第六章 二元一次方程组（15大压轴题型）（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

第六章 二元一次方程组（15大压轴题型） 【经典例题一 二元一次方程的定义】 1．（23-24七年级下·广西来宾·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义逐项分析判断，即可求解． 本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程必须满足以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是二元一次方程，故符合题意； B. ，最高次是二次，不是二元一次方程，故不符合题意； C. ，只含有一个未知数，不是二元一次方程，故不符合题． D. ，不是整式方程，故不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）若是二元一次方程，则值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义进行求解即可：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·山东滨州·期末）在人教版七年级上、下册分别学习了《一元一次方程》和《二元一次方程组》，请叙述学习“方程”的研究路径，并猜想在以后学习，我们还将学习哪些方程？请举例． 【答案】路径：方程的定义——方程的解——解方程——方程的应用；我们将来还可能研究一元二次方程、一元三次方程、二元二次方程组等等．例：一元三次方程 【分析】根据一元一次方程和二元一次方程组的定义得出答案即可． 【详解】答：路径：方程的定义——方程的解——解方程——方程的应用；我们将来还可能研究一元二次方程、一元三次方程、二元二次方程组等等．如，一元三次方程 【点睛】本题考查了二元一次方程组，二元一次方程等知识点，能熟记一元一次方程，二元一次方程组的定义是解此题的关键，注意：①只含有一个未知数，并且所含未知数的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程，②由几个二元一次方程组成，并且共含有两个不同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数都是1，且每个方程都是整式方程，这样的方程组叫二元一次方程组． 【经典例题二 二元一次方程的解】 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）在下列二元一次方程中，有一组解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分别代入，，求值，即可判断求解， 本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是：熟练掌握二元一次方程的解． 【详解】解：将分别代入，， 得：，， 故选：C． 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次次方程组的解是解题的关键． 令，，得到关于X和Y的二元一次方程组的解，再代入并求出x和y即可求解． 【详解】解：令，，则方程组可变形为： ， ∵方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）求方程的正整数解． 【答案】或或 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，正确变形是解答本题的关键．对于求关于x，y的方程的正整数解，方程可化为，结合x，y是整数求解即可． 【详解】解：由原方程，得． 因为x，y为正整数， 所以原方程的正整数解是或或． 【经典例题三 代入消元法】 7．（2022·山东淄博·中考真题）由方程组  可得出x与y的关系式是（      ） A．x+y=9 B．x+y=3 C．x+y=－3 D．x+y=－9 【答案】A 【详解】分析：由①得m=6-x，代入方程②，即可消去m得到关于x，y的关系式． 解答：解：由①得：m=6-x ∴6-x=y-3 ∴x+y=9． 故选A． 8．（22-23八年级·山东潍坊·期末）若（x﹣y+3）2+=0，则x+y的值为 ． 【答案】1 【详解】试题分析：根据非负数的性质，可得二元一次方程组，解方程组可得，故x+y=-1+2=1. 故答案为1. 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程组，掌握代入消元法和整体思想成为解题的关键． （1）由②可得③，然后将①整体代入③可求得，进而求得方程组的解； （2）由①得③，然后将②整体代入③可求解即可． 【详解】（1）解： 由②可得③， 把①代入③，得，解得：． 把代入①，得，解得， 方程组的解为． （2）解：， 由①得③， 把②代入③，得，解得． 【经典例题四 加减消元法】 10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键． ①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；假设存在，此时使得，可得，从而得到，再由为自然数，可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∵当时，，， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有 即当时，满足条件的整式共有10个，故②正确； 假设存在，此时使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为自然数， ∴或或或， 即不存在任何，使得，故③正确； 故选：D 11．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组给出下列结论：正确的有 ．（填序号） ①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为正整数的解有3对 【答案】①② 【分析】①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断； ②将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可做出判断； ③将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可判断正整数解； 【详解】解关于x，y的方程组得 ①当时，原方程组的解是，此时是的解，故①正确； ②原方程组的解是，∴，即无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确； ③x，y都为正整数，则，解得，正整数解分别是当时，故只有两组，故③错误； 故答案为①② 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 12．