专题07 第7章  概率初步（6考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单07 第7章  概率初步 （6个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 清单02 条件概率性质 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 清单03 全概率公式 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 清单04 贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 清单05 均值和方差 （1） （2） 清单06 均值与方程性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. ③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【考点题型一】条件概率及其性质应用（） 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球，求出，再利用条件概率公式，即可求出结果. 【详解】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球， 因为，， 所以， 故答案为：. 【变式1-1】.（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】把一枚骰子连续抛掷两次，基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件，事件包含的基本事件，求出，再利用条件概率公式可求得结果. 【详解】把一枚骰子连续抛掷两次，基本事件总数， 事件包含的基本事件有：，共9种， 事件包含的基本事件有：，共5种， 所以， 所以. 故选：B 【变式1-2】.（2024·上海奉贤·三模）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以相互独立，故A正确； 对于B，因为， 所以， 所以相互独立，所以相互独立，故B正确； 对于C，， 所以，所以无法判断相互独立，故C错误； 对于D，， 因为，所以相互独立，故D正确. 故选：C. 【变式1-3】.（24-25高二下·上海奉贤·期中）掷一颗骰子所得的样本空间为．令事件，．则 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 【考点题型二】全概率公式及其应用（） 【例2】.（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】由题意，根据古典概型求得概率，结合全概率公式，可得答案. 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 【变式2-1】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据全概率公式进行求解. 【详解】设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球； 从甲盒取出1个白球和1个红球；从乙盒取出2个红球. 所以 . 故答案为：. 【变式2-2】.（24-25高二下·上海奉贤·期中）（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为； （2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为； （3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为； （4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为． 则从小到大的顺序为： ． 【答案】 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用排列计数问题及古典概率求出；利用分步乘法计数原理及古典概率求出；利用条件概率及全概率公式求出，进而比较大小. 【详解】（1）6个人的全排列数为，其中甲乙不相邻的排列数为，则； （2）10名学生的全排列数为，一班的3名学生恰好被排在一起的排列数为，； （3）两人各摸1个球的方法数为，第一、二个人分别摸红、白球的方法数为，； （4）记从甲袋摸出2白球、1白1黑球、2黑球的事件分别为，乙袋中摸出1黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 而，所以从小到大的顺序为. 故答案为： 【变式2-3】.（2025·上海长宁·二模）某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由已知结合全概率公式求解即可. 【详解】设选取的苹果来自A基地为事件，选取的苹果来自B基地为事件， 选到新鲜苹果为事件， 所以，，，， 所以 ， 所以从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是. 故答案为：. 【考点题型三】贝叶斯公式及其应用（） 【例3】（22-23高三下·浙江·开学考试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用贝叶斯公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】法1：设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，，利用贝叶斯公式即可得到答案； 法2：直接在迟到的前提下计算概率. 【详解】法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”， 事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”， 则； ， 小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是， 法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率， 故答案为：． 【变式3-1】.（23-24高三上·广东深圳·期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答. 【详解】因为抽到的次品可能来自于，两条生产线，设“抽到的产品来自生产线”， “抽到的产品来自生产线”，“抽到的一件产品是次品”， 则， 由全概率公式得， 所以它来自生产线的概率是. 故选：B 【变式3-2】.（25-26高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”，“取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”，先由已知条件结合全概率公式求得，再由贝叶斯公式即可得解. 【详解】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”， “取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”， 则由题，，， ，，， 所以由全概率公式得 ， 所以由贝叶斯公式若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 . 故答案为：. 【变式3-3】.（24-25高三·上海·课堂例题）用一项血液化验来鉴别某人是否患有一种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是 ．（精确到0.001） 【答案】0.323/ 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据贝叶斯公式即可求解. 【详解】设 “呈阳性反应”， “患有此种疾病”， 则， 所以， 此人确实患有此病的概率约为． 故答案为：0.323 【变式3-4】.（24-25高三·上海·课堂例题）设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为 . 【答案】0.8/ 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率、计算条件概率 【分析】利用全概率公式及条件概率公式可求解. 【详解】设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分. ，，，， 根据全概率公式得 ，所以， 所以. 故答案为：0.8 【考点题型四】离散型随机变量分布列均值，方差（） 【例4】（24-25高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)甲通过面试的可能性更大；理由见解析 【知识点】利用二项分布求分布列、建立二项分布模型解决实际问题、离散型随机变量的方差与标准差、超几何分布的分布列 【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可； （2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可； （3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论. 【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . （2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . （3）因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 【变式4-1】.（24-25高三下·上海金山·阶段练习）某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店和，通过一段时间的经营统计，店和店每日销售的蛋糕数的分布列如表： 3 4 5 6 2 4 6 (1)求店在3天共卖出15个蛋糕的概率； (2)为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，《中华人民共和国反食品浪费法》自2021年4月29日起施行，蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理．该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产10个蛋糕给两家连锁店， ①若分配给店4个蛋糕，店6个蛋糕，求该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； ②那么在市场需求不变的情况下如何分配这10个蛋糕最优？请说明理由 【答案】(1)； (2)①；②在市场需求不变的情况下，分配给A店4个，B店6个或A店5个，B店5个，理由见解析. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）分三种情况：三天分别卖5，5，5个；4，5，6个；3，6，6个，然后由相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理求解即可， （2）①求出店和店每日销售的蛋糕数的分布列，从而求出数学期望；②分（i）店4个，店6个；（ii）店5个，店5个；（iii）店6个，店4个三种情况讨论，分别求出相应的数学期望，即可判断． 