第七、八章 幂运算和整式乘法章末易错题复习（8个考点36题）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

第七﹑八章 幂运算和整式乘法章末易错题复习 一．同底数幂的乘法（共3小题） 1．已知am＝4，an＝16，那么am+n的值为　64　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵am＝4，an＝16， ∴am+n＝am•an＝4×16＝64． 2．已知2x+y﹣1＝0，则52x•5y＝　5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2x+y﹣1＝0， ∴2x+y＝1， ∴52x•5y＝52x+y＝51＝5． 故答案为：5 3．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）． 例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8． （1）若f（2）＝5， ①填空：f（6）＝　125　； ②当f（2n）＝25，求n的值； （2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵f（2）＝5， ∴f（6）＝f（2+2+2） ＝f（2）•f（2）•f（2） ＝5×5×5 ＝125； 故答案为：125； ②解法一：∵25＝5×5 ＝f（2）•f（2） ＝f（2+2）， ∵f（2n）＝25， ∴f（2n）＝f（2+2）， ∴2n＝4， ∴n＝2； 解法二：f（2n） ＝[f（2）]n ＝5n， ∵f（2n）＝25， ∴5n＝25， 解得：n＝2； （2）∵f（2a） ＝f（a+a） ＝f（a）•f（a） ＝3×3 ＝31+1 ＝32， f（3a） ＝f（a+a+a） ＝f（a）•f（a）•f（a） ＝3×3×3 ＝31+1+1 ＝33， …， f（10a）＝310， ∴f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a） ＝3×32×33×…×310 ＝31+2+3+…+10 ＝355． 二．幂的乘方与积的乘方（共5小题） 4．下列等式成立的是（　　） A．（a﹣b）2＝（b﹣a）2 B．（﹣a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a﹣b）3＝（b﹣a）3 【答案】A 【解答】解：A∵（a﹣b）2＝（b﹣a）2，故A正确； B∵（﹣a﹣b）2≠﹣（a﹣b）2，故B错误； C（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C错误； D∵（a﹣b）3＝﹣（b﹣a）3，故D错误； 故选：A． 5．计算：（﹣0.25）2017×42018的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4 【答案】C 【解答】解：（﹣0.25）2017×42018 ＝﹣0.252017×42017×4 ＝﹣（0.25×4）2017×4 ＝﹣4， 故选：C． 6．已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b，c大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【答案】B 【解答】解：a＝212＝84， b＝38＝94， ∵9＞8＞7， ∴94＞84＞74， ∴b＞a＞c， 故选：B． 7．若3×9m×27m＝321，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：3•9m•27m＝3•32m•33m＝31+2m+3m＝321， ∴1+2m+3m＝21， 解得m＝4． 故选：B． 8．阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：25＞23，55＞45． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325． 解：2710＝（33）10＝330，∵30＞25，∴330＞325． （1）8x＝218，求x的值． （2）[类比解答]比较254，1253的大小． （3）[拓展拔高]比较3555，4444，5333的大小． 【答案】（1）6； （2）254＜1253； （3）5333＜3555＜4444． 【解答】解：（1）8x＝（23）x＝218， 即：23x＝218， ∴3x＝18， ∴x＝6； （2）254＝（52）4＝58，1253＝（53）3＝59， ∵8＜9， ∴58＜59， 即：254＜1253； （3）3555＝（35）111＝243111，4444＝（44）111＝256111，5333＝（53）111＝125111， ∵125＜243＜256， ∴125111＜243111＜256111； ∴5333＜3555＜4444． 三．同底数幂的除法（共3小题） 9．下列运算中正确的是（　　） A．（2ab）3＝2a3b3 B．a3•a2＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）4＝a12 【答案】D 【解答】解：A．（2ab）3＝8a3b3，故本选项不合题意； B．a3•a2＝a5，故本选项不合题意； C．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意； D．（a3）4＝a12，故本选项符合题意． 故选：D． 10．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a3+a3＝a6 C．a8÷a4＝a2 D．（a3）2＝a6 【答案】D 【解答】解：A．a2⋅a3＝a5，故不符合题意； B．a2与a3不属于同类项，不能合并，故不符合题意； C．a8÷a4＝a4，故不符合题意； D．（a3）2＝a6，故符合题意； 故选：D． 11．若10a＝3，10b＝2，则102a﹣b＝　　． 【答案】． 【解答】解：当10a＝3，10b＝2时， 102a﹣b ＝102a÷10b ＝（10a）2÷10b ＝32÷2 ＝9÷2 ， 故答案为：． 四．多项式乘多项式（共2小题） 12．如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（　　） A．6ab﹣3a+4b B．4ab﹣3a﹣2 C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2 【答案】B 【解答】解：剩余部分面积： （3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4） ＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b ＝4ab﹣3a﹣2； 故选：B． 13．关于x的代数式（3﹣ax）（3+2x）的化简结果中不含x的一次项，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：原式＝9+6x﹣3ax﹣2ax2＝﹣2ax2+（6﹣3a）x+9， 由结果不含x的一次项，得到6﹣3a＝0， 解得：a＝2． 故选：B． 五．完全平方公式（共9小题） 14．下列计算正确的是（　　） A．（a﹣1）2＝a2﹣1 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6 【答案】D 【解答】解：A、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故A不符合题意； B、（﹣a3b）2＝a6b2，故B不符合题意； C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意； D、（a2）3＝a6，故D符合题意； 故选：D． 