第06讲 圆的证明与计算（讲练，2考点+15种题型+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

模块二 图形与几何基础 第06讲 圆的证明与计算 （思维导图+2考点+15种题型+命题预测） 试卷第1页，共3页 2 / 131 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 圆的相关计算问题 ►题型01 利用圆的相关性质求角度 ►题型02 利用圆的相关性质求线段长 ►题型03 利用弧长与扇形面积求解 ►题型04 求不规则图形面积 ►题型05 与圆有关的最值问题 考点二 圆的相关证明问题 ►题型01 切线的性质与判定综合 ►题型02 利用圆的性质求证线段平行/垂直 ►题型03 利用圆的性质判定相似三角形 ►题型04 利用圆的性质判定全等三角形 ►题型05 利用圆的性质判定特殊的平行四边形 ►题型06 利用圆的性质判定线段相等 ►题型07 利用圆的性质求线段比值或证明比例关系 ►题型08 利用圆的性质求证角平分线 ►题型09 利用圆的性质求证角度相等或存在2倍关系 ►题型10 正多边形与圆 01考情透视·目标导航 中考考点 命题预测 圆的证明 与计算 圆的证明与计算是中考数学的重要组成部分，其题目类型多样，综合性强，对学生的逻辑思维和空间想象能力提出了较高要求。 【考情分析】圆的证明与计算题型在中考中多以解答题形式出现，通常分为两问。第一问侧重于几何证明，常涉及切线的判定、圆心角与圆周角的关系等；第二问则注重计算，包括线段长度、面积求解以及角度的三角函数值等。这类题型不仅考查学生对圆的基本性质的掌握，还考查其综合运用几何知识的能力。 【考点分析】 1）切线的判定与性质：判定切线是中考的常见考点，通常需要学生通过证明直线垂直于过切点的半径来确认切线。此外，切线的性质，如切线长定理，也常在题目中出现。 2）圆心角与圆周角：理解和运用圆心角与圆周角的关系是解题的关键。学生需要掌握圆周角定理及其推论，能够利用这些关系求解角度和线段长度。 3）弦、弧、半径的关系：垂径定理及其相关推论是求解圆内线段长度的重要工具。考试中常要求学生利用垂径定理结合勾股定理进行复杂的计算。 4）图形的相似与解直角三角形：在涉及圆的计算题中，图形的相似和解直角三角形知识经常被综合运用。学生需能够灵活运用相似三角形的性质和直角三角形的边角关系来求解。 【解题策略】 1）掌握基础知识：熟练掌握圆的基本概念和性质是解题的基础。学生应理解并牢记圆的定义、弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基本概念。 2）识别基本图形：能够将复杂的图形分解为基本的几何图形，如直角三角形、等腰三角形等，有助于发现隐藏的线段关系和解题途径。 3）灵活运用定理：垂径定理、切线定理、圆周角定理等是解决圆的问题的重要工具。学生应能够根据题目条件选择合适的定理进行证明和计算。 4）注重逻辑推理：圆的证明题要求学生具备严密的逻辑推理能力。在解题过程中，要注意每一步推理的合理性和严谨性，确保证明过程的完整性和正确性。 【备考建议】 1）系统复习：对圆的相关知识点进行全面系统的复习，确保基础知识的扎实掌握。 2）多做练习：通过大量的习题练习，熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度和准确率。 3）总结归纳：对做过的题目进行总结归纳，分析解题过程中的思路和方法，形成自己的解题策略。 4）查漏补缺：针对自己的薄弱环节进行有针对性的训练，及时弥补知识漏洞。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 圆的相关计算问题 ►题型01 利用圆的相关性质求角度 1．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： ►题型02 利用圆的相关性质求线段长 6．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 7．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 10．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【答案】(1)；；1 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案； （2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线． 【详解】（1）解：连接，设半径为， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． ►题型03 利用弧长与扇形面积求解 11．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴ （）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 12．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 13．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 14．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，即正三角形的边长为．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案． 【详解】解： 曲边三角形的周长为，为等边三角形， 曲边三角形的面积为： 故答案为：． 15．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】（1）解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． ►题型04 求不规则图形面积 16．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 17．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接．          图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图2，连接．           图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键． 18．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； （2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接，   和底边相切于点， ， ，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，   四边形是菱形， ，，， 在中，， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积 ， 图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，则，    ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，    ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． ►题型05 与圆有关的最值问题 20．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 21．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当 时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 22．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 23．（2024·四川达州·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴ 即 在中， 即 ∵是等腰直角三角形， ∴平分 ∴ ∴ ∴， ∴，故②正确， 如图所示，    在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且 ∴， ∵ ∴ ∴在的上运动， ∴， 连接交于点，则， ∴当时，结合垂径定理，最小， ∵是半径不变 ∴此时最大 则面积的最大， ∴ ，故③正确； 如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，    ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 / / 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置． 