第六章 二元一次方程组（18大易错题型）（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

第六章 二元一次方程组（18大易错题型） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列方程：；；；；．其中是二元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键． 根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：，不是二元一次方程； ，是二元一次方程； ，不是二元一次方程； ，不是二元一次方程； ，是二元一次方程； 综上所述，共有个二元一次方程， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解方程等知识点，熟练掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解决此题的关键．根据二元一次方程的定义可得，且，，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键． 根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）若关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入二元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：把代入，得： ， 解得． 故选：A． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）若是二元一次方程的一组解，则 ． 【答案】 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，直接将解代入方程即可求得结果． 【详解】解：由题意可知，将代入得：， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，某装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每箱50块，小包装每箱30块，若大、小包装均不拆开零售，可以只购买一种．刘老师共有哪几种购买方案． 【答案】刘老师共有四种购买方案，分别为购买大包装0箱瓷砖，购买小包装16箱瓷砖或购买大包装3箱瓷砖，购买小包装11箱瓷砖或购买大包装6箱瓷砖，购买小包装6箱瓷砖或购买大包装9箱瓷砖，购买小包装1箱瓷砖 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键．设购买大包装箱，小包装箱，根据题意列出方程，然后利用、为非负整数得到方程的解即可． 【详解】解：设购买大包装箱，小包装箱， 根据题意，得． 即， 因为、为非负整数， 所以方程的解为，或，或，或． 答：刘老师共有四种购买方案，分别为购买大包装0箱瓷砖，购买小包装16箱瓷砖或购买大包装3箱瓷砖，购买小包装11箱瓷砖或购买大包装6箱瓷砖，购买小包装6箱瓷砖或购买大包装9箱瓷砖，购买小包装1箱瓷砖． 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 7．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可． 【详解】解：中含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，则A不符合题意； 中不是整式，则B不符合题意； 中的次数不是1，则C不符合题意； 符合二元一次方程组的定义，则A符合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·全国·课前预习）哪些是二元一次方程组？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）（3），见解析 【详解】解：(1)、(3)是二元一次方程组，因为他们是共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，解题的关键是掌握方程组概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 根据二元一次方程组的解的概念对各选项进行判断，找出正确的一项，问题即可得解． 【详解】解：根据二元一次方程组的解的概念可知，同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 11．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如表1，关于x，y的二元一次方程的部分解如表2： 表1 x … 2 5 8 … y … 2 … 表2 x … 2 5 8 11 … y … 2 26 … 则关于x，y的二元一次方程组的解 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解答的关键是明确二元一次方程组的解是满足两个方程的解．根据二元一次方程组的解，从而表格中可找到答案． 【详解】解：由表1可知，是的解， 由表2可知是的解， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是：． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·全国·假期作业）小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元小强买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元． (1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组； (2)是列出的二元一次方程组的解吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【详解】8.解：（1）根据题意，得 （2）是，理由如下： 把代入方程①中，左边＝5×3＋4×2＝23＝右边， 把代入方程②中，左边＝10×3＋2×2＝34＝右边， 所以是二元一次方程组的解． 【易错必刷五 己知二元一次方程组的解求参数】 13．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）和都是方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．将方程的解代入方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：将方程的解代入方程得： ，解得：， ∴， 故选：C． 14．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知是二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入方程可得关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）解方程组时，小红同学把看错了，得到的错误解是，而正确的解是；求、的值． 【答案】， 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把小红的解代入第一个方程，计算即可． 【详解】解：把和代入， 得：， 解得：， ，． 【易错必刷六 代入消元法】 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组，下列最合适的变形是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，根据最优化原则进行判断即可． 【详解】解：用代入法解方程组，下列最合适的变形是由②，得， 故选：D． 17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知方程，用含的式子表示： ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，解题的关键是熟知移项的计算过程．看作关于y的方程，移项即可求得答案． 【详解】解：移项，得． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）首先将方程整理为然后利用代入消元法求解即可． 【详解】（1） 把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解是； （2）原方程可化为 把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解是． 【易错必刷七 加减消元法】 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了加减消元法．根据加减消元法的步骤进行解答即可． 【详解】解： 得到，， 故选：B 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可得解． 