15．下列运算正确的是（　　） A．3a+a2＝3a3 B．（﹣3a3）2＝6a6 C．a2•a3＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 【答案】C 【解答】解：∵3a与a2不是同类项，不能合并， ∴A不正确，不符合题意； ∵（﹣3a3）2＝（﹣3）2a3×2＝9a6， ∴B不正确，不符合题意； ∵a2•a3＝a2+3＝a5， ∴C正确符合题意； ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴D不正确，不符合题意； 故选：C． 16．下列运算正确的是（　　） A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a2﹣a2＝2 C．a2•a＝a3 D．（a﹣1）2＝a2﹣1 【答案】C 【解答】解：A．（﹣a）2＝a2，故本选项不符合题意； B.2a2﹣a2＝a2，故本选项不符合题意； C．a2•a＝a3，故本选项符合题意； D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项不符合题意； 故选：C． 17．下列等式成立的是（　　） A．3a2﹣2a2＝1 B．（2x+y）2＝4x2+y2 C．a2﹣4＝（a﹣2）2 D．2a2b•3a2b2＝6a4b3 【答案】D 【解答】解：A、3a2﹣2a2＝a2，原计算错误，故此选项不符合题意； B、（2x+y）2＝4x2+4xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意； C、a2﹣4＝（a﹣2）（a+2），原计算错误，故此选项不符合题意； D、2a2b•3a2b2＝6a4b3，原计算正确，故此选项符合题意． 故选：D． 18．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则（a+b）10展开式中所有项的系数和是　1024　． 【答案】1024． 【解答】解：当n＝1、2、3、4、…时， （a+b）n展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、…， 由此可知（a+b）n展开式的各项系数之和为2n， 所以（a+b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024． 故答案为：1024． 19．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（a+b）n（n为非负整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出（2x+1）6的展开式，则a5的值是 　192　． 【答案】192． 【解答】解：由题意得， （2x+1）6的展开式的第二项为： 6×（2x）5×1 ＝6×32×1•x5 ＝192x5， 故答案为：192． 20．已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2+b2的值为 　29　． 【答案】29． 【解答】解：∵a+b＝5，ab＝﹣2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×（﹣2）＝25﹣（﹣4）＝25+4＝29， 故答案为：29． 21．若x3，则x2　7　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x3， ∴（x）2＝x22＝9， ∴x29﹣2＝7． 故答案为：7． 22．化简：（a﹣3b）2+3b（2a﹣3b）． 【答案】a2． 【解答】解：（a﹣3b）2+3b（2a﹣3b） ＝a2﹣6ab+9b2+6ab﹣9b2 ＝a2． 六．完全平方公式的几何背景（共7小题） 23．如图1，将一个长为2n，宽为2m（n＞m）的长方形，用剪刀沿虚线裁开，把它分成四块形状大小一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（　　） A．2mm B．（n+m）2（n﹣m）2 C．（n﹣m）2 D．n2﹣m2 【答案】C 【解答】解：由题意得：图2中空白部分是一个边长为（n﹣m）的正方形， ∴其面积为：（n﹣m）2． 故选：C． 24．阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知a+b＝6，ab＝8，求a2+b2的值．”可以这样解：将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2变形得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×8＝20．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形BHEC周长为16，S长方形BHEC＝15，则S正方形ABCD+S正方形CEFG的值是（　　） A．34 B．31 C．64 D．94 【答案】A 【解答】解：∵长方形BHEC周长为16，S长方形BHEC＝15， ∴2（a+b）＝16，ab＝15， ∴a+b＝8， ∴S正方形ABCD+S正方形CEFG＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝82﹣2×15 ＝64﹣30 ＝34， 故选：A． 25．在一个面积为36cm2正方形纸板中剪下边长为a cm大正方形和边长为b cm的小正方形（如图1），再在大正方形沿一个顶点剪下一个边长为b cm的小正方形（如图2），得到一个周长为16cm的六边形ABCDEF，则原大正方形中剩下的两个长方形的面积和为 　16　cm2． 【答案】16． 【解答】解：由题意得， 解得或（舍去）， ∴原大正方形中剩下的两个长方形的面积和为：4×2×2＝16， 故答案为：16． 26．【阅读理解】 若x满足（45﹣x）（x﹣15）＝200，求（45﹣x）2+（x﹣15）2的值． 解：设45﹣x＝a，x﹣15＝b，则（45﹣x）（x﹣15）＝ab＝200， a+b＝（45﹣x）+（x﹣15）＝30， （45﹣x）2+（x﹣15）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×200＝500， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若x满足（20﹣x）（x﹣5）＝50，则（20﹣x）2+（x﹣5）2＝　125　； （2）若x满足（2022﹣x）2+（x﹣2000）2＝244，求（2022﹣x）（x﹣2000）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，点E，F是BC，CD上的点，EC＝8cm，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为60cm2，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）125； （2）120； （3）280cm2． 【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设20﹣x＝a，x﹣5＝b， 则ab＝50， 而a+b＝15， ∴（20﹣x）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝152﹣2×50＝125； 故答案为：125； （2）设2022﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝244， 而a+b＝22， ∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝222﹣244＝484﹣244＝240， ∴ab＝120， 即（2022﹣x）（x﹣2000）＝120； （3）由题意得：CF＝CD﹣DF＝12﹣x，BC＝CE+BE＝x+8， 设CF＝a，BC＝b， ∴a+b＝12﹣x+x+8＝20， ∵长方形CBQF的面积为60cm2， ∴（12﹣x）（8+x）＝ab＝60， ∴图中阴影部分的面积和＝（12﹣x）2+（x+8）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×60＝280（cm2）． 