专题15 相似三角形（5类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题15 相似三角形 课标要求 考点 考向 1. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2. 通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3. 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4. 了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相 似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。了解相似三角形判定定理的证明。 5. 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6. 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 7. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 相 似 三 角 形 考向一 相似三角形的性质与判定 考向二 相似三角形的应用 考向三 图形的位似 考向四 相似三角形与圆的综合 考向五 相似三角形的综合 考点一 相似三角形 ►考向一 相似三角形的性质与判定 解题技巧 一、相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)三边成比例的两个三角形相似； (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)两角分别相等的两个三角形相似 二、相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于相似比； (3)相似三角形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方 1．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】由DE∥BC，EF∥AC，得四边形EFCD是平行四边形，DE＝CF，设DE＝CF＝x，由△AED∽△ABC，可得，即可解得答案． 【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∴DE＝CF， 设DE＝CF＝x， ∵BF＝8， ∴BC＝BF+CF＝8+x， ∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得x， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例，列出方程解决问题． 2．（2023•鄂州）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE：EQ＝3：2，则的值是 　 　． 【分析】设直角三角形是长直角边是a，短直角边是b，由△AHQ∽△CEQ，得到AH：CE＝HQ：EQ，因此b：a＝（ab）：b，推出a＝2b，由勾股定理求出BCb，由△QEO∽△QCB， 得到，而OP＝OQ，于是得到的值． 【解答】解：设直角三角形是长直角边是a，短直角边是b， ∴BE＝b，EH＝a﹣b， ∵BE：EQ＝3：2， ∴EQb， ∴QH＝EH﹣EQ＝a﹣bb＝ab， ∵AH∥EC， ∴△AHQ∽△CEQ， ∴AH：CE＝HQ：EQ， ∴b：a＝（ab）：b， ∴3a2﹣5ab﹣2b2＝0， ∴a＝2b， ∴BQ＝BE+EQ＝bbb， ∵∠BEC＝90°，BE＝b，CE＝a＝2b， ∴BCb， ∵∠QEO＝∠QCB＝45°，∠EQO＝CQB， ∴△QEO∽△QCB， ∴， ∵赵爽弦图是中心对称图形， ∴OP＝OQ， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由△AHQ∽△CEQ，得到直角三角形长直角边的长是短直角边长的2倍，由△QEO∽△QCB，即可解决问题． 3．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为 　 　，DH的长为 　 　． 【分析】如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．证明△DAF∽△BAE，推出∠ADF＝∠ABE，可得∠DHO＝∠BAO＝90°，解直角三角形求出EF，AJ，EJ，再利用平行线分线段成比例定理求出OJ，再根据cos∠ODH＝cos∠ABO，可得，求出DH． 【解答】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K． ∵∠EAF＝∠BAD＝90°， ∴∠DAF＝∠BAE， ∵， ∴， ∴△DAF∽△BAE， ∴∠ADF＝∠ABE， ∵∠DOH＝∠AOB， ∴∠DHO＝∠BAO＝90°， ∴∠BHD＝90°， ∵AF＝3，AE＝4，∠EAF＝90°， ∴EF5， ∵EF⊥AD， ∴•AE•AF•EF•AJ， ∴AJ， ∴EJ， ∵EJ∥AB， ∴， ∴， ∴OJ， ∴OA＝AJ+OJ4， ∴OB4，OD＝AD﹣AO＝6﹣4＝2， ∵cos∠ODH＝cos∠ABO， ∴， ∴， ∴DH． 故答案为：90°，． 【点评】本题考查矩形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．（2021•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则的值为 　 ；若CE＝CF，则的值为 　 　． 【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得到OA＝OC，即三角形OAC是等腰三角形，又由“三线合一”的性质得到点G是AC的中点，可得OG是△ABC的中位线，可得；由CE＝CF，可得∠CEF＝∠CFE，再根据“对顶角相等”，“直角三角形两锐角互余”等可得∠OFB+∠OBD＝90°，即△OBC是等腰直角三角形，再由OG∥BC，得△BCF∽△DOF，则． 【解答】解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点， ∴OA＝OC＝OB， ∵OD平分∠AOC， ∴OG⊥AC，且点G为AC的中点， ∴OG∥BC，且OGBC，即； ②∵OD＝OA， ∴OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵OG⊥AC， ∴∠DGE＝90°， ∴∠GDE+∠DEG＝90°， ∵CE＝CF， ∴∠CEF＝∠CFE， ∵∠CEF＝∠DEG，∠CFE＝∠OFB，∠ODB＝∠OBD， ∴∠OFB+∠OBD＝90°， ∴∠FOB＝90°，即CO⊥AB， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴BC：OB； 由（1）知，OG∥BC ∴△BCF∽△DOF， ∴． 故答案为：；． 【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等内容，通过导角得到∠FOB＝90°是解题关键．