第七章 概率初步（续） 知识归纳与题型突破（十三类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）

第七章 概率初步（续） 知识归纳与题型突破（十三类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、条件概率与全概率公式 1、条件概率 (1)概念：一般地，当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝. (2)两个公式 ①利用古典概型，P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). 2、全概率公式 一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，当P(A)>0且P()>0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|). 3、叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对于中的任何事件，， 有，． 二、随机变量及其分布列的数字特征 1、随机变量与分布 以样本空间作为定义域的一个函数X为一个随机变量，即对样本空间Ω中任意给定的元素ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应. 随机变量所有可能的取值以及相应的概率，称为随机变量的分布.随机变量X的所有可能取值的概率的和等于1. 一个如下形式的图表被称为一个分布： （其中：；且） 【知识补充】: (D P(X=xi)表示的是X=xi,时所对应的概率； (2)P(xi≤X≤xi+1)表示的是xi≤X≤xi+1时所对应的所有概串，在这里令xi<xi+1 【知识注释】: (1) 定义域可以人为的进行赋值表示，这样就建立了数与概率值之间的一种函数关系； (2) 随机变量足一个函数，通常用大写拉丁字母X、Y、Z(或小写希腊字母ζ、η、ξ)等表示； (3) 分布的表示方法很多，常用图表来表示(包含矩阵图和直观图等). 当随机变量取所有值的概率均相等时，称它是等可能分布或均匀分布.如：（其中：） 另外，只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布.如：（其中：），又称“0-1分布”； 2、随机变量的分布列的性质 （1）； （2） 【注意】（1）随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． （2）伯努利分布的适用范围 ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 3、随机变量的期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布；把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值，称为随机变量的期望： 定义：如果随机变量的分布是 那么，它的期望定义为如下的加权平均：； 【知识注释】:数学期望或期望 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的期望或数学期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 4、期望的线性性质 （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么，； （2）如果、是两个随机变量，那么，； 5、方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为； 定义：随机变量的方差定义为： 【知识注释】: （1）为随机变量X的标准差，记为σ(X)． （2）随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散.反之，越小，的取值越集中在附近； 三、分布列 1.n次独立试验与二项分布 (1)n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. (2)二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n， 因此X的分布列如下表所示 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). 2.两点分布与二项分布的期望、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 3.超几何分布 一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s为M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且 P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s， 这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M). 4.正态分布 (1)正态曲线 φ(x)＝e－，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的期望；σ＝，即X的标准差.φ(x)也常常记为φμ，σ(x). (2)正态曲线的一些性质 ①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； ③σ决定正态曲线的“胖瘦”；σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. (4)正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 03 题型归纳 题型一 条件概率 例题 1．已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则在春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 ． 巩固训练 2．某产品长度合格的概率为，重量合格的概率为，长度、重量合格的概率为，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为 ． 3．一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 题型二 全概率公式 例题 4．若10张彩票中有2张有奖，两位顾客按照先后顺序各抽一张，则第二位顾客中奖的概率为 ． 巩固训练 5．设袋中共有10个大小与质地相同的球，其中2个红球，其余为白球，两人分别从袋中任取一球，则第二个人取得红球的概率为 ．（第一人取出的球不放回） 6．某乡镇有甲，乙两家超市，在某一周内老王去超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家超市购物．若第一次去甲超市，则第二次去甲超市的概率为0.4；若第一次去乙超市，则第二次去甲超市的概率为0.6．则老王第二次去甲超市购物的概率为 ． 7．某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为，，．现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是 ． 题型三 概率公式运算 例题 8．已知，，则 ． 巩固训练 9．已知，，，则 . 10．已知，且若，，则 ． 11．已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 题型四 贝叶斯公式 例题 12．某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 . 巩固训练 14．百色起义纪念馆、红军长征突破湘江烈士纪念碑园、红军长征湘江战役纪念馆、东兰红色旅游区是广西著名的红色旅游景点，某旅游博主准备分4次分别去这4个景点旅游，则百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为 ．（用数字作答） 15．将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 . 16．学校将个三好学生名额分配给个班，每个班至少一个名额，则分配方案共有 种. 13．有三个笼子，里面分别放有两只雄兔一只雌兔、两只雄兔两只雌兔、以及三只雌兔.