1. 遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线 1）作同弧所对的两个圆周角； 2）作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角； 3）连接多个半径，构造等腰三角形. 2. 圆中出现直径，我们可以构造直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，由此可利用在直角三角形中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证明. 3. 圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 4. 运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度 5. 涉及弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算问题的解题方法： 1）熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活应变，当题目中的一些数据没有直接给出时，要综合其他所给条件求得. 2）当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式；当已知弧长l、半径R求扇形的面积时，选用公式 3）圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，在学习中要结合实际物体观察和比较，分清要计算的量是哪个. 1．（2025·福建福州·一模）如图，、分别与相切于点，连接并延长与交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的计算，掌握三角函数值的计算是解题的关键． 连接，根据切线长定理得到，，，则，即，在中由勾股定理得到，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵、分别与相切于点，连接并延长与交于点， ∴，，平分， ∴，且， ∴， ∴，， ∵所对的圆周角是，所对圆心角是， ∴，即， ∵， ∴在中，， ∴， 故选：A ． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的面积，直角三角形的性质，勾股定理．根据直角三角形的性质结合勾股定理求得，根据图中阴影部分的面积为列式计算即可求解． 【详解】解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故选：C． 3．（2025·河南郑州·一模）如图，是内接正八边形的一条边，经过点B的直线l为的一条切线，则（    ）． A．20° B．22.5° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 如图：连接，则，根据正多边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵是内接正八边形的一条边， ∴， ∵， ∴， ∵过点B的直线l为的一条切线， ∴， ∴． 故选B． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 点A是的中点， ，设垂足为点， ， ， 和所对的弧都是， ， ，且， ， ， ， 在中，,，，， ， 是的直径， ， 故选D． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示， 由折叠性质可知， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，经过圆心， ∴， 故选：A． 6．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，的角平分线交其外接圆于点，以下说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了弧与圆周角、弦之间的关系，勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，连接，延长至，使得，连接，证明，根据各选项可得出等腰三角形，进而勾股定理解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长至，使得，连接， ∵的角平分线交其外接圆于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 过点作于点， ∴， ∴ ∴，即，故A正确； 如图所示，，同理可得 ∴， ∴，故B正确； 如图所示，，同理可得 ∴， ∴，故C正确； 如图所示，，同理可得 ∴， 如图所示，作的外接圆，连接，延长交于点， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 即 ∴，故D不正确 故选：D． 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；…，、、、，…的圆心依次按、、、循环，当时，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，曲线是由一段段的弧组成的，半径每次比前一段弧半径加1，求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由图可知，曲线是由一段段的弧组成的， ，，，，， …… 以此类推，半径每次比前一段弧半径加1， ，， ， ， 故答案为：． 8．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，等腰三角形中，，，点为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值 ． 【答案】 / / 【分析】根据题意，得，，得点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2，连接，并延长交于点E，F，利用的等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2， 连接，并延长交于点E，F， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，由最小值，当点D与点F重合时，由最大值， 故答案为：，． 10．（2024·重庆·一模）如图，半圆，点为圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查求不规则图图形的面积，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，正确理解图形作出辅助线及正确掌握扇形的面积公式是解题的关键. 连接，，过点作于点，推出是等边三角形，得到，利用三角函数求出的长，根据公式求出，然后根据计算即可得到答案. 【详解】连接，，过点作于点， 在半圆中， 以为圆心，为半径画弧，交弧于点，直径长为6， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ∴， 故答案为：． 11．（2025·广东·模拟预测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，在中，A、B两点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析， (2)见解析； (3) 【分析】本题考查了旋转作图，点的坐标，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． （1）根据题意画出即可，关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数； （2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）求出，根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， ∴由图可得； （2）解：如图所示：即为所求， ∴由图可得； （3）解：由（2）的给出图可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧， ， ∴点A旋转到点所经过的路径长为． 12．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，能够根据所求内容找到相关的量是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据勾股定理得，式子变形可得，又有，即可证明； （3）过点作直径交圆于点，连接，即可证明，推出，即． 【详解】（1）证明：，，，，， ， ． （2）证明：在中，，根据勾股定理得，， ， ， 又（已证）， ， ． （3）解：，证明如下： 过点作直径交圆于点，连接， 为圆的直径， ， ， ， ，即：． 13．（2025·河南郑州·一模）如图（1）所示的心形图案，它由正方形的两条边和两个半圆组成．