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1）①、，所得方程两边都除以4，得：，再与方程①利用加减法求解即可；②、，所得方程两边都除以9，得：，再与方程①利用加减法求解即可； （2），所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：①； 得：， 两边除以4，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为：； ② 得：， 两边除以9，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 两边除以，得：， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 【经典例题五 二元一次方程组的特殊解法】 13．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程组变形为，进而可得到，求解即可． 【详解】解：方程组变形为， ∴由题意知，， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，学会运用整体代入的思想是解题的关键． 14．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）若关于，的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】将解方程组变形为，依据题意得，求解即可． 【详解】∵关于，的方程组的解为， 将解方程组变形为， ∴关于，的方程组的解为， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，用到了换元法，体现了整体思想． 15．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）[阅读材料] 善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程变形：， 即， 把方程代入得：， 所以， 将代入得， 所以原方程组的解为． [解决问题] （1）模仿小明的“整体代换”法解方程组， （2）已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】（1）原方程组的解为；（2） 【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案； （2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案． 【详解】解： 将方程变形得: 把方程代入得:， 所以 将代入得， 所以原方程组的解为； ， 把方程变形，得到， 然后把代入，得， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数． 【经典例题六 二元一次方程组的错解复原问题】 16．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲正确地解得乙看错了方程②中的系数c，解得，则的值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将x=2，y=﹣1代入方程组中，得到关于a与b的二元一次方程与c的值，将x=3，y=1代入方程组中的第一个方程中得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a，b及c的值． 【详解】把代入得：，解得：c=4，把代入得：3a+b=5，联立得：，解得：，则（a+b+c）2=（2﹣1+4）2=25． 故选B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． 由于甲看错了，将甲计算得到的解代入等式（2），可求得的值；同理，由于乙看错了，将乙计算得到的解代入等式（1），可计算得的值，然后代入即可求出方程组的解． 【详解】解：将代入方程组中的． 得，解得：． 将代入方程组中的， 得，解得：． 所以原方程组， 解得：． 故答案为：． 18．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）甲、乙两人同解方程组，甲因看错c的值解得方程组解为，乙求得正确的解为，求a，b，c的值． 【答案】． 【分析】根据是方程①的解，代入可得关于a、b的方程，根据是方程组的解，把解代入，可得方程组，解方程组，可得答案． 【详解】解：把代入方程，把代入方程组，得 ， 得 得， 把代入得， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入，得出关于a、b、c的方程组，代入消元法，得出答案． 【经典例题七 构造二元一次方程组求解】 19．（2024九年级·浙江杭州·专题练习）对于实数，，定义新运算，其中，为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若，，则（    ） A．40 B．41 C．45 D．46 【答案】B 【分析】根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a和b的值，再根据定义新运算公式求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 解得： ∴=41 故选B． 【点睛】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是解决此题的关键． 20．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）随着农历牛年脚步的临近，江北区街道两旁已挂满了各色灯饰，主要有随风舞动的“水母”、亭亭玉立的“麦穗”和绚烂夺目的“星球”三类主题灯饰，他们的数量比为3：4：2．每个灯饰均由A、B、C三种灯管组成，每个灯饰的成本是组成灯饰中各种灯管的成本之和．已知1个“水母”灯饰由1个A灯管、4个B灯管、2个C灯管组成；1个“麦穗”灯饰由2个A灯管、2个B灯管、1个C灯管组成．1个“水母”灯饰的成本是1个A灯管成本的5倍，1个“星球”灯饰的成本比1个“水母”灯饰的成本高出40%．三类主题灯饰安装后需一次性支付不同的安装费，各类主题灯饰的总费用由灯饰的成本费和安装费组成，其中“麦穗”灯饰的安装费占到了三种灯饰总安装费的，而“麦穗”灯饰总费用是三类主题灯饰总费用的，且“麦穗”灯饰、“星球”灯饰的总费用之比为8：7，则“星球”灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比是 ． 【答案】 【分析】设“水母”灯饰的数量为 “麦穗”灯饰的数量为，“星球”灯饰的数量为；一个A灯管的成本为，一个B灯管的成本为，一个C灯管的成本为， 再分别表示所有“水母”灯饰的总成本为，所有“麦穗”灯饰的总成本为，所有“星球”灯饰的总成本为，设“麦穗”灯饰的安装费用为，则“水母”灯饰和“星球”灯饰的安装费用和为， 设“水母”灯饰的安装费用为，则“星球”灯饰的安装费用为，再求解“麦穗”灯饰的总费用与“水母”灯饰的总费用与“星球”灯饰的总费用之比为，再列方程组：，求解，再表示“星球”灯饰的安装费为，三类主题灯饰总费用为：，从而可得答案． 【详解】解：设“水母”灯饰的数量为 “麦穗”灯饰的数量为，“星球”灯饰的数量为；一个A灯管的成本为，一个B灯管的成本为，一个C灯管的成本为， 则每个“水母”灯饰的成本为， 每个“麦穗”灯饰的成本为, 每个“星球”灯饰的成本为 则所有“水母”灯饰的总成本为, 所有“麦穗”灯饰的总成本为, 所有“星球”灯饰的总成本为, 设“麦穗”灯饰的安装费用为，则“水母”灯饰和“星球”灯饰的安装费用和为， 设“水母”灯饰的安装费用为，则“星球”灯饰的安装费用为， “麦穗”灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的，且“麦穗”灯饰与“星球”灯饰的总费用之比为， “星球”灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的， “水母”灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的， “麦穗”灯饰的总费用与“水母”灯饰的总费用与“星球”灯饰的总费用之比为， ， 整理得， 解得 “星球”灯饰的安装费为， 三类主题灯饰总费用为： ， “星球”灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比为． 故答案为 【点睛】本题考查的是类二元一次方程组的应用，掌握把某些量看作是已知量，列方程组，解方程组是解题的关键． 21．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）规定：二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为二元一次方程亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题： (1)已知，，，则是隐线的亮点的是 ； (2)设，是隐线的两个亮点，求方程中的正整数解； (3)已知是实数，且，若是隐线的一个亮点，求隐线s中的最大值和最小值的和． 【答案】(1)B (2) (3)隐线s中的最大值和最小值的和为 【分析】本题考查了二元一次方程的新定义，二元一次方程与直线的关系，运用了数形结合的思想，理解题意是解题关键． （1）将A，B，C三点坐标代入方程，方程成立的点即为所求； （2）将P，Q代入方程，组成方程组求得，再代入，据此求解即可； （3）将P代入隐线方程，与组成方程组，求解方程组的解，再由即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 将代入得， 将代入得， ∴只有B点符合， ∴隐线的亮点的是B； 故答案为：B； （2）解：将，代入隐线方程， 得：， 解得， 代入方程得： ，即， 的正整数解为； （3）解：由题意可得， ， ， ， ， 的最大值为，最小值为， 隐线中的最大值和最小值的和为． 【经典例题八 方案问题(二元一次方程组的应用)】 22．（2023·黑龙江佳木斯·二模）某假日，小磊和其他六名同学轻装徒步去郊游，途中，他用18元钱买饮料为大家解渴，每人至少要分得一瓶饮料，商店只有冰红茶和矿泉水，冰红茶3元一瓶，矿泉水2元一瓶，如果18元刚好用完，则选择购买的方案有（      ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题的等量关系为：冰红茶总价钱+矿泉水总价钱=18，冰红茶瓶数+矿泉水瓶数≥7，然后整理求非负整数解即可. 【详解】解：设买冰红茶x瓶、矿泉水y瓶， 根据题意得 ，（且x、y均为非负整数） 则， 所以有3种购买方式，故选C. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，讨论出符合条件的整数解. 23．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）腊八之后，年味渐浓．京东超市某直营店推出甲、乙两种年货礼盒，其中甲种礼盒有开心果3袋，腰果3袋，夏威夷果1袋，纸皮核桃1袋；乙种礼盒有开心果4袋，腰果3袋，纸皮核桃3袋．每种礼盒的总成本由该礼盒中所有坚果的成本之和加上包装盒成本6元/个．已知每袋开心果和每袋腰果的成本价之比为，每袋夏威夷果和每袋纸皮核桃的成本价之比为．甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%，第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%．第二周直营店通过减少坚果的袋数推出甲、乙两种年货的小号礼盒，甲种小号礼盒的成本价（包含包装盒成本）降为原甲种礼盒总成本的35%，乙种小号礼盒相比原乙种礼盒开心果、腰果、纸皮核桃各减少2袋，小号包装盒成本每个4元．如果第二周售出的甲、乙小号礼盒恰好分别与第一周甲、乙两种礼盒数量相同，则第二周售出的所有小号礼盒的总成本是 元． 【答案】3220 【分析】先由“甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%”求出甲的成本价为114元/袋，设纸皮核桃的成本价为a元/袋，则夏威夷果的成本价为2a元/袋，腰果的成本价为4b元/袋，则开心果的成本价为5b元/袋，求出元以及乙每袋成本价为元，再根据“第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%”求出甲、乙总成本为7900元，从而求出1 袋开心果成本价为元，进一步可求出第二周总成本价 【详解】解：设甲的成本价为x元/袋， 由“甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%”可得，， 解得， 所以，甲的成本价为114元/袋， 设纸皮核桃的成本价为a元/袋，则夏威夷果的成本价为2a元/袋，腰果的成本价为4b元/袋，则开心果的成本价为5b元/袋， ∴，即 ∴乙每袋成本价=， ∵第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%， ∴设甲乙总成本为y元，则有：，解得，，即甲乙总成本为7900元， 设售出甲m盒，乙盒，则有：， 解得，，即1 袋开心果成本价为元， 第二周：甲成本为元，乙成本=元， 则第二周总成本价为： （元） 故答案为：3220 【点睛】本题主要考查列代数式，整式加减法，二元一次方程的实际应用，分析题意，找到关键的描述语，找到合适的等量关系，同时熟悉有关销售问题的概念和公式是解决问题的关键． 24．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【经典例题九 行程问题(二元一次方程组的应用)】 25．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）轮船顺流航行时的速度为m千米/小时，逆流航行时的速度为千米/小时，则水流速度（   ） A．3千米/小时 B．4千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，准确找出等量关系列出二元一次方程组是解题的关键； 设轮船在静水中航行的速度为x千米小时，水流速度为y千米小时，根据“顺流航行速度轮船速度水流速度”与“逆流航行速度轮船速度水流速度”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出值即可． 【详解】解：设轮船在静水中航行的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，依题意得， 两个方程相减可得：，即水流速度为6千米小时． 故选：B． 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有，平路有，已经列出一个方程，则另一个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组知识，掌握以上知识是解题关键；根据二元一次方程组知识，找到题目中等量关系，列出方程即可求解，注意题目中上坡和下坡的区别； 【详解】解：∵从乙地到甲地需， ∴乙地到甲地需， ∵下坡有，下坡每小时走， ∴下坡时间为， ∵平路有，平路每小时走， ∴平坡时间为， ∴列方程为：， 故答案为：； 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶，它们各自单独行驶并返回的最远距离是．现在它们同时从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶中抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．B地最远可距离A地多少千米？ 【答案】B地最远可距离A地 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设，根据甲车行驶到C地时返回，到达A地时燃料恰好用完，乙车行驶到B地再返回到A地时燃料恰好用完时，B地距离A地最远，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲车行驶到C地时返回，到达A地时燃料恰好用完，乙车行驶到B地再返回到A地时燃料恰好用完，作示意图如图所示． 设． 根据题意，得， 解得， 故B地最远可距离A地． 【经典例题十 工程问题(二元一次方程组的应用)】 28．（22-23八年级上·四川巴中·期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ） A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 【答案】B 【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的一元一次方程，解之可得出结论． 【详解】解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水， 依题意，得， 解得：， ∵5ax=30a+5a， ∴x=7． 答：要同时开动7台机组． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键． 29．（2022·重庆沙坪坝·二模）春末夏初， 正是枇杷成熟之际， 某枇杷基地的枇杷大量成熟， 于是安排了 20 个工人分三个小组分别对 三种枇杷进行采摘， 每人每天固定只采摘同一品种的枇杷， 每天采摘 三种枇杷的时间之比为 ， 采摘 三种枇杷的速度之比为 ． 第一次采摘用了 5 天时间； 第二次采摘时， 从原来采摘 种枇杷的工人中抽调了部分工人加入采摘 种枇杷的小组中， 由于不熟悉 种枇杷采摘， 新加入的工人的采摘速度为原有采摘 种枇杷工人采摘速度的 ， 第二次采摘也用了 5 天时间， 两次采摘的三种枇杷的总量比为 ；第三次采摘时，需要采摘的枇杷总量是前两次总量的和的 ． 为了加快采摘速度，决定在第二次的采摘人员安排的基础上（此时第二次采摘时新加入 种枇杷采摘组的工人采摘速度和 种枇杷采摘组其他工人一样）， 在总人数 20 人以外另再添加 人去采摘 种枇杷， 新加入的 人的采摘速度是原来采摘 种枇杷工人速度的 2 倍， 最终， 第 3 次用了整数天完成采摘任务． 则 的值至少为 ． 【答案】1 【分析】根据时间、速度得出一二三次采摘总量，且第三次采摘时间为整数，可得出关于y的方程，讨论即可得出答案． 【详解】解：设初始每组人数分别为a、b、c，①, 则第一次采摘总量为10a＋50b＋10c， 设第二次采摘时从第三组抽调x人到第二组， 则第二次采摘总量为10a＋50b＋25x＋10 ＝10a＋50b＋10c＋15x 且 整理得a＋5b＋c＝4.5 x② 两次采摘总量为10a＋50b＋10c＋10a＋50b＋10c＋15x ＝20a＋100b＋20c＋15x 则第三次采摘总量为 设第三次采摘时间为n天， 则有③ 将①②代入③整理得④ ∵x、y、n为整数， ∴当n＝1时，④可化为23x＝2y，x＝2，y＝23； 当n＝2时，④可化为29x＝8y，x＝8，y＝29； 当n＝3时，④可化为x＝y，x＝1，y＝1； 当n＝4时，④可化为－5x＝16y，不符合题意； 故答案为：1． 【点睛】本题考查赋值讨论问题，正确理解题意、仔细计算化为最简、赋值讨论是解题的关键． 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租）．已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩． (1)每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ (2)若该收割队每小时恰好割草54亩，该收割队的租用方案可以是怎样的？ 【答案】(1)每台甲型割草机每小时割草6亩，每台乙型割草机每小时割草8亩 (2)可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是∶(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩，根据“已知3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m台甲型收割机，台乙型收割机，根据每小时需要割草54亩，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租用方案． 