如果在从一个笼子里拿出一只雄兔之后，那么再从这个笼子里取出雄兔的概率为 . 14．某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 15．用一项血液化验来鉴别某人是否患有一种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是 ．（精确到0.001） 16．对于事件、有以下结论： ①； ②； ③一般地，当且时，有． 请填上所有正确结论的序号 ． 题型五 随机变量的分布 例题 17．以下各项中是分布的为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 18．已知随机变量的分布，则 ． 19．分别抛掷2枚硬币，计算其中正面次数X的分布 ． 20．设是一个随机变量，其分布为，则实数 ． 题型六 等可能分布或均匀分布 例题 21．已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ． 巩固训练 22．已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ． 题型七 伯努利分布 例题 23．以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 巩固训练 24．已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 25．已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 26．已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 题型八 随机变量的期望与方差 例题 27．已知随机变量的分布为，则的方差为 . 巩固训练 28．已知一个随机变量X的分布为，且，则 ． 29．已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 30．随机变量X的分布是，其中a，b，c成等差数列．若，则的值为 ． 31．已知随机变量的分布是，则等于（    ） A． B． C． D． 32．已知，随机变量的分布为，当增大时（    ）． A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 题型九 二项分布 例题 33．设随机变量服从二项分布，则 . 巩固训练 34．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取次，用表示抽到二等品的件数，则 . 35．已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为X，则为（    ） A． B． C．2 D． 题型十 超几何分布 例题 36．下列随机变量服从超几何分布的是（    ） A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数 B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和 C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为 巩固训练 37．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则 ． 38．某一零件加工厂在最后包装的环节中，由于操作失误，在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件，则取到次品零件个数的期望为 ． 题型十一 正态分布 例题 39．已知随机变量，且，则 . 巩固训练 40．若随机变量服从正态分布，落在区间上的概率和落在区间上的概率相等，则这个正态分布的期望为 41．某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 42．学校的高三年级共有500名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为 . 43．随机变量X服从正态分布的密度函数，的图像关于直线 对称． 题型十二 正态分布曲线 例题 44．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 巩固训练 45．已知随机变量，，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 46．设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A．对任意正实数， B．对任意正实数， C． D． 题型十三 解答综合题 例题 47．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图： (1)若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？ (2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本，再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查，设为其中达到分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望. 巩固训练 48．某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 49．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小． 50．某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平期望（得分的平期望四舍五入并取整数）. (1)利用正态分布的知识求； (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案： 方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费（单位：元） 50 100 概率 方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案. ①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望； ②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策. （附：若，则，，） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 概率初步（续） 知识归纳与题型突破（十三类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、条件概率与全概率公式 1、条件概率 (1)概念：一般地，当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝. (2)两个公式 ①利用古典概型，P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). 2、全概率公式 一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，当P(A)>0且P()>0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|). 3、叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对于中的任何事件，， 有，． 二、随机变量及其分布列的数字特征 1、随机变量与分布 以样本空间作为定义域的一个函数X为一个随机变量，即对样本空间Ω中任意给定的元素ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应. 随机变量所有可能的取值以及相应的概率，称为随机变量的分布.随机变量X的所有可能取值的概率的和等于1. 一个如下形式的图表被称为一个分布： （其中：；且） 【知识补充】: (D P(X=xi)表示的是X=xi,时所对应的概率； (2)P(xi≤X≤xi+1)表示的是xi≤X≤xi+1时所对应的所有概串，在这里令xi<xi+1 【知识注释】: (1) 定义域可以人为的进行赋值表示，这样就建立了数与概率值之间的一种函数关系； (2) 随机变量足一个函数，通常用大写拉丁字母X、Y、Z(或小写希腊字母ζ、η、ξ)等表示； (3) 分布的表示方法很多，常用图表来表示(包含矩阵图和直观图等). 