【详解】（1）店在3天共卖出15个莝糕，共有三种情况： 三天分别卖个，个，个， 所以所求概率； （2）①若分配给店4个，店6个， 则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下： 3 4     2 4 6 所以， 即该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； ②由题意可知， 因为店、店均是最多卖个蛋糕，则有三种情况： （i）店4个，店6个；（ii）店5个，店5个；（iii）店6个，店4个． （i）若分配给占4个，占6个，由①可知该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； （ii）若分配店5个，店5个， 则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下： 3 4 5 2 4 5 所以； （iii）若分配给店6个，店4个， 则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下： 3 4 5 6 2 4 所以． 因为， 所以在市场需求不变的情况下，分配给A店4个，B店6个或A店5个，B店5个最优 【变式4-2】.（25-26高三上·上海·单元测试）已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 【答案】 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由题意可取3、4、5、6，算出对应的概率得出分布列，进一步根据期望公式即可求解. 【详解】可取3、4、5、6， ，，，， 所以的分布为， 的期望． 【变式4-3】.（23-24高二下·上海·阶段练习）一出租车司机从某饭店到火车站途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是． (1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差． (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差． 【答案】(1)期望，方差； (2)期望50，方差1000. 【知识点】均值的性质、二项分布的均值、方差的性质、二项分布的方差 【分析】（1）由题意可得，再利用二项分布的期望公式和方差公式求解； （2）由题意得，再利用期望和方差的性质求解即可. 【详解】（1）由题意得这位司机遇到红灯数X服从二项分布， 所以； （2）由题意得，由（1）得， 所以． 【变式4-4】.（23-24高三上·上海长宁·期中）有3男､2女共5位学生，从中随机选取3人参加创建文明城区宣传活动，用随机变量X､Y分别表示被选中的男生､女生人数. (1)写出的分布，并求的值； (2)求的值. 【答案】(1)分布列见解析，， (2) 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据超几何分布求的分布和，并利用期望的性质求； （2）根据的分布列求，并利用方差的性质求. 【详解】（1）根据题意可知：的可能取值为1，2，3，则有： ，，， 可得的分布为 1 2 3 所以， 又因为，即，所以. （2）由（1）可知：， 且，可知. 【考点题型五】均值和方差的性质（） 【例5】（24-25高三·上海·随堂练习）已知某随机变量ξ的分布为，则 ． 【答案】11 【知识点】方差的性质 【分析】由数学期望和方差的公式求出数学期望和方差，再由方差的性质即可求出. 【详解】由表中数据得：， 所以， 所以， 故答案为：11． 【变式5-1】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 【答案】5 【知识点】方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】先由概率之和为，求出，根据离散型随机变量的期望公式求出，再由方差的公式求出，最后根据方差的性质，即可求出结果. 【详解】由随机变量分布列的性质，得，解得， ，， ， ，. 故答案为：5 【变式5-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）以下命题中正确的有 （填序号） ①若是常数，则； ②若，则是常数； ③如果是随机变量，，那么； ④若分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，则. 【答案】①②③④ 【知识点】均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】①，利用公差公式推导得到①正确，②，利用方差的意义得到②正确；③，利用方差的性质得到③正确；④，利用期望和方差的性质推导出结论. 【详解】①若是常数，则，则，①正确； ②，即无变化，是常数，②正确； ③如果是随机变量，，那么，③正确； ④设的期望值分别为， 则，故 ， 其中为两个独立的随机试验所对应的随机变量，故， 所以，④正确. 故选：①②③④ 【变式5-3】.（25-26高三上·上海·单元测试）已知随机变量X服从二项分布，且，则 ． 【答案】64 【知识点】二项分布的方差、方差的性质 【分析】根据二项分布的期望公式求得，计算得到方差，结合方差的性质公式求解即可. 【详解】由于随机变量X服从二项分布，且， 则，得，， 即． 故答案为： 【变式5-4】.（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）随机变量服从二项分布，则 . 【答案】8 【知识点】方差的性质、二项分布的方差 【分析】由二项分布的方差公式求，然后由方差性质可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：8 【考点题型六】独立重复试验与二项分布模型（） 【例6】（24-25高二下·上海宝山·期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%. (1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ； (2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)证明见解析 (2)分布列见解析 数学期望为，方差为 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由全概率公式，根据混合后合格品率的计算公式建立等式来证明； （2）先确定服从二项分布，再根据分布列的公式求出各取值的概率，进而计算期望和方差. 【详解】（1）设M事件为“抽取出来混放在一起的零件来自甲工厂”， 事件N为“抽取出来混放在一起的零件来自乙工厂”， 事件C为“混放在一起的某一个零件为合格品”， 则， . 即 . 得.即， 所以 （2）由可知，零件来自甲工厂的概率为，来自乙工厂的概率为. 表示这个零件中来自甲工厂的个数，则服从参数为，的二项分布，即. 则，. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以的分布列为： 则，所以期望为， 方差为. 【变式6-1】.（24-25高二下·上海普陀·期中）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，其中，技能测试是否通过相互独立． (1)若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为，求的值； (2)已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式列式求解. （2）根据二项分布的期望公式求解去甲公司的期望，根据相互独立事件的概率乘法公式可求解去乙公式通过项目的概率，即可求解期望，进而比较两者的期望即可求解. 【详解】（1）依题意，解得， 所以的值为. （2）分别记“该应聘者应聘甲､乙公司三项专业技能测试中通过的项目数分别为”， 依题意，则； 的所有可能取值为， ， ， ， 因此的分布列为 0 1 2 3 数学期望， 由，得，解得， 所以的范围为：. 【变式6-2】.（2025·上海浦东新·二模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【答案】(1)软件、软件能正确解答数学问题的概率分别为、 (2)应该使用软件来解决这道试题. (3)， 【知识点】二项分布的方差、利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、二项分布的均值 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）利用全概率公式计算出、软件分别能解答对第题的概率，比较大小后可得出结论； （3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量、的期望和方差，由题意可知、相互独立，可得出，，即可得出答案. 【详解】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，. （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用软件来解决这道试题. （3）几何试题用软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， . 【变式6-3】.（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）2024年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动如下：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，且顾客有放回地抽取3次．超市设计了两种抽奖方案． 方案一：若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券． 方案二：若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖． (1)现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率； (2)若某顾客获得抽奖机会． ①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望； ②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？ 【答案】(1) (2)①方案一，方案二； ②选择方案一 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）方案一中每一次摸到红球的概率为，每名顾客有放回的抽3次获180元返金券的概率为，根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金券的概率 （2）①分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可； ②根据①得出结论 【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 设“每位顾客获得180元返金券”为事件A，则， 所以两位顾客均获得180元返金券的概率， （2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为. 设获得返金券金额为X元，则可能的取值为60，100，140，180, 则, ， 所以该顾客获得返金券金额的数学期望为（元）， 若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y， 最终获得返金券的金额为Z元，则，故， 所以该顾客获得返金券金额的数学期望为（元）. ②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案 【变式6-4】.