【详解】（1）解∶设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩， 依题意得， 解得∶， 答∶每台甲型收割机每小时割草6亩，每台乙型收割机每小时割草8亩； （2）解∶ 设租用m台甲型收割机，n台乙型收割机， 依题意得∶， ， 又均为正整数， 或， 该收割队共有2种租用方案， 方案1∶租用5台甲型收割机，3台乙型收割机； 方案2∶租用1台甲型收割机，6台乙型收割机． 【经典例题十一 数字问题(二元一次方程组的应用)】 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为7且车行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 故选：B． 32．（24-25九年级上·重庆铜梁·期末）如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“升高数”．例如：，满足，且，所以是“升高数”；，其中，所以不是“升高数”．则最大的四位“升高数”是 ；对于一个“升高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定： ．当为整数时，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用定义解决问题，直接由“升高数”定义即可求出最大的四位“升高数”，又由“升高数”定义得到，则，因为为整数，则有，然后分别求出的值即可，理解“升高数”的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知最大的四位“升高数”是， ∵一个“升高数”为，， ∴ ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵为整数， ∴且， ∵，， ∴或或， 则或或， ∴的值为或或， ∴满足条件的的最小值为， 故答案为：，． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【答案】填写的数字分别为2，9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y． 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9． 【经典例题十二 和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】 34．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）嘉祥县是鲁西黄牛、小尾寒羊的国家育种基地县，全县生年畜牧业产值高达亿元．黄垓镇某养牛场原有头大牛和头小牛，天约用饲料；天后又购进头大牛和头小牛，这时天约用饲料．下列说法中，错误的是（    ） A．每头大牛天约用饲料 B．头大牛和头小牛天约用饲料 C．头大牛和头小牛天约用饲料 D．头大牛和头小牛天用饲料 【答案】D 【分析】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可做出判断． 【详解】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg， 根据题意得：， 解得：， ∴每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg，则 A、每头大牛1天约用饲料20kg，说法正确． B、1头大牛和1头小牛1天约用饲料20+5=25kg，说法正确． C、1头大牛和2头小牛1天约用饲料20+10=30kg，说法正确． D、2头大牛和1头小牛1天约用饲料=2×20+5=45（kg），说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 35．（21-22七年级下·黑龙江黑河·期末）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒4小盒共装108瓶；2大盒3小盒共装76瓶．若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶可列方程组为： ． 【答案】 【分析】根据题意即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解决本题的关键． 36．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某机械林场经过三代务林人的持续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1073万立方米：又知现在该林场的林木总蓄积比原来的35倍还多19万立方米，请问该林场原来和现在的林木总蓄积分别是多少万立方米？ 【答案】该林场原来林木总蓄积为31万立方米，现在林木总蓄积为1104万立方米 【分析】本题主要考查了干元一次方程组的应用．熟练掌握终止量与起始量和增加量的关系，是解题的关键． 设该林场原来和现在林木总蓄积分别为x万立方米和y万立方米，根据现在的林木总蓄积比原来增加了1073万立方米：现在的林木总蓄积比原来的35倍还多19万立方米，列出关于x、y的二 元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该林场原来和现在林木总蓄积分别为x万立方米和y万立方米， 根据题意可列方程组为， 解得， 故该林场原来林木总蓄积为31万立方米，现在林木总蓄积为1104万立方米． 【经典例题十三 几何问题(二元一次方程组的应用)】 37．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，将块相同的小长方形地板砖拼成一个周长为的大长方形地板砖，则每块小长方形地板砖的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设每块小长方形的长为厘米，宽为厘米，根据图中关系和拼成一个周长为厘米的大长方形地板砖，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设每块小长方形的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得：， 解得：， ， 即每块小长方形地板砖的面积为， 故选：C． 38．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）现有八个大小相同的小长方形，可拼成如图①、②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个面积为4的小正方形，则每个小长方形的面积是 ．    【答案】60 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵图2中中间的正方形面积为4， ∴图2中中间的正方形的边长为2， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴每个小长方形的面积为， 故答案为：60． 