第31讲 建模思想（讲练）（思维导图+思想方法分析+6种题型（含6种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第九章 常用的数学思想方法 第31讲 建模思想 （思维导图+思想方法分析+6种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02数学思想·方法归纳 03题型精研·考向洞悉 ►题型01 构建全等三角形模型解决问题 ►题型02 构建相似三角形解决问题 ►题型03 构建直角三角形解决圆中的线段求长问题 ►题型04 构建直角三角形解决实际问题 ►题型05 构建方程模型解决问题 ►题型06 构建函数模型解决问题 04巩固提升 02知识导图·思维引航 建模思想归纳 所谓数学模型即指根据所研究的问题的一些属性、关系，用形式化的数学语言(概念、符号等)表示的一种数学结构(如多项式、方程式、函数式以及图形等).数学模型方法指先根据研究的问题建立数学模型，再通过对数学模型的探索达到解题目的的方法.此法多用于解决一些实际问题或较烦琐的数学问题. 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 构建全等三角形模型解决问题 例题1．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践 (1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ； (2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：； (3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明； (4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度． 经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形是全等三角形，根据两个三角形之间的变换关系，可以抽象出全等三角形模型，运用全等三角形模型解决问题，规律明显，一目了然。 1．（2023·黑龙江大庆·三模）如图，四边形中，°，为边上一点，连接，，为的中点，延长交的延长线于点，交于点，连接交于点． (1)求证； (2)若，，求证：四边形为矩形． 2．（2023·浙江台州·一模）在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F． (1)点C到的距离为______； (2)如图1，当点E在的外部时． ①求证：； ②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若，请直接写出的长． 3．（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 4．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，点为的中点，点在边上，以为腰作等腰直角，连接． (1)若，求证：； (2)如图1，当点在边上移动，且点在内部时，探究的大小是否变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由； (3)如图2，当点在外部时，与交于点，若，，求的长． ►题型02 构建相似三角形解决问题 例题2．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，九年级某班的数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，在操场上点C处放置一面平面镜，该小组成员从点C处沿方向移动到点D处时，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将同一平面镜沿方向移动（即）放置在F处．该小组成员从点F处沿方向移动到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得该小组成员的眼睛距地面的高度均为，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且，求出灯柱的高度．（平面镜的大小忽略不计） 对于两个相似三角形，根据已经存在的条件可把这两个三角形抽象出相似三角形模型，利用相似三角形模型证明两个三角形相似，可使问题变得既有规律，又简单明了. 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【解决问题】阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造．如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部B．于是小江在地面上的点C处放置了一个平面镜，小海从C处出发沿着方向移动，当移动到点E处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端A的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为1.6 m；然后，小江沿方向移动到点G，用测角仪测得上天台顶端A的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为1.6 m．已知点B，G，C，E在同一水平直线上，且均垂直于，求该上天台的高度． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 3．（2024·广东广州·二模）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． 请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，） 4．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ ►题型03 构建直角三角形解决圆中的线段求长问题 例题3．（2023·天津河东·一模）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长． 在几何问题中求线段的长度，通常构造直角三角形的模型，利用勾股定理、垂径定理、直角三角形的性质以及锐角三角函数来解决圆中的线段求长问题。 1．（2022·北京密云·二模）如图，在中，，以BC为直径的⊙O与AC交于点D，DE是⊙O的切线． (1)计算的度数； (2)若，，求线段DE的长． 2．（2024·湖北·三模）如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于，交于，点为的中点． (1)求证：； (2)若的半径为2，，求弦的长． 3．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，，求的长． 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线． (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． ►题型04 构建直角三角形解决实际问题 例题4．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架，，安装完毕后小明测得， ， 国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为，请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否符合国家标准？（参为数据：，结果保留整数） 在解三角形的实际应用中，通常构造直角三角形的模型，利用勾股定理、垂径定理、直角三角形的性质以及锐角三角函数来解决实际问题。 1．（2023·四川达州·模拟预测）数学兴趣小组同学开展活动，去测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线）恰好落在水平地面和斜坡上，斜坡与地面成角，在坡底处测得电线杆顶端得仰角为，在斜坡上处测得电线杆顶端的仰角为，，求电线杆的高．（结果精确到，参考数据：，） 2．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． (1)求的长； (2)求塔的高度．（，结果保留整数） 3．（2023·辽宁锦州·三模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活、如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为35°，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋点的仰角为55°，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．