如图（2），将心形图案放置在平面直角坐标系中，分别为两个半圆的直径，正方形的顶点O在原点处，点A，C分别在y轴，x轴上，直线交两个半圆于点D，E． (1)若，求k的值； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）如图：连接，则，再根据正方形的性质证明可得，即，然后说明即可解答； （2）由（1）可知，则，即，然后根据勾股定理、三角形的面积公式、圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴．， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于F，则，即， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．阴影部分的面积． 考点二 圆的相关证明问题 ►题型01 切线的性质与判定综合 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又 ， 在中，， ， 解得： 2．（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：所对的弧是同弧 ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ， 与相切． （2）解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 3．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论； （2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点， ，是的中点， 为的平分线， 与相切于点，是的直径， 为的半径， ， 又， ， 即为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于点， 点为的圆心， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键． 4．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．    (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D，求证：； (3)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）根据，即可得证； （3）根据圆周角定理得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴ 如图所示，连接    在与中， ∴ ∵为上的一点． ∴是的切线； （2）∵是的切线； ∴， ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． ►题型02 利用圆的性质求证线段平行/垂直 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可； （2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证； 法二：连接，证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为3； （2）证明：法一：过O作于F， ∴， ∵ ∴， 又，， ∴， ∴， ∴； 法二：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键． 6．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【详解】（1）根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为.    【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. 7．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质： （1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （2）由（1）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 8．（2024·贵州·中考真题）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)写出图中一个与相等的角：______； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）利用等边对等角可得出，即可求解； （2）连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证； （3）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：连接， ， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 9．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． （2）由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． ►题型03 利用圆的性质判定相似三角形 10．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，根据题意得，，利用等量代换确定，再由相似三角形的判定即可证明； （2）先由勾股定理确定，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是的切线，点C在以为直径的上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）得， ∴即， ∴， ∴的半径为． 11．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理可得出，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）利用勾股定理可求出，，利用等面积法求出，可求出，然后利用（1）中求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E到、的距离相等， 设E到的距离为，C到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 12．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： ►题型04 利用圆的性质判定全等三角形 13．（2023·山东·中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据，是半径，可得是的切线，根据是的切线，由切线长定理可得，进而根据，得出，，根据得出，根据垂径定理的推论得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，即可证明； （2）延长至使得，连接，，根据圆内接四边形对角互补得出，证明 ，结合已知条件证明，进而证明 ，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 延长至使得，连接，，如图所示    ∵ ∴， ∵， ∴ ， ∴， 由（1）可得， 又是直径，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴ ， ∴，     ∴． 即． 【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，则，    ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，    ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．（2023·湖南·中考真题）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．    (1)求证：直线直线； (2)若； ①求证：； ②若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析，②． 【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得； （2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得； ②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长． 【详解】（1）证明：在中， ， ，即， 在中， ， ， 即直线直线； （2）①四边形是半径为R的的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， 由（1）可知， ， 在与中， ， ， ②在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得：， 由①可知， ， ， 四边形的周长为： ． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解． ►题型05 利用圆的性质判定特殊的平行四边形 16．（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 【答案】（1）   （2）证明见解析  （3）   （4） 【分析】（1）根据直径性质得到，,根据，，运用勾股定理可得； （2）根据．，得到．得到，结合， 得到，得到，得到四边形是平行四边形； （3）连接．根据，得到，，根据切线性质得到，．得到，．得到，得到，运用勾股定理得； （4）过点A作射线，使，连接．得到，，根据．，可得，根据，得到，得，得到．根据，得到，即得． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴, ∵，， ∴ 故答案为：； （2）证明：∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，连接． ∵在中，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴， 在中，， ∴在中，； （4）解：如图，过点A作，使，连接． 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理推论，圆切线性质，平行四边形的判定，含30°的直角三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数解直角 三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 17．（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可； （2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论； （3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴过圆心， ∵， ∴， 而为半径， ∴为的切线； （3）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设半径为， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 18．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．    (1)求证：四边形为矩形． (2)已知的半径为4，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可． （2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵与轴相切于点， ∴轴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）如图，连接．   四边形是矩形， ． 在中，， ． 点为圆心，， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键． 19．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； （2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接，   和底边相切于点， ， ，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，   四边形是菱形， ，，， 在中，， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积 ， 图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．    (1)求的度数； (2)四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)是菱形，证明见解析 (3)的长为． 【分析】（1）如图，连接，证明，而，可得，再结合等腰三角形的性质可得答案； （2）先证明，即，而，求解，可得，证明，可得，再证明，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，，交于，证明为等边三角形，可得，证明，，求解，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵线段与相切于点B， ∴，而， ∴， ∵， ∴； （2）四边形是菱形，理由如下： ∵的中点为M，， ∴，即，而， ∴， ∴， ∵的中点为M，为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）如图，连接，，交于，    ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴的长为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与系数，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，切线的性质，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键 ►题型06 利用圆的性质判定线段相等 21．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可； （2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可； （3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设， 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得，（舍去）， 故． 【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 22．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 23．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，将矩形 沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，由矩形的性质得，再由直角三角形两锐角互余得，根据对顶角相等和同圆的半径相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角对等边得出结论； （2）由锐角三角函数得，，得，由翻折得，由得，再由矩形对边相等得，最后在中解直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接．    ∵与相切于点E， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形的性质、切线的性质、翻折的有关性质、锐角三角函数的定义，正确作出辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键． ►题型07 利用圆的性质求线段比值或证明比例关系 24．（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明； （2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径 ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴在中，， 由勾股定理得： ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 25．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 【答案】(1)见详解； (2)，． 【分析】（1）先证明，然后利用对应边成比例，即可证明； （2）利用，知道，从而推出，结合，知道，推出，接下来证明，那么有，即，不妨设，代入求得的长度，不妨设，在和中利用勾股定理求得和的长度，最后利用，求得的长度，然后再利用勾股定理求得的长度． 【详解】（1）是的直径 又 （2）由（1）可知， 不妨设，那么 ， 不妨设，那么 在中，，， 在中，， 的直径是． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 26．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．                   【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 【答案】感知：；探究：见解析；应用：． 【分析】感知：由圆周角定理即可求解； 探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证； 应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解． 【详解】感知： 由圆周角定理可得， 故答案为：； 探究： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， ， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， 即； 应用： 延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． ， ， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解． 27．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．    (1)求证：． (2)求证：． (3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可； （2）连接，交于点，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可； （3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可． 【详解】（1） 和是所对的圆周角， ， ， ∴， ∴， ∴． （2）连接，交于点，    与为一组平行弦，即：， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ． （3）连接、，过点作，垂足为，设点的对称点，连接、，    ，， ∴， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形． 28．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论； （2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论； （3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，过P作于点E， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键． ►题型08 利用圆的性质求证角平分线 29．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 30．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可． (2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵对角线是的直径， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵对角线是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． ►题型09 利用圆的性质求证角度相等或存在2倍关系 31．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 32．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①2 ② 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 33．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． ►题型10 正多边形与圆 34．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、、切线的性质和解直角三角形，证明实际解题的关键． （1）利用圆周四等分点得到，再根据切线的性质得到，所以，从而即可解题； （2）根据圆内接四边形的性质证明，则可利用“”判断； （3）过点G作于点H，如图，先利用得到，，所以，，然后利用解直角三角形解题即可． 【详解】（1）证明：连接. ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ，即圆心角. ， . 为的切线， ， . . 平分. （2）∵， ∴. . 在四边形中，. 为直径， ， . ， . ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ， . 在和中， . （3）连接， ， 由（2）中，得，. 又， 即， ， . 的半径为2. ∴在中，. 过点G作于点H. 由题意得， ∴为等腰直角三角形， . 在中，， . 35．（2023·湖南娄底·中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形的边的延长线相交于点F，的平分线交于点M．    (1)求证：． (2)若，求的长． (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正多边形的性质可以得到，再利用三角形的内角和以及角平分线的定义得到，再根据，可得到，进而得到结论； （2）根据等角对等边可以得到，，再由（1）得结论得到，解方程可以求出结果； （3）设，连接，，根据正多边形可以推导出，，则可表示出，然后求出比值． 【详解】（1）证明：∵是正五边形， ∴， ∴， 又∵的平分线交于点M， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）设，，连接，， 则根据（2）中计算可得， ∵是正五边形， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 36．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比．如图，圆内接正五边形，圆心为O，与交于点H，、与分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）    （1）求证：是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出的形状； （2）求证：，且其比值； （3）由对称性知，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求的值． 【答案】（1）见解析，△ABN为等腰三角形；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接圆心O与正五边形各顶点，利用圆周角定理得出∠ABE=∠BAC=36°，即AM=BM，再求出∠BNA=72°=∠BAD，得出结论； （2）证明△BAM∽△BEA，得到，设BM=y，AB=x，则AM=AN=y，AB=AE=BN=x，证明，得到，设=t，求出t值即可； （3）根据题意求出∠MAH=∠NAH=∠MAN=18°，再根据sin∠MAH=，将代入，即可求值. 【详解】解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点， 在正五边形中， ∠AOE=360°÷5=72°， ∴∠ABE=∠AOE=36°，同理∠BAC=×72°=36°， ∴AM=BM， ∴△ABM是是等腰三角形且底角等于36°， ∵∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+72°=144°， ∴∠BAD=∠BOD=72°， ∴∠BNA=180°-∠BAD-∠ABE=72°， ∴AB=NB，即△ABN为等腰三角形； （2）∵∠ABM=∠ABE，∠AEB=∠AOB=36°=∠BAM， ∴△BAM∽△BEA， ∴，而AB=BN， ∴，设BM=y，AB=x，则AM=AN=y，AB=AE=BN=x， ∵∠AMN=∠MAB+∠MBA=72°=∠BAN，∠ANM=∠ANB， ∴△AMN∽△BAN， ∴，即，则， 两边同时除以x2，得：，设=t， 则，解得：t=或（舍）， ∴； （3）∵∠MAN=36°，根据对称性可知：∠MAH=∠NAH=∠MAN=18°， 而AO⊥BE， ∴sin 18°=sin∠MAH= = =.    【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是算出相应角度，找到合适的相似三角形. 1. 【热考】判定直线与圆的切线的解题方法： 1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”. 2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”. 3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”. 2. 【名师总结】在中考数学中，与圆有关的证明题常常是考生面临的难点之一。这类题目不仅考查学生对圆的基本性质和定理的掌握，还考验其逻辑推理和解题技巧。 