39．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完 (2)能，理由见解析 (3)丙纸板的张数为张或张 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张， 由题意得：， 解得：， 答：做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完； （2）解：能，理由如下， ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∴当竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为； （3）解：设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∵纸板的使用率为， ∴、均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴或， ∴丙纸板的张数为张或张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确的识图、找准等量关系列出方程组是解题的关键． 【经典例题十四 三元一次方程组的定义及解】 40．（22-23七年级下·浙江·课后作业）已知且x＋y＝3，则z的值为(　 　) A．9 B．－3 C．12 D．不确定 【答案】B 【分析】先利用x＋y＝3，得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法即可求解. 【详解】解：∵x＋y＝3，将其代入方程组得, 由（1）得y=z-6,将其代入（2）得z=-3, 故选B. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是解题关键. 41．（22-23七年级下·天津和平·期末）在等式中，当时，；当，；当时，，则a= ，b= ，c= ． 【答案】 3 －2 －5 【分析】由“当时，；当时，；当时，”即可得出关于、、的三元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得， ②①，得④； ③①，得⑤． ④与⑤组成二元一次方程组， 解这个方程组，得， 把代入①，得． 因此， 故答案为为3，，． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是由点的坐标得出关于、、的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 42．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）求方程的非负整数解的个数． 【答案】非负整数解个数有个． 【分析】本题考查了三元一次不定方程的解，先确定、、的值，再分类讨论即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，，分别取．则取，共组， 当时， ， 分别取则取共组， 依次类推：共有： ， 答：非负整数解个数有． 【经典例题十五 三元一次方程组的应用】 43．（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组． 设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可． 【详解】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元； 乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 根据题意得 整理，得   由②得：， ∵x、y都是正整数， ∴y可能为1、2、3、4、5， 把③代入①整理，得 ， ， ∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5， ∴当时，（不符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 把代入②得：， 甲艺术中心采购总费用为元， 故选：A． 44．（22-23七年级上·四川成都·期末）王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 【答案】13 【分析】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想， 先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案． 【详解】解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则， 即， ∴． ∵为正整数，， ∴． 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴或或， ∴； 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴不符合题意，舍去． 随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意． 故答案为：13． 45．（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）期中考试结束后，某班级准备花346元钱购买钢尺、钢笔、笔记本三种文具奖励成绩优秀的同学．已知钢尺每把5元，钢笔每支7元，笔记本每本10元，且购买的钢笔数量是笔记本数量的2倍，若使购买的文具总数最多，则这三种文具的购买数量各为多少？ 【答案】若使购买的奖品总数最多，应购买钢尺50把，钢笔8支，笔记本4本 【分析】本题主要考查了三元一次不定方程，根据题意得出x，y，z的取值范围是解题关键．设购买钢尺x把，钢笔y支，笔记本z本，根据题意结合奖品的价格得出，，再利用共花费346元，分别得出x，y，z的取值范围，进而得出z的取值范围，分别分析得出所有的可能． 【详解】解：设购买钢尺x把，钢笔y支，笔记本z本， 则有，，，，， ∴，即 ． ∵x，y，z均为正整数，， ∴ ∴z只能取14，9和4， ①当z为14时，，， 则； ②当z为9时，，， 则； ③当z为4时，，， 则． 综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买钢尺50把，钢笔8支，笔记本4本． 21 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 二元一次方程组（15大压轴题型） 【经典例题一 二元一次方程的定义】 1．（23-24七年级下·广西来宾·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）若是二元一次方程，则值 ． 