求房屋的高．（精确到1米、参考数据：，，，，，） 4．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） ►题型05 构建方程模型解决问题 例题5．（2024·安徽·模拟预测）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．男装、女装的单价各是多少？ 1.方程是解决问题的有效模型，通过列方程可以解决许多实际问题.从实际问题中抽象出方程模型，会把复杂的问题变得简单. 2.几何压轴题中求线段的长度通常也可以设出未知数，列出方程进行求解。 1．（2024·安徽宣城·模拟预测）安徽砀山是著名的水果之乡，现有一些箱子用来装苹果，若每只箱子装苹果25千克，则剩余40千克的苹果没有箱子装；若每只箱子装苹果30千克，则余下20只空箱子，请你帮忙计算这些箱子有多少只？ 2．（2024·安徽滁州·模拟预测）超市销售甲、乙两种商品，乙种商品的单价比甲种商品少元．由于市场供需变化，超市决定将甲种商品提价，乙种商品降价，调价后，乙种商品的单价是甲种商品的一半．求调价后甲种商品的单价． 3．（2024·安徽合肥·三模）甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．已知甲施工队单独完成这项工作需要40天． (1)求乙施工队单独完成这项工作需要多少天？ (2)如果乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，甲施工队至少要工作多少天？ 4．（2023·安徽淮北·二模）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作，已知截成的导线根数是的导线根数的3倍，求截成的导线根数． ►题型06 构建函数模型解决问题 例题6．（2025·陕西西安·二模）慕梓睿学习了二次函数后，在学校的空地上设计了一个花园，它是由两条抛物线L和围成．如图，这两个抛物线都过空地上O、A两点，且它们关于直线对称，点D、E 是抛物线L上关于对称轴对称的两点（点D在点E左侧），，再作点D 、E关于直线的对称点、，顺次连接D、E、、，得到矩形．以直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知米，抛物线L的顶点B到的距离为6米． (1)求抛物线L 的表达式； (2)若沿矩形的边围一圈篱笆，将花园内部分为不同区域种植花卉，慕梓睿通过研究发现，当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小，求篱笆总长度的最小值． 函数模型是解决实际问题的有效模型，根据实际问题中两个变量之间的关系建立合适的函数模型，运用函数的图象与性质来解决实际问题，使解决实际问题的途径变得简单，有规律可循.考查类 型：(1)用函数表示实际问题中变量之间的关系；(2)用函数解决实际问题中的最优化问题 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）吃月饼是中秋节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种月饼是五仁馅月饼和蛋黄馅月饼．某超市购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45个五仁馅月饼需要525元． (1)求蛋黄馅月饼和五仁馅月饼每个的单价； (2)超市将蛋黄馅月饼的售价定为8元，五仁馅月饼的售价定为6元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种月饼共200个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 2．（2025·陕西·一模）近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系． (1)求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式； (2)每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量． 3．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 4．（2024·江苏扬州·一模）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 05分层训练·巩固提升 1．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，为的中点，，则的面积是（    ） A．16 B． C．8 D． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，点是弧的中点，与相交于点，连接交于点．若为的中点，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 4．（2024·山东淄博·一模）如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 5．（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 6．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径且，点在圆上且，的平分线交于点，连接并过点作，垂足为，则（   ） A．3 B． C． D． 7．（2025·陕西西安·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．项目于2009年12月30日开工建设，2016年9月15日完成竣工验收．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　　） A．160 B． C．200 D． 9．（2024·青海西宁·三模）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，请根据题意列出方程 ． 10．（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人在一条直线道路上分别从A，两地同时骑摩托车出发，相向而行．当两人相遇后，甲继续向地前进甲到达地时停止运动，乙也立即调头返回地．在整个运动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离米与乙运动的时间秒之间的关系如图所示，则A，两地之间的距离为 米． 11．（2024·山西·模拟预测）实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W． 12．（2024·广东汕头·一模）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积应满足的条件是 ． 13．（2024·四川广元·一模）文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商城销售某品牌空调，该空调每台进货价为2500元，已知该商店6月份售出75台空调，8月份售出108台空调．求该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率； 调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台； 售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商城如何定价能使每天的利润最大？ 最大利润是多少？ 14．（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 15．（2024·云南昆明·一模）某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？ 16．（2025·河南·模拟预测）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点C为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点O和点C），求n的取值范围． 17．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行10海里后到达港，再沿北偏东万向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 18．（2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，． (1)若，求的长； (2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．