【详解】解：， 由可得：， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴此方程组的解为， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程，掌握加减消元法解二元一次方程是解答本题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得：， 将代入，得， 原方程组的解是； （2）解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 原方程组的解是． 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 22．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：C． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用整体代换思想变式解方程组，我们可以把看成一个整体，设，很快可以求出原方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 先根据题意建立新的方程组，再利用加减消元法解方程组，然后将方程组的解代入，最后求解即可． 【详解】解： 设， 则原方程组转化为 ①+②得，， 解得， 将代入①，得， 解得：， 方程组的解为， ， ， 故答案为：． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组②变形为方程组③， 设，则方程组③可化为方程组④， 比较方程组④与方程组①可得，即， ∴方程组②的解为． 我们把这种解方程组的方法称为换元法． (1)已知方程组的解为，请用换元法解方程组： (2)已知方程组的解为，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组； （1）设，利用换元法计算求解即可； （2）设，利用换元法计算求解即可． 【详解】（1）解：设， 则方程组 可化为方程组 比较方程组与方程组 得即 ∴原方程组的解为 （2）解：设， 则方程组 可化为方程组 比较方程组与方程组 得即 ∴原方程组的解为 【易错必刷九 二元一次方程组的错解复原问题】 25．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值是（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了方程①中的a，那么甲的结果符合方程②，乙看错了②中的b，那么乙的结果符合方程①，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， 故选：D． 26．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组及二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于a、b的方程，求解即可． 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即，． 故答案为：，． 27．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题，结合已知条件得出正确的方程组是解题的关键． （1）首先根据甲看错方程①中的a说明甲所解出的结果满足方程②，所以把 代入方程②可得，即可求出b；而乙看错方程②中的b说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出a； （2）由（1）得原方程组为，然后由加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入②中， 得， 解得：． 把代入①中， 得， 解得：； （2）解：由（1）得原方程组为， ，得，即， 解得：， 把代入①中，得，即． 解得， 故原方程组的解为． 【易错必刷十 根据实际问题列二元一次方程组】 28．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某营养师用甲、乙两种原料配置营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．如果每份营养品需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养品中甲、乙原料各多少克恰好满足需求？设每份营养品需要甲原料克，乙原料克，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据克甲原料和克乙原料中含35单位蛋白质，40单位铁质列方程即可． 【详解】解：由克甲原料和克乙原料中含35单位蛋白质，得：， 由克甲原料和克乙原料中含40单位铁质，得：， 故可列方程组为， 故选B． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）某校去年有名学生，今年比去年增加，其中住宿学生增加，走读学生减少．若设该校去年住宿学生有名，走读学生有名，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键. 根据题意列出方程组即可. 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：. 30．（2024七年级上·全国·专题练习）二十大报告明确提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，为响应国家号召，某公司购买了甲、乙两台新能源机器，现要加工个零件，若甲机器先加工天，然后两台机器共同加工天，则还有个没有加工；若两台机器共同加工天，则可多加工个．甲、乙两台机器每天各加工多少个零件？ 【答案】甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件． 则， 解得． 答：甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件． 【易错必刷十一 根据几何图形列二元一次方程组】 31．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：B． 32．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，直线与相交于点O，且，比大，设，则可列方程组为 ．    【答案】 【分析】由比大可得方程，由对顶角相等可得，即可得到方程，据此可得答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在几何图形中的应用，正确利用数形结合的思想求解是解题的关键． 33．（22-23七年级下·四川宜宾·阶段练习）（1）写出一个解为的二元一次方程组； （2）以（1）中所写的二元一次方程组，编一道生活中的实际问题，并设出未知数． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）直接把，的值相加或相减即可得到方程组； （2）先设定长方形长为xcm，宽为ycm，再根据数据构建问题即可． 【详解】解：（1）解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一） （2）小明画了一个长方形，他发现长与宽的和是7cm，长比宽多1cm，请问长方形的长和宽各是多少厘米？设长为xcm，宽为ycm．（答案不唯一） 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，二元一次方程组的应用，灵活应用未知数的含义构建方程是解本题的关键． 【易错必刷十二 方案问题(二元一次方程组的应用)】 34．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知1辆型车载满货物一次可运货1吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．某公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完，且每辆车都装满货物，共有租车方案（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查了租车方案的问题，掌握正整数的性质列出所有租车方案是解题的关键．设租用A型车x辆，B型车y辆，根据公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完列出方程，根据x，y均为正整数求出所有的租车方案即可． 【详解】解：设租用A型车x辆，B型车y辆，根据题意得： ， ∵x、y为正整数， ∴或或， ∴存在3种租车方案， 故答案为：B． 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有 箱货物装错． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干可得已知条件，A种货物有20箱，B种货物有20箱，甲车一共装了20箱，甲车比乙车重，则可设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，列二元一次方程组解答即可． 