1）首先，熟悉圆的基本性质和定理是解题的基础。这些包括弧、弦、圆心角定理，圆周角定理，垂径定理，切线定理以及切线长定理等。例如，圆周角定理指出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，而切线的性质定理则表明圆的切线垂直于过切点的半径。掌握这些定理，有助于我们在解题时快速找到突破口。 2）其次，做辅助线是解决圆相关证明题的重要技巧。见到切线时，通常连接过切点的半径，以证明垂直关系；见到直径时，则寻找直径所对的圆周角，利用其性质进行推导；若题目中有“弦的中点”或“弧的中点”，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结论。例如，证明切线问题时，通过连接圆心和切点，再利用半径垂直于切线的性质，往往能顺利导出所需的直角。 3）形成条件反射式的解题思路。看到题目中的某个条件或图形，脑海中应即刻呈现出可能的辅助线和解题方向。如条件给出圆周角或圆心角的度数或等量关系，应寻找同弧或等弧所对的其他圆周角或圆心角；见到平行线时，考虑利用平行线的性质进行角度转换等。 4）最后，多做与圆有关的证明题，善于总结规律和技巧。通过大量的练习，积累解题经验，熟悉常见的解题模式。例如，圆中常出现的直角三角形相似，包括平行相似、错位相似、射影相似等，掌握这些相似三角形的判定和性质，有助于快速解决求边长比例或长度的问题。 总之，中考中与圆有关的证明题虽然难度较大，但只要掌握了基本性质和定理，熟练运用辅助线和解题技巧，并结合综合法和分析法进行思考，就能轻松应对，取得理想的成绩。 1．（2025·浙江金华·一模）如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用等腰三角形的性质得到，进而得到，可得，然后根据切线的判定定理可得结论； （）先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而利用三角形的外角性质求得, 进而得，即得，然后解直角三角形求得即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，又为的半径， ∴与相切； （2）解：∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，解直角三角形等知识，能够熟练运用相关知识求解是解题的关键． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，直径与弦交于点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）连接并延长交于H点，如图，利用垂径定理的推论得到垂直平分，则根据等腰三角形的性质得到平分，即，然后利用得到结论； （3）利用垂径定理得到，则利用勾股定理可计算出，设的半径为r，则，，在中，利用勾股定理得到，解得，所以，接着在中，计算，在中，计算，然后证明，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出的长． 【详解】（1）证明：连接并延长交于H点，如图， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴平分， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．      (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直角三角形中两锐角互余得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据直角三角形中两锐角互余得出，根据等角的余角相等得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等即可证明； （2）连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数值求出，，根据锐角三角函数的定义和同弧所对的圆周角相等求出，，根据三角形的面积求出，，即可求出． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， 是直径， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：如图，连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，   是直径， ， 又平分，， ，， 在等腰直角中，， ， ， ，， ， ，则， ， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，角平分线的性质等，正确做出辅助线，通过三角形的面积求出是解题的关键． 40．（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为上一点，连接，过点的直线与相切，与延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交射线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，可证，根据为的切线，得，根据平行线的性质即可求证； （）设，，可得，设的半径为，则，，，根据（）中，可得，即得，可得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∴， 设的半径为，则，，， 由（）可知，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴的半径为， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 41．（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 【答案】(1)证明见解析； (2) ； ； (3)线段为定值，且． 【分析】（）由点是的内心，则，再由圆周角定理可得，从而求证； （）连接，，过点作于点，由点是的内心，得，再由勾股定理即可求解； 连接，过点作于点，过点作于点，由内心和线段和差即可求解； （）连接，，，，通过性质和圆周角定理证明为等边三角形即可． 【详解】（1）∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由题意知，，直径， ∴由勾股定理得， 连接，，过点作于点， ∵点是的内心， ∴， ∴， 在中， ， ； 连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，，，， ∵点是的内心， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 连接，， 同理可得，，， 但，随着点的运动而变化， ∴线段为定值，且． 【点睛】本题考查了圆周角定理，内心的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． $$模块二 图形与几何基础 第06讲 圆的证明与计算 （思维导图+2考点+15种题型+命题预测） 试卷第1页，共3页 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 圆的相关计算问题 ►题型01 利用圆的相关性质求角度 ►题型02 利用圆的相关性质求线段长 ►题型03 利用弧长与扇形面积求解 ►题型04 求不规则图形面积 ►题型05 与圆有关的最值问题 考点二 圆的相关证明问题 ►题型01 切线的性质与判定综合 ►题型02 利用圆的性质求证线段平行/垂直 ►题型03 利用圆的性质判定相似三角形 ►题型04 利用圆的性质判定全等三角形 ►题型05 利用圆的性质判定特殊的平行四边形 ►题型06 利用圆的性质判定线段相等 ►题型07 利用圆的性质求线段比值或证明比例关系 ►题型08 利用圆的性质求证角平分线 ►题型09 利用圆的性质求证角度相等或存在2倍关系 ►题型10 正多边形与圆 01考情透视·目标导航 中考考点 命题预测 圆的证明 与计算 圆的证明与计算是中考数学的重要组成部分，其题目类型多样，综合性强，对学生的逻辑思维和空间想象能力提出了较高要求。 【考情分析】圆的证明与计算题型在中考中多以解答题形式出现，通常分为两问。第一问侧重于几何证明，常涉及切线的判定、圆心角与圆周角的关系等；第二问则注重计算，包括线段长度、面积求解以及角度的三角函数值等。这类题型不仅考查学生对圆的基本性质的掌握，还考查其综合运用几何知识的能力。 【考点分析】 1）切线的判定与性质：判定切线是中考的常见考点，通常需要学生通过证明直线垂直于过切点的半径来确认切线。此外，切线的性质，如切线长定理，也常在题目中出现。 2）圆心角与圆周角：理解和运用圆心角与圆周角的关系是解题的关键。学生需要掌握圆周角定理及其推论，能够利用这些关系求解角度和线段长度。 3）弦、弧、半径的关系：垂径定理及其相关推论是求解圆内线段长度的重要工具。考试中常要求学生利用垂径定理结合勾股定理进行复杂的计算。 4）图形的相似与解直角三角形：在涉及圆的计算题中，图形的相似和解直角三角形知识经常被综合运用。学生需能够灵活运用相似三角形的性质和直角三角形的边角关系来求解。 【解题策略】 1）掌握基础知识：熟练掌握圆的基本概念和性质是解题的基础。学生应理解并牢记圆的定义、弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基本概念。 2）识别基本图形：能够将复杂的图形分解为基本的几何图形，如直角三角形、等腰三角形等，有助于发现隐藏的线段关系和解题途径。 3）灵活运用定理：垂径定理、切线定理、圆周角定理等是解决圆的问题的重要工具。学生应能够根据题目条件选择合适的定理进行证明和计算。 4）注重逻辑推理：圆的证明题要求学生具备严密的逻辑推理能力。在解题过程中，要注意每一步推理的合理性和严谨性，确保证明过程的完整性和正确性。 【备考建议】 1）系统复习：对圆的相关知识点进行全面系统的复习，确保基础知识的扎实掌握。 2）多做练习：通过大量的习题练习，熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度和准确率。 3）总结归纳：对做过的题目进行总结归纳，分析解题过程中的思路和方法，形成自己的解题策略。 4）查漏补缺：针对自己的薄弱环节进行有针对性的训练，及时弥补知识漏洞。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 圆的相关计算问题 ►题型01 利用圆的相关性质求角度 1．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D．3 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． ►题型02 利用圆的相关性质求线段长 6．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 7．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 8．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 10．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． ►题型03 利用弧长与扇形面积求解 11．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 12．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 13．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 14．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ． 15．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） ►题型04 求不规则图形面积 16．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 17．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 18．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 19．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． ►题型05 与圆有关的最值问题 20．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 21．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 22．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 23．（2024·四川达州·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 24．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 . 1. 遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线 1）作同弧所对的两个圆周角； 2）作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角； 3）连接多个半径，构造等腰三角形. 2. 圆中出现直径，我们可以构造直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，由此可利用在直角三角形中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证明. 3. 圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 4. 运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度 5. 涉及弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算问题的解题方法： 1）熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活应变，当题目中的一些数据没有直接给出时，要综合其他所给条件求得. 2）当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式；当已知弧长l、半径R求扇形的面积时，选用公式 3）圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，在学习中要结合实际物体观察和比较，分清要计算的量是哪个. 1．（2025·福建福州·一模）如图，、分别与相切于点，连接并延长与交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河南郑州·一模）如图，是内接正八边形的一条边，经过点B的直线l为的一条切线，则（    ）． A．20° B．22.5° C．25° D．30° 4．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 5．（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，的角平分线交其外接圆于点，以下说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；…，、、、，…的圆心依次按、、、循环，当时，则的长是 ． 8．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 9．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，等腰三角形中，，，点为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值 ． 10．（2024·重庆·一模）如图，半圆，点为圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是 ． 11．（2025·广东·模拟预测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，在中，A、B两点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 12．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 13．（2025·河南郑州·一模）如图（1）所示的心形图案，它由正方形的两条边和两个半圆组成．如图（2），将心形图案放置在平面直角坐标系中，分别为两个半圆的直径，正方形的顶点O在原点处，点A，C分别在y轴，x轴上，直线交两个半圆于点D，E． (1)若，求k的值； (2)若，求阴影部分的面积． 考点二 圆的相关证明问题 ►题型01 切线的性质与判定综合 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 3．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．    (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D，求证：； (3)若，求阴影部分的面积． ►题型02 利用圆的性质求证线段平行/垂直 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 6．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 7．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 8．