第32讲 分类讨论思想（讲练）（思维导图+思想方法分析+6种题型（含6种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第九章 常用的数学思想方法 第32讲 分类讨论思想 （思维导图+思想方法分析+6种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02数学思想·方法归纳 03题型精研·考向洞悉 ►题型01 等腰三角形中的分类讨论问题 ►题型02 分类讨论思想在圆中的应用 ►题型03分类讨论在不等式（组）中的应用 ►题型04 分类讨论思想在方程与函数中的应用 ►题型05 分类讨论思想在平面直角坐标系中的应用 ►题型06 分类讨论思想在三角形和四边形中的应用 04巩固提升 02知识导图·思维引航 分类讨论思想归纳 分类讨论思想在人类的思维、推理过程中起着重要作用，它实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的体现.也就是说，如果被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，就把所研究的问题划分成若干不同的情形，并把每一种情形毫无遗漏地划分到某一类中去，再进一步讨论每一类情形的特性，得出每类情况下相应的结论.运用分类讨论思想分析问题时必须掌握的原则是“不重不漏”.有些题目还需分级讨论. 分类讨论贯穿在整个初中数学内容之中，从代数式到方程、不等式、函数、三角形、四边形、相似形、图形变换、解直角三角形、圆等无处不存在着分类讨论的题目. 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 等腰三角形中的分类讨论问题 例1．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ． 在解答等腰三角形的有关问题时，若题目中没有特别说明腰与底边或顶角与底角，常要对有关情况进行分类讨论. 1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为 ． 2．（2024·河南周口·二模）如图，在矩形中，，点 E，F分别是线段的中点，将绕点 B 顺时针旋转至，点E，F 的对应点分别是，边与线段的交点为 O，当被分得的与中有一个是等腰三角形时，这个等腰三角形的面积是 ． 3．（2024·河南南阳·二模）正方形中，，点E在边上，且，点F在边上，当为等腰三角形时，的长为 ． 4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等腰中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，若，则的长为 ． ►题型02 分类讨论思想在圆中的应用 例题2．已知在中，弦的长等于半径的倍，则弦所对的圆周角为 ． 有一类与圆有关的计算问题，常会遇到多解的情况，这类题一般都没有给出图形，解答的关键是全面分析题设条件，画出符合题意的全部图形，再分类讨论，注意防止漏解. 1．（2024·湖北宜昌·二模）如图，点O是的外心，若，求弦所对的圆周角 ． 2．（2024·黑龙江大庆·二模）已知是 的直径， 于点， 若 ，， 则的长为 ． 3．（2024·湖北·模拟预测）已知点在上，若，则的度数为 ． 4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，P是边上的一动点，以P为圆心，线段的长为半径画圆，当与边所在的直线相切时，的半径为 ． ►题型03 分类讨论在不等式（组）中的应用 例题3．（2024·重庆江津·模拟预测）若整数a使得关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的a的值之和为 ． 分类讨论思想在不等式(组)中的应用主要体现在含有字母系数的一元一次不等式(组)的解法问题，在求其解集时要对字母进行分类讨论. 1．（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a为 ． 2．（2022·四川成都·模拟预测）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、北京冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，其可爱的形象深受大家喜爱，某特许商家计划采购两款奥运吉祥物毛绒玩具，每件“冰墩墩”毛绒玩具的进价比每件“雪容融”毛绒玩具的进价多20元，且购买20件“冰墩墩”毛绒玩具和10件“雪容融”毛绒玩具共需3400元． (1)求购买一件“冰墩墩”毛绒玩具、一件“雪容融”毛绒玩具各需多少元； (2)考虑顾客需求，要求购买“冰墩墩”毛绒玩具的数量不少于“雪容融”毛绒玩具数量的2倍，且“雪容融”毛绒玩具的数量不少于80件．如果该商家刚好用了30600元购进这两种毛绒玩具，那么该商家有哪几种进货方案？ 3．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架． 为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 4．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． ►题型04 分类讨论思想在方程与函数中的应用 例题4．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 分类讨论思想在方程与函数中的应用主要体现在确定方程与函数的类型时进行分类讨论.若题目中没有明确方程、函数的类型，通常应分情况进行讨论. 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点引一条直线交反比例函数的图象于点，同时，该直线与轴交于点，若与相似，则点的纵坐标可能是 ． 2．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？ 3．（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，． (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． (1)求点的坐标和抛物线的表达式； (2)为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，． ①点在轴上自由运动，当时，请求的值； ②连接，当点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． ►题型05 分类讨论思想在平面直角坐标系中的应用 例题5．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，点绕点顺时针旋转到点，连接，，若为直角三角形，则点到轴的距离为 ． 在平面直角坐标系中，经常借助坐标轴求以一条已知线段为一边的等腰三角形的个数，此时要注意分情况讨论. 1．（2024·广西桂林·一模）在平面直角坐标系中，已知，线段平行于x轴，且，则 ． 2．（2024·湖北荆州·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的顶点O的坐标是，顶点A的坐标是，则顶点B的坐标是 ． 