第四章 因式分解 知识归纳与题型突破（十五类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第四章 因式分解 知识归纳与题型突破（十五类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 三、公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 要点：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 五、因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 03 题型归纳 题型一 辨析是否属于因式分解 例题 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二 求公因式 例题 6．与的公因式是 ． 巩固训练 7．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 8．多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 9．多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 10．多项式和的公因式是 ． 题型三 已知一个因式求另一个因式 例题 11．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 巩固训练 12．已知多项式的一个因式为，另一个因式是（    ） A． B． C． D． 13．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 题型四 根据因式分解的结果求参数 例题 14．把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 巩固训练 15．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 16．已知多项式分解因式后的结果为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五 用因式分解求代数式的值 例题 17．若，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 巩固训练 18．已知，，则的值为（    ） A． B．6 C． D．5 19．已知满足，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 20．已知，，则的值为 ． 21．已知，则的值为 ． 题型六 因式分解的几何应用 例题 22．已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 巩固训练 23．已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 24．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 （用含a、b的代数式表示） 题型七 因式分解的代数应用—看错问题 例题 25．在对二次三项式 进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此多项式进行正确的因式分 巩固训练 26．分解因式：，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解结果是，那么的值是 ． 27．分解因式，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果是，则 ． 题型八 因式分解的代数应用—比较代数式的大小 例题 28．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 巩固训练 29．已知，，则与的大小关系是 ． 题型九 因式分解的代数应用—数的整除问题 例题 30．若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（   ） A．， B．， C．， D．， 巩固训练 31．对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 题型十　用不方法因式分解 例题 32．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 巩固训练 33．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 34．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 35．分解因式： (1)． (2)． (3)． 题型十一 因式分解综合 例题 36．因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 37．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十二 用因式分解简便运算 例题 38．计算： ． 巩固训练 39．已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 40．= ． 题型十三 完全平方公式因式分解难点分析 例题 41．已知，，，那么的值为 ． 巩固训练 42．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 题型十四 辨析因式分解的步骤是否正确 例题 43．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 回答下列问题： 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步) (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 巩固训练 44．下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤： ……………………………………第一步 ……………………………………第二步 …………………………………第三步 ………………………………第四步 (1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ； (2)请给出这个问题的正确解法． 题型十五 因式分解的综合应用（解答题） 例题 45．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)分解因式； (2)若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 巩固训练 46．设表示一个两位数，其中十位数字为a，个位数字为b，表示的平方．规定：若一个正整数A能写成，且，则称A为“平方差数”，并把式子称为“平方差分解”． 例如：因为，所以56是“平方差数”；其中为“平方差分解”． (1)当时，请写出一个“平方差数”及其“平方差分解”； (2)判断400是否为“平方差数”？若是，写出“平方差分解”；若不是，请说明理由． 47．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如： (1)分解因式：________． (2)求代数式的最小值： ， 对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________． 请完成上面的填空． (3)根据材料解决下列问题： ①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________． ②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值． 48．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 49．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面图1中共有三种卡片：型卡片是边长为的正方形；型卡片是长为，宽为的长方形；型卡片是边长为的正方形． (1)用1张型卡片、2张型卡片拼成如图2的图形，根据图2，多项式因式分解的结果为________． (2)请用1张型卡片、2张型卡片、1张型卡片拼成一个大正方形，在下面的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解． 写出一个多项式的因式分解：________ (3)若仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片，求所需的型卡片的数量． 50．若一个正整数是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“半平分数”，为的“半平分点”．