【详解】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得： ， 解得：， ∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B， 所以，甲车有2箱货物装错 故答案为：2． 36．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）【综合与实践】设计运动会物资的购买方案． 【背景素材】八年级（1）班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元． 【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究． 【确定售价】（1）A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元/瓶？ 【方案探究】（2）购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元；（2）共有4种购买方案，方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料；方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料；方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料；方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元，根据“买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料需325元；买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料需340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】解：（1）设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元， 根据题意得， 解得， 答：A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元； （2）设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料， 根据题意得：， ∴， 又∵m,n均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案， 方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料； 方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料； 方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料； 方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料． 【易错必刷十三 和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】 37．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市现有人口42万人，预计一年后城镇人口将增加，农村人口将增加．这样全市人口将增加，则该市现有城镇人口和农村人口分别是（   ） A．28万人，14万人 B．24万人，18万人 C．14万人，28万人 D．18万人，24万人 【答案】C 【分析】该题考查了二元一次方程的应用，设该市现在有城镇人口万人，农村人口万人，根据题中等量关系：现该市城镇人口和农村人口之和为42万人；一年后新增城镇人口与新增农村人口之和为万人；由此可列出方程组求解． 【详解】解：设这个市现在的城镇人口万人，农村人口万人， 依题意得： 解得： 答：这个市现在的城镇人口14万人，农村人口28万人． 故选：C． 38．（22-23八年级上·广东梅州·开学考试）某校购新书本，共付元，其中科技书每本元，文艺书每本元，则科技书买了 本，文艺书买了 本． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组求解． 【详解】解：设科技书买了x本，文艺书买了y本，则由题意可得： ， 解之可得：， 故答案为：180；140． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的求解是解题关键． 39．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）某中学组织300位学生到铜鼓岭和航天发射基地开展研学活动（每位学生仅能选择其中一个地点），到铜鼓岭的人数比到航天发射基地的人数的2倍少3，到两地研学的人数各是多少？ 【答案】到铜鼓岭研学的人数为199人，到航天发射基地研学的人数为101人 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设到铜鼓岭研学的人数为x人，到航天发射基地研学的人数为y人，总人数为300位，到铜鼓岭的人数比到航天发射基地的人数的2倍少3，据此列方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设到铜鼓岭研学的人数为x人，到航天发射基地研学的人数为y人， 由题意，得， 解得， 答：到铜鼓岭研学的人数为199人，到航天发射基地研学的人数为101人． 【易错必刷十四 几何问题(二元一次方程组的应用)】 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）在如图所示的长方形中放入六个长，宽都相同的小长方形．若，，则图中阴影部分的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（几何问题），读懂题意，根据题中的几何关系正确列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据题意得，解方程组即可求出、的值，然后根据“”即可求出图中阴影部分的面积之和． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， 故选：． 41．（24-25八年级上·河北保定·期末）在大长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中空白部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 即小长方形的长为，宽为， 空白部分的面积和为． 故答案为：171． 42．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 【答案】当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A种积木的高度是，种积木的高度是，根据图②所示的立体图形列出方程组并解答，再由可得答案． 【详解】解：设A种积木的高度是，种积木的高度是． 根据题意，得， 解得， ． 故当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是． 【易错必刷十五 古代问题(二元一次方程组的应用)】 43．（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有人，物品价值元， 由题意得，， 故选：D． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何．其大意是今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少．设人数为，琎价为，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（古代问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程组是解题的关键． 根据题意即可直接得出答案． 【详解】解：由题意，可列方程组为： ， 故答案为：． 45．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 【答案】客人30个，盘子13个 【分析】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有x个客人，y个盘子． 根据题意，得 , 解得 ， 答∶有30个客人，13个盘子． 【易错必刷十六 其他问题(二元一次方程组的应用)】 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）足球比赛的记分规则是胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了（  ） A．5场 B．7场 C．9场 D．11场 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据题意可知，本题中的相等关系是“积分29分”和“共赛了15场”，列方程组求解即可． 【详解】解：设这支球队胜了场，平了场，则 ， 解得， 所以球队胜了9场． 故选：C． 