结果保留整数参考数值， 19．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高． 同学们讨论出两种设计方案： 方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接． 方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求方案一中圆的半径； (2)求方案二中抛物线的函数表达式； (3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形） 20．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； (2)【深入探究】 E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 21．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． $$第九章 常用的数学思想方法 第31讲 建模思想 （思维导图+思想方法分析+6种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02数学思想·方法归纳 03题型精研·考向洞悉 ►题型01 构建全等三角形模型解决问题 ►题型02 构建相似三角形解决问题 ►题型03 构建直角三角形解决圆中的线段求长问题 ►题型04 构建直角三角形解决实际问题 ►题型05 构建方程模型解决问题 ►题型06 构建函数模型解决问题 04巩固提升 02知识导图·思维引航 建模思想归纳 所谓数学模型即指根据所研究的问题的一些属性、关系，用形式化的数学语言(概念、符号等)表示的一种数学结构(如多项式、方程式、函数式以及图形等).数学模型方法指先根据研究的问题建立数学模型，再通过对数学模型的探索达到解题目的的方法.此法多用于解决一些实际问题或较烦琐的数学问题. 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 构建全等三角形模型解决问题 例题1．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践 (1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ； (2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：； (3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明； (4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度． 【答案】(1)且 (2)见解析 (3)和的面积相等，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质证明即可求解； （2）在中，，在中，，再根据，即可求解； （3）如图所示，延长到点，使得，连接，根据题意可证，再根据三角形中线平分三角形面积可求解； （4）如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，证明，易得，则可得的长；延长，过点Q作延长线于点T，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，从而得到的长． 【解析】（1）解：∵，都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴在中，， ∴，即， 故答案为：且； （2）证明：由（1）可知，且， 在中，， 在中，， ∵， ∴ ， ∴； （3）解：和的面积相等，理由如下， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中，点是中点， ∴， ∴， ∴和的面积相等； （4）解：如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，垂足为， 在中，， ∴， 如图所示，延长，过点Q作延长线于点T， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴的长度为． 经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形是全等三角形，根据两个三角形之间的变换关系，可以抽象出全等三角形模型，运用全等三角形模型解决问题，规律明显，一目了然。 1．（2023·黑龙江大庆·三模）如图，四边形中，°，为边上一点，连接，，为的中点，延长交的延长线于点，交于点，连接交于点． (1)求证； (2)若，，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到； （2）由和都是等腰直角三角形得到，则可得到，，进而可得，，于是可判断四边形为平行四边形，加上，则可判断四边形为矩形． 【解析】（1）证明：∵ ∴ ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴为斜边上的中线 ∴ （2）由（1）知，又，， ∴， ∴为等腰直角三角形． 又由（1）知， ∴，， 又和都是等腰直角三角形． ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴平行四边形为矩形， 2．（2023·浙江台州·一模）在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F． (1)点C到的距离为______； (2)如图1，当点E在的外部时． ①求证：； ②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析，② (3)或 【分析】（1）连，直接求的长即可； （2）①设交于点，证明即可； ②延长和交于点，连接，根据手拉手模型证明，，可得，，再根据等腰三角形三线合一可得． （3）分E在上方和E在下方两种情况，分别求得即可求出的长． 【解析】（1）解：连接， ∵在中，，，D是边上的中点， ∴，， ∴点C到的距离为， 故答案为：； （2）解：①设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵过点D作的垂线交射线于点F， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长和交于点，连接， ∵，，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当E在上方时，过D作于H， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当E在下方时， 同理，，， 则， 综上，或． 3．（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)图①的猜想：，证明见解析 (2)图②：，图③： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 【解析】（1）， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 4．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，点为的中点，点在边上，以为腰作等腰直角，连接． (1)若，求证：； (2)如图1，当点在边上移动，且点在内部时，探究的大小是否变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由； (3)如图2，当点在外部时，与交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不会变化，理由见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）通过推理角度得到，即可证明，得到； （2）过点作于，过点作于，根据一线三垂直模型可证明，得到，，进一步证明，由得到，即可得到； （3）过点作于点，由等腰直角三角形求出，由得到，，进而得到，即可求出，再证明，得到，代入计算即可． 【解析】（1），， ， ，， ， ， ， 又，， ， ． （2）的大小不会变化， 过点作于，过点作于， 则， ， 又∵， ， 又∵， ， ，， ∵， ， ， ， ∵， ， ， ， 故． （3）过点作于点，则， ， ， ， ∴， ∴， ， ，，， ，， 在中，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． ►题型02 构建相似三角形解决问题 例题2．