3．（2024·江西·二模）如图，已知正六边形的边长为6，连接，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，是射线上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是 . 4．（2024·江西九江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点， ，为的中点，点为矩形边上任意一点，将沿折叠得，若点在矩形的边上，则点的坐标为 ． ►题型06 分类讨论思想在三角形和四边形中的应用 例题6．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，，连接．若是等腰三角形，则旋转角的度数是 ． 在解有关三角形或四边形问题时，当有关点的位置不确定时，应根据不同的位置进行分类讨论. 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 2．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 3．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点， ①求点的坐标； ②已知点为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，． (1)求的长． (2)求a的值． (3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长． 1．（2025·山东滨州·模拟预测）三角形的三边分别为，其中，且满足，，若为整数，则的长是（    ） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 2．（22-23八年级上·山东济南·期末）已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，在等腰直角中，，、分别是边、的中点，连接、，则图中的等腰直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（   ） A． B．或 C．2 D．2或 5．等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ． 7．（2024·上海宝山·一模）若二次函数图像与一次函数（）只有一交点，则的取值范围为 ． 8．如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为 ． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时， ． 10．（2023·江苏扬州·一模）我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角中，是钝角，点是上的一点，连接，若，则称点是的“比例中点”． (1)如图2，已知点的坐标为，点在轴上，，若点是的“比例中点”，则点的坐标为______； (2)如图3，已知中，，，，若点是的“比例中点”，求； (3)如图4，已知是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由． 11．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，的长分别为的两个根（），动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A运动，同时动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，，当点N运动到点C时，点M也同时停止运动，当两动点运动了t秒时，记的面积为S． (1)求直线的解析式； (2)求S关于t的函数关系式； (3)点P在运动过程中，坐标平面内是否存在一点Q，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 13．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式． (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2023·山东泰安·二模）抛物线过三点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，交于点E，若满足，求点的坐标； (3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由． $$第九章 常用的数学思想方法 第32讲 分类讨论思想 （思维导图+思想方法分析+6种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！74 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02数学思想·方法归纳 03题型精研·考向洞悉 ►题型01 等腰三角形中的分类讨论问题 ►题型02 分类讨论思想在圆中的应用 ►题型03分类讨论在不等式（组）中的应用 ►题型04 分类讨论思想在方程与函数中的应用 ►题型05 分类讨论思想在平面直角坐标系中的应用 ►题型06 分类讨论思想在三角形和四边形中的应用 04巩固提升 02知识导图·思维引航 分类讨论思想归纳 分类讨论思想在人类的思维、推理过程中起着重要作用，它实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的体现.也就是说，如果被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，就把所研究的问题划分成若干不同的情形，并把每一种情形毫无遗漏地划分到某一类中去，再进一步讨论每一类情形的特性，得出每类情况下相应的结论.运用分类讨论思想分析问题时必须掌握的原则是“不重不漏”.有些题目还需分级讨论. 分类讨论贯穿在整个初中数学内容之中，从代数式到方程、不等式、函数、三角形、四边形、相似形、图形变换、解直角三角形、圆等无处不存在着分类讨论的题目. 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 等腰三角形中的分类讨论问题 例1．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ． 【答案】17 【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性可得：，从而可得，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，从而进行计算即可解答． 【解析】解：∵， ∴， 解得：， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时， ∴的周长； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时， ∵， ∴不能组成三角形； 综上所述：的周长是17， 故答案为：17． 在解答等腰三角形的有关问题时，若题目中没有特别说明腰与底边或顶角与底角，常要对有关情况进行分类讨论. 1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【解析】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ，， ， 即顶角的度数为； ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ，， ， ， 即顶角的度数为 综上，顶角的度数为或 故答案为：或． 2．（2024·河南周口·二模）如图，在矩形中，，点 E，F分别是线段的中点，将绕点 B 顺时针旋转至，点E，F 的对应点分别是，边与线段的交点为 O，当被分得的与中有一个是等腰三角形时，这个等腰三角形的面积是 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、正切的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键 根据矩形的性质及勾股定理可得，再根据中点的定义、中位线的性质可得、；再根据旋转的性质可得,,，然后再分解或是等腰三角形两种情况解答即可． 【解析】解：∵矩形中，， ∴, ∵点 E，F分别是线段的中点， ∴,, ∵将绕点 B 顺时针旋转至， ∴,,； 当是等腰三角形，即, ∵， ∴； 当是等腰三角形，即, 如图：过O作, ∴, ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：2或． 3．（2024·河南南阳·二模）正方形中，，点E在边上，且，点F在边上，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理．利用等腰三角形的性质和正方形的性质分类讨论：先利用勾股定理求得，①当时，利用勾股定理求解即可；②当时，利用勾股定理求出的长；③当时，设，则，利用勾股定理列式，进行计算即可求解． 【解析】解：∵正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ①当时，如图， 由勾股定理得； ②当时， 由勾股定理得，不符合题意，舍去； ③当时，如图， 设，则， ， ， 解得：， ； 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等腰中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形中的翻折问题，当时，分两种情况：①当点在下方；②当点在上方，解直角三角形求解即可 【解析】解：当时，分两种情况： ①当点在下方时，如图， 设与的交点为, ∵，， ∴， 由折叠得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得，； ②当点在上方时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为或 故答案为：或 ►题型02 分类讨论思想在圆中的应用 例题2．已知在中，弦的长等于半径的倍，则弦所对的圆周角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，则，，由余弦，求出，则，最后由圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求解． 【解析】解：如图，过作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角为或， 故答案为：或． 有一类与圆有关的计算问题，常会遇到多解的情况，这类题一般都没有给出图形，解答的关键是全面分析题设条件，画出符合题意的全部图形，再分类讨论，注意防止漏解. 1．（2024·湖北宜昌·二模）如图，点O是的外心，若，求弦所对的圆周角 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，分两种情况：当是锐角三角形时；当是钝角三角形时，分别求解即可得解． 【解析】解：当是锐角三角形时， ∵， ∴， 当是钝角三角形时， ∵， ∴， 综上所述，弦所对的圆周角为或， 故答案为：或． 2．（2024·黑龙江大庆·二模）已知是 的直径， 于点， 若 ，， 则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理的应用，根据题意做出图形是本题的解题关键，注意分类讨论．结合垂径定理和勾股定理，在中，求得的长，则或，据此即可求解． 【解析】解：如图，连接， 的直径， ， 于点， ， 在中，， ， 如图： 同理，可求得， 此时， 故的长是或， 故答案为：或． 3．（2024·湖北·模拟预测）已知点在上，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是圆周角定理，分两种情况，由圆周角定理即可求得的度数，然后由圆的内接四边形的性质求得的度数. 【解析】解：如图， 当点在位置时， ， ， ， ， 综上， 的度数为或 ， 故答案为：或 4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，P是边上的一动点，以P为圆心，线段的长为半径画圆，当与边所在的直线相切时，的半径为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，切线的性质．分三种情况讨论，利用切线的性质结合解直角三角形即可求解． 【解析】解：∵菱形，， ∴，， 如图，当与直线相切时，切点为，连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当与直线相切时，切点为，连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当与直线相切时，切点为，连接，作于点，则，四边形是矩形， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的半径为或或． 故答案为：或或． ►题型03 分类讨论在不等式（组）中的应用 例题3．（2024·重庆江津·模拟预测）若整数a使得关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程；根据不等式组有解求出字母a的取值范围，再由分式方程有非负整数解，也可求得字母a的取值范围，从而最终确定a的范围，则可得到所有整数a的值，即可求得所有a的值的和． 【解析】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∵关于x的不等式组有解， ∴； 解， ， ∵方程有非负整数解， ∴是非负整数，且， ， 且， ∴或或或或， 解得：或或或或， ∴满足条件的a的值之和为， 故答案为：． 分类讨论思想在不等式(组)中的应用主要体现在含有字母系数的一元一次不等式(组)的解法问题，在求其解集时要对字母进行分类讨论. 1．（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a为 ． 