（2024·上海普陀·二模）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. (1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； (2)用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 【答案】(1) (2)答案见详解 【知识点】计算条件概率、利用二项分布求分布列、独立事件的乘法公式、二项分布的均值 【分析】（1）先求出事件的概率，在事件发生的条件下事件发生的概率为，再由积事件的概率公式可得； （2）求出事件发生的次数的取值，然后算出对应的概率，可得的分布，再算期望. 【详解】（1）依题意得，事件的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为， 则. （2）依题意得，事件发生的次数可取：，所以，即， 则的分布为： 即， 则， 则所求的的期望. 【考点题型七】超几何分布模型（（） 【例7】（2015·吉林·三模）某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.    年级名次 是否近视 近视 不近视 (1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数； (2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据分布概率表中的数据，能否有的把握认为视力与学习成绩有关系？请说明理由； (3)在（2）中调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这人中任取人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望. 附： .其中. 【答案】(1)人 (2)有，理由见解析 (3)分布列见解析，数学期望为. 【知识点】求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、卡方的计算 【分析】（1）利用组距，可求得前组的人数，由后四组的频数成等差数列，可求后三组的人数，由此得到视力在以下的频率，估计出总体； （2）将数据代入独立性检验的公式中进行计算，并将结果与比较，可得结论； （3）利用分层抽样可得年级名次在名和名的学生的人数，根据超几何分布的概率模型求出分布列和期望. 【详解】（1）由直方图可知，第一组有人， 第二组有人， 第三组有人， 因为后四组频数成等差数列，设等差数列的公差为， 则，解得， 所以后四组的频数依次为， 所以视力在以下的频率为， 全年级视力在以下的人数为人； （2）由题意， 年级名次 是否近视 近视 不近视 ， 因此能有的把握认为视力与学习成绩有关系； （3）由题意，调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取的人，年级年级名次在名和名的学生分别有名和名，可取， ， ， ， . 的分布列为 的数学期望. 【变式7-1】.（2025·河北石家庄·三模）某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图. (1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望. 【答案】(1)估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和 (2)的分布列为： 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、超几何分布的分布列、由频率分布直方图估计平均数、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式即可求解； （2）根据分层抽样计算出年龄在的人数，和年龄在的人数.由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，，根据超几何分布的概率分布列公式求出取每个值对应的概率，即可求解的分布列，根据离散型随机变量的期望公式即可求出的期望. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以中位数位于区间中， 中位数的估计值为； 由频率分布直方图可知：样本平均数的估计值为. 故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和. （2）由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在的有人，其中年龄在的有人. 由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，， ，， ，， 所以的分布列为： 的期望. 【变式7-2】.（2025·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、超几何分布的分布列、组合数的计算、超几何分布的均值 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式即可求解； （2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室， 有种情况，从11人中抽4人有种情况， 所以所求的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为、、、、， ，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以. 【变式7-3】.（24-25高二下·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件发生的概率； （2）由题意得的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的知识求出相应的概率，从而可求得分布列和数学期望. 【详解】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为. 【考点题型八】正态分布模型（） 【例8】（24-25高二下·上海·期中）据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 ． 附： ． 【答案】 【知识点】二项分布的均值、指定区间的概率 【分析】由正态分布的概率计算公式可得的值，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 则 ， 则，所以. 故答案为： 【变式8-1】.（24-25高二下·山东临沂·期中）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】3δ原则 【分析】计算出、的值，结合即可得出结论. 【详解】由题意可得，，则， 所以， ， 因为，故小明属于等级. 故选：B. 【变式8-2】.（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图： (1)试根据频率分布直方图，求的值以及样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算）． （i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数（精确到个位）； （ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望． 附注：若，，，. 【答案】(1)0.020，70.5千米时 (2)（i）1587辆；（ii）8.4135 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、指定区间的概率、补全频率分布直方图、二项分布的均值 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形面积为1可列式求解，然后由平均数公式运算即可； （2）（i）由题可得，则，从而可算得相应速度区间的概率即可；（ii）由题算得，从而由二项分布均值公式即可求解. 【详解】（1）由，解得. 千米时． （2）由（1）及题设知：，则， （i）， 辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数辆． （ii）由（i）知：车速低于85千米/时的概率为， 故，． 【变式8-3】.（2024·上海虹口·二模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则.【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【知识点】指定区间的概率、利用全概率公式求概率、计算几个数的平均数、计算条件概率 【分析】（1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解； （2）（i）利用全概率公式求解；（ii）利用条件概率公式求解． 【详解】（1）由题意可知， 则， 所以 ； （2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， 事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； （ii）因为， 所以， 所以． 【变式8-4】.（23-24高二下·浙江·期中）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元； 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元. (1)若用方案一，求的分布列与数学期望； (2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由； (3)若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则 【答案】(1)分布列见解析， (2)方案二，理由见解析 (3)（万元） 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、指定区间的概率 【分析】（1）根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，计算出概率，列分布列即可得出期望； （2）根据方案二，按照（1）的方法计算期望，比较方案一的期望即可； （3）根据正态分布，利用给定区间的概率计算即可得解. 【详解】（1）对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6， ， ， ，  ， ∴的分布列为： 3 4 5 6 期望值. （2）对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6， ，  ， ，  ， ∴的期望值 ∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高. （3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为， 则给员工颁发奖金的总数为（万元）， 设每位职工为企业的贡献的数额为， 所以获得奖金的职工数约为 . （人） 则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）. 