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，九年级某班的数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，在操场上点C处放置一面平面镜，该小组成员从点C处沿方向移动到点D处时，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将同一平面镜沿方向移动（即）放置在F处．该小组成员从点F处沿方向移动到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得该小组成员的眼睛距地面的高度均为，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且，求出灯柱的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】灯柱的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，先证明得到，再证明列式求出的长． 【解析】解：由题意可知， ， 又 ， ， ， 又 ， ， ，即， 解得， 答：灯柱的高度为． 对于两个相似三角形，根据已经存在的条件可把这两个三角形抽象出相似三角形模型，利用相似三角形模型证明两个三角形相似，可使问题变得既有规律，又简单明了. 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【解决问题】阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造．如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部B．于是小江在地面上的点C处放置了一个平面镜，小海从C处出发沿着方向移动，当移动到点E处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端A的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为1.6 m；然后，小江沿方向移动到点G，用测角仪测得上天台顶端A的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为1.6 m．已知点B，G，C，E在同一水平直线上，且均垂直于，求该上天台的高度． 【答案】该上天台的高度为19.8米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，过点F作于点H，解，得到，设，证明，列出比例式，求出的值，进一步求出的长即可． 【解析】解：如图，过点F作于点H， 则，， 在中，， ∴． 设， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为19.8米． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 【答案】(1)旗杆的高度约为10米 (2)不可以．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用： （1）根据证明，由相似三角形的性质可得，进行计算即可； （2）旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，才可以准确得到旗杆的高度． 【解析】（1）解：由题意，可知． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∴（米）． 答：旗杆MN的高度约为10米． （2）解：不可以． 理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测旗杆影长，此时旗杆影长已发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．（理由合理即可） 3．（2024·广东广州·二模）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． 请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】塔的高度为52米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数定义和相似三角形的判定方法． 按照方案一，证明，得出，代入数据求出结果即可； 按照方案二，根据三角函数定义得出，，根据，得出，求出即可． 【解析】（方案一）解：如图， 由题意可知，， ， ， ， 即， 解得， 答：塔的高度为52米； （方案二）解：如图， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 即． 米 答：塔的高度为52.5米． 4．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【解析】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． ►题型03 构建直角三角形解决圆中的线段求长问题 例题3．（2023·天津河东·一模）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质证出，由圆周角定理得出答案； （2）连接，，证出是等边三角形，得出，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得出答案． 【解析】（1）解：连接，   与相切于点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，，   ， ， ， ， 为的切线，为切点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 半径为5， ， 是的直径， ， ， ． 在几何问题中求线段的长度，通常构造直角三角形的模型，利用勾股定理、垂径定理、直角三角形的性质以及锐角三角函数来解决圆中的线段求长问题。 1．（2022·北京密云·二模）如图，在中，，以BC为直径的⊙O与AC交于点D，DE是⊙O的切线． (1)计算的度数； (2)若，，求线段DE的长． 【答案】(1)90° (2) 【分析】（1）连接OD，BD，由直径所对圆周角等于90度得∠BDO+∠ODC=∠BDC=90°，再由切线的性质得∠BDE+∠BDO=∠ODE=90°，所以∠BDE=∠ODC，∠ADE=∠BDO，然后由OB-OC，则∠C=∠ODC，BA=BC，则∠C=∠A，所以∠A+∠ADE=90°，最后由三角形内角和定理即可求解； （2）由（1）知：∠AED=∠ADB=90°，则tan∠A===，所以AD=2BD，AE=2DE，又因为AB=BC=2，在Rt△ADB中，由勾股定理，可求出BD=2，AD=4，再在Rt△ADE中，由勾股定理可求出DE长． 【解析】（1）解：如图，连接OD，BD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDO+∠ODC=∠BDC=90°， ∴∠BDE+∠ADE=∠BDA=90°， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠BDE+∠BDO=∠ODE=90°， ∴∠BDE=∠ODC，∠ADE=∠BDO， ∵OD=OC， ∴∠C=∠ODC， ∴∠C+∠ADE=∠C+∠BDO=90°， ∵BA=BC， ∴∠C=∠A， ∴∠A+∠ADE=90°， ∴∠AED=180°-（∠A+∠ADE）=90°； （2）解：由（1）知：∠AED=∠ADB=90°， ∴tan∠A===， ∴AD=2BD，AE=2DE， ∵AB=BC=2， ∴在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2， ∴（2BD）2+BD2=（2）2， ∴BD=2， ∴AD=4， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD2， （2DE）2+DE2=42， ∴DE=． 2．（2024·湖北·三模）如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于，交于，点为的中点． (1)求证：； (2)若的半径为2，，求弦的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，结合切线的性质可得，即有，再根据垂径定理可得，易得，然后证明，即可证明结论； （2）连接，，过点作于点，首先证明为等腰直角三角形，易得，再证明，易得，利用三角函数分别求得，的值，即可获得答案． 【解析】（1）证明：如下图，连接， ∵为切线，为半径， ∴， ∴， ∵点为的中点，为半径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如下图，连接，，过点作于点， ∵，的半径为2， ∴，， ∴， ∵点为的中点，为直径， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴． 3．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形、勾股定理等： （1）连接，根据等边对等角得出，根据D 是弧的中点，可得，等量代换得出，推出，结合得出，即可证明是的切线； （2）先利用三角函数和勾股定理解求出，再证，求出，再证，根据对应边成比例列式即可求解． 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵D 是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：在 中，∵，， ∴，， 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴的半径为5， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得． 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线． (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）如图1，连接，根据等边对等角得，由垂直定义得，根据等量代换可得，即，可得结论； （2）①如图2，过O作于点H，证明，则，得； ②过点C作，连接BF，过点C作，先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得x的值，证明，列比例式可得的长，再求解即可． 【解析】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：①线段与之间满足的数量关系是， 理由如下：过O作于点H，连接， ∴， ∵，且， ∴， ∵为公共边， ∴， ∴， ∴； ②过点C作，连接，过点C作， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 由①得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ►题型04 构建直角三角形解决实际问题 例题4．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架，，安装完毕后小明测得， ， 国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为，请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否符合国家标准？（参为数据：，结果保留整数） 【答案】符合国家标准 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过 点D作于 点H，过 点E作于点P，过点D作于点P ，过点F作于点G，易得四边形为矩形，四边形为矩形，在中，求出的长，在中，求出，进而求出的长即可． 【解析】解：符合国家标准； 理 由：过 点D作于 点H，过 点E作于点P，过点D作于点Q，过点F作于点G， ∴， ∴四边形为矩形，同理可得，四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴符合国家标准． 在解三角形的实际应用中，通常构造直角三角形的模型，利用勾股定理、垂径定理、直角三角形的性质以及锐角三角函数来解决实际问题。 1．（2023·四川达州·模拟预测）数学兴趣小组同学开展活动，去测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线）恰好落在水平地面和斜坡上，斜坡与地面成角，在坡底处测得电线杆顶端得仰角为，在斜坡上处测得电线杆顶端的仰角为，，求电线杆的高．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 延长交的延长线于，做于，由三角函数求出的长，得出，设m，根据正切的定义求出，得出方程，解方程即可． 【解析】解：延长交的延长线于，作于，如图所示： 在中，，， 则，， ，， ， ， 设m， ，，， ，， ， ， 解得：； 2．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． (1)求的长； (2)求塔的高度．（，结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握仰俯角解直角三角形的方法是解题的关键． （1） 在中，根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2） 根据勾股定理可得，设，由等腰三角形的性质可得，在中，根据解直角三角形的计算方法即可求解． 【解析】（1）解：由题意得，在中，， ， ， 的长为． （2）解：由题意得， 在中，， ， ∴， 在中，设， ， ， ， 如解图，过点作，垂足为， 由题意得，， ， ， 在中， ， ， ， 解得， ， 塔的高度约为． 3．（2023·辽宁锦州·三模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活、如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为35°，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋点的仰角为55°，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．求房屋的高．（精确到1米、参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长度．过点作，根据题意得，设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解析】解：∵， ∴． ∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ∴，， ∴． 过点作，垂足为， 设． ∵， 在中，． ∵， 在中， ． ∵， ． ∵，， ∴ 解得：， ∴． 答：房屋的高为米． 4．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1)端点距离地面的高度约为； (2)的长约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得：，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【解析】（1）解：过点作，垂足为， ，， ， 在中，， ， ， ， 端点距离地面的高度约为； （2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：的长约为． ►题型05 构建方程模型解决问题 例题5．（2024·安徽·模拟预测）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．男装、女装的单价各是多少？ 【答案】男装单价为100元，女装单价为120元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设男装单价为x元，女装单价为y元，根据1套男装和1套女装共需220元，购买6套男装与购买5套女装的费用相同列出二元一次方程组求解即可得出答案． 【解析】解：设男装单价为x元，女装单价为y元， 根据题意得： 解得： 答：男装单价为100元，女装单价为120元． 1.方程是解决问题的有效模型，通过列方程可以解决许多实际问题.从实际问题中抽象出方程模型，会把复杂的问题变得简单. 2.几何压轴题中求线段的长度通常也可以设出未知数，列出方程进行求解。 1．（2024·安徽宣城·模拟预测）安徽砀山是著名的水果之乡，现有一些箱子用来装苹果，若每只箱子装苹果25千克，则剩余40千克的苹果没有箱子装；若每只箱子装苹果30千克，则余下20只空箱子，请你帮忙计算这些箱子有多少只？ 【答案】128只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这些箱子有x只，根据题意，由两种方式的苹果总重量相等列方程求解即可． 【解析】解：设这些箱子有x只， 根据题意，得， 解得， 答：这些箱子有128只． 2．（2024·安徽滁州·模拟预测）超市销售甲、乙两种商品，乙种商品的单价比甲种商品少元．由于市场供需变化，超市决定将甲种商品提价，乙种商品降价，调价后，乙种商品的单价是甲种商品的一半．求调价后甲种商品的单价． 【答案】元 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，设调价前甲种商品的单价是元，则乙种商品的单价是元，根据题意，得． 【解析】设调价前甲种商品的单价是元，则乙种商品的单价是元． 根据题意，得 解得 调价后甲种商品的单价为：(元)． 