【答案】1，3 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解、解分式方程及其解的问题，熟练掌握相关解法是解答的关键．本题先解不等式组中的每个不等式，再根据解的情况得到关于a的不等式；再解分式方程，根据其解的情况得到a的不等式，进而求得a的取值范围，即可得出结论． 【解析】解：解不等式组，得， ∵该不等式组的解至少有2个整数解， ∴，解得； 解分式方程， 去分母，得， 解得， ∵该分式方程有非负整数解， ∴且且a为奇数， 解得且且a为奇数， ∴且且a为奇数， ∴所有满足条件的整数a为1和3， 故答案为：1，3． 2．（2022·四川成都·模拟预测）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、北京冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，其可爱的形象深受大家喜爱，某特许商家计划采购两款奥运吉祥物毛绒玩具，每件“冰墩墩”毛绒玩具的进价比每件“雪容融”毛绒玩具的进价多20元，且购买20件“冰墩墩”毛绒玩具和10件“雪容融”毛绒玩具共需3400元． (1)求购买一件“冰墩墩”毛绒玩具、一件“雪容融”毛绒玩具各需多少元； (2)考虑顾客需求，要求购买“冰墩墩”毛绒玩具的数量不少于“雪容融”毛绒玩具数量的2倍，且“雪容融”毛绒玩具的数量不少于80件．如果该商家刚好用了30600元购进这两种毛绒玩具，那么该商家有哪几种进货方案？ 【答案】(1)购买一件“冰墩墩”毛绒玩具需要120元，则购买一件“雪容融”毛绒玩具需要100元 (2)商家有2种进货方案．方案一：购买“雪容融”毛绒玩具84个，购买“冰墩墩”毛绒玩具185个；方案二：购买“雪容融”毛绒玩具90个，购买“冰墩墩”毛绒玩具180个 【分析】本题考查一元一次方程及不等式组的应用．得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键；难点是根据总价得到“冰墩墩”毛绒玩具的个数；易错点是根据“冰墩墩”毛绒玩具的个数为正整数得到符合题意的解． （1）根据购买20件“冰墩墩”毛绒玩具和10件“雪容融”毛绒玩具共需3400元列出方程求解即可； （2）设购买“雪容融”毛绒玩具a个，根据总价得到购买“冰墩墩”毛绒玩具的个数，进而根据购买“冰墩墩”毛绒玩具的数量不少于“雪容融”毛绒玩具数量的2倍，且“雪容融”毛绒玩具的数量不少于80件列出不等式组求解，找到符合题意的解即可． 【解析】（1）解：设购买一件“冰墩墩”毛绒玩具需要x元，则购买一件“雪容融”毛绒玩具需要元． 根据题意，得：． 解得：． ∴． 答：购买一件“冰墩墩”毛绒玩具需要120元，则购买一件“雪容融”毛绒玩具需要100元； （2）解：设购买“雪容融”毛绒玩具a个，则购买“冰墩墩”毛绒玩具个． 根据题意得：． 解得：． ∵为正整数， ∴a可取的整数值为84，90． ∴商家有2种进货方案． 方案一：购买“雪容融”毛绒玩具84个，购买“冰墩墩”毛绒玩具185个； 方案二：购买“雪容融”毛绒玩具90个，购买“冰墩墩”毛绒玩具180个． 3．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架． 为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】(1)①；②米 (2)1.6米 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可； ②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （2）根据已知条件表示出、的坐标得到a的不等式，进而得到的最大值． 【解析】（1）解：①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知：，，， 设改造前的抛物线解析式为， ， 解得：， ∴改造前的抛物线的函数表达式为；    ②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系， 由①知改造前抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设改造后抛物线解析式为：， ∵调整后C与E上升相同的高度，且， ∴对称轴为直线，则有， 当时，， ， ，， 改造后抛物线解析式为：， 当时， 改造前：， 改造后：， 米， ∴的长度为米； （2）解：如图，设改造后抛物线解析式为，    ∵当时，， 当时，， ，， ， 由题意可列不等式：， 解得：， ， 要使最大，需a最小， ∴当时，的值最大，最大值为米． 4．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)当为第天时日销售额最大，最大为元 (3)元 【分析】（1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系； （2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论； （3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解． 【解析】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， ∴当时，， ∴当时，写出与的关系式为：； （2）由题意得，销售量为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为， 综上所述，当时，取最大值为， 答：当为第天时日销售额最大，最大为元； （3）当时， ， 当时，取最大值为：， ∵， ∴时不可能获得较大利润． 当时，， 当时，取最大值为，得：， 当时， 解得：或， ∴当时，， ∴获得较大利润天数为天， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为元． ►题型04 分类讨论思想在方程与函数中的应用 例题4．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．分和两种情况，分别求解即可． 【解析】解：对于关于的方程， 当时，可有，解得； 当时，该方程为一元二次方程， 则有， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 分类讨论思想在方程与函数中的应用主要体现在确定方程与函数的类型时进行分类讨论.若题目中没有明确方程、函数的类型，通常应分情况进行讨论. 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点引一条直线交反比例函数的图象于点，同时，该直线与轴交于点，若与相似，则点的纵坐标可能是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数上点的坐标，相似三角形的性质，先得到，然后根据相似可得或，然后分为两种情况：时直接求出点D的坐标，当时，过点作轴于点，根据，求出点D的坐标，额然后根据平行线分线段成比例求出长即可解题 【解析】解：∵点，点在y轴上， ∴， 又∵与相似， ∴或， 当时，如图， 则点D的横坐标为， 这时， ∴， ∴，即点C的纵坐标为， 当，如图，过点作轴于点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点D的坐标为， 则，解得：， ∴点D的坐标为或， 当点D的坐标为时，，即， 解得，这时点C的纵坐标为； 当点D的坐标为时，，即， 解得：，这时点C的纵坐标为； 故答案为：或． 