【考点题型九】正态分布模型中的实际问题（） 【例9】（2024安徽淮南·一模）年月日时分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了打印的薄壁蒙皮点阵结构.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.随着技术不断成熟，打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台打印设备打印出品的零件内径（单位：）服从正态分布. (1)若该台打印了件这种零件，记表示这件零件中内径指标值位于区间的产品件数，求； (2)该科技公司到企业安装调试这台打印设备后，试打了个零件.度量其内径分别为（单位：）：、、、、，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？ 参考数据：，，， 【答案】(1) (2)需要进一步调试，理由见解析 【知识点】二项分布的均值、3δ原则 【分析】（1）计算出一件产品的质量指标值位于区间的概率，分析可知，利用二项分布的期望公式可求得的值； （2）计算得出，，且，根据原则可得出结论. 【详解】（1）解：由题意知，，，则， 一件产品的质量指标值位于区间的概率即为 因为，， 所以 ， 所以，所以. （2）解：服从正态分布，由于， 则，， 所以内径在之外的概率为，为小概率事件而，且， 根据原则，机器异常，需要进一步调试. 【变式9-1】.（2025·湖南·模拟预测）在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且. (1)若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数； (2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）. 参考数据：若，则.【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、指定区间的概率、正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】（1）根据条件得到，即可求解； （2）根据条件，求出和的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】（1）由已知得，， 所以， 所以长度在内的圆钢根数约为. （2）圆钢的长度在区间的概率为 ， 圆钢的长度在区间内的概率为 ， 因此这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率为 . 【变式9-2】.（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3) 【知识点】3δ原则、超几何分布的分布列、由频率分布直方图估计平均数、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，可求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应的矩形面积，再将所求结果全加可得的值； （2）分析可知，随机变量可能取的值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）利用原则求得，结合百分位数的定义可求得的估计值. 【详解】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为， 由题可知：，解得， 所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为： ． 所以，. （2）样本中质量指标值在和的芯片数量为， 所取样本的个数为件， 质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、， 所以，，， ，， 随机变量的分布列为： 所以的数学期望． （3）由（1）可知：，则，， 由题可知：． 所以：，即. 【变式9-3】.（23-24高二下·安徽阜阳·阶段练习）水稻苗经过一个培育周期的生长株高达到8cm左右时最适宜播种，过高或过低都会影响后期的生产管理.根据长期的试验观察，在正常的培育环境下水稻苗经过一个培育周期生长的株高服从正态分布，并且符合原则.为了监控水稻苗的生长状况，检验员会从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取20株，并测量其株高(单位:cm). (1)把株高在之外的水稻苗称作异常苗，记表示异常苗的数量，求可能取值的个数、及. (2)监控部门要求，如果在抽取的水稻苗中出现了异常苗，就认定这个培育周期的培育环境出现了异常情况，需要对培育环境进行检查和修正. （ⅰ）监控部门的要求合理吗？请说明理由. （ⅱ）下面是检验员从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取的20株水稻苗的株高： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 株高/cm 7.98 8.01 8.00 8.03 7.99 7.83 7.99 8.28 7.05 7.69 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 株商/cm 8.00 8.41 7.75 8.38 7.72 7.69 8.04 8.29 7.82 8.05 其中， 为抽取的第株水稻苗的株高，.请判断是否需对这个培育周期的培育环境进行检查和修正？若要修正，剔除异常苗的株高，求余下的数据估计和(精确到0.01). 附:若随机变量X服从正态分布，则， 【答案】(1)21，， (2)（ⅰ）合理，理由见解析；（ⅱ），0.06 【知识点】二项分布的均值、3δ原则、独立重复试验的概率问题、正态分布的实际应用 【分析】（1）先判断出，再由二项分布概率公式和期望公式求解即可； （2）(ⅰ)计算出出现异常苗的概率，由概率很小知要求是合理的；(ⅱ)先求出需要剔除的数据，再由参考数据计算和即可. 【详解】（1）可取可能取值的个数为21，抽取的一株水稻苗的株高在之内的概率为， 从而株高在之外的概率为，故，因此，， ； （2）(ⅰ)培育周期内的培育环境是正常的，一株水稻苗为异常苗的概率只有0.0026，在抽取的20株水稻苗中， 出现异常苗的概率，即发生的概率很小.因此一旦出现了异常苗， 就认定这个培育期的培育环境出现了异常情况，需要对培育环境进行检查和修正，可见监控部门的要求是合理的； (ⅱ)根据题意得总体的的估计值为即，由样本数据可以看出， 编号为9的水稻苗的株高，为异常苗，因此需要对培育环境进行检查和修正，剔除数据7.05， 剩下数据的平均数为，因此的估计值为，， 剔除数据7.05，剩下数据的方差为，因此的估计值为 【考点题型十】概率与数列（） 【例10】（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二（6）班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为 . 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用全概率公式求概率 【分析】设表示经过第n次传球后球在甲手中，n次传球后球在甲手中的概率为，由全概率公式可得，构造等比数列，利用等比数列通项公式可得. 【详解】设表示经过第n次传球后球在甲手中，n次传球后球在甲手中的概率为， ，2，3，⋯，则有，， 所以 ， 即，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 故答案为： 【变式10-1】.（24-25高二下·上海·期中）我校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在文夫楼的一楼或二楼的一个餐厅用餐，经统计，当天在一楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到二楼餐厅用午餐；而当天在二楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到一楼餐厅用楼午餐，则一学期后，在一楼餐厅用午餐的学生数大约为（   ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式、等比数列的定义、计算条件概率 【分析】记第天在一楼餐厅用午餐的学生人数为，根据题意列出递推公式，求出通项，观察变化趋势可得. 【详解】记第天在一楼餐厅用午餐的学生人数为，则在二楼餐厅用午餐的学生人数为， 由题意可得，整理得， 当时，可得； 当时，数列是以为公比的等比数列， 所以， 一学期后足够大，此时趋近于0，此时趋近于900. 故选：C 【变式10-2】.（24-25高二下·上海·期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ．（精确到0.001） 【答案】 【知识点】递推法求概率、利用全概率公式求概率、构造法求数列通项 【分析】根据条件概率分别求出第次出现红球、绿球情况下第n次出现红球的概率，利用全概率公式计算求出的递推公式，进而求出. 【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”， 则，，，， 由全概率公式得 ，， ，， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，所以. 故答案为： 【变式10-3】.（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）某大型超市为回馈广大顾客，开展消费抽奖活动，每消费满500元可参与一次抽奖（一个小盒里放入6个除颜色外其他都相同的小球，其中4个黑球和2个红球），顾客可自由选择抽奖方式．一次抽奖规则如下： 方案一：顾客一次性从中随机抽取2个小球． 方案二：顾客从中随机抽取1个小球，若取到红球，则将该红球放回盒中并再往盒中加入1个红球；若取出黑球，则将该黑球换成红球放回盒中，再从盒中随机抽取1个小球．奖励规则如下： 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 100元 80元 50元 (1)顾客参与一次抽奖，求两种方案所得奖金的期望，并比较选择哪个方案所得奖金的期望更大． (2)顾客甲消费了1500元，若他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，求他抽奖获得的奖金总额的期望． (3)若该超市对消费不足500元的顾客设置一个幸运抽奖环节（一个小盒里仍然是4个黑球和2个红球）：顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份，下一位顾客继续抽奖直至红球取完为止．求第位顾客抽奖时，恰好获得最后一份幸运礼品的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】求离散型随机变量的均值、乘法公式、均值的性质、求超几何分布的概率 【分析】（1）方案一运用超几何分布，方案二运用概率乘法公式，分别写出各自概率并计算其期望比较即可. （2）运用期望公式计算即可. （3）设第个顾客获得第一份幸运礼品，第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为，即前个顾客每次都取出的是黑球，第个顾客取出的是红球，此时将黑球替换该红球放回后，小盒里是5个黑球1个红球，此时又个顾客都取出的是黑球，第个顾客取出的是红球，至此红球取完.计算第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为中从1到取值累加求和即可. 