精品解析：广东省清远市连州市2024-—2025学年上学期期末九年级数学试卷

广东省清远市连州市2024—2025学年上学期期末九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几何体的俯视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查立体图形的俯视图，熟练掌握俯视图即是从上面向下看所得到的图象是解题的关键．由题意根据俯视图即是从上面向下看所得到的图象，对各个选项进行分析判定即可． 【详解】解： A、其俯视图矩形，符合题意； B、其俯视图为三角形，不符合题意； C、其俯视图为圆形，不符合题意； D、其俯视图为四边形，不符合题意； 故选：A． 2. 的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法解方程即可得出答案． 【详解】解：， ， 或， ，． 故选：C． 3. 菱形具有而平行四边形没有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形和平行四边形的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的性质是解题的关键．根据菱形和平行四边形的性质，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、对角相等，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有，故此选项符合题意； C、对角线互相平分，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意； D、对角线相等，菱形和平行四边形都不具有，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，再代入数据即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 5. 在一个不透明袋一里有白球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小华通过多次实验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子中白球的个数可能是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．根据白球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案． 【详解】解：∵通过多次实验发现，摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率为， ∴袋子中白球的个数可能为（个）． 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若，，的周长是10，则的周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答． 【详解】解：，， 和的相似比为， 又的周长是10， 的周长是． 故选：C． 8. 如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意直接证明，进而得，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 9. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意即可列出方程求解． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为， 根据题意得． 故选：A． 10. 点在函数图象上，下列说法错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点和都在图象上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则的值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质， 根据已知条件得，再代入待求式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 一元二次方程x2=9的解是_____________． 【答案】x=±3 【解析】 【分析】试题分析：利用直接开平方法即可进行求解. 考点：解一元二次方程 【详解】x2=9,解得：x=±3 13. 矩形各边中点构成的四边形是________． 【答案】菱形 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形、矩形的性质、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．作出矩形，取出各边中点为，连接、，利用三角形的中位线定理得出，同理得到，，，结合矩形的性质和菱形的判定推出四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：如图，矩形，取出各边中点为，连接、， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 14. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：、是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 15. 与的位似比为，原点为它们的位似中心．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于原点对称的点的坐标，把点横纵坐标分别乘以或得到其对应点的坐标即可． 【详解】解：∵与的相似比是，并且是关于原点的位似图形，而点A的坐标为， 点A其对应点的横坐标是，纵坐标为或横坐标是，纵坐标为， 即点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： （1）上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） （2）小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 【答案】（1）等式的基本性质，完全平方公式 （2）二，解题过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可； 对于（2），先移项，再配方，然后求出解即可． 【小问1详解】 解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式． 故答案为：等式的基本性质，完全平方公式； 【小问2详解】 解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， 可得， ∴． 故答案为：二． 17. 如图，已知． （1）尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法是解题的关键． （1）作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、，设与交于点，利用线段垂直平分线的性质得到，，，结合角平分线的定义和等腰三角形的判定推出，再根据菱形的判定可知四边形即为所求； （2）设与交于点，利用菱形的性质得到，，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、，设与交于点， 是的垂直平分线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形， 点、、的位置即为所求． 【小问2详解】 解：设与交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ． 四边形的面积为120． 18. 如图，在中，是的中点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解： 由（1）可知四边形矩形． ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵ ∴ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：最喜欢的数学类校本课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 随机问卷调查部分七年级学生 调查内容 你最喜欢的数学类校本课程是（必选且只选一门）（ ） A．趣味数学 B．数学文化 C．数学家的故事 D．数学电影赏析 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）请补全统计图． （2）若某校七年级学生有1000人，估算七年级学生中选择趣味数学的有多少人． （3）小明和小华热爱数学，他们分别从以上四门校本课程中选择了一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1）见解析 （2）350人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、折线统计图、用样本估计总体、概率的计算，读懂统计图获取信息，学会用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）由统计图计算出问卷调查的学生人数，进而得到选择数学电影解析的学生人数，即可补全统计图； （2）由统计图可知选择趣味数学的学生占比为，再乘以1000人即可求解； （3）设四门校本课程为，列表得出所有等可能的结果数，再找出两人恰好选到同一门课程的结果数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，问卷调查的七年级学生人数为（人）， 选择数学电影解析的学生人数为（人）， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估算七年级学生中选择趣味数学的有350人． 【小问3详解】 解：设四门校本课程为， 列表如下： 由列表可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程有4种情况， 两人恰好选到同一门课程的概率． 答：两人恰好选到同一门课程的概率为． 20. 