也可得出点A，B，C，D四点共圆，借助圆证明△BCF∽△DOF．也可利用角平分线性质定理进行解答． 5．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，为半径的⊙B上，在x轴的负半轴上取点D（，0），连接BD，分别过C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵点C为平面内一动点，BD， ∴点C在以点B为圆心，为半径的⊙B上， 在x轴的负半轴上取点D（，0）， 连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E， ∵OA＝OB， ∴AD＝OD+OA， ∴， ∵CM：MA＝1：2， ∴， ∵∠OAM＝∠DAC， ∴△OAM∽△DAC， ∴， ∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值， ∵OA＝OB，OD， ∴BD， ∴CD＝BC+BD＝9， ∵， ∴OM＝6， ∵y轴⊥x轴，CF⊥OA， ∴∠DOB＝∠DFC＝90°， ∵∠BDO＝∠CDF， ∴△BDO∽△CDF， ∴，即， 解得CF， 同理可得，△AEM∽△AFC， ∴，即， 解得ME， ∴OE， ∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，）， 故选D． 【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 6．（2021•湖北）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长． 【分析】（1）由两角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEC； （2）由相似三角形的性质可得（）2，即可求解． 【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD． ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACB， 又∵∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEC； （2）∵△ABC∽△DEC； ∴（）2， 又∵BC＝6， ∴CE＝9． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABC∽△DEC是本题的关键． ►考向二 相似三角形的应用 7．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（　　） A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值． 【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB， ∴△COD∽△AOB， ∴AB：CD＝3， ∵CD＝3cm， ∴AB＝9cm， ∵某零件的外径为10cm， ∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值． ►考向三 图形的位似 解题技巧 位似的性质 (1)位似图形的对应角相等； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点，即经过位似中心； (3)位似图形的对应边平行(或在同一条直线上)且成比例； (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方； (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为（k x,k y）或（﹣k x,﹣k y）. 8．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且3．若A（9，3），则A1点的坐标是 　 　． 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，且原点O为位似中心，且，点A（9，3）， ∴9＝3，3＝1， 即A1点的坐标是（3，1）， 故答案为：（3，1）． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． ►考向四 相似三角形与圆的综合 9．（2022•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G． （1）求证：AB＝AC； （2）若DG＝BC＝16，求AB的长． 【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理，勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵EF是⊙O的切线， ∴DA⊥EF， ∵BC∥EF， ∴DA⊥BC， ∵DA是直径， ∴， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴AB＝AC． （2）解：连接DB， ∵BG⊥AD， ∴∠BGD＝∠BGA， ∵∠ABG+∠DBG＝90°，∠DBG+∠BDG＝90°， ∴∠ABG＝∠BDG， ∴△ABG∽△BDG， ∴， 即BG2＝AG×DG， ∵BC＝16，BG＝GC， ∴BG＝8， ∴82＝16×AG， 解得：AG＝4， 在Rt△ABG中，BG＝8，AG＝4， ∴AB＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定定理，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键． 10．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若，求cos∠ABD的值． 【分析】（1）连接OC交BD于点G，可证明四边形EDGC是矩形，可求得∠ECG＝90°，进而可求CE是⊙O的切线； （2）连接BC，设FG＝x，OB＝r，利用，设DF＝t，DCt，利用Rt△BCG∽Rt△BFC的性质求出CG，OG，利用勾股定理求出半径，进而求解． 【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G， ∵点C是的中点， ∴由圆的对称性得OC垂直平分BD， ∴∠DGC＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠EDB＝90°， ∵CE⊥AE， ∴∠E＝90°， ∴四边形EDGC是矩形， ∴∠ECG＝90°， ∴CE⊥OC， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：连接BC，设FG＝x，OB＝r， ∵， 设DF＝t，DCt， 由（1）得，BC＝CDt，BG＝GD＝x+t， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCG+∠FCG＝90°， ∵∠DGC＝90°， ∴∠CFB+∠FCG＝90°， ∴∠BCG＝∠CFB， ∴Rt△BCG∽Rt△BFC， ∴BC2＝BG•BF， ∴（t）2＝（x+t）（2x+t） 解得x1＝t，x2t（不符合题意，舍去）， ∴CGt， ∴OG＝rt， 在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2， ∴（rt）2+（2t）2＝r2， 解得rt， ∴cos∠ABD． 