答：调价后甲种商品的单价是元． 3．（2024·安徽合肥·三模）甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．已知甲施工队单独完成这项工作需要40天． (1)求乙施工队单独完成这项工作需要多少天？ (2)如果乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，甲施工队至少要工作多少天？ 【答案】(1)乙施工队单独完成这项工作需要80天 (2)甲施工队至少要工作25天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙施工队单独完成这项工作需要天，根据甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．列出分式方程，解方程即可； （2）设甲施工队要工作天，根据乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解析】（1）解：设乙施工队单独完成这项工作需要天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， 答：乙施工队单独完成这项工作需要80天； （2）设甲施工队要工作天， 由题意得：， 解得：， 答：甲施工队至少要工作25天． 4．（2023·安徽淮北·二模）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作，已知截成的导线根数是的导线根数的3倍，求截成的导线根数． 【答案】截成的导线9根 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程求解； 设截成的导线x根，则截成的导线根，根据题意列一元一次方程即可求解即可； 【解析】设截成的导线x根，则截成的导线根， 根据题意得， 解得， ， 答：截成的导线9根； ►题型06 构建函数模型解决问题 例题6．（2025·陕西西安·二模）慕梓睿学习了二次函数后，在学校的空地上设计了一个花园，它是由两条抛物线L和围成．如图，这两个抛物线都过空地上O、A两点，且它们关于直线对称，点D、E 是抛物线L上关于对称轴对称的两点（点D在点E左侧），，再作点D 、E关于直线的对称点、，顺次连接D、E、、，得到矩形．以直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知米，抛物线L的顶点B到的距离为6米． (1)求抛物线L 的表达式； (2)若沿矩形的边围一圈篱笆，将花园内部分为不同区域种植花卉，慕梓睿通过研究发现，当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小，求篱笆总长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】根本主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数的对称轴是解题的关键． （1）根据题意得到，设抛物线为，运用待定系数法即可求解； （2）当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小，则当时，可求出，根据对称的性质得到，，所以，，由周长的计算公式计算即可求解． 【解析】（1）解：已知米，抛物线L的顶点B到的距离为6米， ∴，设抛物线为， 将代入，得， 解得 ∴抛物线为； （2）解：当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小， ∴当时，， ∴， ∵点D 和点E 关于对称轴直线对称 ， ∴， ∵点D和点关于x 轴对称， ∴ ， ∴，， ∴， ∴篱笆总长度的最小长为． 函数模型是解决实际问题的有效模型，根据实际问题中两个变量之间的关系建立合适的函数模型，运用函数的图象与性质来解决实际问题，使解决实际问题的途径变得简单，有规律可循.考查类 型：(1)用函数表示实际问题中变量之间的关系；(2)用函数解决实际问题中的最优化问题 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）吃月饼是中秋节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种月饼是五仁馅月饼和蛋黄馅月饼．某超市购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45个五仁馅月饼需要525元． (1)求蛋黄馅月饼和五仁馅月饼每个的单价； (2)超市将蛋黄馅月饼的售价定为8元，五仁馅月饼的售价定为6元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种月饼共200个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元； (2)购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，最大利润为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用． （）设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解． 【解析】（1）解：设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元， 根据题意得，， 解得， 答：蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元； （2）解：设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，总利润为， 根据题意得，， 解得， 又由题意得，， ，随的增大而增大， 当时，利润最大，最大值为， ， 答：购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，最大利润为元． 2．（2025·陕西·一模）近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系． (1)求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式； (2)每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量． 【答案】(1) (2)6把 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以椅子的宽度即可作答． 【解析】（1）解：帐逢张开时的宽度，顶部高度， ，顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：椅子的高度，宽度， 将代入， 得， 解得， ， （把）， 最多可撰放6把椅子． 3．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3） 【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可； （3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可． 【解析】解：（1）抛物线经过原点， ． 解得：． 抛物线的解析式为：． 顶点的坐标为； （2）取，， 解得：，， 点的坐标为， 心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点， 设的解析式为：． 经过点， ． 解得：． 的解析式为：． ， 解得： 点的坐标为． ． ． （3）作抛物线的对称轴于点，则， 直线与水平线的夹角为， ． 设点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ． 顶点的坐标为， 点的纵坐标为． 点在抛物线上， ． 解得：． 点的坐标为． ． 4．（2024·江苏扬州·一模）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将，代入，得，计算求解即可； （2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可； ②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可． 【解析】（1）解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 05分层训练·巩固提升 1．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，为的中点，，则的面积是（    ） A．16 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积的计算．