2．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？ 【答案】1或4 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法． 根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论． 【解析】解：设出发后秒时，． 四边形是菱形，，， ，，，， ， 当时，点在线段上，点在线段上． 此时，， 则； 解得，（舍去） 当时，点在线段上，点在线段上， 此时， 则；化简为， 此时方程，原方程无实数解； 当时，点在线段上，点在线段上， 此时，， 则； 解得（舍去）， 综上所述，出发后或时，． 故答案为：1或4． 3．（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，． (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 【答案】(1)①见解析；②2或 (2) 【分析】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，， 由“”可证，可得，即可求解； ②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解； （2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解． 【解析】（1）① 如图， 过点D作于G，于 H， 连接．   是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形； ② 如图， 过点 F作于 N．    ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． 设， 则． ， ， 或 ∴或 ， （2）设等腰的直角顶点为 D， 若 D 在上， 如图3．    取的中点Q， 连接， 则 ∵是直角边长为1的等腰直角三角形()． ∴当C、Q、D共线时， 最长， 则 ∴在等腰中， 当时，的长最大． 最大为2． 若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．    由知 设． 则 解得 当s取最大值时，    ∴的最大值为 ． 综上，的最大值为 ． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． (1)求点的坐标和抛物线的表达式； (2)为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，． ①点在轴上自由运动，当时，请求的值； ②连接，当点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①的值为或；②点的坐标为或 【分析】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数图象的性质、相似三角形的性质，需注意的是，要分两种情况讨论两个三角形相似，避免漏解． （1）先将点坐标代入直线解析式求出的值，从而可求得点坐标；再由、两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）①利用点坐标、直线解析式、抛物线的解析式可求出点、的坐标，从而可求得、用表示的代数式，利用求即可； ②要使和相似，则需分和两种情况讨论，然后利用相似三角形对应线段成比例求解即可． 【解析】（1）解：与轴交于点，与轴交于点， ，解得． ． 抛物线经过点，， ． 解得． 抛物线的表达式为； （2）①由（1）可知直线的解析式为， 为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，， ，． ，． ， ． 当时，整理得，， 解得（舍去）或； 当时，整理得，， 解得（舍去）或． 综上所述，当时，的值为或； ②当点在线段上运动时， ，，． 和相似，且， 或． 分情况讨论： （i）当时，， ． 点的纵坐标为． ， 解得（舍去）或． ． ； （ii）当时，过点作轴于点， ，，． ， ． ． ． ， ． ． ． ，， ， 解得（舍去）或． ． ． 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． ►题型05 分类讨论思想在平面直角坐标系中的应用 例题5．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，点绕点顺时针旋转到点，连接，，若为直角三角形，则点到轴的距离为 ． 【答案】4，2或 【分析】本题考查了旋转过程中点的坐标的变化，根据特殊角的三角函数值求出与x轴的夹角是解题的关键；通过分类讨论，分三种情况逐个求解即可； 【解析】解：当，即点P与点B重合时，则P到轴的距离为4； 当点P与点B不重合，且时，此时P在第四象限， ，，， ， ， ，的坐标分别为，， ，， ， ， ， 和轴夹角为， 到轴的距离为， 当时，和轴夹角为， 到轴的距离为， 综上所述，到轴的距离为4，2或． 故答案为：4，2或． 在平面直角坐标系中，经常借助坐标轴求以一条已知线段为一边的等腰三角形的个数，此时要注意分情况讨论. 1．（2024·广西桂林·一模）在平面直角坐标系中，已知，线段平行于x轴，且，则 ． 【答案】或3 【分析】此题考查坐标与图形，，线段平行于x轴，得到点A在点B的左边或右边2个单位长度．由点B坐标为，则或，即可得到答案． 【解析】解：∵，线段平行于x轴， ∴点A在点B的左边或右边2个单位长度． 又∵点B坐标为， ∴或， 即a的值为或3． 故答案为：或3． 2．（2024·湖北荆州·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的顶点O的坐标是，顶点A的坐标是，则顶点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．根据题意可知，点可以在第一象限和第二象限，分别针对两种情况计算即可． 【解析】解：情况1：如图，当点在第一象限时，过点作轴，过点作轴，作轴，过点作轴交延长线于点， ，， ，又， ， ，， ，， ， 又 ， ， ， 又， ， ，， ，， 顶点B的坐标是. 情况2：当点在第二象限时，过点作轴，轴，过点作轴交延长线于点，交轴于点，如图， ，， 四边形为平行四边形， 又轴，即， 四边形为矩形， ， 同理可证四边形为矩形， ， ，， ，又，， ， ，， ，， 顶点B的坐标是． 综上分析可知：点B的坐标为或． 故答案为：或． 3．（2024·江西·二模）如图，已知正六边形的边长为6，连接，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，是射线上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是 . 