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两厂计划五月份共生产零件360个，结果甲厂完成了计划的，乙厂完成了计划的，两厂共生产零件400个，则五月份甲、乙两厂超额生产的零件分别为 个和 个． 【答案】 24 16 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，设五月份甲、乙两厂生产的零件分别为x个，y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组进一步即可求出答案． 【详解】解：设五月份甲、乙两厂生产的零件分别为x个，y个， 根据题意：， 解得：， 则五月份甲厂超额生产的零件为：（个） 则五月份乙厂超额生产的零件为：（个） 故答案为：24，16 48．（24-25八年级上·山东青岛·期末）胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个部件和3个部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个部件和2个部件的总质量为2.8吨，2个部件和3个部件的质量相等． (1)求1个部件和1个部件的质量各是多少吨？ (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，现准备一次运输10套设备，请你判断能否通行，请说明理由． 【答案】(1)1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨 (2)能通行，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用： （1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，由题意列方程组，即可求解； （2）利用（1）中结论计算出10套设备的质量，加上卡车自重，与大桥限重比较即可． 【详解】（1）解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得， 答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨． （2）解：能通行，理由如下： 10套设备的质量为：（吨）， ， 能通行． 【易错必刷十七 三元一次方程组的定义及解】 49．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 50．（24-25七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组，的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是掌握消元法求解三元一次方程组．利用消元法求解三元一次方程组即可． 【详解】解： 由可得： 由可得： 将，代入可得： 解得 将分别代入，可得，， 则方程组的解为； 故答案为：． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组及三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法及加减消元法解此方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．④ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是； （2）解： 把①代入②，得， 即．④ ，得，解得． 把代入①，得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解为． 【易错必刷十八 三元一次方程组的应用】 52．（2025九年级下·全国·学业考试）一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间每晚200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是（   ） A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元 【答案】D 【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚100元，二人间每人每晚150元，单人间每人每晚200元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故选：D． 53．（24-25七年级下·全国·课后作业）从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ． 【答案】、、 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据“全程，地到地用了，从地到地用了”分别列出方程，组成方程组，再求解即可．解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 【详解】解：设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据题意得： 解得：， 答：从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是、、． 故答案为：、、． 54．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【答案】上坡路是，平路是，下坡路是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答． 【详解】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 由题意，得， 解得， 故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 二元一次方程组（18大易错题型） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列方程：；；；；．其中是二元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）若关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）若是二元一次方程的一组解，则 ． 6．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，某装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每箱50块，小包装每箱30块，若大、小包装均不拆开零售，可以只购买一种．刘老师共有哪几种购买方案． 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 7．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 9．（22-23八年级上·全国·课前预习）哪些是二元一次方程组？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4） 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 11．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如表1，关于x，y的二元一次方程的部分解如表2： 表1 x … 2 5 8 … y … 2 … 表2 x … 2 5 8 11 … y … 2 26 … 则关于x，y的二元一次方程组的解 ． 12．（23-24七年级下·全国·假期作业）小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元小强买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元． (1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组； (2)是列出的二元一次方程组的解吗？请说明理由． 【易错必刷五 己知二元一次方程组的解求参数】 13．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）和都是方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．7 14．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知是二元一次方程的解，则的值为 ． 15．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）解方程组时，小红同学把看错了，得到的错误解是，而正确的解是；求、的值． 【易错必刷六 代入消元法】 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组，下列最合适的变形是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知方程，用含的式子表示： ． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 【易错必刷七 加减消元法】 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 22．