【详解】（1）选择方案一，设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为50，80，100． ；；． 故． 选择方案二，设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为50，80，100． ；；． 故． 故． （2）因为顾客甲消费了1500元，所以他有3次抽奖机会． 因为他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为， 所以他抽奖获得的奖金总额的期望为． （3）设第个顾客获得第一份幸运礼品，第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为，则， 则第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为中从1到取值累加求和， 即， 利用等比数列求和公式可得 所以第个顾客获得第二份幸运礼品的概率为． 【考点题型十一】借助导数求概率中的最值问题（） 【例11】（23-24高二下·江苏·阶段练习）2022年2月4日北京冬季奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，与此同时，也带火了相关产业.某体育销售公司对销售人员的奖励制度如下：（假设为月销售量，单位是件）①当时，当月给奖金1000元；②当时，当月给奖金3000元；③当时，当月给奖金10000元.已知该产品的月销售量. (1)该公司销售人员的月奖金大约为多少元？（精确到整数位） (2)现从该公司一批产品中，随机抽出9件产品进行检验.已知该产品是合格品的概率为，记这9件产品中恰有3件不合格品的概率为，试问当等于多少时，取得最大值？ （参考数据：若，则【答案】(1)该公司销售人员的月奖金大约为2001元 (2)当时，取得最大值 【知识点】求离散型随机变量的均值、由导数求函数的最值（含参）、独立重复试验的概率问题、3δ原则 【分析】（1）结合原则以及数学期望的求法求得正确答案. （2）先求得的表达式，并利用导数求得当时，取得最大值. 【详解】（1）月销售量，即， 于是发生的概率是， 发生的概率是， 发生的概率是， 所以销售人员的月奖金为 （元）. （2）依题意，， 则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值. 【变式11-1】.（24-25高二下·云南昆明·期中）为降低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品. (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中二等品的件数，求的数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元／件） 1 0.5 ①求2件减排器的利润不少于1万元的概率； ②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：，）. 【答案】(1) (2)①0.81；②增加3件最好 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、二项分布的均值 【分析】（1）分析可知结合二项分布的期望公式运算求解； （2）①根据相互独立事件的乘法公式计算即可；②先求出一件减排器的平均利润，进而可得出增加件产品，利润增加量和成本的提高量，进而可得出净利润，再利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）由题意可知：每件产品是二等品的概率均为，则， 所以的数学期望. （2）①设2件减排器的利润为Y万元， ， 所以2件减排器的利润不少于1万元的概率为0.81； ②一件减排器的平均利润为（万元）， 则增加件产品，利润增加为万元，成本也相应提高万元， 所以净利润为， 设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，因为x只能取正整数，所以或，此时可能为最大值， ， ， 所以要增加产量，增加3件最好. 【变式11-2】.（24-25高二下·山东·期中）已知两个袋子中均装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球.袋中红球和白球共9个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个红球的概率为；从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选袋的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率． (2)求在一轮中乙摸出红球的概率． (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意乙的观点,理由见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、根据古典概型的概率求参数、独立重复试验的概率问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式以及条件概率公式即可求解， （2）根据古典概型的概率公式，结合排列组合可得A袋中白球的个数为6，红球的个数为3，即可利用全概率公式求解， （3）根据独立重复试验的概率公式，得概率，构造函数，利用导数求解单调性得最值即可求解. 【详解】（1）设C=“乙摸出的是红球”，D=“甲从A袋中摸球”，E=“乙从B袋中摸球”. 由全概率公式知，乙从B袋中摸球的概率为 ， 所以在一轮中，乙从B袋中摸出红球的概率为 . （2）设A袋中白球的个数为， 由已知可得，可得， 因为且，因此， 所以A袋中白球的个数为6，红球的个数为3. 所以，从A袋中摸出红球的概率是. 在一轮中，乙摸出红球的概率为 . （3）3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为 ， 设，则， 令，解得. 则当时，，单调递增，当时，，单调递减. 所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点. 【变式11-3】.（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为 ． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值； (2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； 通过①，②的计算结果，你发现了什么规律； (3)若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1． 参考数据：若，则， ，， ，， 【答案】(1)． (2)可以发现产品数量很大，次品率很小时，二项分布可以用泊松分布近似． (3)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、独立重复试验的概率问题、指定区间的概率 【分析】（1）由题可得，可看作，然后由 可得答案； （2）①由题可得，由二项分布结合题意可得答案； ②由题可得，然后由可得答案； （3）由题可得，据此构造函数，可得 在上单调递减，然后由，可知只需判断与大小关系即可完成证明. 【详解】（1），可以利用正态分布转换，， ， ，估计的值为． （2）次品率为0.002，非次品率为0.998 ①，则在1000个产品中至少有个2次品的概率 ②， 可以发现产品数量很大，次品率很小时，二项分布可以用泊松分布近似． （3）， 令，，在上单调递减 ，又考虑到 而 故只需判断与，即与大小关系即可 令，，在上单调递减 ，，，， 又保留小数点后一位，的最大值为0.1. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海普陀·期中）某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ； 【答案】0.162 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，成绩是优秀的概率为. 故答案为：0.162 2．（2025·上海闵行·二模）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 【答案】 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论 【详解】设每包糖果的实际质量为，则， 又， 所以， 故质量超过505克的可能性约为. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率为 ． 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式可求得，由对立事件概率公式可求得结果. 【详解】从该厂生产的饮料中任选一瓶，记事件为：选到的为型号饮料；则事件为：选到的为型号的饮料； 记事件为：选到的饮料为碳酸饮料；则事件为：选到的饮料为非碳酸饮料； 由题意知：，，，， ， . 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式进行求解. 【详解】设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球； 从甲盒取出1个白球和1个红球；从乙盒取出2个红球. 所以 . 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二（6）班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为 . 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用全概率公式求概率 【分析】设表示经过第n次传球后球在甲手中，n次传球后球在甲手中的概率为，由全概率公式可得，构造等比数列，利用等比数列通项公式可得. 【详解】设表示经过第n次传球后球在甲手中，n次传球后球在甲手中的概率为， ，2，3，⋯，则有，， 所以 ， 即，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 故答案为： 6．（24-25高三下·上海金山·阶段练习）某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则 ，则诊断结果是阳性概率 ，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】将每种事件的概率表示出来，利用条件概率公式与全概率公式求解即可. 【详解】设“阳性”，“阴性”，“患病”，“不患病”，“诊断结果正确”，“诊断结果不正确”， 由题知：某种疾病的患病率为，则， 通过验血诊断该病的误诊率为，则， 因为漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为， 所以， 任选1人进行验血，诊断结果为阳性的概率为 则， 若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为， 由前面的计算过程可知：， 所以． 故答案为：①；②；③. 7．（24-25高二下·上海奉贤·期中）（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为； （2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为； （3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为； （4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为． 