当随机变量取所有值的概率均相等时，称它是等可能分布或均匀分布.如：（其中：） 另外，只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布.如：（其中：），又称“0-1分布”； 2、随机变量的分布列的性质 （1）； （2） 【注意】（1）随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． （2）伯努利分布的适用范围 ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 3、随机变量的期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布；把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值，称为随机变量的期望： 定义：如果随机变量的分布是 那么，它的期望定义为如下的加权平均：； 【知识注释】:数学期望或期望 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的期望或数学期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 4、期望的线性性质 （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么，； （2）如果、是两个随机变量，那么，； 5、方差 对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为； 定义：随机变量的方差定义为： 【知识注释】: （1）为随机变量X的标准差，记为σ(X)． （2）随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散.反之，越小，的取值越集中在附近； 三、分布列 1.n次独立试验与二项分布 (1)n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. (2)二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n， 因此X的分布列如下表所示 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). 2.两点分布与二项分布的期望、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 3.超几何分布 一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s为M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且 P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s， 这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M). 4.正态分布 (1)正态曲线 φ(x)＝e－，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的期望；σ＝，即X的标准差.φ(x)也常常记为φμ，σ(x). (2)正态曲线的一些性质 ①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； ③σ决定正态曲线的“胖瘦”；σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. (4)正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 03 题型归纳 题型一 条件概率 例题 1．已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则在春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 ． 【答案】 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【解析】记事件A为“甲地下雨”，B为“乙地下雨”， 所以，， 所以. 故答案为：. 巩固训练 2．某产品长度合格的概率为，重量合格的概率为，长度、重量合格的概率为，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合条件概率运算求解. 【解析】记“长度合格”为事件A，“重量合格”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为. 故答案为：. 3．一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球，求出，再利用条件概率公式，即可求出结果. 【解析】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球， 因为，， 所以， 故答案为：. 题型二 全概率公式 例题 4．若10张彩票中有2张有奖，两位顾客按照先后顺序各抽一张，则第二位顾客中奖的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据第一位顾客抽中和没有抽中两种情况，结合全概率公式即可求解. 【解析】分为第一位顾客抽中和没抽中两种情况， 所以第二位顾客中奖的概率为． 故答案为： 巩固训练 5．设袋中共有10个大小与质地相同的球，其中2个红球，其余为白球，两人分别从袋中任取一球，则第二个人取得红球的概率为 ．（第一人取出的球不放回） 【答案】/ 【分析】由全概率公式求解. 【解析】记“第一个人取到红球”为事件A，“第二个人取得红球”为事件B， 则,， 故答案为：. 6．某乡镇有甲，乙两家超市，在某一周内老王去超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家超市购物．若第一次去甲超市，则第二次去甲超市的概率为0.4；若第一次去乙超市，则第二次去甲超市的概率为0.6．则老王第二次去甲超市购物的概率为 ． 【答案】0.5/ 【分析】由全概率公式求解即可． 【解析】设，，， 得，，， 由全概率公式得， ． 故答案为： 7．某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为，，．现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是 ． 【答案】 【分析】利用全概率公式可求解. 【解析】记事件，，表示此人选自甲乙丙三个地区，事件：此人被录取；则，，，，． 故答案为： 题型三 概率公式运算 例题 8．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用条件概率公式可求得的值. 【解析】因为，由条件概率公式可得. 故答案为：. 巩固训练 9．已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 10．已知，且若，，则 ． 【答案】/ 【分析】由，可得相互独立，再结合已知条件，根据独立事件的概率乘法公式，即可求解． 【解析】由可得相互独立， 又，， 又因为，所以， 所以 故答案为：． 11．已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 【答案】 0.8/ 0.6/ 【分析】空1，空2：利用条件概率公式结合韦恩图计算即可. 【解析】由题意得， ， ， ， 故答案为：0.8；0.6.    题型四 贝叶斯公式 例题 12．某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 . 【答案】 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【解析】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”， 由题意，，, 所以“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为. 故答案为： 巩固训练 13．有三个笼子，里面分别放有两只雄兔一只雌兔、两只雄兔两只雌兔、以及三只雌兔.如果在从一个笼子里拿出一只雄兔之后，那么再从这个笼子里取出雄兔的概率为 . 