3．（22-23七年级下·山东滨州·期末）在人教版七年级上、下册分别学习了《一元一次方程》和《二元一次方程组》，请叙述学习“方程”的研究路径，并猜想在以后学习，我们还将学习哪些方程？请举例． 【经典例题二 二元一次方程的解】 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）在下列二元一次方程中，有一组解为的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）求方程的正整数解． 【经典例题三 代入消元法】 7．（2022·山东淄博·中考真题）由方程组  可得出x与y的关系式是（      ） A．x+y=9 B．x+y=3 C．x+y=－3 D．x+y=－9 8．（22-23八年级·山东潍坊·期末）若（x﹣y+3）2+=0，则x+y的值为 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【经典例题四 加减消元法】 10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组给出下列结论：正确的有 ．（填序号） ①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为正整数的解有3对 12．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 【经典例题五 二元一次方程组的特殊解法】 13．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 14．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）若关于，的方程组的解为，则方程组的解为 ． 15．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）[阅读材料] 善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程变形：， 即， 把方程代入得：， 所以， 将代入得， 所以原方程组的解为． [解决问题] （1）模仿小明的“整体代换”法解方程组， （2）已知x，y满足方程组，求的值． 【经典例题六 二元一次方程组的错解复原问题】 16．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲正确地解得乙看错了方程②中的系数c，解得，则的值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 17．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为 ． 18．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）甲、乙两人同解方程组，甲因看错c的值解得方程组解为，乙求得正确的解为，求a，b，c的值． 【经典例题七 构造二元一次方程组求解】 19．（2024九年级·浙江杭州·专题练习）对于实数，，定义新运算，其中，为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若，，则（    ） A．40 B．41 C．45 D．46 20．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）随着农历牛年脚步的临近，江北区街道两旁已挂满了各色灯饰，主要有随风舞动的“水母”、亭亭玉立的“麦穗”和绚烂夺目的“星球”三类主题灯饰，他们的数量比为3：4：2．每个灯饰均由A、B、C三种灯管组成，每个灯饰的成本是组成灯饰中各种灯管的成本之和．已知1个“水母”灯饰由1个A灯管、4个B灯管、2个C灯管组成；1个“麦穗”灯饰由2个A灯管、2个B灯管、1个C灯管组成．1个“水母”灯饰的成本是1个A灯管成本的5倍，1个“星球”灯饰的成本比1个“水母”灯饰的成本高出40%．三类主题灯饰安装后需一次性支付不同的安装费，各类主题灯饰的总费用由灯饰的成本费和安装费组成，其中“麦穗”灯饰的安装费占到了三种灯饰总安装费的，而“麦穗”灯饰总费用是三类主题灯饰总费用的，且“麦穗”灯饰、“星球”灯饰的总费用之比为8：7，则“星球”灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比是 ． 21．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）规定：二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为二元一次方程亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题： (1)已知，，，则是隐线的亮点的是 ； (2)设，是隐线的两个亮点，求方程中的正整数解； (3)已知是实数，且，若是隐线的一个亮点，求隐线s中的最大值和最小值的和． 【经典例题八 方案问题(二元一次方程组的应用)】 22．（2023·黑龙江佳木斯·二模）某假日，小磊和其他六名同学轻装徒步去郊游，途中，他用18元钱买饮料为大家解渴，每人至少要分得一瓶饮料，商店只有冰红茶和矿泉水，冰红茶3元一瓶，矿泉水2元一瓶，如果18元刚好用完，则选择购买的方案有（      ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 23．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）腊八之后，年味渐浓．京东超市某直营店推出甲、乙两种年货礼盒，其中甲种礼盒有开心果3袋，腰果3袋，夏威夷果1袋，纸皮核桃1袋；乙种礼盒有开心果4袋，腰果3袋，纸皮核桃3袋．每种礼盒的总成本由该礼盒中所有坚果的成本之和加上包装盒成本6元/个．已知每袋开心果和每袋腰果的成本价之比为，每袋夏威夷果和每袋纸皮核桃的成本价之比为．甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%，第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%．第二周直营店通过减少坚果的袋数推出甲、乙两种年货的小号礼盒，甲种小号礼盒的成本价（包含包装盒成本）降为原甲种礼盒总成本的35%，乙种小号礼盒相比原乙种礼盒开心果、腰果、纸皮核桃各减少2袋，小号包装盒成本每个4元．如果第二周售出的甲、乙小号礼盒恰好分别与第一周甲、乙两种礼盒数量相同，则第二周售出的所有小号礼盒的总成本是 元． 24．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【经典例题九 行程问题(二元一次方程组的应用)】 25．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）轮船顺流航行时的速度为m千米/小时，逆流航行时的速度为千米/小时，则水流速度（   ） A．3千米/小时 B．4千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有，平路有，已经列出一个方程，则另一个方程是 ． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶，它们各自单独行驶并返回的最远距离是．现在它们同时从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶中抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．B地最远可距离A地多少千米？ 【经典例题十 工程问题(二元一次方程组的应用)】 28．（22-23八年级上·四川巴中·期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ） A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 29．（2022·重庆沙坪坝·二模）春末夏初， 正是枇杷成熟之际， 某枇杷基地的枇杷大量成熟， 于是安排了 20 个工人分三个小组分别对 三种枇杷进行采摘， 每人每天固定只采摘同一品种的枇杷， 每天采摘 三种枇杷的时间之比为 ， 采摘 三种枇杷的速度之比为 ． 第一次采摘用了 5 天时间； 第二次采摘时， 从原来采摘 种枇杷的工人中抽调了部分工人加入采摘 种枇杷的小组中， 由于不熟悉 种枇杷采摘， 新加入的工人的采摘速度为原有采摘 种枇杷工人采摘速度的 ， 第二次采摘也用了 5 天时间， 两次采摘的三种枇杷的总量比为 ；第三次采摘时，需要采摘的枇杷总量是前两次总量的和的 ． 为了加快采摘速度，决定在第二次的采摘人员安排的基础上（此时第二次采摘时新加入 种枇杷采摘组的工人采摘速度和 种枇杷采摘组其他工人一样）， 在总人数 20 人以外另再添加 人去采摘 种枇杷， 新加入的 人的采摘速度是原来采摘 种枇杷工人速度的 2 倍， 最终， 第 3 次用了整数天完成采摘任务． 则 的值至少为 ． 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租）．已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩． (1)每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ (2)若该收割队每小时恰好割草54亩，该收割队的租用方案可以是怎样的？ 【经典例题十一 数字问题(二元一次方程组的应用)】 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 32．（24-25九年级上·重庆铜梁·期末）如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“升高数”．例如：，满足，且，所以是“升高数”；，其中，所以不是“升高数”．则最大的四位“升高数”是 ；对于一个“升高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定： ．当为整数时，则满足条件的的最小值为 ． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【经典例题十二 和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】 34．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）嘉祥县是鲁西黄牛、小尾寒羊的国家育种基地县，全县生年畜牧业产值高达亿元．黄垓镇某养牛场原有头大牛和头小牛，天约用饲料；天后又购进头大牛和头小牛，这时天约用饲料．下列说法中，错误的是（    ） A．每头大牛天约用饲料 B．头大牛和头小牛天约用饲料 C．头大牛和头小牛天约用饲料 D．头大牛和头小牛天用饲料 35．（21-22七年级下·黑龙江黑河·期末）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒4小盒共装108瓶；2大盒3小盒共装76瓶．若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶可列方程组为： ． 36．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某机械林场经过三代务林人的持续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1073万立方米：又知现在该林场的林木总蓄积比原来的35倍还多19万立方米，请问该林场原来和现在的林木总蓄积分别是多少万立方米？ 【经典例题十三 几何问题(二元一次方程组的应用)】 37．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，将块相同的小长方形地板砖拼成一个周长为的大长方形地板砖，则每块小长方形地板砖的面积为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）现有八个大小相同的小长方形，可拼成如图①、②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个面积为4的小正方形，则每个小长方形的面积是 ．    39．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【经典例题十四 三元一次方程组的定义及解】 40．（22-23七年级下·浙江·课后作业）已知且x＋y＝3，则z的值为(　 　) A．9 B．－3 C．12 D．不确定 41．（22-23七年级下·天津和平·期末）在等式中，当时，；当，；当时，，则a= ，b= ，c= ． 42．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）求方程的非负整数解的个数． 【经典例题十五 三元一次方程组的应用】 43．（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 44．（22-23七年级上·四川成都·期末）王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 45．（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）期中考试结束后，某班级准备花346元钱购买钢尺、钢笔、笔记本三种文具奖励成绩优秀的同学．已知钢尺每把5元，钢笔每支7元，笔记本每本10元，且购买的钢笔数量是笔记本数量的2倍，若使购买的文具总数最多，则这三种文具的购买数量各为多少？ 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$