则从小到大的顺序为： ． 【答案】 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用排列计数问题及古典概率求出；利用分步乘法计数原理及古典概率求出；利用条件概率及全概率公式求出，进而比较大小. 【详解】（1）6个人的全排列数为，其中甲乙不相邻的排列数为，则； （2）10名学生的全排列数为，一班的3名学生恰好被排在一起的排列数为，； （3）两人各摸1个球的方法数为，第一、二个人分别摸红、白球的方法数为，； （4）记从甲袋摸出2白球、1白1黑球、2黑球的事件分别为，乙袋中摸出1黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 而，所以从小到大的顺序为. 故答案为： 8．（2025·上海长宁·二模）某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由已知结合全概率公式求解即可. 【详解】设选取的苹果来自A基地为事件，选取的苹果来自B基地为事件， 选到新鲜苹果为事件， 所以，，，， 所以 ， 所以从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是. 故答案为：. 二、单选题 9．（2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（   ） ①； ②． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、导数定义中极限的简单计算、求等比数列前n项和、独立事件的乘法公式 【分析】分别计算在第一局中：摸1次、摸3次、…，摸次甲获胜概率，利用等比数列前项和公式求和，再求极限即可求；根据第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球即可求得. 【详解】第一局：摸一次甲获胜概率为，摸3次甲获胜概率为， 摸5次甲获胜概率为，…, 摸甲获胜概率为， 所以， 所以，①正确； 第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球， 则，②正确； 故选：A. 10．（24-25高一下·上海奉贤·期中）足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（    ） A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立 C．①②都成立 D．①②都不成立 【答案】A 【知识点】写出等比数列的通项公式、计算古典概型问题的概率、递推法求概率、构造法求数列通项 【分析】根据给定条件，直接求出；求出的关系，再求出通项公式，进而作差判断. 【详解】由乙或丙传球给其他两个人，得，①正确； 依题意，第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人， 有的概率将球传给甲，于是，， 而，因此是以为首项，为公比的等比数列， 则，即，则， ，，②错误. 故选：A 11．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值确定大小关系. 【详解】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则， 在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 更换后， 若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后， 故， 由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，， 因此，故. 故选：. 三、解答题 12．（2025·上海浦东新·三模）申辉中学机器人兴趣小组，进行某款机器人研发学习活动.该机器人被设计从数轴上的原点出发，机器人每一步只能选择向数轴正方向或向负方向行走1个单位.设机器人第步选择向正方向行走的概率为.设行走步后机器人所在位置对应的数为随机变量. (1)兴趣小组成员小浦对机器人行走的步数和机器人所在位置进行了观察记录，记录数据如下： n 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 请求出变量和之间的线性相关系数： (2)若，求； (3)已知，在的条件下，求的概率. 【答案】(1) (2)0 (3) 【知识点】相关系数的计算、独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由表中数据及相关系数的公式即可求解； （2）由题可知的所有可能取值为，，，，根据题意求出对应取值的概率即可求解； （3）由条件概率的定义及独立事件的乘法公式节课求解. 【详解】（1）由表可知： ， ，，， 代入相关系数的公式可得：. （2）由题可知的所有可能取值为，，，， 表示三次均向正方向行走，故； 表示两次选择正方向，一次选择负方向行走，故； 表示一次选择正方向，两次选择负方向行走，故； 表示三次均选择负方向行走，故， 所以. （3）设为事件A，为事件，， 其中，， ，故. 13．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大． 【答案】(1)错误 (2)0.63856，小获胜概率更大 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）直接计算命中概率即可判断； （2）由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式代入计算，即可判断. 【详解】（1）小总命中率为， 小总命中率为， ，综上，小想法错误，小为校； （2）情况一：小第一次投篮就命中，其概率为； 情况二：小第一次未命中，小也未命中，然后小第二次投篮命中， 其概率为； 情况三：小第一次未命中，小也未命中，小第二次也未命中，小第二次也未命中，小第三次投篮命中， 其概率为， 则小的获胜概率为， 所以小获胜概率更大. 14．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 【答案】(1)列联表见解析，0.35； (2)有； (3)分布列见解析，期望为. 【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. （2）由（1）得， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. （3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 15．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. (3)见解析. 【知识点】独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率、超几何分布的方差 【分析】（1）利用古典概率求解即可； （2）计算出的值，即可判断； （3）利用超几何分布求出分布列，然后利用期望和方差的公式求解即可. 【详解】（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范队”成员，则其周平均服务时长超过2小时的概率：. （2）根据题意，可将表格补充完整： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 故， 所以有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. （3）由分层抽样可知，这8人中有6个来自“志愿模范队”，2个不是“志愿模范队”成员， 故随机变量可能为 且, 故分布列如下： 0 1 2 所以期望：， 方差：. 16．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 (1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； (2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； (3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 【答案】(1)，51分钟； (2)； (3)答案见解析. 【知识点】根据回归方程求原数据中的值、计算条件概率、求离散型随机变量的均值、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）根据表中数据分别求出，代入回归方程即可求出，将代入回归方程可求出平均等待时间； （2）利用条件概率公式，结合分步计数乘法原理和分类计数加法原理以及组合数，计算即可求得概率； （3）通过计算得到小王参加第二关获得的游园币数的期望，根据每道题答对的概率的取值分类讨论，做出相关决策. 【详解】（1）， 代入回归方程，得，解得. 当时,，即开放所有体验类项目时的平均等待时间约为51分钟. （2）记事件“等待总时间恰为120分钟”，事件“选择的3个项目中至少包含1个互动类项目”， 因为全部的项目数为15个，其中互动类项目有3个，则事件共包含了种； 在事件的条件下，等待总时间恰为120分钟，此时的可能情况有： ①一个互动类项目，一个体验类项目，一个演出类项目，此时共有种情况； ②两个互动类项目，一个体验类项目，此时共有种情况. 由条件概率公式得. （3）设小王参加第二关获得的游园币数为随机变量，则所有可能取值为， 则 所以. 所以，当时，，不建议小王继续闯关； 当时，，小王可根据自己的情况随机选择； 当时，，建议小王继续闯关. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 第7章  概率初步 （6个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 清单02 条件概率性质 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 清单03 全概率公式 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 清单04 贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 清单05 均值和方差 （1） （2） 清单06 均值与方程性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. ③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【考点题型一】条件概率及其性质应用（） 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 【变式1-1】.（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（2024·上海奉贤·三模）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高二下·上海奉贤·期中）掷一颗骰子所得的样本空间为．令事件，．则 ． 【考点题型二】全概率公式及其应用（） 【例2】.（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【变式2-1】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 【变式2-2】.