方法二、设CF＝n， 由△CBF∽△CAB，可得CB2＝CF•CA， 则AF， ∵BF， ∵△FDA∽△FCB， ∴， ∴， ∴nt或t（舍去）， ∴BF＝3t， ∴BD＝4t， ∵△FDA∽△FCB， ∴， ∴ADt， ∴AB＝3t， ∴cos∠ABD． 【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质等知识，解决本题的关键是能够利用圆的对称性，得到垂直平分，利用相似与勾股定理的性质求出边，即可解答． 11．（2022•襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，CG＝2，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，证明OD⊥DE即可； （2）根据相等，再由（1）中可得，，从而得到∠CAD＝∠BAD＝∠ABC＝30°，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出△CAG的面积，在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DE∥BC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OD，如图所示， ∵点D为的中点， ∴OD⊥BC ∵DE∥BC， ∴OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接BD，如图所示， ∵， ∴BD＝AC ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴的度数的度数的度数＝60°， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°． ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△ACG中，tan∠CAD，sin ∴CA，AG ∵CG＝2， ∴CA＝26，AG＝4． ∴BD＝CA＝6， ∴S△ACGCG•AC＝6． 在Rt△ABD中，tan∠BAD， ∴AD6． ∵DE∥BC， ∴△CAG∽△EAD， ∴， 即， ∴S△EAD． ∴S阴影部分＝S△EAD﹣S△ACG． 【点评】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，其中利用过圆心，平分弧然后根据垂径定理证明半径垂直于弦是解题的关键． ►考向五 相似三角形的综合题 12．（2022•湖北）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明． 尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：； 应用拓展： （2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）． 【分析】（1）证明△CED∽△BAD，由相似三角形的性质得出，证出CE＝CA，则可得出结论； （2）①由折叠的性质可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，由勾股定理求出BC，则可求出答案； ②由折叠的性质得出∠C＝∠AED＝α，则tan∠C＝tanα，方法同①可求出CD，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB， ∴△CED∽△BAD， ∴， ∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD， ∴∠E＝∠CAD， ∴CE＝CA， ∴． （2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE， 由（1）可知，， 又∵AC＝1，AB＝2， ∴， ∴BD＝2CD， ∵∠BAC＝90°， ∴BC， ∴BD+CD， ∴3CD， ∴CD； ∴DE； ②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α， ∴tan∠C＝tanα， 由（1）可知，， ∴tanα， ∴BD＝CD•tanα， 又∵BC＝BD+CD＝m， ∴CD•tanα+CD＝m， ∴CD， ∴DE． 【点评】本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（2024•武汉）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 【分析】（1）根据中点可得出两边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似； （2）由中点和平行线可以联想作倍长中线全等，即延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，证△AME≌△BFE（AAS），再证△MFH≌△BDC（SAS）即可得证； （3）这一问是建立在第二问的基础上，所以很容易想到构造相似通过线段关系转化求解，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，AFa，证FE垂直平分AB得到AF＝BFa，再证△EGH∽△FGB即可求解． 【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点， ∴，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∴， ∵∠EBF＝∠C＝90°， ∴△BCD∽△FBE； （2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形． ∵E是AB中点， ∴AE＝BE， ∵AM∥BC， ∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE， ∴△AME≌△BFE（AAS）， ∴AM＝BF， ∵AD＝2CF，CF＝DH， ∴AH＝DH＝CF， ∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC， ∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°， ∴△MFH≌△BDC（SAS）， ∴∠AMF＝∠CBD， 又∵∠AMF＝∠BFG， ∴∠CBD＝∠BFG， ∴BG＝FG； 方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH， ∵E是AB中点，H是BD中点， ∴EHAD，EH∥AD， ∵AD＝2CF， ∴EH＝CF， ∵AD∥BC， ∴EH∥CF， ∴四边形EHCF是平行四边形， ∴EF∥CH， ∴∠HCB＝∠GFB， ∵∠BCD＝90°，H是BD中点， ∴CHBD＝BH， ∴∠HCB＝∠HBC， ∴∠GFB＝∠HBC， ∴BG＝FG； （3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形， ∴CF＝DM， ∵AD＝2CF， ∴AM＝DM＝CF， 设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF， ∴AFa， ∵AG＝FG，BG＝FG， ∴AG＝BG， ∵E是AB中点， ∴FE垂直平分AB， ∴BF＝AFa， ∵H是BD中点， ∴EH是△ABD中位线， ∴EHAD＝a，EH∥AD∥BC， ∴△EGH∽△FGB， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识和添加辅助线是解题的关键． 