例如，，则35是“半平分数”，5为35的半平分点． (1)是80的“半平分点”，则______；的“半平分数”“半平分点”为1，则______；当为正整数时，整数______． (2)把“半平分数”与“半平分数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“半平分数”的“半平分数”为，“半平分数”的“半平分点”为，当时，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解 知识归纳与题型突破（十五类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 三、公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 要点：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 五、因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 03 题型归纳 题型一 辨析是否属于因式分解 例题 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义，将多项式分解成几个整式的乘积即可得到答案． 【解析】解：，不是因式分解，故选项A不符合题意； ，不是因式分解，故选项B不符合题意； ，不是因式分解，故选项C不符合题意； ，是因式分解，故选项D符合题意； 故选D． 巩固训练 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【解析】解：A、是因式分解，符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选A． 3．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左边到右边的变形是否是因式分解，只需根据定义来确定即可． 【解析】解：A、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等号右边不是积的形式，不符合题意； C、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 4．下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据提公因式法逐项判断即可得出答案． 【解析】解：A、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； B、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； C、，不能用提公因式法因式分解，符合题意； D、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； 故选：C． 5．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式结构是解题的关键．根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后即可得到答案． 【解析】解：A、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，可写成，9可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，可写成，可写成，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 题型二 求公因式 例题 6．与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是确定几个单项式的公因式，先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【解析】解：与的公因式是， 故答案为：． 巩固训练 7．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，一个多项式各项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式．公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【解析】解：多项式的公因式为． 故选：D． 8．多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【解析】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 9．多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了公因式，直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式． 【解析】解：， ∴各项的公因式是， 故选B． 10．多项式和的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查公因式，熟练掌握提公因式的方法是解题的关键． 分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【解析】， ， ∴多项式与多项式的公因式是． 故答案为：． 题型三 已知一个因式求另一个因式 例题 11．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 【答案】A 【分析】适当变形后提公因式，可得答案． 【解析】解：原式， 另一个因式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键． 巩固训练 12．已知多项式的一个因式为，另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式． 【解析】原式=（2x+y-z）（2x-y+z）， ∴另一个因式是2x+y-z， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，用了平方差的形式，所以要熟记平方差公式分解因式． 13．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将多项式因式分解，即可得到结果． 【解析】解：∵ = ∴另一个因式是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练应用提公因式法解题关键． 题型四 根据因式分解的结果求参数 例题 14．把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用提公因式法，即可解答． 【解析】解：把多项式因式分解时，提取的公因式是，则：n≥5， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键． 巩固训练 15．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【答案】B 【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值． 【解析】解：， ， ，， ， ， 、的值分别为：4，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据多项式乘多项式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键． 16．已知多项式分解因式后的结果为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用乘法公式将展开，再与对应即可． 【解析】∵多项式分解因式后的结果为， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解与整式乘法运算之间的关系，正确的理解他们之间的关系是解题的关键． 题型五 用因式分解求代数式的值 例题 17．若，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，正确找出公因式是解题关键．将提取公因式，进而将已知代入求值即可． 【解析】解：， 故选：B． 巩固训练 18．已知，，则的值为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题因式分解、考查代数式求值，由，进行整体代入求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 19．已知满足，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查利用完全平方公式分解因式、非负数的性质．根据题意可得，由非负数的性质即可得出，的值，以此即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ， ∴，， 解得：，， ． 故选：A． 20．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方差公式．直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案． 【解析】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 21．