【答案】 【分析】由贝叶斯公式与全概率公式求解， 【解析】记三个笼子分别为， 若从一个笼子里拿出一只雄兔，则该笼子为的概率为， 该笼子为的概率为，该笼子为的概率为， 故此时再从从这个笼子里取出雄兔的概率为， 故答案为： 14．某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 【答案】 【分析】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”，“取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”，先由已知条件结合全概率公式求得，再由贝叶斯公式即可得解. 【解析】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”， “取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”， 则由题，，， ，，， 所以由全概率公式得 ， 所以由贝叶斯公式若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 . 故答案为：. 15．用一项血液化验来鉴别某人是否患有一种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是 ．（精确到0.001） 【答案】0.323/ 【分析】根据贝叶斯公式即可求解. 【解析】设 “呈阳性反应”， “患有此种疾病”， 则， 所以， 此人确实患有此病的概率约为． 故答案为：0.323 16．对于事件、有以下结论： ①； ②； ③一般地，当且时，有． 请填上所有正确结论的序号 ． 【答案】①③ 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式，对各个命题逐一分析判断，即可求解. 【解析】对于命题①,由全概率公式知，所以命题①正确， 对于命题②，由全概率公式知，所以命题②错误， 对于命题③，由贝叶斯公式知，又因为， 所以，所以命题③正确， 故答案为：①③. 题型五 随机变量的分布 例题 17．以下各项中是分布的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分布列中各项概率大于，且概率之和为，从而得到正确答案. 【解析】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为， 显然AC选项不满足概率之和为， D选项不满足各项概率大于，B选项满足要求. 故选：B. 巩固训练 18．已知随机变量的分布，则 ． 【答案】/. 【分析】利用分布列的概率和为1求解即可. 【解析】由题意得随机变量X的所有可能值得概率的和为1， 所以，解得. 故答案为： 19．分别抛掷2枚硬币，计算其中正面次数X的分布 ． 【答案】 【分析】X的可能值是0，1，2，求出对应的概率，得到分布列. 【解析】抛掷2枚硬币，共有四种情况，分别为两个反面，一正一反，一反一正，两个正面， X的可能值是0，1，2， 其中，，所以X的分布为． 故答案为： 20．设是一个随机变量，其分布为，则实数 ． 【答案】 【分析】由概率大于等于0小于等于1，可以得到的范围；根据概率之和为1，可以计算出的值. 【解析】依题意：，解得. 故答案为：. 题型六 等可能分布或均匀分布 例题 21．已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ． 【答案】 【分析】由均匀分布可知，，求解即可. 【解析】随机变量X分布是均匀分布，所以， ，． 故答案为： 巩固训练 22．已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据分布列的性质及等可能性即可求解. 【解析】由分布列的性质得，且， 即可解出． 故答案为：. 题型七 伯努利分布 例题 23．以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 【答案】A 【分析】根据伯努利分布的概念即可判断. 【解析】只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布． 则选项A符合，选项BCD不符合. 故选：A. 巩固训练 24．已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【解析】由题意可知或， 由于，所以， 故答案为： 25．已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 【答案】 0.66 0.34 【分析】由两点分布的性质及期望公式即可得出结论. 【解析】由两点分布可知， . 故答案为：0.66;0.34. 26．已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 【答案】 0.7/ 0.3/ 【分析】根据两点分布的基本性质即可求解. 【解析】因为服从参数为0.3的两点分布， 所以， . 当时，，所以. 故答案为：0.7，0.3 题型八 随机变量的期望与方差 例题 27．已知随机变量的分布为，则的方差为 . 【答案】3.56 【分析】先根据分布列的性质及数学期望公式求出期望值，再利用方差公式求解即可. 【解析】根据分布列的性质得，解得， 所以， 所以的方差为. 故答案为：3.56 巩固训练 28．已知一个随机变量X的分布为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用随机变量均值的性质求解参数，再进行乘法运算即可. 【解析】，则，由，得，则． 故答案为： 29．已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 【答案】5 【分析】先由概率之和为，求出，根据离散型随机变量的期望公式求出，再由方差的公式求出，最后根据方差的性质，即可求出结果. 【解析】由随机变量分布列的性质，得，解得， ，， ， ，. 故答案为：5 30．随机变量X的分布是，其中a，b，c成等差数列．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】因为a，b，c成等差数列，所以．结合分布列性质，及，求解，，，然后利用方差的计算公式计算即可. 【解析】因为a，b，c成等差数列，所以． 又由分布列性质知，所以． 又因为，所以，，， 所以． 故答案为：． 31．已知随机变量的分布是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列求出，求出期望即可． 【解析】由题意可得，解得， ． ． 故选：C． 32．已知，随机变量的分布为，当增大时（    ）． A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 【答案】B 【分析】利用数学期望和方差公式得出关于的函数，根据函数单调性判断和的变化情况． 【解析】由题意得，， 所以当增大时，减小， ， 所以在上随的增大而增大. 故选：B． 题型九 二项分布 例题 33．设随机变量服从二项分布，则 . 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式及方差的性质计算可得. 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 巩固训练 34．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取次，用表示抽到二等品的件数，则 . 【答案】/ 【分析】利用二项分布的方差公式计算即得. 【解析】依题意， ，所以. 故答案为：0.84 35．已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为X，则为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题可知，然后根据二项分布的期望公式即得. 【解析】因为盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，所以每次从盒子中随机摸出1个白球的概率为， 又摸球的过程是有放回的，故，所以. 故选：A. 题型十 超几何分布 例题 36．下列随机变量服从超几何分布的是（    ） A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数 B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和 C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为 【答案】D 【分析】服从二项分布列可判断AC；根据古典概型求概率可判断C；根据超几何分布可判断D. 