（24-25高二下·上海奉贤·期中）（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为； （2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为； （3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为； （4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为． 则从小到大的顺序为： ． 【变式2-3】.（2025·上海长宁·二模）某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 【考点题型三】贝叶斯公式及其应用（） 【例3】（22-23高三下·浙江·开学考试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是 ． 【变式3-1】.（23-24高三上·广东深圳·期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（25-26高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 【变式3-3】.（24-25高三·上海·课堂例题）用一项血液化验来鉴别某人是否患有一种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是 ．（精确到0.001） 【变式3-4】.（24-25高三·上海·课堂例题）设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为 . 【考点题型四】离散型随机变量分布列均值，方差（） 【例4】（24-25高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【变式4-1】.（24-25高三下·上海金山·阶段练习）某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店和，通过一段时间的经营统计，店和店每日销售的蛋糕数的分布列如表： 3 4 5 6 2 4 6 (1)求店在3天共卖出15个蛋糕的概率； (2)为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，《中华人民共和国反食品浪费法》自2021年4月29日起施行，蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理．该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产10个蛋糕给两家连锁店， ①若分配给店4个蛋糕，店6个蛋糕，求该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； ②那么在市场需求不变的情况下如何分配这10个蛋糕最优？请说明理由 【变式4-2】.（25-26高三上·上海·单元测试）已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 【变式4-3】.（23-24高二下·上海·阶段练习）一出租车司机从某饭店到火车站途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是． (1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差． (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差． 【变式4-4】.（23-24高三上·上海长宁·期中）有3男､2女共5位学生，从中随机选取3人参加创建文明城区宣传活动，用随机变量X､Y分别表示被选中的男生､女生人数. (1)写出的分布，并求的值； (2)求的值. 【考点题型五】均值和方差的性质（） 【例5】（24-25高三·上海·随堂练习）已知某随机变量ξ的分布为，则 ． 【变式5-1】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 【变式5-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）以下命题中正确的有 （填序号） ①若是常数，则； ②若，则是常数； ③如果是随机变量，，那么； ④若分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，则. 【变式5-3】.（25-26高三上·上海·单元测试）已知随机变量X服从二项分布，且，则 ． 【变式5-4】.（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）随机变量服从二项分布，则 . 【考点题型六】独立重复试验与二项分布模型（） 【例6】（24-25高二下·上海宝山·期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%. (1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ； (2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差. 【变式6-1】.（24-25高二下·上海普陀·期中）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，其中，技能测试是否通过相互独立． (1)若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为，求的值； (2)已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求的取值范围． 【变式6-2】.（2025·上海浦东新·二模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【变式6-3】.（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）2024年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动如下：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，且顾客有放回地抽取3次．超市设计了两种抽奖方案． 方案一：若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券． 方案二：若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖． (1)现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率； (2)若某顾客获得抽奖机会． ①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望； ②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？ 【变式6-4】.（2024·上海普陀·二模）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. (1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； (2)用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 【考点题型七】超几何分布模型（（） 【例7】（2015·吉林·三模）某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.    年级名次 是否近视 近视 不近视 (1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数； (2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据分布概率表中的数据，能否有的把握认为视力与学习成绩有关系？请说明理由； (3)在（2）中调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这人中任取人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望. 附： .其中. 【变式7-1】.（2025·河北石家庄·三模）某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图. (1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望. 【变式7-2】.（2025·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【变式7-3】.（24-25高二下·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【考点题型八】正态分布模型（） 【例8】（24-25高二下·上海·期中）据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 ． 附： ． 【变式8-1】.（24-25高二下·山东临沂·期中）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 【变式8-2】.（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图： (1)试根据频率分布直方图，求的值以及样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算）． （i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数（精确到个位）； （ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望． 附注：若，，，. 【变式8-3】.（2024·上海虹口·二模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 【变式8-4】.（23-24高二下·浙江·期中）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元； 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元. (1)若用方案一，求的分布列与数学期望； (2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由； (3)若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则 【考点题型九】正态分布模型中的实际问题（） 【例9】（2024安徽淮南·一模）年月日时分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了打印的薄壁蒙皮点阵结构.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.随着技术不断成熟，打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台打印设备打印出品的零件内径（单位：）服从正态分布. (1)若该台打印了件这种零件，记表示这件零件中内径指标值位于区间的产品件数，求； (2)该科技公司到企业安装调试这台打印设备后，试打了个零件.度量其内径分别为（单位：）：、、、、，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？ 