27．【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1、图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：图1：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；图2：　（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2　． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系． （3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知c﹣d＝10，cd＝﹣16，求c+d的值；（写出过程） 【解决问题】（4）如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； （2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （3）±6； （4）4． 【解答】解：（1）∵图1中大正方形的边长为（a+b）， ∴图1中大正方形的面积为：（a+b）2， 又∵图1中的大正方形是由边长为a和b的两个正方形，及两个长为a，宽为b的长方形组成， ∴图1中大正方形的面积为：a2+2ab+b2， ∴得到的乘法公式为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； ∵图2中大正方形的边长为a， ∴图2中大正方形的面积为：a2， 又∵图2中的大正方形是两个边长为（a﹣b）和b的两个正方形，及两个长为（a﹣b），宽为b的长方形组成， ∴图2中的大正方形面积为：（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b）＝（a﹣b）2+2ab﹣b2， ∴a2＝（a﹣b）2+2ab﹣b2， ∴得到的乘法公式为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； （2）∵图3中大正方形的边长为（a+b）， ∴图3中大正方形的面积为：（a+b）2， 又∵图3中的大正方形是一个边长为（a﹣b）的正方形，及四个长为a，宽为b的长方形组成， ∴图3中大正方形的面积为：（a﹣b）2+4ab， ∴代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （3）∵c﹣d＝10，cd＝﹣16， 由（2）得：（c+d）2＝（c﹣d）2+4cd＝102+4×（﹣16）＝36， ∴c+d＝±6； （4）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b， 依题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，S△ACFab， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴62＝20+2ab， ∴ab＝8， ∴S△ACFab＝4． 28．把几个图形拼成一个图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积． （1）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n，观察图形，利用面积的不同表示方法，可以发现一个代数恒等式 　2m2+5mn+2n2＝（m+2n）（2m+n）　． （2）将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝8，ab＝12，请求出阴影部分的面积． （3）若图1中每块小长方形的面积为12.5cm2，四个正方形的面积和为48cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵大长方形的面积＝2m2+5mn+2n2， 大长方形的面积＝（m+2n）（2m+n）， ∴2m2+5mn+2n2＝（m+2n）（2m+n）， 故答案为：2m2+5mn+2n2＝（m+2n）（2m+n）； （2）阴影部分的面积＝a2+b2a2b（a+b） （a2+b2﹣ab） [（a+b）2﹣3ab] （64﹣36）＝14． 答：阴影部分的面积为14； （3）由题意得：mn＝12.5，2n2+2m2＝48， ∴n2+m2＝24， ∴（m+n）2＝n2+m2+2mn＝24+25＝49， ∵m＞n＞0， ∴m+n＝7， ∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和＝6（m+n）＝42（cm）． 答：图中所有裁剪线（虚线部分）长之和42cm． 29．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积． 方法1：　（a+b）2　； 方法2：　a2+2ab+b2　； 请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　． （2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值． （3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积． 【答案】（1）（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）12；（3）． 【解答】解：（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2， 关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）由题意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25， ∴ab12； （3）由题意得图3中阴影部分的面积为：a2， ∴当a+b＝8，ab＝15时， 图3中阴影部分的面积为：． 七．平方差公式（共4小题） 30．下列计算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．2a2•3b＝6ab D．（a3）2＝a5 【答案】B 【解答】解：A、2a与3b不能合并，故A不符合题意； B、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故B符合题意； C、2a2•3b＝6a2b，故C不符合题意； D、（a3）2＝a6，故D不符合题意； 故选：B． 31．下列式子中，能用平方差公式运算的是（　　） A．（﹣x+y）（y﹣x） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣y+x）（x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 【答案】C 【解答】解：A．没有相反项，故此选项不符合题意； B．没有完全相同的项，故此选项不符合题意； C．原式＝（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，故此选项符合题意； D．没有完全相同的项，故此选项不符合题意． 故选：C． 32．计算（x﹣3y）（x+3y）的结果是（　　） A．