根据垂直的定义得到，得到长到使，由线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到结论． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 延长到使， ∵为的中点， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：D． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【解析】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，点是弧的中点，与相交于点，连接交于点．若为的中点，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先由垂径定理得到，，再由是直径，得到，结合是的中点，可证明，得到，再由中位线得到，即可得到半径，最后在中，利用勾股定理计算即可． 【解析】解：∵点是弧的中点， ∴，， ∵是直径， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：B． 4．（2024·山东淄博·一模）如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理得到，可得点在以为直径的上，结合的半径为2，易得的半径为1，当点、、三点共线时，最长，利用勾股定理计算即可． 【解析】解：连接，如下图， ∵是的直径，为的中点， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵的半径为2， ∴的半径为1， 当点、、三点共线时，最长， 连接并延长，交于点， 故当点与点重合时，最长， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【解析】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 6．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径且，点在圆上且，的平分线交于点，连接并过点作，垂足为，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，含30度角直角三角形特征，等腰三角形的判定与性质，由圆周角定理得到，由，求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长即可． 【解析】解：是的直径， ， ， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：C． 7．（2025·陕西西安·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据平行的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据平行的性质即可得到答案． 【解析】解：支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， 重力的方向竖直向下， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ， 故选B． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．项目于2009年12月30日开工建设，2016年9月15日完成竣工验收．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　　） A．160 B． C．200 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【解析】解：过点作，垂足为， 是的一个外角，，， ， ， 米， 在中，（米）， 该主塔的高度是米， 故选：D． 9．（2024·青海西宁·三模）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，请根据题意列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．设乙公司每天安装x间教室，根据乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．列式即可得到答案． 【解析】解：设乙公司每天安装x间教室，由题意可得， ， 故答案为： 10．（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人在一条直线道路上分别从A，两地同时骑摩托车出发，相向而行．当两人相遇后，甲继续向地前进甲到达地时停止运动，乙也立即调头返回地．在整个运动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离米与乙运动的时间秒之间的关系如图所示，则A，两地之间的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象可以得到甲乙相遇时行驶的时间，然后根据函数图象中的数据可以列出相应的方程，即可求得A，两地之间的距离． 【解析】解：由题意和图象可得， 甲从A地到地用的时间为秒，乙从开始到回到地用的时间为秒， 甲乙相遇的时，甲乙都行驶了秒， 设，两地的路程为米， ， 解得，， 故答案为：． 11．（2024·山西·模拟预测）实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W． 【答案】220 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而利用二次函数的性质求出最大值即可． 【解析】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点 ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴ 解得 ∴ ∵， ∴抛物线有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故答案为：220 12．（2024·广东汕头·一模）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象可知，函数图象是反比例函数，设，因为图象过点，将点代入即可得出函数解析式，再根据，即，即可求解，根据待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【解析】解：设， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵当气球内的气压时，气球将爆炸， ∴为了安全起见，， 即， 解得， 故答案为：． 13．（2024·四川广元·一模）文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商城销售某品牌空调，该空调每台进货价为2500元，已知该商店6月份售出75台空调，8月份售出108台空调．求该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率； 调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台； 售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商城如何定价能使每天的利润最大？ 最大利润是多少？ 【答案】该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为；该商城将空调定价为2800元时，每天的利润最大，最大利润是7200元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确建立方程模型与函数模型解决问题． （1）设该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为，根据题意列方程求解即可； （2）设该商城每台空调降价m元，则每天可多售台， 每天的利润为w元. 根据题意列出，然后根据二次函数的性质即可求解 【解析】解（1）设该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为x， 根据题意得∶， 解得∶ ，(舍去)． 答∶该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为； （2）设该商城每台空调降价m元，则每天可多售台， 每天的利润为w元， 根据题意得出： ， 当时，w取得最大值，最大值为5000， 此时， 答∶该商城将空调定价为2800元时，每天的利润最大，最大利润是7200元． 14．