参考数据：，，， 【变式9-1】.（2025·湖南·模拟预测）在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且. (1)若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数； (2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）. 参考数据：若，则. 【变式9-2】.（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【变式9-3】.（23-24高二下·安徽阜阳·阶段练习）水稻苗经过一个培育周期的生长株高达到8cm左右时最适宜播种，过高或过低都会影响后期的生产管理.根据长期的试验观察，在正常的培育环境下水稻苗经过一个培育周期生长的株高服从正态分布，并且符合原则.为了监控水稻苗的生长状况，检验员会从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取20株，并测量其株高(单位:cm). (1)把株高在之外的水稻苗称作异常苗，记表示异常苗的数量，求可能取值的个数、及. (2)监控部门要求，如果在抽取的水稻苗中出现了异常苗，就认定这个培育周期的培育环境出现了异常情况，需要对培育环境进行检查和修正. （ⅰ）监控部门的要求合理吗？请说明理由. （ⅱ）下面是检验员从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取的20株水稻苗的株高： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 株高/cm 7.98 8.01 8.00 8.03 7.99 7.83 7.99 8.28 7.05 7.69 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 株商/cm 8.00 8.41 7.75 8.38 7.72 7.69 8.04 8.29 7.82 8.05 其中， 为抽取的第株水稻苗的株高，.请判断是否需对这个培育周期的培育环境进行检查和修正？若要修正，剔除异常苗的株高，求余下的数据估计和(精确到0.01). 附:若随机变量X服从正态分布，则， 【考点题型十】概率与数列（） 【例10】（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二（6）班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为 . 【变式10-1】.（24-25高二下·上海·期中）我校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在文夫楼的一楼或二楼的一个餐厅用餐，经统计，当天在一楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到二楼餐厅用午餐；而当天在二楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到一楼餐厅用楼午餐，则一学期后，在一楼餐厅用午餐的学生数大约为（   ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【变式10-2】.（24-25高二下·上海·期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ．（精确到0.001） 【变式10-3】.（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）某大型超市为回馈广大顾客，开展消费抽奖活动，每消费满500元可参与一次抽奖（一个小盒里放入6个除颜色外其他都相同的小球，其中4个黑球和2个红球），顾客可自由选择抽奖方式．一次抽奖规则如下： 方案一：顾客一次性从中随机抽取2个小球． 方案二：顾客从中随机抽取1个小球，若取到红球，则将该红球放回盒中并再往盒中加入1个红球；若取出黑球，则将该黑球换成红球放回盒中，再从盒中随机抽取1个小球．奖励规则如下： 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 100元 80元 50元 (1)顾客参与一次抽奖，求两种方案所得奖金的期望，并比较选择哪个方案所得奖金的期望更大． (2)顾客甲消费了1500元，若他每次抽奖选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，求他抽奖获得的奖金总额的期望． (3)若该超市对消费不足500元的顾客设置一个幸运抽奖环节（一个小盒里仍然是4个黑球和2个红球）：顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份，下一位顾客继续抽奖直至红球取完为止．求第位顾客抽奖时，恰好获得最后一份幸运礼品的概率． 【考点题型十一】借助导数求概率中的最值问题（） 【例11】（23-24高二下·江苏·阶段练习）2022年2月4日北京冬季奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，与此同时，也带火了相关产业.某体育销售公司对销售人员的奖励制度如下：（假设为月销售量，单位是件）①当时，当月给奖金1000元；②当时，当月给奖金3000元；③当时，当月给奖金10000元.已知该产品的月销售量. (1)该公司销售人员的月奖金大约为多少元？（精确到整数位） (2)现从该公司一批产品中，随机抽出9件产品进行检验.已知该产品是合格品的概率为，记这9件产品中恰有3件不合格品的概率为，试问当等于多少时，取得最大值？ （参考数据：若，则 【变式11-1】.（24-25高二下·云南昆明·期中）为降低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品. (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中二等品的件数，求的数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元／件） 1 0.5 ①求2件减排器的利润不少于1万元的概率； ②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：，）. 【变式11-2】.（24-25高二下·山东·期中）已知两个袋子中均装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球.袋中红球和白球共9个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个红球的概率为；从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选袋的概率为． (1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率． (2)求在一轮中乙摸出红球的概率． (3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由． 【变式11-3】.（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为 ． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值； (2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； 通过①，②的计算结果，你发现了什么规律； (3)若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1． 参考数据：若，则， ，， ，， 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海普陀·期中）某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ； 2．（2025·上海闵行·二模）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率为 ． 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二（6）班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为 . 6．（24-25高三下·上海金山·阶段练习）某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则 ，则诊断结果是阳性概率 ，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为 ． 7．（24-25高二下·上海奉贤·期中）（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为； （2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为； （3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为； （4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为． 则从小到大的顺序为： ． 8．（2025·上海长宁·二模）某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 二、单选题 9．（2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（   ） ①； ②． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 10．（24-25高一下·上海奉贤·期中）足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（    ） A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立 C．①②都成立 D．①②都不成立 11．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 三、解答题 12．（2025·上海浦东新·三模）申辉中学机器人兴趣小组，进行某款机器人研发学习活动.该机器人被设计从数轴上的原点出发，机器人每一步只能选择向数轴正方向或向负方向行走1个单位.设机器人第步选择向正方向行走的概率为.设行走步后机器人所在位置对应的数为随机变量. (1)兴趣小组成员小浦对机器人行走的步数和机器人所在位置进行了观察记录，记录数据如下： n 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 请求出变量和之间的线性相关系数： (2)若，求； (3)已知，在的条件下，求的概率. 13．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大． 14．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 15．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 (1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； (2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； (3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$