x2﹣3y2 B．x2﹣6y2 C．x2﹣9y2 D．2x2﹣6y2 【答案】C 【解答】解：（x﹣3y）（x+3y）， ＝x2﹣（3y）2， ＝x2﹣9y2． 故选：C． 33．观察下列等式： （m﹣1）（m+1）＝m2﹣1， （m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1， （m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4﹣1． （1）根据上面各式的规律，请写出第5个等式：　（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1　； （2）根据上面各式的规律可得（m﹣1）（mn+mn﹣1+……+m2+m+1）＝　mn+1﹣1　；（n为正整数，且n≥2）． （3）求22022+22021+…+22+2的值． 【答案】（1）（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1； （2）mn+1﹣1； （3）22023﹣2． 【解答】解：（1）由所列举的式子的规律可得，第5个等式为（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1， 故答案为：（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1； （2）由所列举的式子的规律可得， （m﹣1）（mn+mn﹣1+……+m2+m+1）＝mn+1﹣1， 故答案为：mn+1﹣1； （3）∵（2﹣1）（22022+22021+…+22+2+1）＝22023﹣1， ∴22022+22021+…+22+2+1＝22023﹣1， ∴22022+22021+…+22+2＝22023﹣2， 答：22022+22021+…+22+2的值为22023﹣2． 八．平方差公式的几何背景（共3小题） 34．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【答案】D 【解答】解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2， 图2梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b） 根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 比较各选项，只有D符合题意 故选：D． 35．如图，将大小相同的四个小正方形按照图①和图②所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【答案】A 【解答】解：由题意可得，图1中阴影部分面积为（a﹣b）2， 图2中阴影部分面积为a2﹣2ab+b2， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故选：A． 36．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2． （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）运用你所得到的公式，计算：2016×2014﹣20152. 【答案】（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）； （2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （3）﹣1． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2， 拼成图2是上底为2b，下底为2a，高为（a﹣b）的梯形，因此阴影部分的面积为S2（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）， 答：S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （3）原式＝（2015+1）（2015﹣1）﹣20152， ＝20152﹣1﹣20152 ＝﹣1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七﹑八章 幂运算和整式乘法章末易错题复习 一．同底数幂的乘法（共3小题） 1．已知am＝4，an＝16，那么am+n的值为　 　． 2．已知2x+y﹣1＝0，则52x•5y＝　 　． 3．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）． 例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8． （1）若f（2）＝5， ①填空：f（6）＝　 　； ②当f（2n）＝25，求n的值； （2） 若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）． 二．幂的乘方与积的乘方（共5小题） 4．下列等式成立的是（　　） A．（a﹣b）2＝（b﹣a）2 B．（﹣a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a﹣b）3＝（b﹣a）3 5．计算：（﹣0.25）2017×42018的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4 6．已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b，c大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 7．若3×9m×27m＝321，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：25＞23，55＞45． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325． 解：2710＝（33）10＝330，∵30＞25，∴330＞325． （1）8x＝218，求x的值． （2）[类比解答]比较254，1253的大小． （3）[拓展拔高]比较3555，4444，5333的大小． 三．同底数幂的除法（共3小题） 9．下列运算中正确的是（　　） A．（2ab）3＝2a3b3 B．a3•a2＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）4＝a12 10．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a3+a3＝a6 C．a8÷a4＝a2 D．（a3）2＝a6 11．若10a＝3，10b＝2，则102a﹣b＝　 　． 四．多项式乘多项式（共2小题） 12．如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（　　） A．6ab﹣3a+4b B．4ab﹣3a﹣2 C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2 13．关于x的代数式（3﹣ax）（3+2x）的化简结果中不含x的一次项，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 五．完全平方公式（共9小题） 14．下列计算正确的是（　　） A．（a﹣1）2＝a2﹣1 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6 15．下列运算正确的是（　　） A．3a+a2＝3a3 B．（﹣3a3）2＝6a6 C．a2•a3＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 16．下列运算正确的是（　　） A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a2﹣a2＝2 C．