精品解析：河南省漯河市郾城区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024～2025学年度上期期末教学质量检测试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的． 1. 火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等．下列火纹图案中，可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079 ，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽 可能为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知a，b，c是的三边长，且，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中， ， 是内一点，点 ， ， 分别是点 关于直线 ， ， 的对称点，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______（用含a，b的式子表示）． 13. 甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为______． 14. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则_____________°． 15. 如图，动点 与线段 构成 ，其边长满足，，．点 在的平分线上，且，则 的取值范围是 __________ ，的面积的最大值为 ___________________ ． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）已知，求代数式的值． （2）计算：． 17. 解方程： 18. 如图，在中，，．在线段 上求作一点D，使得．小明发现作 的平分线交 于点D，点D即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：， ________． 平分 ， ． ． ________． 在中，， （________）（填推理依据）． ． 19. 如图，四边形 中，于点F，交 于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求 的长． 20. 观察下列等式： ； ； … （1）根据上述各式反映的规律填空，使下列式子满足以上规律： ①___； ②____2—____2； （2）设这类等式左边第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，a、b均为大于0而小于等于9的整数，且，请用a、b写出表示一般规律的式子，并证明所得式子． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是________． （2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由． 22. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时． ①直接写出用含a，b的式子分别表示和； ②试比较，的大小，并说明理由 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，两点，． （1）若 ， 满足． ①直接写出的周长； ② 在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点 的坐标． （2）如图2， 是 轴上点右侧的动点， 在第一象限内，满足，．探究三条线段 ，， 之间的数量关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度上期期末教学质量检测试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的． 1. 火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等．下列火纹图案中，可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，不符合题意； B. 是轴对称图形，符合题意； C. 不是轴对称图形，不符合题意； D. 不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，根据相关运算法则逐一计算，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、和 不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．中等号右边不是积的形式，故A不符合题意； B．是乘法运算，故B不符合题意； C．是乘法运算，故C不符合题意； D．符合因式分解的定义，故D符合题意； 故选D． 5. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若 ，，则，，即，原变形错误，不符合题意； B、，原变形正确，符合题意； C、若 ，，，则，，即，原变形错误，不符合题意； D、，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 6. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽 可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴,即， ∴只有D选项符合题意． 故选D． 7. 已知a，b，c是的三边长，且，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，把因式分解后判断即可． 【详解】∵ ∴， ， ， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 故选：C． 8. 如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察可知点 与点关于 对称，即可求解． 【详解】解： 由图可知：点 与点关于 对称， 由轴对称的性质可知： 故选：C 9. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等； ∴a-b=0． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键． 10. 如图，在中，， 是内一点，点 ， ， 分别是点 关于直线 ， ， 的对称点，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据对称得到垂直平分线进而得到等腰三角形，结合三角形的内角和逐一分析判断即可． 【详解】解：连接、、 ，如图， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴ 垂直平分， 垂直平分 ， 垂直平分， ∴，，，，，， ∴，故①正确， ∵， ∴，， ∵， ∴，即，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， 同理，， ∴，故③正确； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0． 12. 如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______（用含a，b的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意，根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，拼成的大正方形面积为， ， 拼成的大正方形的边长为， 故答案为：． 13. 甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量 工作效率工作时间．先设乙单独清点这批图书需要的时间是 小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作2.4小时清点完另一半图书”列出方程． 【详解】解：设乙单独清点这批图书需要， 根据题意，得， 故答案为：． 14. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则_____________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故答案为： 15. 