【解析】对于A，因为，故A错误； 对于B，可取， 且， ， ， ， 所以随机变量不服从超几何分布，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，可取，且 0 1 k n 所以随机变量服从超几何分布，故D正确. 故选：D. 巩固训练 37．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则 ． 【答案】 【分析】求出的可能取值即每个对应的概率，再由均值公式即可求出. 【解析】的可能取值为， ，， ，则. 故. 故答案为：. 38．某一零件加工厂在最后包装的环节中，由于操作失误，在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件，则取到次品零件个数的期望为 ． 【答案】/ 【分析】先求取到次品零件个数的概率分布，再求期望即可. 【解析】由题意：设取到次品零件个数为，的可能取值为0，1，2， 且，，， 所以取到次品零件个数的期望为． 故答案为： 题型十一 正态分布 例题 39．已知随机变量，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可. 【解析】根据正态曲线的对称性，时， 若，则， 于是. 故答案为： 巩固训练 40．若随机变量服从正态分布，落在区间上的概率和落在区间上的概率相等，则这个正态分布的均值为 【答案】1 【分析】根据正态曲线的对称性可得答案. 【解析】由于正态总体的数据落在区间内的概率和落在区间内的概率相等， 则正态分布曲线的对称轴为：， ∴正态分布的均值. 故答案为：1. 41．某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】越小，数据集中在对称轴附近，A正确；由正态曲线的性质知BC正确；因为落在的概率与落在的概率不同，D错误． 【解析】越小，正态曲线越瘦高，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等，故C正确； 因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同， 所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选;D. 42．学校的高三年级共有500名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为 . 【答案】 【分析】根据正态分布的性质结合条件即得. 【解析】因为该次考试的成绩服从正态分布， 且， 所以，所以， 因此该年级数学成绩在分以上的人数约为. 故答案为： 43．随机变量X服从正态分布的密度函数，的图像关于直线 对称． 【答案】 【分析】由正态分布的对称性可知图象关于直线对称． 【解析】由正态曲线的特征可知正态总体的概率密度函数，的图像关于直线对称． 故答案为： 题型十二 正态分布曲线 例题 44．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【解析】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 巩固训练 45．已知随机变量，，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由图结合正态分布曲线特点可得答案. 【解析】由图可得随机变量的均值比随机变量的均值小，则.又由图得，随机变量的分布比随机变量的分布更加分散，则. 故选：B 46．设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A．对任意正实数， B．对任意正实数， C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性即可求解. 【解析】依题意，由图可得， 对任意正实数，， 因为， 所以，故A错误，B正确； ，故C错误； 因为，所以，故D错误； 故选：B. 题型十三 解答综合题 例题 47．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图： (1)若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？ (2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本，再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查，设为其中达到分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望. 【答案】(1)分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图，可得答案； （2）写出变量的可能取值，分别求得概率，写出分布列，利用期望公式，可得答案. 【解析】（1）成绩在区间的比例为：； 成绩在区间的比例为：， 因此分位数位于区间； 因此入围分数为：，因此入围分数应设为分. （2）在这六个人中，有两人的分数在分及以上，因此， ，，， 变量的分布列为： 所以的数学期望为. 巩固训练 48．某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解； （2）（i）利用全概率公式求解；（ii）利用条件概率公式求解． 【解析】（1）由题意可知， 则， 所以 ； （2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， 事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； （ii）因为， 所以， 所以． 49．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率； （2）（i）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求； （ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得：. （2）（i）设为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得：， ，， ，， 故， 故（万元）. （ii）由题设保费的变化为，故. 50．某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）. (1)利用正态分布的知识求； (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案： 方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费（单位：元） 50 100 概率 方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案. ①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望； ②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策. （附：若，则，，） 【答案】(1)0.8186 (2)①分布列见解析，；②选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好，理由见解析 【分析】（1）先求出7个地方的人均得分，进而，利用原则和正态曲线的性质计算即可求解； （2）①可能的取值为元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；②由①知，即可下结论. 【解析】（1）样本中各地的人均得分分别为 ， 所以7个地方的平均分为， 即，所以. ， ， 所以； （2）①：由题意，得出的话费可能的取值为元， 得50元的情况为低于平均值，概率为； 得100元的情况为有1次机会获得100或2次机会获得50元， 概率为； 得150元的情况为有1次机会获得100和1次机会获得50元， 概率为； 得200元的情况为有2次机会都获得100元，概率为， 所以的分布列为： 50 100 150 200 故； ②：由①知， 所以小李应选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$