（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元 (2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【解析】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元； （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型， 根据题意得， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，， 有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 15．（2024·云南昆明·一模）某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？ 【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品1包 (2)应选取A种食品3包，B种食品2包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设每份午餐的总热量为，利用每份午餐的总热量每包A种食品的热量选用A种食品的数量每包B种食品的热量选用B种食品的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解析】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得， 答：应选用A种食品3包，B种食品1包； （2）解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：． 设每份午餐的总热量为，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选取A种食品3包，B种食品2包． 16．（2025·河南·模拟预测）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点C为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点O和点C），求n的取值范围． 【答案】(1) (2)该球不能射进球门，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法求解即可； （2）当时，求出y的值再与比较，即可判断球能不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动m米，则可用含m的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处． 【解析】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 把点代入，得．解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，． 该球不能射进球门． （3）解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为． 把点代入，得，解得（舍去）或． 把点代入，得．解得（舍去）或． 的取值范围是． 17．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行10海里后到达港，再沿北偏东万向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)77.2海里 (2)甲货轮先到达港，计算说明见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算比较即可解答． 【解析】（1）解：过点作，垂足为，如图所示： 在中，海里， ∴（海里），（海里）， 在中，， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴两港之间的距离约为77.2海里； （2）解：甲货轮先到达港， 理由如下： 如图所示： 由题意得， ∴， ∴， 在中，， ∴海里，海里， 在中，海里， ∴（海里）， ∴甲货轮航行的路程（海里）， 乙货轮航行的路程（海里）， ∵96.4海里＜105.4海里， ∴甲货轮先到达港． 18．（2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，． (1)若，求的长； (2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．结果保留整数参考数值， 【答案】(1)AB的长为cm (2)AB距离地面的高为48cm 【分析】此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形的应用， （1）先证明，再由相似三角形的性质求出的长即可； （2）过点作于点，于点，在中，，在中，，，进而作答即可． 【解析】（1）解：，， 与是等腰三角形， ， ， ， 即的长为； （2）过点作于点，于点，如图， ∵， ∴E、O、F三点共线， ，与是等腰三角形， ， 在中， ， 在中， ， ， 距离地面的高为． 19．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高． 同学们讨论出两种设计方案： 方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接． 方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求方案一中圆的半径； (2)求方案二中抛物线的函数表达式； (3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形） 【答案】(1) (2) (3)方案一中的种植宽度要大些 【分析】本题考查二次函数与圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式，求得抛物线的函数表达式是解答的关系． （1）根据垂径定理和勾股定理求解即可； （2）利用待定系数法求解抛物线的函数表达式即可； （3）根据题意，分别求得两个方案中的长，然后比较大小可得结论． 【解析】（1）解：如图1，设圆的半径为， ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，解得， 即圆的半径为； （2）解：根据题意，，，， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入中，得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （3）解：如图1，连接， 由题意，，，，， 在中，，， 由勾股定理得， ∴； 如图4，由题意，点H和点G的纵坐标均为1， 将代入得，解得， ∴， ∵， ∴方案一中的种植宽度要大些． 20．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； (2)【深入探究】 E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 【答案】(1)画图见解析；135 (2)证明见解析 (3)3或7 【分析】（1）根据题意作图即可，由正方形的性质可得，由，得到，根据平角的性质即可求解； （2）如解图②，在上截取，连接，则 ，可证，由此即可求解； （3）如解图①，四边形是正方形，可证，得到，如解图②，当点在线段上时，可得是等腰直角三角形，可得，，可得；如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接，则是等腰直角三角形，由题意可得． 【解析】（1）解：根据题意，画出图形如解图①， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：135； （2）证明：如解图②，在上截取，连接，则 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ． （3）解：如解图①， 四边形是正方形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 如解图②，当点在线段上时， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 综上所述，线段的长为3或7． 21．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）4或2 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【解析】解：（1）结论：． 理由：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或； 故答案为：4或2． $$