【答案】或或 【分析】本题考查了正六边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形，分三种情况：当时；当时；当时；分别作出图形，利用等腰三角形的性质、解直角三角形，求解即可得出答案，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【解析】解：如图，作于， 正六边形的边长为6， ，，， ， ，， ， ， 是等腰三角形， ∴如图，当时，则， ， 延长交轴于，则轴， ， ， ，故此时； 如图，当时，作轴于， ， 则，，故此时； 如图，当时，作于，轴于， 则， ，，故此时； 综上所述，点的坐标可能是或或， 故答案为：或或． 4．（2024·江西九江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点， ，为的中点，点为矩形边上任意一点，将沿折叠得，若点在矩形的边上，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是掌握折叠的性质．分为三种情况讨论：当点在上时，过点作于点；当点在上时，过点作于点；当点在上时；根据矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【解析】解：点，，四边形是矩形， ，，， 为的中点， ， 如图，当点在上时，过点作于点，   ， 四边形是矩形， ，， 由折叠可得：， ， ， ； 如图，当点在上时，过点作于点，    同理可证，四边形是矩形， ，， 由折叠可得：， ， ， ； 如图，当点在上时，    由折叠可得：， 为的中点， ， 此时点与重合， ， 综上所述，点的坐标为或或． ►题型06 分类讨论思想在三角形和四边形中的应用 例题6．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，，连接．若是等腰三角形，则旋转角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是注意进行分类讨论，根据正方形性质得出，，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形求出结果即可． 【解析】解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据旋转可知：， ∴， 当时，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 当时， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 当时， ∴，此时点P与点B或点D重合，不适合题意舍去 综上分析可知：旋转角的度数是或． 故答案为：或． 在解有关三角形或四边形问题时，当有关点的位置不确定时，应根据不同的位置进行分类讨论. 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2)①；②，当时，的周长最大，最大值是． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标用建立方程组求解即可； ②先表示出，然后建立三角形的周长和m的函数关系式，确定出最大值． 【解析】（1）解：直线经过点， ， ， 直线解析式为， 点在此直线上，点的横坐标为，则， 点的纵坐标为， ， 抛物线交于、两点， ， ， 抛物线解析式为． （2）解：∵点的横坐标为，则设， ∴， 过点作轴的平行线，与直线交于点，则点的纵坐标为， ∴，则， 点， ， ①当点在轴上方时， ，是钝角， ，， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 或舍， 当时，是等腰三角形； ②当点P在x轴下方时，， ， ，则，点， ，， ，， ∴的周长 ， ∵， 当时，， 当时，的周长最大，最大值是． 2．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，； (3)或或． 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，即可． （1）把点，的坐标代入函数解析式，即可； （2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交AB于点H，求出，根据，即可； （3）根据函数平移的性质，则平移的函数解析式：，根据点为点的对应点，求出点的坐标，平移后的抛物线与轴交于点，求出点的坐标，根据两点间的距离公式，求出，，，分类讨论等腰三角形的形状，即可． 【解析】（1）∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，设， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∴当时，面积最大值为， 此时． （3）抛物线整理得：， ∴平移后的抛物线表达式为：， ∵点为点的对应点，， ∴点， ∵平移后的抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴点， 设点， ∴，，， 当时，则，解得：， ∴点的坐标为：； 当时，则，解得：， ∴点的坐标为：， 检验得点，点，点三点不共线． 综上所述，点的坐标为：或或． 3．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点， ①求点的坐标； ②已知点为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点作轴交于，设，则，求出，再根据并结合二次函数的性质求解即可； （3）①由平移的性质得出平移后的抛物线的解析式为，联立得出，求解即可；②设，，再分三种情况：当为边，点在点的上方时；当为边，点在点的上下方时；当为对角线时；分别利用菱形的性质求解即可． 【解析】（1）解：∵抛物线经过点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，为； （3）解：①∵， ∴将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线为， 令， 解得， ∴； ②存在； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设，， ∵以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∴当为边，点在点的上方时， ， 解得：， 此时； 当为边，点在点的上下方时， ， 解得：或， 此时或； 当为对角线时， ， 解得：， 此时； 综上所述，点的坐标为或或或． 4．