贺卡每张2.5元．营业员统计三月份的经营情况如下：三种贺卡共卖出150张，收入合计180元，则该商店3月份出售种贺卡至少多少张？ 44．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）某农场欲销售甲、乙两种苹果，甲种苹果每箱重千克，乙种苹果每箱重千克．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元，箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元． (1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)该农场欲租车把苹果运往外地某客户，每辆车能运货千克（假设恰好能装满），若该客户购买的甲、乙两种苹果的总售价为万元，则农场需租几辆车才能运完？ 45．（23-24七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 46．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 47．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）用如图的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的木块先按图1放置，再按图2放置，测得的数据如图（单位：）．    (1)求出桌子的高度； (2)如果两次测量的数据分别是和，直接写出桌子的高度．（用含、的式子表示） 48．（23-24七年级下·陕西西安·期末）问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【压轴题型九 二元一次方程组与一次函数综合问题 】 49．（23-24七年级下·全国·单元测试）方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B．3 C．5 D． 50．（23-24七年级下·山东东营·期末）一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是 ． 51．（2024七年级·全国·专题练习）图象法解方程组． 52．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，，满足方程． (1)求A、B两点坐标； (2)若在直线上的点横纵坐标均为上面方程的解，则直线叫做方程的图象，已知点是线段上一点，写出m和n的关系式（用n表示m）并写出m的取值范围． 53．（23-24七年级下·河南周口·期末）某班“数学活动小组”尝试在平面直角坐标系中把二元一次方程的解直观地表示出来，例如，，是二元一次方程的一个解，就用点表示这个解，探究过程如下： (1)请在已知坐标系中标出4个以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，你有什么发现？ (2)如果以方程的解为坐标的点的全体叫做该方程的图象，则方程的图象是___________________？ (3)根据（2）的结论，请在如图所示坐标系中画出方程的图象，由这两个图象你能得出这个二元一次方程组的解吗？若能，请写出解来；若不能，请说明理由． (4)这种用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，体现的数学思想是_______________． 54．（23-24七年级下·山东临沂·期末）综合与探究 【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和．作出直线． 【解决问题】 (1)已知、、，则点______（填“A或B或C”）在方程的图象上． (2)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） (3)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$