a2•a＝a3 D．（a﹣1）2＝a2﹣1 17．下列等式成立的是（　　） A．3a2﹣2a2＝1 B．（2x+y）2＝4x2+y2 C．a2﹣4＝（a﹣2）2 D．2a2b•3a2b2＝6a4b3 18．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则（a+b）10展开式中所有项的系数和是　 　． 19．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（a+b）n（n为非负整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出（2x+1）6的展开式，则a5的值是 　 　． 20．已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2+b2的值为 　 　． 21．若x3，则x2　 　． 22．化简：（a﹣3b）2+3b（2a﹣3b）． 六．完全平方公式的几何背景（共7小题） 23．如图1，将一个长为2n，宽为2m（n＞m）的长方形，用剪刀沿虚线裁开，把它分成四块形状大小一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（　　） A．2mm B．（n+m）2（n﹣m）2 C．（n﹣m）2 D．n2﹣m2 24．阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知a+b＝6，ab＝8，求a2+b2的值．”可以这样解：将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2变形得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×8＝20．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形BHEC周长为16，S长方形BHEC＝15，则S正方形ABCD+S正方形CEFG的值是（　　） A．34 B．31 C．64 D．94 25．在一个面积为36cm2正方形纸板中剪下边长为a cm大正方形和边长为b cm的小正方形（如图1），再在大正方形沿一个顶点剪下一个边长为b cm的小正方形（如图2），得到一个周长为16cm的六边形ABCDEF，则原大正方形中剩下的两个长方形的面积和为 　 　cm2． 26．【阅读理解】 若x满足（45﹣x）（x﹣15）＝200，求（45﹣x）2+（x﹣15）2的值． 解：设45﹣x＝a，x﹣15＝b，则（45﹣x）（x﹣15）＝ab＝200， a+b＝（45﹣x）+（x﹣15）＝30， （45﹣x）2+（x﹣15）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×200＝500， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若x满足（20﹣x）（x﹣5）＝50，则（20﹣x）2+（x﹣5）2＝　 　； （2）若x满足（2022﹣x）2+（x﹣2000）2＝244，求（2022﹣x）（x﹣2000）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，点E，F是BC，CD上的点，EC＝8cm，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为60cm2，求图中阴影部分的面积和． 27．【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1、图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：图1：　 　；图2：　 　． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系． （3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知c﹣d＝10，cd＝﹣16，求c+d的值；（写出过程） 【解决问题】（4）如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积． 28．把几个图形拼成一个图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积． （1）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n，观察图形，利用面积的不同表示方法，可以发现一个代数恒等式 　 　． （2）将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝8，ab＝12，请求出阴影部分的面积． （3）若图1中每块小长方形的面积为12.5cm2，四个正方形的面积和为48cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和． 29．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积． 方法1：　 　； 方法2：　 　； 请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：　 　． （2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值． （3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积． 七．平方差公式（共4小题） 30．下列计算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．2a2•3b＝6ab D．（a3）2＝a5 31．下列式子中，能用平方差公式运算的是（　　） A．（﹣x+y）（y﹣x） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣y+x）（x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 32．计算（x﹣3y）（x+3y）的结果是（　　） A．x2﹣3y2 B．x2﹣6y2 C．x2﹣9y2 D．2x2﹣6y2 33．观察下列等式： （m﹣1）（m+1）＝m2﹣1， （m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1， （m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4﹣1． （1）根据上面各式的规律，请写出第5个等式：　 　； （2）根据上面各式的规律可得（m﹣1）（mn+mn﹣1+……+m2+m+1）＝　 　；（n为正整数，且n≥2）． （3）求22022+22021+…+22+2的值． 八．平方差公式的几何背景（共3小题） 34．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 35．如图，将大小相同的四个小正方形按照图①和图②所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 36．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2． （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）运用你所得到的公式，计算：2016×2014﹣20152. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 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