如图，动点与线段 构成 ，其边长满足，，．点 在的平分线上，且，则 的取值范围是 __________ ，的面积的最大值为 ___________________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握三角形三边关系定理，构造全等三角形．由三角形三边关系定理可得到 的取值范围；延长、交于点 ，由证明，推出，，从而可得，当时，的面积取最大值，根据三角形面积公式求解即可，进而得到的面积的最大值． 【详解】解：在 中，， ，解得， 如图所示，延长、交于点 ， 平分， ， 在 和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值，最大值为， 的面积的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）已知，求代数式的值． （2）计算：． 【答案】（1）13（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值和分式的混合运算，掌握运算法则和通分、约分是解题的关键． （1）先去括号，在合并同类项，然后把代入化简后的式子计算即可； （2）先通分括号里面的，再把除法转化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式= =； ∵， ∴． ∴． ∴原式=． （2）原式= = =． 17. 解方程： 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解题的关键是掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 【详解】解：方程两边同时乘， 得：， 解得： 检验：当时，， ∴是原分式方程的增解根， ∴原分式方程无解． 18. 如图，在中，，．在线段 上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交 于点D，点D即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：， ________． 平分， ． ． ________． 在中，， （________）（填推理依据）． ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，推出，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到． 【小问1详解】 解：如图，点 即为所求； 【小问2详解】 证明：， ． 平分， ． ． ． 在中，， （在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）（填推理依据）． ． 19. 如图，四边形 中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 观察下列等式： ； ； … （1）根据上述各式反映的规律填空，使下列式子满足以上规律： ①___； ②____2—____2； （2）设这类等式左边第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，a、b均为大于0而小于等于9的整数，且，请用a、b写出表示一般规律的式子，并证明所得式子． 【答案】（1）①（62﹣32），②83，38；（2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据观察得出规律，进而解答即可； （2）通过观察可知，得出新两位数，进而即可得解 ． 【详解】解：（1）∵212-122=99×（22-12）； 312-132=99×（32-12）； 522-252=99×（52-22）； 742-472=99×（72-42）；… ∴①632-362=99×（62-32）； 故答案为：（62﹣32）； ②832-382=99×（82-32）； 故答案为： 83；38． （2）设这类等式左边第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则（10a+b）2-（10b+a）2=（10a+b+10b+a）（10a+b-10b-a）=99×（a2-b2）． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是________． （2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②当点 与点 重合时，的值最小，最小值是 【解析】 【分析】（1）△ABC为等腰三角形，∠B为底角，则可求顶角∠A，MN是AB的垂直平分线，可知∠A+∠AMN=90゜，求出∠AMN即可， （2）①由垂直平分 可知，可证C△NBC等于AC+BC即可， ②过点C作点C关于MN的对称点C′，连结BC′，交MN恰好M，当点 与点 重合时，三角形PBC的周长最短，求出即可． 【详解】解：（1）AB=AC，∠B=70゜，∴∠C =∠B =70゜,∠A=180゜-2∠B=40゜, ∵MN⊥AB，∴∠NMA+∠A=90゜，∴∠NMA=50゜， （2）①如图∵垂直平分 ∴， ∵∴， ∴． ②如下图，过点C作点C关于MN的对称点C′，连结BC′，交MN恰好M，由对称性AB与BC′交点在MN上，当点 与点 重合时，的值最小，最小值是，此时三角形PBC的周长=三角形BMC的周长=BC+BM+CM=BC+AM+CM=BC+AB=14cm． 【点睛】本题考查已知等腰三角形底角，求腰中垂线与另一斜边的夹角，以及三角形周长最短问题，掌握作点C关于MN的对称点，连结BC′与AC交于M，点P与点M重合时是解题的关键． 22. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时． ①直接写出用含a，b的式子分别表示和； ②试比较，的大小，并说明理由 【答案】（1）原计划的行驶速度为 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的化简，理解题意是解答的关键． （1）设原计划的行驶速度为，根据题意，利用一小时后的时间差为列方程求解即可； （2）①根据时间、路程、速度关系分别求得，；②作差，根据分式的混合运算法则化简，然后与0比较即可求解． 【小问1详解】 解：设原计划的行驶速度为，则 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原分式方程的解为． 答：原计划的行驶速度为． 【小问2详解】 解：①根据题意， ，； ②，理由如下： ∵， 为正数，且， ． ． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，两点，． （1）若 ，满足． ①直接写出的周长； ② 在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点 的坐标． （2）如图2，是 轴上点 右侧的动点， 在第一象限内，满足，．探究三条线段 ， ， 之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）①；②或或 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①首先根据绝对值和平方的非负性求出，，然后利用勾股定理求出 ，进而求解即可； ②根据题意分3种情况讨论：①，；②，；③，，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）在 上截取，连接，首先证明出是等边三角形，得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长； ②如图所示，当，时，过点P作轴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴点P的坐标为； 如图所示，当，时，过点P作轴， 同理可证， ∴， ∴ ∴点P的坐标为； 如图所示，当，时，过点P作轴，轴， 同理可证， ∴， 根据题意可得，四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，在 上截取，连接， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了绝对值非负性的应用，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $