精品解析：四川省成都市树德中学2024-2025学年高三下学期2月开学检测数学试题

树德中学高2022级高三下学期数学开学考试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（ ）． A. 存在直线，使 B. 存在直线，使 C. 存在直线，使l，m相交 D. 存在直线，使l，m所成角为 4. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 6. 设，则（ ） A. 120 B. 84 C. 56 D. 36 7. 如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若圆上存在点满足，则取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在锐角中，下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. 角为最小内角时， C. D 10. 过点作两条不同直线分别交抛物线于和，其中直线垂直于轴，直线交于点．则（ ） A. 的最小值是 B. C. D. 11. 已知等差数列的公差为，前项和是，满足，则（ ） A. B. 存在最小值 C. 满足的的最大值为4 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 焦点在轴上，且的双曲线的标准方程为_______ 13. 在三棱锥平面，则此三棱锥的外接球的表面积为_______． 14. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点. （1）过BG作该正方体的截面，使得该截面与平面平行，写出作法，并说明理由； （2）求直线DE与平面所成角的正弦值. 16. 已知椭圆的短轴长为，一个焦点为． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值． 17. 已知函数在处的切线与直线：垂直． （1）求的单调区间； （2）若对任意实数，恒成立，求整数的最大值． 18. 机器人甲、乙分别在两个不透明的箱子中取球，甲先箱子中取2个或3个小球放入箱子，然后乙再从箱子中取2个或3个小球放回箱子，这样称为一个回合．已知甲从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为；乙从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为．现两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小球，其中箱子中有3个红球，3个白球；箱子中有2个红球，4个白球． （1）求第一个回合甲从箱子取出的球中有2个红球的概率； （2）求第一个回合后箱子和箱子中小球个数相同的概率； （3）两个回合后，用表示箱子中小球个数，用表示箱子中小球个数，求的分布列及数学期望． 19. 在数列中，，其中，且． （1）求证：为等比数列； （2）若，令，当且时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，试探究满足的的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 树德中学高2022级高三下学期数学开学考试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解法以及对数函数性质可求得集合,根据集合的并集运算即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 故选：D. 2. 若复数（其中i虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由除法运算化简复数，再根据定义求模即可. 【详解】因为，则. 故选：C． 3. 已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（ ）． A. 存在直线，使 B. 存在直线，使 C. 存在直线，使l，m相交 D. 存在直线，使l，m所成角为 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A,若直线与相交，则内的直线与要么相交要么异面，故不存在直线，使，A错误， 对于B,由于,所以与相交或者平行,不论是相交还是平行,均可在,找到与垂直的直线，故B正确， 对于C,当时，则内的直线要么与平行，要么与异面，所以不存在，使l，m相交，故C错误， 对于D，当直线时，此时直线与内的所有直线均垂直，故不存在直线，使l，m所成角为，故D错误， 故选：B 4. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：. A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项不符合题意； C：因为，所以本选项不符合题意； D：因为，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力. 5. 已知函数，则（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的对称性逐项判断即可； 【详解】对于A：，A错； 对于B：，B错； 对于C：由， 所以关于直线对称，C对； 对于D，，故D错； 故选：C 6. 设，则（ ） A. 120 B. 84 C. 56 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的展开式特征，列出的表达式，再利用组合数性质计算作答. 【详解】由题意可知：， 故选：A 7. 如图，水利灌溉工具筒车转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，令即可求解. 【详解】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为， 由图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点的角度小于， 又筒车的角速度为2rad/min，所以所需的时间为，故A错误； 由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下： ， 令，即，解得， 又，可得， ，故D正确； ， ，故C错误； 又，解得，故B错误； 故选：D. 8. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在锐角中，下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. 角为最小内角时， C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同角的三角函数的关系式可求得，结合正切函数的单调性，可判断A；对于取特殊值，可判断B；根据三角形是锐角三角形，可知，可判断C；，同理可判断D； 【详解】对于A：锐角中，由知，故， 则，即A正确； 对于B，等边三角形时，，即B错误； 对于C：由于是锐角三角形，故， 故，故C正确； 对于D：因为是锐角， 所以， ， ， 所以正确； 故选：ACD 10. 过点作两条不同直线分别交抛物线于和，其中直线垂直于轴，直线交于点．则（ ） A. 的最小值是 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设点 ，将直线的方程 代入抛物线方程 ，通过韦达定理，判断B项，求出直线的方程，直线的方程，推出点的横坐标，判断D项，通过向量数量积判断C项，通过两点间的距离公式表示出 ，通过判断函数的单调性求出的最小值，判断A项 【详解】设点 设直线 的方程为： 将直线方程与抛物线方程联立得： ，故B正确 所以， 所以，故，即，故C错误； 由题意可知： 则 ， 直线的方程为： ,直线的方程为： 消去得： 将 代入上式得： ，所以 ，故D正确 当 时，此时 ，故A错误； 故选：BD 11. 已知等差数列的公差为，前项和是，满足，则（ ） A. B. 存在最小值 C. 满足的的最大值为4 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推公式找出与公差d的关系，再将选项中对应项或者前n项和全部用表示，构造成一个关于的函数，根据函数对应导数单调性找出最值，或者代入特殊值验证选项对错. 【详解】根据题意可知， ，设， ，令， 故在单调递增，在单调递减，，A正确； 由，可得， 构造函数， 则， 令得，得， 所以在单调递减，在单调递增， 故存在最小值，所以存在最小值，B正确； ，当时，易知，C错误； ，令， ，令， 故在单调递增，在单调递减， ，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 焦点在轴上，且的双曲线的标准方程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线标准方程结构即可求解； 【详解】由及焦点在轴上，可得： 双曲线的标准方程为， 故答案为： 13. 在三棱锥平面，则此三棱锥的外接球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求等边三角形外接圆半径，根据几何关系确定外接球球心位置，列勾股定理方程确定该三棱锥外接球的半径即可. 【详解】 因为，所以为等边三角形， 所以，等边外接圆的半径为， 如图，三棱锥外接球球心为，半径为， 设球心到平面的距离为，外接圆圆心为， 连接，则平面， 取中点，所以， 又平面，所以，则四边形是矩形， 所以在和中， 由勾股定理可得，解得：，表面积. 故答案为： 14. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，分当a＝0时，当a＞0时和当a＜0时，分类讨论满足条件的实数a的取值范围，综合可得答案． 【详解】当a＝0时，函数f（x）＝2x-1，f[f（x）]＝4x-3， 不满足对任意x∈R，f[f（x）]0恒成立， 当a<0时，f（x）1,且f（x）的对称轴为x=, f[f（x）]f（-1）＝a（-1）2+2（-1）-1＝a1， 解a10得：或 a，又a<0 故， 当a>0时，f（x）1， 不满足对任意x∈R，f[f（x）]0恒成立， 综上可得：, 所以a的最大值为 故答案 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点. （1）过BG作该正方体的截面，使得该截面与平面平行，写出作法，并说明理由； （2）求直线DE与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）作法见解析，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造面面平行的方法作出截面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线DE与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 取的中点H，连接，，BH，GH， 即截面为要求作的截面. 理由如下： 因为E，F分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 在正方形中，因为G为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 又，平面， 所以平面平面. 连接，易证，，则， 所以，B，H，G四点共面，从而截面为要求作的截面. 【小问2详解】 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以. 故直线DE与平面所成角的正弦值为. 16. 已知椭圆的短轴长为，一个焦点为． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据求椭圆方程和离心率； （2）首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示四边形的面积，并利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题设 解得 所以椭圆的方程为． 的离心率为． 【小问2详解】 设椭圆的另一个焦点为，则直线过点． 由 得． 设，则，． 由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等． 所以四边形的面积为面积的倍． 又， 所以 ． 所以． 设，则． 所以． 当且仅当，即时，． 所以四边形的面积最大时，． 17. 已知函数在处的切线与直线：垂直． （1）求的单调区间； （2）若对任意实数，恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2）1 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得出，再利用导数判断单调区间即可； （2）分离参数将问题转化为恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可. 【小问1详解】 由，得，又切线与直线：垂直，所以，即． 所以，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 对任意实数，恒成立， 即对任意实数恒成立． 设，即． ，令， 所以恒成立，所以在上单调递增． 又，，所以存在，使得， 即，所以． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以 ， 当时，， 所以，由题意知且 所以，即整数的最大值为1． 18. 机器人甲、乙分别在两个不透明的箱子中取球，甲先箱子中取2个或3个小球放入箱子，然后乙再从箱子中取2个或3个小球放回箱子，这样称为一个回合．已知甲从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为；乙从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为．现两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小球，其中箱子中有3个红球，3个白球；箱子中有2个红球，4个白球． （1）求第一个回合甲从箱子取出的球中有2个红球的概率； （2）求第一个回合后箱子和箱子中小球个数相同的概率； （3）两个回合后，用表示箱子中小球个数，用表示箱子中小球个数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据离散型随机变量的性质结合条件概率求解即可. （2）根据概率公式进行求解即可. （3）先求出随机变量的值，再分别求出各自的概率，列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 在第一个回合中，记事件表示“甲从箱子中取出2个球”， 事件表示“甲从箱子中取出3个球”， 事件表示“甲从箱子取出的球中有2个红球”， 则 【小问2详解】 第一个回合后，箱子和箱子中小球个数相同，即甲从箱子中取出小球的个数与乙从箱子中取出小球的个数一样，所以，． 【小问3详解】 每一个回合后，两个箱子小球数都保持不变的概率， 箱子小球数减少1个，箱子小球数增加1个的概率， 箱子小球数增加1个，箱子小球数减少1个的概率 两个回合后，的所有可能值为 所以随机变量的分布列为 0 2 4 所以． 19. 在数列中，，其中，且． （1）求证：为等比数列； （2）若，令，当且时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，试探究满足的的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由条件可得，求得，即可求证； （2）由（1）得到，构造函数，借助其单调性即可求解； （3）设，得到，通过分类讨论求解； 小问1详解】 由，可知 所以，是以为首项，公比为的等比数列， 则， 同时，是以为首项，公比为的等比数列， ， 综上，． 因此，，又， 所以是以为首项，公比为的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 易知为单减数列，且， 恒成立时，关于的二次函数在处达到最小， 则，即． 实数的取值范围为． 【小问3详解】 设等比数列满足：，其中，为整数，． 显然，为有理数，不妨设，，其中，互质，． 因为为整数，所以为的倍数， 令， 于是， （1）当时，，则； （2）当时，，则，此时； （3）当时，，则，此时； 综上可知，符合条件的等比数列的项数． 又公比的等比数列中有6项：128，192，288，432，648，972均在内， 因此． 【点睛】关键点点睛：由，结合为整数，．确定为有理数，设，其中，互质，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$