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，． (1)求的长． (2)求a的值． (3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)1 (2)1 (3)或 【分析】（1）由菱形可得，根据二次函数对称性可得，再根据求解即可； （2）设则代入计算即可； （3）过点C作 于点N，设直线交射线与点M，连接，根据菱形的性质及解三角形得出，再由旋转的性质分三种情况讨论：①当以为直角顶点时，②当以A为直角顶点时，③当以为直角顶点时，分别利用旋转的性质，相似三角形的判定和性质及解一元二次方程求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵二次函数对称轴为轴， B，C，D在二次函数的图象上， ， ； （2）解：由（1）可得，，， 设则 代入得， 解得， ∴； （3）解：如图2，过点C作 于点N，设直线交射线与点M，连接， 在菱形中，， ， ， ， ， ∴在中，，， ∵点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，则绕点F逆时针旋转得到， ， ∵， ， ， 由是直角三角形，可知需分三种情况讨论： ①当以为直角顶点时，如图， ∵， ∴点落在的延长线上，且与点M重合， ∵， ∴， ∴点 F与点N重合， ∴， ∴； ②当以为直角顶点时，如图 ， ， ∴点落在的延长线上，且与点M重合， ，， ， 在中，， ， ； ③当以A为直角顶点时，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 化简得 ， ， 无解， 不存在此种情况，不符合题意， 综上所述，当是直角三角形时，的长为或． 1．（2025·山东滨州·模拟预测）三角形的三边分别为，其中，且满足，，若为整数，则的长是（    ） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系和解不等式组，根据三边关系列不等式求解即可． 【解析】解：∵是三角形的三边，且， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴的长是4或5， 故选：B． 2．（22-23八年级上·山东济南·期末）已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，根据直线轴得出点的纵坐标为，再结合，分两种情况点在点的左边时，点在点的右边时，分别求解即可得解． 【解析】解：∵直线轴，点A的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点在点的左边时，横坐标为，点在点的右边时，横坐标为， ∴点B的坐标为或， 故选：C． 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，在等腰直角中，，、分别是边、的中点，连接、，则图中的等腰直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线，由三线合一可得，是等腰直角三角，再由中位线可得，是等腰直角三角形，即可求解． 【解析】解：∵等腰直角中，是边的中点， ∴，，， ∴，是等腰直角三角． ∵、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形． 综上可知，图中的等腰直角三角形有：，，，，，共5个． 故选：C． 4．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（   ） A． B．或 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用、圆的切线的性质等知识，综合性较强，有一定难度．正确分情况讨论，找出抛物线的对称轴的位置是解题关键．如图（见解析），分三种情况：①当时，则点在与垂直的直线上运动（不含点），②当时，则点在与垂直的直线上运动（不含点），③当时，则点在以为直径的圆上运动，圆心为的中点，判断出这个抛物线的对称轴（图中的和）与相切，由此计算即可得． 【解析】解：由题意可知，有以下三种情况： ①如图，当时，，为直角三角形， 则点在与垂直的直线上运动（不含点），且M点是与抛物线对称轴的交点； ②当时，，为直角三角形， 则点在与垂直的直线上运动（不含点），且M点是与抛物线对称轴的交点； ③当时，，为直角三角形， 则点在以为直径的圆上运动，圆心为的中点； ∵， ∴，的半径为， 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形， ∴这个抛物线的对称轴（图中的和）与相切时，只有一个点M，使为直角三角形； ∴， 解得或， ∴或， 故选：D． 5．等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案． 【解析】解：当角为顶角时，则顶角为， 当角为底角时，则两个底角和为，求得顶角为， 故选：D． 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ． 【答案】0或8 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得或，分两种情况：①和②，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【解析】解：∵关于的一元二次方程的两实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ①当时，这个方程有两个相等的实数根， 则这个方程根的判别式， 解得或； ②当时，则，符合题意； 综上，的值为0或8， 故答案为：0或8． 7．（2024·上海宝山·一模）若二次函数图像与一次函数（）只有一交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合应用、一元二次方程的根的判别式等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．分三种情况讨论：首先令，整理并结合一元二次方程的根的判别式确定；再确定一次函数的图像经过点、，结合二次函数图像与一次函数图像只有一交点，可得关于的不等式组并求解；当时，抛物线经过点，计算的值，即可获得答案． 【解析】解：根据题意，令， 整理可得 ， 则， 解得， 将代入，可得， 将代入，可得， 即一次函数的图像经过点、， 对于二次函数， 当时，， 当时，， ∵当时，二次函数图像与一次函数图像只有一交点， ∴应满足 或， 解得， 当时，抛物线经过点， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 8．如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为 ． 【答案】或 【分析】先求出，则，再分分与相切和与相切两种情况考虑：利用切线的性质得到和圆的性质分别表示出的长，再在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【解析】解：四边形是正方形，点坐标为， ， ∵点是的中点， ∴． 分与相切和与相切两种情况考虑： ①当与相切时，如图1所示． 点横坐标为， ． 在中，，，， ，即， 解得：； ②当与相切时，设切点为，连接，如图2所示． ，，， 四边形为矩形， ， ． 在中，，，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）． 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时， ． 