（2024·贵州·中考真题）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)写出图中一个与相等的角：______； (2)求证：； (3)若，，求的长． 9．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． ►题型03 利用圆的性质判定相似三角形 10．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 11．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． ►题型04 利用圆的性质判定全等三角形 13．（2023·山东·中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论． 14．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 15．（2023·湖南·中考真题）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．    (1)求证：直线直线； (2)若； ①求证：； ②若，求四边形的周长． ►题型05 利用圆的性质判定特殊的平行四边形 16．（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】（1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 17．（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 18．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．    (1)求证：四边形为矩形． (2)已知的半径为4，，求弦的长． 19．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 20．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．    (1)求的度数； (2)四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； (3)若，求的长． ►题型06 利用圆的性质判定线段相等 21．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 22．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 23．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，将矩形 沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．    (1)求证：． (2)当，时，求的长．   ►题型07 利用圆的性质求线段比值或证明比例关系 24．（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值． 25．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 26．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．                   【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形，． ，． 是等边三角形．，请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 27．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．    (1)求证：． (2)求证：． (3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长． 28．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． ►题型08 利用圆的性质求证角平分线 29．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 30．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． ►题型09 利用圆的性质求证角度相等或存在2倍关系 31．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 32．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 33．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． ►题型10 正多边形与圆 34．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 35．（2023·湖南娄底·中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形的边的延长线相交于点F，的平分线交于点M．    (1)求证：． (2)若，求的长． (3)求的值． 36．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比．如图，圆内接正五边形，圆心为O，与交于点H，、与分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）    （1）求证：是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出的形状； （2）求证：，且其比值； （3）由对称性知，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求的值． 1. 【热考】判定直线与圆的切线的解题方法： 1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”. 2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”. 3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”. 2. 【名师总结】在中考数学中，与圆有关的证明题常常是考生面临的难点之一。这类题目不仅考查学生对圆的基本性质和定理的掌握，还考验其逻辑推理和解题技巧。 1）首先，熟悉圆的基本性质和定理是解题的基础。这些包括弧、弦、圆心角定理，圆周角定理，垂径定理，切线定理以及切线长定理等。例如，圆周角定理指出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，而切线的性质定理则表明圆的切线垂直于过切点的半径。掌握这些定理，有助于我们在解题时快速找到突破口。 2）其次，做辅助线是解决圆相关证明题的重要技巧。见到切线时，通常连接过切点的半径，以证明垂直关系；见到直径时，则寻找直径所对的圆周角，利用其性质进行推导；若题目中有“弦的中点”或“弧的中点”，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结论。例如，证明切线问题时，通过连接圆心和切点，再利用半径垂直于切线的性质，往往能顺利导出所需的直角。 3）形成条件反射式的解题思路。看到题目中的某个条件或图形，脑海中应即刻呈现出可能的辅助线和解题方向。如条件给出圆周角或圆心角的度数或等量关系，应寻找同弧或等弧所对的其他圆周角或圆心角；见到平行线时，考虑利用平行线的性质进行角度转换等。 4）最后，多做与圆有关的证明题，善于总结规律和技巧。通过大量的练习，积累解题经验，熟悉常见的解题模式。例如，圆中常出现的直角三角形相似，包括平行相似、错位相似、射影相似等，掌握这些相似三角形的判定和性质，有助于快速解决求边长比例或长度的问题。 总之，中考中与圆有关的证明题虽然难度较大，但只要掌握了基本性质和定理，熟练运用辅助线和解题技巧，并结合综合法和分析法进行思考，就能轻松应对，取得理想的成绩。 1．（2025·浙江金华·一模）如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，直径与弦交于点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．      (1)求证：； (2)若，，求． 40．（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为上一点，连接，过点的直线与相切，与延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交射线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 41．（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． $$