第七章 相交线与平行线（13大压轴题型）（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

第七章 相交线与平行线（13大压轴题型） 【经典例题一 (真)命题举例说明假】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）写出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例 . 3．（22-23七年级下·江苏南京·期中）真假命题的思考. 一天，老师在黑板上写下了下列三个命题： ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②若，则 ③若和的两边所在直线分别平行，则. 小明和小丽对话如下， 小明：“命题①是真命题，好像可以证明.” 小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件.” （1）结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点.如果你认为是真命题，请证明：如果你认为是假命题，请增加一个适当的条件，使之成真命题. （2）请在命题②、命题③中选一个，如果你认为它是真命题，请证明：如果你认为它是假命题，请举出反例. 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 4．（22-23八年级上·河南郑州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 5．（23-24七年级下·广西柳州·期中）将命题“两个锐角互余”写成“如果…，那么…”的形式为 ． 6．（2022八年级上·浙江·专题练习）把下列命题改成“如果…那么…”的形式． (1)不相交的两条直线是平行线 (2)相等的两个角是对顶角 (3)经过一点有且只有一条垂线 (4)直角都相等． 【经典例题三 点到直线的距离】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 8．（23-24七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．    9．（2025七年级下·全国·专题练习）一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由）？ 【经典例题四 利用邻补角互补求角度】 10．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，线段和相交于点，下列条件中能说明的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，两直线交于点O，若，则的度数为 ． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点O是直线上一点，射线、、在直线的同一侧，且平分，． (1)如果，求的度数． (2)如果，求的度数． 【经典例题五 平面内两直线的位置关系】 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 14．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2019，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2019的位置关系是 ． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【经典例题六 平行公理的应用】 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 17．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）给出下列说法：①同角的补角相等；②相等的角是对顶角；③两点确定一条直线；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的有 个． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，AD∥BC，E为AB上一点，过E点作EF∥AD交DC于F，问EF与BC的位置关系，并说明理由. 【经典例题七 平行公理推论的应用】 19．（23-24七年级下·广东潮州·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．不相交的两条直线是平行线 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离 D．在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直． 20．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，点E、F分别是梯形两腰的中点，联结、，如果图中的面积为1.5，那么梯形的面积等于 ． 21．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 【经典例题八 同旁内角互补两直线平行】 22．（23-24七年级下·云南昆明·阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出的条件有（    ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线分别交于M，N两点，和的平分线交于点P．若，垂足为P，则与的位置关系是 ． 24．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，请按要求作图．    (1)在图1中找一个格点G，连接，使． (2)在图2中找一个格点H，连接，使． 【经典例题九 垂直于同一直线的两直线平行】 25．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 26．（22-23七年级下·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 27．（22-23八年级上·北京西城·期末）已知：如图①所示的三角形纸片内部有一点P． 任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG． 阅读操作步骤并填空： 小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．    在小谢的折叠操作过程中， （1）第一步得到图②，方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时∠即∠=__________°； （2）第二步得到图③，参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：_____________，并求∠EPF的度数； （3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图④． 完成操作中的说理： 请结合以上信息证明FG∥BC． 【经典例题十 根据平行线判定与性质求角度】 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，，则等于（） A． B． C． D． 29．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，若，则的度数为 ． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，图①为该校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初始状态时，篮球架的横梁平行于，主柱垂直于地面，与上拉杆形成的角为，且．这一篮球架可以通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度，在调整高度时，为使和平行，需要改变和的度数．如图②，调整使其上升到的位置，此时，与平行，，并且点H，D，B在同一直线上．请求出的度数． 【经典例题十一 根据平行线判定与性质证明】 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是 ． 33．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，已知，． (1)试说明：； (2)若，则与平行吗？请说明理由． 【经典例题十二 利用平移解决实际问题】 34．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·全国·单元测试）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 36．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少． 【经典例题十三 平移(作图)】 37．（24-35七年级下·全国·课后作业）如图所示，下列关于△ABC与△A′B′C′的说法不正确的是（　　） A．将△ABC先向右平移4格，再向上平移1格后可得到△A′B′C′ B．将△ABC先向上平移1格，再向右平移4格后可得到△A′B′C′ C．将△A′B′C′先向下平移1格，再向左平移4格后可得到△ABC D．将△A′B′C′向左平移6格后就可得到△ABC 38．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移2格．请在图中画出平移后的△A′B′C′，并作出△A′B′C′边A′B′上的高C′D′，再写出图中与线段AC平行的线段 ． 39．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点恰好均在小正方形的顶点上． (1)作交的延长线于点D； (2)将先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到．请在图中作出平移后的． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线（13大压轴题型） 【经典例题一 (真)命题举例说明假】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确理解题意是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意； B. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意； C. ，，则，，能说明原命题属于假命题，故该选项符合题意； D. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）写出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一个满足条件却不满足结论的a，b的值即可. 【详解】当时，满足， ∵-5<1，不满足， ∴可作为说明命题“若，则”是假命题的反例. 故答案为：a=-5，b=1（答案不唯一） 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 3．（22-23七年级下·江苏南京·期中）真假命题的思考. 一天，老师在黑板上写下了下列三个命题： ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②若，则 ③若和的两边所在直线分别平行，则. 小明和小丽对话如下， 小明：“命题①是真命题，好像可以证明.” 小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件.” （1）结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点.如果你认为是真命题，请证明：如果你认为是假命题，请增加一个适当的条件，使之成真命题. （2）请在命题②、命题③中选一个，如果你认为它是真命题，请证明：如果你认为它是假命题，请举出反例. 【答案】（1）见解析   （2）见解析 【分析】是假命题，②是假命题，③是假命题； 【详解】解：（1）命题①为假命题，可增加“在同一平面内”这一条件，可使该命题成为真命题， 即：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行； （2）命题②为假命题，举反例如下：当，时，，但. 命题③为假命题，举反例如下： 和的两边所在直线分别平行，如图，但. 【点睛】本题考查了命题的相关知识；熟练掌握命题的定义及涉及到的相关知识是解题的关键 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 4．（22-23八年级上·河南郑州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（23-24七年级下·广西柳州·期中）将命题“两个锐角互余”写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两个角是锐角，那么它们互余 【分析】首先确定两个锐角互余的题设是两个锐角，结论是互余，然后在题设前加上如果，结论前加上那么即可． 【详解】解：如果两个角是锐角，那么它们互余． 故答案为：如果两个角是锐角，那么它们互余． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握命题是由题设和结论两部分组形成． 6．（2022八年级上·浙江·专题练习）把下列命题改成“如果…那么…”的形式． (1)不相交的两条直线是平行线 (2)相等的两个角是对顶角 (3)经过一点有且只有一条垂线 (4)直角都相等． 【答案】(1)如果两条直线不相交，那么这两条直线平行 (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 (3)如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直 (4)如果所有的角是直角，那么它们都相等 【分析】(1)根据命题及其组成即可写得； (2) 根据命题及其组成即可写得； (3) 根据命题及其组成即可写得； (4) 根据命题及其组成即可写得． 【详解】（1）解：不相交的两条直线是平行线， ∵原命题的条件是：“两条直线不相交”，结论是：“这两条直线平行”， ∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两条直线不相交，那么这两条直线平行”； （2）解：相等的两个角是对顶角， ∵原命题的条件是：“两个角相等”，结论是：“这两个角是对顶角”， ∴命题“相等的两个角是对顶角”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”； （3）解：经过一点有且只有一条垂线， ∵原命题的条件是：“经过一点”，结论是：“有且只有一条垂线”， ∴命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直”； （4）解：直角都相等． ∵原命题的条件是：“所有的直角”，结论是：“都相等”， ∴命题“直角都相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果所有的角是直角，那么它们都相等”． 【点睛】本题考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成，把命题写成“如果…，那么…”的形式时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论． 【经典例题三 点到直线的距离】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，点到点的距离，根据以上知识点逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①线段的长是点到直线的距离，该选项说法错误； ②线段的长是点到直线的距离，该选项说法正确； ③三条线段中，最短，该选项说法正确； ④线段的长是点到点的距离，该选项说法错误； ∴正确的是②③， 故选：． 8．（23-24七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且于点B，，则点A到直线PC的距离是线段 的长．    【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”即可得到答案． 【详解】解：， ， 点A到直线PC的距离是线段的长， 故答案为：． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由）？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线段最短、点到直线的距离，熟练掌握垂线段最短是解题关键． （1）汽车离学校越近，其对学校的影响越大，根据垂线段最短即可得； （2）根据汽车离两所学校的远近、垂线段最短进行分析即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点． 因为汽车离学校越近，其对学校的影响越大， 所以由垂线段最短可知，当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大；当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大． （2）解：如图，因为当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越近；当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越远；当汽车由点向点行驶时，汽车离学校越来越远，而离学校越来越近， 所以当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐增大；当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐减小；当汽车由点向点行驶时，对学校的影响逐渐减小而对学校的影响逐渐增大． 【经典例题四 利用邻补角互补求角度】 10．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，线段和相交于点，下列条件中能说明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：A、，只能得出点是的中点，故该选项不符合题意； B、，只能得出点是的中点，故该选项不符合题意； C、和是对顶角，始终相等，故该选项不符合题意； D、和是邻补角，当时，，，故该选项符合题意； 故选：D． 11．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，两直线交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查了对顶角相等、邻补角，熟练掌握对顶角相等是解题关键．先根据对顶角相等可得，再根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：由对顶角相等得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点O是直线上一点，射线、、在直线的同一侧，且平分，． (1)如果，求的度数． (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键． （1）利用角平分线的定义求出的度数，再利用垂直的定义求出的度数；然后根据，代入计算求出的度数． （2）利用邻补角的定义和已知条件，可求出，的度数，利用角平分线的定义求出的度数；然后根据，代入计算求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴． ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【经典例题五 平面内两直线的位置关系】 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 14．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2019，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2019的位置关系是 ． 【答案】l1⊥l2019． 【分析】首先根据题意判断l1与l2，l3，l4，l5，l6，l7的关系，即可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，再求2019与4的商，即可求得l1与l2019的位置关系． 【详解】l1与l2019的位置关系为：l1∥l2008． 理由：∵l1⊥l2，l2∥l3， ∴l1⊥l3， ∵l3⊥l4， ∴l1∥l4， ∵l4∥l5， ∴l1∥l5， ∵l5⊥l6， ∴l1⊥l6， ∵l6∥l7， ∴l1⊥l7， ∴可得规律为：l1⊥l2，l1⊥l3，l1∥l4，l1∥l5， l1⊥l6，l1⊥l7，l1∥l8，l1∥l9， …， 则 l1∥l4，l1∥l5，l1∥l8，l1∥l9，l1∥l12，l1∥l13，l1∥l16，l1∥l17… l1⊥l2，l1⊥l3，l1⊥l6，l1⊥l7，l1⊥l10，l1⊥l11，l1⊥l14，l1⊥l15，… ∵2019÷4＝504…3 ∴l1⊥l2019． 故答案为l1⊥l2019． 【点睛】此题考查了平行线与垂线的关系．注意找到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，是解此题的关键． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 【经典例题六 平行公理的应用】 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，分四种情况“当点P在边上且不与点O重合时；当点P在边上且不与点O重合时；当点P不在边或边上时；当点P与点O重合时”分别讨论可得答案． 【详解】解：当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P不在边或边上时，过点可以画一条直线与边平行，一条直线与边平行，共两条； 当点P与点O重合时，不存在过点P的直线与的边平行； 故选：D． 17．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）给出下列说法：①同角的补角相等；②相等的角是对顶角；③两点确定一条直线；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的有 个． 【答案】2 【分析】根据补角的性质、对顶角的性质、直线的性质、平行线的性质依次判断． 【详解】同角的补角相等，故①符合题意； 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故②不符合题意； 两点确定一条直线，故③符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④不符合题意； 故答案为：2． 【点睛】此题考查了平行线的判定等知识，掌握补角的性质、对顶角的性质、直线的性质、平行线的判定是解题的关键． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，AD∥BC，E为AB上一点，过E点作EF∥AD交DC于F，问EF与BC的位置关系，并说明理由. 【答案】EF∥BC，理由详见解析. 【分析】根据平行于同一直线的两直线互相平行解答． 【详解】EF∥BC. 理由：∵AD∥BC，EF∥AD， ∴EF∥BC. 【点睛】本题考查了平行公理，熟记平行公理是解题的关键． 【经典例题七 平行公理推论的应用】 19．（23-24七年级下·广东潮州·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．不相交的两条直线是平行线 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离 D．在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直． 【答案】D 【分析】运用平行线，垂线的定义，点到直线的距离及平行公理及推论判定即可． 【详解】A、不相交的两条直线是平行线，要在同一平面内的前提条件下，故A选项错误； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误； C、从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离，应为垂线段的长度，故C选项错误； D、在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线，垂线的定义，点到直线的距离及平行公理及推论，解题的关键是熟记定义与性质． 20．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，点E、F分别是梯形两腰的中点，联结、，如果图中的面积为1.5，那么梯形的面积等于 ． 【答案】6 【分析】过点A作于H，交于G，根据梯形中位线定理得到，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：过点A作于H，交于G，如图， ∵点E、F分别是梯形两腰的中点， ∴是梯形的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是梯形的中位线、三角形的面积计算，掌握梯形中位线定理是解题的关键． 21．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 【答案】∠AOC=60° 【分析】由条件可证明A、O、B三点在一条件直线上，可得∠AOB为平角，再由两角的关系可求得∠AOC． 【详解】解析：因为 AO∥CD，BO∥CD, 所以A,O,B在同一条直线上， 所以∠AOB=180°. 因为∠AOC=∠AOB， 所以∠AOC=60° 【点睛】考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 【经典例题八 同旁内角互补两直线平行】 22．（23-24七年级下·云南昆明·阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出的条件有（    ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，利用平行线的判定方法判断即可得到正确的选项，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：、∵，∴，故符合题意； ∵，∴，故不符合题意； ∵，∴，故不符合题意； ∵，∴，故符合题意； ∴符合题意的选项是， 故选：D． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线分别交于M，N两点，和的平分线交于点P．若，垂足为P，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定以及角平分线的定义，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．根据角平分线的定义得出，，可得，再由平行线的判定可得结论． 【详解】解：， ， ， 又和的角平分线交点， ，， ， ， 故答案为：． 24．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，请按要求作图．    (1)在图1中找一个格点G，连接，使． (2)在图2中找一个格点H，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题； （1）作即可； （2）作即可． 【详解】（1）解：如图，点G，线段，即为所求；    （2）解：如图，点H，线段即为所求．    【经典例题九 垂直于同一直线的两直线平行】 25．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行， ∵， ∴， 故选：B． 26．（22-23七年级下·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【答案】（或垂直） 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 27．（22-23八年级上·北京西城·期末）已知：如图①所示的三角形纸片内部有一点P． 任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG． 阅读操作步骤并填空： 小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．    在小谢的折叠操作过程中， （1）第一步得到图②，方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时∠即∠=__________°； （2）第二步得到图③，参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：_____________，并求∠EPF的度数； （3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图④． 完成操作中的说理： 请结合以上信息证明FG∥BC． 【答案】（1）90；（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F；（3）见解析 【分析】（1）根据折叠得到，利用邻补角的性质即可得结论； （2）根据（1）的操作指令即可写出第二步； （3）根据（1）（2）的操作过程即可证明结论． 【详解】解：    （1）因为： 所以： 故答案为 ．                                    （2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F． 由折叠过程可知∠=∠EPF=∠DPF，     ∵三点共线， ∴∠＋∠DPF=180°， ∴∠=90°， ∴∠EPF=90°．                                 （3）完成操作中的说理： ∵∠EDC=90°，∠EPF=90°， ∴∠EDC=∠EPF，                             ∴FG∥BC． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定和性质、邻补角的性质，解决本题的关键是理解操作过程． 【经典例题十 根据平行线判定与性质求角度】 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，，则等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质和平行线的判定和性质．根据邻补角的定义求出，根据平行线的判定可得，根据平行线及角平分线的性质解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ． 故选：B． 29．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，若，则的度数为 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 根据同旁内角互补得，得，然后利用等量代换得，再证，根据两直线平行，同位角相等得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，图①为该校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初始状态时，篮球架的横梁平行于，主柱垂直于地面，与上拉杆形成的角为，且．这一篮球架可以通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度，在调整高度时，为使和平行，需要改变和的度数．如图②，调整使其上升到的位置，此时，与平行，，并且点H，D，B在同一直线上．请求出的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点D作，利用平行线的判定和性质，结合角之间的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点D作， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 【经典例题十一 根据平行线判定与性质证明】 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过点作，证明，可得，，再进一步解答即可. 【详解】解：如图，过点作， ， 又∵， ∴， ， ，即， ． 故选：C． 32．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴ ，即，故④正确； 综上所述，正确的选项①②④， 故选：B． 33．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，已知，． (1)试说明：； (2)若，则与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键． （1）根据得到，进而证明，即可得证； （2）证明即可得到与平行． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， ，， 所以， 所以． （2）解：．理由如下： 因为，， 所以， 所以． 【经典例题十二 利用平移解决实际问题】 34．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，矩形的面积，利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米，根据矩形面积公式计算即可求解，解题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形． 【详解】解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米， ∴空白区域的面积（平方米）， 故选：． 35．（24-25七年级下·全国·单元测试）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】252 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键； 利用平移和平行分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向向下平移到上，竖直方向的线段沿水平方向向左平移到上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角边的长度，然后求出面积进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 地毯的总长度至少为(米)． 此时，总面积为 (平方米)， 所以购买地毯至少需要(元)． 36．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少． 【答案】种植花草的面积是 【分析】将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，则剩余部分即为种植花草的面积， 本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，如图所示： 所以种植花草的面积为：， 故答案为：种植花草的面积是． 【经典例题十三 平移(作图)】 37．（24-35七年级下·全国·课后作业）如图所示，下列关于△ABC与△A′B′C′的说法不正确的是（　　） A．将△ABC先向右平移4格，再向上平移1格后可得到△A′B′C′ B．将△ABC先向上平移1格，再向右平移4格后可得到△A′B′C′ C．将△A′B′C′先向下平移1格，再向左平移4格后可得到△ABC D．将△A′B′C′向左平移6格后就可得到△ABC 【答案】D 【分析】根据平移变换的概念及平移的性质进行判断． 【详解】解： A、将△ABC先向右平移4格，再向上平移1格后可得到△A′B′C′，故本选项正确，不符合题意； B、将△ABC先向上平移1格，再向右平移4格后可得到△A′B′C′，故本选项正确，不符合题意； C、将△A′B′C′先向下平移1格，再向左平移4格后可得到△ABC，故本选项正确，不符合题意； D、将△A′B′C′向左平移6格后不能得到△ABC，故本选项错误，符合题意． 故选∶D． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质，并准确识图确定出平移的左、右， 上、下的格子数是解题的关键． 38．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移2格．请在图中画出平移后的△A′B′C′，并作出△A′B′C′边A′B′上的高C′D′，再写出图中与线段AC平行的线段 ． 【答案】A′C′，图见解析 【详解】 由平移的性质得 . 39．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点恰好均在小正方形的顶点上． (1)作交的延长线于点D； (2)将先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到．请在图中作出平移后的． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据垂线段的定义画出图形即可． （2）分别作出，，的对应点，，然后顺次连接各点即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$