已知，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用提取公因式法因式分解是解题关键． 将变形为，再将代入所求式子中即可求解． 【解析】解：∵， ∴ ． 故答案为：0． 题型六 因式分解的几何应用 例题 22．已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的应用，将整式因式分解是解题的关键．将等式左边分解因式可求得或，进而判定三角形的形状． 【解析】解： 或 或， 或，即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 巩固训练 23．已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 【解析】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 24．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 （用含a、b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解，解题的关键是掌握正方形，长方形的面积公式及因式分解．根据题意表示出长方形的面积，利用因式分解转化为多项式与多项式的积，即可确定长方形的长和宽，继而得到长方形的周长． 【解析】根据题意，长方形的面积为 ∴边长为和， ∴周长为； 故答案为： 题型七 因式分解的代数应用—看错问题 例题 25．在对二次三项式 进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此多项式进行正确的因式分 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、提取公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．分别将和展开，然后取展开后的常数项，取展开后的一次项，最后因式分解即可． 【解析】解：， ， ∴，， 由题意可知：原二次三项式为， ∴． 故答案为：． 巩固训练 26．分解因式：，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解结果是，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解的关系，明确分解因式的结果可还原为多项式是解题的关键． 甲把看错，则所得的分解结果转化为多项式的形式时正确，由此将展开后确定的值；接下来按照同样的方法将展开后可得的值． 【解析】解：当分解的结果是时，， 甲看错了a的值， ， 当分解的结果是时，， 乙看错了b的值， ， ． 故答案为：． 27．分解因式，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，代数式求值，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【解析】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 题型八 因式分解的代数应用—比较代数式的大小 例题 28．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【分析】用M与N作差，然后进行判断即可． 【解析】解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1， ∵M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1) =3x2-x+3-2x2-3x+1 =x2-4x+4 =(x-2)2≥0， ∴M≥N． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答题的关键． 巩固训练 29．已知，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键． 根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【解析】解： ，， ， 故答案为： ． 题型九 因式分解的代数应用—数的整除问题 例题 30．若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式的应用，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【解析】解： 故选：A． 巩固训练 31．对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是正确解答的关键． 综合提公因式法和公式法将原式化为即可． 【解析】解： ， ∴多项式一定能8整除， 故选：A． 题型十　用不方法因式分解 例题 32．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用提公因式法解答即可；注意首项系数为负数，需把“-”号提出来； （2）利用提公因式法解答，注意符号的变化． 【解析】（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，找准多项式的公因式是解题的关键． 巩固训练 33．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）直接利用完全平方公式进行分解即可； （3）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可； （4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查公式法分解因式，积的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键． 34．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】用十字相乘法分解因式求解即可． 【解析】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 35．分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解； （1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用平方差公式因式分解即可； （3）配方后利用平方差公式因式分解即可． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 题型十一 因式分解综合 例题 36．因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先变形，再提公因式分解即可； （2）先提取公因式分解即可； （3）将看作整体，利用完全平方公式分解即可； （4）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 巩固训练 37．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解； （2）根据平方差公式计算即可求解； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型十二 用因式分解简便运算 例题 38．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【解析】解：原式 ； 故答案为：． 巩固训练 39．已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键．利用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可． 【解析】解：∵， ， ∴． 故选：A． 40．= ． 【答案】 【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案． 【解析】解： = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键． 题型十三 完全平方公式因式分解难点分析 例题 41．已知，，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式的应用，设,根据因式分解的应用，先求的值，再求即可得解，熟练掌握完全平方公式的结构特征并能灵活对所求代数式进行恒等变形是解决此题的关键． 【解析】解：设, , , ， ， ， ， ， 的值为7. 巩固训练 42．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【解析】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 题型十四 辨析因式分解的步骤是否正确 例题 43．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 回答下列问题： 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步) (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 【答案】(1)两数和的完全平方公式 (2)不彻底， (3) 【分析】本题主要考查了因式分解及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的前提， （1）根据完全平方公式作答即可； （2）根据因式分解的定义及完全平方公式作答即可； （3）根据换元法及完全平方公式因式分解即可； 【解析】（1）解：第二步到第三步使用的是公式， 即两数和的完全平方公式， 故答案为：两数和的完全平方公式； （2）解：∵， ∴该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是， 故答案为：不彻底，； （3）解：设， ． 巩固训练 44．下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤： ……………………………………第一步 ……………………………………第二步 …………………………………第三步 ………………………………第四步 (1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ； (2)请给出这个问题的正确解法． 【答案】(1)分解因式不彻底； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）观察同学的解法，找出错误原因即可； （2）首先提取公因式，得到 ，它符合平方差公式\的形式，其中， ，再利用平方差公式进一步分解因式，得到最终结果． 【解析】（1）解：嘉淇解法错误的原因是：分解因式不彻底，没有把公因式提尽；在第一步变形后，提取公因式应该是，而不是； （2）解：正确解法如下： ， ， ． 题型十五 因式分解的综合应用（解答题） 例题 45．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)分解因式； (2)若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 【答案】(1) (2)①为等腰三角形，理由见详解；② 【分析】本题主要了利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，理解并掌握分组分解法分解因式是解题关键． （1）将原式分组整理为，再运用完全平方公式可得，然后进一步分解因式即可； （2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，结合三角形三边关系可知，进而可得，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，根据非负数的性质解得的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案． 【解析】（1）解： ； （2）解：①为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，，分别为三边的长， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； ②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∵，，分别为三边的长， ∴，即， ∴， 即c的范围为． 巩固训练 46．设表示一个两位数，其中十位数字为a，个位数字为b，表示的平方．规定：若一个正整数A能写成，且，则称A为“平方差数”，并把式子称为“平方差分解”． 例如：因为，所以56是“平方差数”；其中为“平方差分解”． (1)当时，请写出一个“平方差数”及其“平方差分解”； (2)判断400是否为“平方差数”？若是，写出“平方差分解”；若不是，请说明理由． 【答案】(1)（不唯一） (2)不是“平方差数”，理由见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，理解“平方差数”、“平方差分解”的定义是解答的关键． （1）根据“平方差数”、“平方差分解”的定义解答即可； （2）先把写出，然后根据“平方差数”的定义判断即可． 【解析】（1）解：∵ ， ， ∴272是“平方差数”，“平方差分解”为． （2）解：400不是“平方差数”，理由如下： ∵，但， ∴400不是“平方差数”． 47．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如： (1)分解因式：________． (2)求代数式的最小值： ， 对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________． 请完成上面的填空． (3)根据材料解决下列问题： ①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________． ②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值． 【答案】(1) (2) (3)①；②5 【分析】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）根据阅读材料即可得出结果； （3）①根据材料中方法求解即可；②利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【解析】（1）解：； （2）解：根据题意：的最小值为； （3）解：①原式 ； ② ， 对于代数式，无论x取何值，都小于或等于0，再加上5，则，故的最大值为5． 48．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）先分组，再利用提公因式法因式分解． 【解析】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键． 49．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面图1中共有三种卡片：型卡片是边长为的正方形；型卡片是长为，宽为的长方形；型卡片是边长为的正方形． (1)用1张型卡片、2张型卡片拼成如图2的图形，根据图2，多项式因式分解的结果为________． (2)请用1张型卡片、2张型卡片、1张型卡片拼成一个大正方形，在下面的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解． 写出一个多项式的因式分解：________ (3)若仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片，求所需的型卡片的数量． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)需要型卡片的数量为4张 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘多项式与图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意以及图形，则，即可作答． （2）模仿题干，作图，再列式，即可作答． （3）结合题意，仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片，故，即可作答． 【解析】（1）解：依题意，用1张型卡片、2张型卡片拼成如图2的图形， ∴， 根据图2，多项式因式分解的结果为， 故答案为：； （2）解：依题意，如下图所示， ∴． 故答案为：； （3）解：∵仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形，用1张型卡片、4张型卡片， ∴， ∴需要型卡片的数量为4张． 50．若一个正整数是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“半平分数”，为的“半平分点”．例如，，则35是“半平分数”，5为35的半平分点． (1)是80的“半平分点”，则______；的“半平分数”“半平分点”为1，则______；当为正整数时，整数______． (2)把“半平分数”与“半平分数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“半平分数”的“半平分数”为，“半平分数”的“半平分点”为，当时，求的值． 【答案】(1)8；3；或或1或5 (2)的值为或． 【分析】（1）直接应用新定义的运算规则，即可求解． （2）运用新定义的运算规则，先得出关系式：，应用因式分解，运用分类讨论思想，求出． 【解析】（1）解：∵，∴； ∵，∴； ∵为正整数， ∴或2或4或8， 整数或或1或5； 故答案为：8；3；或或1或5； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 即， ∵s、t都是正整数， ∴、都是正整数， ∵， ∴或或或， 解得(舍) 或或或(舍)， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及知识点有：因式分解、解二元一次方程组等，考查学生的阅读素养、计算能力、推理能力、应用能力等，体现了数学的分类讨论思想，本题第一问较简单，第二问关键在于能将式子的左右两边分别进行因式分解，得出四种情况进行分类讨论． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$