【答案】2或 【分析】本题考查勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质；先证明为等边三角形，得到，，再根据在左边或右边分情况讨论，分别画出图形，结合图形利用勾股定理计算即可． 【解析】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵将绕点D顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 当在左边时，如图，连接，，与交于点， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，如图，连接，与交于点， ∵， ∴， 中，， 综上所述，或， 故答案为：或． 10．（2023·江苏扬州·一模）我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角中，是钝角，点是上的一点，连接，若，则称点是的“比例中点”． (1)如图2，已知点的坐标为，点在轴上，，若点是的“比例中点”，则点的坐标为______； (2)如图3，已知中，，，，若点是的“比例中点”，求； (3)如图4，已知是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由． 【答案】(1)、 (2)8或18 (3)不存在，见解析 【分析】（1）过点作于点，连接，设,则，，，勾股定理得出，根据建立方程，解方程即可求解； （2）设，则，过点作于点，勾股定理得出，根据新定义建立方程，解方程即可求解； （3）同（2）的方法进行计算，得出方程无解即可求解． 【解析】（1）解：如图所示， 过点作于点，连接， ∵已知点的坐标为，点在轴上，， ∴， 设,则， ∴， 在中， ∵点是的“比例中点”， ∴， ∴ 解得：或 ∴或 当时，,，即； 当时，,，即， （2）解：∵点是的“比例中点”， ∴ 设，则， 如图所示，过点作于点， ∵中，，，， ∴，， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）设点是的“比例中点”设等边三角形的边长为 ∴ 设，则， 如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无解， ∴等边三角形有没有“比例中点”． 11．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，的长分别为的两个根（），动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A运动，同时动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，，当点N运动到点C时，点M也同时停止运动，当两动点运动了t秒时，记的面积为S． (1)求直线的解析式； (2)求S关于t的函数关系式； (3)点P在运动过程中，坐标平面内是否存在一点Q，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）解一元二次方程，求出方程的两个根，进而求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）分在的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）根据以为顶点的四边形是菱形，得到为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； （2）解：∵矩形， ∴， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 延长交轴于点，则：四边形和四边形均为矩形， 当三点共线时，则：， ∴，解得：， ∴当时，如图： 则：， ∴， ∴； 当时，如图： 同法可得：， 综上：； （3）存在； ∵点在线段上， ∴设， ∵以为顶点的四边形是菱形，则必为等腰三角形， ∵， ∴， 当时：，解得：（舍去）或， ∴， 此时，且，点在点上方， ∴； 当时：，解得：或（舍去）； ∴， 此时，且，点在点下方， ∴； 当时，，解得：， ∴， 此时为菱形的对角线，的中点坐标为， ∴的中点也为， ∴； 综上：或或． 12．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)能．或 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【解析】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 13．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式． (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)，或，或，． 【分析】（1）设抛物线的解析式为．将点的坐标代入函数解析式求得系数的值即可； （2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标； （3）存在．假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．分类讨论：平行四边形是平行四边形、平行四边形是平行四边形、四边形为平行四边形．由平行线的性质和坐标与图形的性质求得符合条件的点、点的坐标． 【解析】（1）解：抛物线过点， 因此可设抛物线的解析式为 将代入得，即 抛物线的解析式为； （2）解：， 对称轴为直线， 如图2，当时，，则， 当时，， ， ∴， ， ， ∴， 因此点的坐标为或； （3）解：存在． 假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形． 如图3，当平行四边形是平行四边形时， 此时，的横坐标为， ∴， ∴，， 当平行四边形是平行四边形时，同理，， 如图4，当四边形为平行四边形时，与互相平分，此时可设，则， 点在抛物线上， 此时，， 综上所述，，或，或，． 14．（2023·山东泰安·二模）抛物线过三点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，交于点E，若满足，求点的坐标； (3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的表达式，设点，则点，表示出即可求解； （3）分情况讨论：当时；当时；当时利用相似三角形的性质求解即可． 【解析】（1）解：把代入得：， 解得 ∴抛物线的表达式为 （2）解：设直线的表达式为 则，解得： ∴直线的表达式为 设点，则点 ∴ 设直线与直线交于点G， ∵ ∴，， 在中， ∵， ∴，解得：（舍） ∴ （3）根据题意得，为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则为等 腰直角三角形， 分三种情况： 若，如图，过点P作轴，过点Q作，过点B作 ∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 如图， 同理可证 ∴， ∴； 若，如图， 同理可证 ∴， ∴ ∴； 如图，同理可得： ∴ ∴； 若，如图， 过点Q作 同理可证 ∵ 此时不存在符合条件的P，Q 综上：点的坐标为，，，， $$