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用整体代换思想变式解方程组，我们可以把看成一个整体，设，很快可以求出原方程组的解为 ． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组②变形为方程组③， 设，则方程组③可化为方程组④， 比较方程组④与方程组①可得，即， ∴方程组②的解为． 我们把这种解方程组的方法称为换元法． (1)已知方程组的解为，请用换元法解方程组： (2)已知方程组的解为，求方程组的解． 【易错必刷九 二元一次方程组的错解复原问题】 25．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值是（    ） A．1 B． C．10 D． 26．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 27．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解． 【易错必刷十 根据实际问题列二元一次方程组】 28．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某营养师用甲、乙两种原料配置营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．如果每份营养品需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养品中甲、乙原料各多少克恰好满足需求？设每份营养品需要甲原料克，乙原料克，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）某校去年有名学生，今年比去年增加，其中住宿学生增加，走读学生减少．若设该校去年住宿学生有名，走读学生有名，则可列方程组为 ． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）二十大报告明确提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，为响应国家号召，某公司购买了甲、乙两台新能源机器，现要加工个零件，若甲机器先加工天，然后两台机器共同加工天，则还有个没有加工；若两台机器共同加工天，则可多加工个．甲、乙两台机器每天各加工多少个零件？ 【易错必刷十一 根据几何图形列二元一次方程组】 31．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 32．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，直线与相交于点O，且，比大，设，则可列方程组为 ．    33．（22-23七年级下·四川宜宾·阶段练习）（1）写出一个解为的二元一次方程组； （2）以（1）中所写的二元一次方程组，编一道生活中的实际问题，并设出未知数． 【易错必刷十二 方案问题(二元一次方程组的应用)】 34．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知1辆型车载满货物一次可运货1吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．某公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完，且每辆车都装满货物，共有租车方案（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有 箱货物装错． 36．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）【综合与实践】设计运动会物资的购买方案． 【背景素材】八年级（1）班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元． 【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究． 【确定售价】（1）A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元/瓶？ 【方案探究】（2）购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有哪几种购买方案？ 【易错必刷十三 和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】 37．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市现有人口42万人，预计一年后城镇人口将增加，农村人口将增加．这样全市人口将增加，则该市现有城镇人口和农村人口分别是（   ） A．28万人，14万人 B．24万人，18万人 C．14万人，28万人 D．18万人，24万人 38．（22-23八年级上·广东梅州·开学考试）某校购新书本，共付元，其中科技书每本元，文艺书每本元，则科技书买了 本，文艺书买了 本． 39．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）某中学组织300位学生到铜鼓岭和航天发射基地开展研学活动（每位学生仅能选择其中一个地点），到铜鼓岭的人数比到航天发射基地的人数的2倍少3，到两地研学的人数各是多少？ 【易错必刷十四 几何问题(二元一次方程组的应用)】 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）在如图所示的长方形中放入六个长，宽都相同的小长方形．若，，则图中阴影部分的面积之和为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·河北保定·期末）在大长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中空白部分的面积之和为 ． 42．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 【易错必刷十五 古代问题(二元一次方程组的应用)】 43．（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何．其大意是今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少．设人数为，琎价为，则可列方程组为 ． 45．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 【易错必刷十六 其他问题(二元一次方程组的应用)】 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）足球比赛的记分规则是胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了（  ） A．5场 B．7场 C．9场 D．11场 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两厂计划五月份共生产零件360个，结果甲厂完成了计划的，乙厂完成了计划的，两厂共生产零件400个，则五月份甲、乙两厂超额生产的零件分别为 个和 个． 48．（24-25八年级上·山东青岛·期末）胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个部件和3个部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个部件和2个部件的总质量为2.8吨，2个部件和3个部件的质量相等． (1)求1个部件和1个部件的质量各是多少吨？ (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，现准备一次运输10套设备，请你判断能否通行，请说明理由． 【易错必刷十七 三元一次方程组的定义及解】 49．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 50．（24-25七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组，的解为 ． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【易错必刷十八 三元一次方程组的应用】 52．（2025九年级下·全国·学业考试）一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间每晚200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是（   ） A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元 53．（24-25七年级下·全国·课后作业）从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ． 54．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$