已知反比例函数和一次函数． （1）当两个函数图象的交点的横坐标是-2和3时，求一次函数的表达式； （2）当时，两个函数的图象只有一个交点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据两个函数图象的交点的横坐标是-2和3先求出两个交点坐标，然后把两点代入一次函数解析式求出k，b值，即可得到一次函数解析式； （2）两个函数解析式联立组成方程组消去y得到关于x的一元二次方程，根据判别式=0求出b的值. 【详解】解：（1）把-2和3分别代入中，得：和. 把，代入中， . ∴一次函数表达式：； （2）当，则，联立得：， 整理得：， 只有一个交点，即， 则，得． 故b的值为4或-4. 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数交点坐标的求法，先利用反比例函数解析式求出两交点坐标是解本题的关键． 21. 如图1，是斜边上的中线． （1）求证：； （2）如图2，，，点P是上一个点，过点P分别作和的垂线，垂足为E、F．当P在上移动时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1），过点A作，交的延长线于点E，连接，再证明≌，可得四边形是矩形，然后根据矩形的性质得出答案； （2），连接，根据勾股定理求出，进而得出，，并求出，可知，然后根据三角形面积相等得出答案． 【小问1详解】 如图，过点A作，交的延长线于点E，连接， ∴． ∵，， ∴≌， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接，作，于点G， 在中，，， 根据勾股定理，得， ∴． 可知， 即， ∴， 则， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，求三角形的面积等，构造矩形是证明直角三角形斜边的性质的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践 【主题】探究顶角为的等腰三角形 【实践操作】步骤1：如图1，在白纸上剪一个顶角为的等腰三角形； 步骤2：如图2，沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合； 步骤3：如图3，沿着虚线折叠，点恰好落在上． 【实践探索】 （1）证明：． （2）证明：． （3）若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，得到，由（1）知，，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据折叠的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，设，得到，由（）知，，列方程即可得到结论． 【小问1详解】 证明：，， ， 沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）知， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：沿着虚线折叠，点恰好落在上， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ，， 由（2）知，， ∴， 或(不合题意舍去)， ， 故的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. 综合探究 如图，将一张矩形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，取右下角纸片．展开后四边形的形状是菱形（如图）； 菱形中，对角线、交于点，点在边延长线上，平分交于点． （1）如图1，当时，证明：是的中点； （2）如图2，当，大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由； （3）如图3，与的交点为，当点移动时，写出图中新增加的等腰三角形（不增加字母的情况下）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）和 【解析】 【分析】（1）延长交于点，利用菱形的性质得到，，再由得到，再利用直角三角形的性质以及等量代换可得，推出，再利用三线合一性质得到，最后通过证明，即可证明； （2）过点作交于点，设与交于点，由证出，得出，再由得出，得出，最后通过证明，即可得出为定值； （3）先证明，推出，则说明是等腰三角形，再根据菱形的性质和平行线的性质得出，利用直角三角形的性质以及等量代换可得，说明也是等腰三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，延长交于点， 菱形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 又平分， ， 又，， ， ， 是的中点． 【小问2详解】 解：过点作交于点，此时点使得为定值，理由如下： 如图，设与交于点， ， ， 菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为定值． 【小问3详解】 解：菱形， ，，， 又， ， ， 是等腰三角形，； 由（2）得，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形； 综上所述，新增加的等腰三角形有和． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省清远市连州市2024—2025学年上学期期末九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几何体的俯视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的解为（ ） A. B. C. D. 3. 菱形具有而平行四边形没有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 5. 在一个不透明的袋一里有白球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小华通过多次实验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子中白球的个数可能是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 20 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，的周长是10，则的周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 30 8. 如图，在正方形中，等边三角形顶点分别在边和上，则（ ） A. B. C. D. 9. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 点在函数图象上，下列说法错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点和都在图象上 D. 当时， 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则的值为__________________． 12. 一元二次方程x2=9的解是_____________． 13. 矩形各边中点构成的四边形是________． 14. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值为_____． 15. 与的位似比为，原点为它们的位似中心．若点的坐标为，则对应点的坐标可以为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： （1）上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） （2）小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 17. 如图，已知． （1）尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求四边形的面积． 18. 如图，在中，是的中点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 希望中学做了如下表调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：最喜欢的数学类校本课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 随机问卷调查部分七年级学生 调查内容 你最喜欢的数学类校本课程是（必选且只选一门）（ ） A．趣味数学 B．数学文化 C．数学家的故事 D．数学电影赏析 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）请补全统计图． （2）若某校七年级学生有1000人，估算七年级学生中选择趣味数学的有多少人． （3）小明和小华热爱数学，他们分别从以上四门校本课程中选择了一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 20. 已知反比例函数和一次函数． （1）当两个函数图象的交点的横坐标是-2和3时，求一次函数的表达式； （2）当时，两个函数的图象只有一个交点，求的值． 21. 如图1，是斜边上的中线． （1）求证：； （2）如图2，，，点P是上一个点，过点P分别作和的垂线，垂足为E、F．当P在上移动时，求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践 【主题】探究顶角为的等腰三角形 【实践操作】步骤1：如图1，在白纸上剪一个顶角为的等腰三角形； 步骤2：如图2，沿图中虚线对折，点恰好与上的点重合； 步骤3：如图3，沿着虚线折叠，点恰好落在上． 实践探索】 （1）证明：． （2）证明：． （3）若，请直接写出的长． 23. 综合探究 如图，将一张矩形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，取右下角纸片．展开后四边形的形状是菱形（如图）； 菱形中，对角线、交于点，点在边延长线上，平分交于点． （1）如图1，当时，证明：是的中点； （2）如图2，当，的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由； （3）如图3，与的交点为，当点移动时，写出图中新增加的等腰三角形（不增加字母的情况下）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$