14．（2024•湖北）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H． （1）如图1，求证：△DEP∽△CPH； （2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长； （3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH； （2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度； （3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△BMG∽△MAP，得出大小关系． 【解答】（1）证明：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上， ∴∠EPH＝∠A＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝∠2， ∴△EDP∽△PCH； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∵P为CD中点， ∴DP＝CP1， 设EP＝AE＝x， ∴ED＝AD﹣x＝3﹣x， 在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2， 即x2＝（3﹣x）2+1， 解得x， ∴EP＝AP＝x， ∴ED＝AD﹣AE， ∵△EDP∽△PCH， ∴，即， ∴PH， ∵PG＝AB＝2， ∴GH＝PG﹣PH． （3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上， ∴AP⊥EF，BG⊥直线EF， ∴BG∥AP， ∵AE＝EP， ∴∠EAP＝∠EPA， ∴∠BAP＝∠GPA， ∴△MAP是等腰三角形， ∴MA＝MP， ∵P为CD中点， ∴设DP＝CP＝y， ∴AB＝PG＝CD＝2y， ∵H为BC中点， ∴BH＝CH， ∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH， ∴△MBH≌△PCH（ASA）， ∴BM＝CP＝y，HM＝HP， ∴MP＝MA＝MB+AB＝3y， ∴HPPMy， 在Rt△PCH中，CHy， ∴BC＝2CHy， ∴AD＝BCy， 在Rt△APD中，APy， ∵BG∥AP， ∴△BMG∽△AMP， ∴， ∴BGy， ∴， ∴ABBG． 【点评】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 15．（2023•武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系． 问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值． 【分析】问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．证明△EAJ≌△FEC（SAS），推出∠AJE＝∠ECF，可得结论； （2）结论：∠GCFα﹣90°；在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．证明方法类似； 问题拓展解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．用m表示出BE，CE，可得结论． 【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC， ∵BJ＝BE， ∴AJ＝EC， ∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°， ∴∠CEF＝∠EAJ， ∵EA＝EF， ∴△EAJ≌△FEC（SAS）， ∴∠AJE＝∠ECF， ∵∠BJE＝45°， ∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°； （2）结论：∠GCFα﹣90°； 理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE． ∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°， ∠ABC＝∠AEF， ∴∠EAN＝∠FEC． ∵AE＝EF， ∴△ANE≌△ECF（SAS）． ∴∠ANE＝∠ECF． ∵AB＝BC， ∴BN＝BE． ∵∠EBN＝α， ∴， ∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD； 问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m． ， ∴DG＝m，CG＝2m． 在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°， ∴∠ADP＝60°， ∴ m，， ∴α＝120°， 由（2）知，， ∵∠AGP＝∠FGC， ∴△APG∽△FCG． ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴． ∴． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 16．（2023•宜昌）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF． （1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点． ①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE； ②如图2，当tan∠FCE时，求AF的长； （2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE时，求证：AE＝AF． 【分析】（1）①根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； ②如图2中，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．求出AG，DG，再利用平行线分线段成比例定理求解； （2）如图3中，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．想办法证明AF＝a﹣t，可得结论． 【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵∠CEF＝90°， ∴∠AEF+∠CED＝90°，∠ECD+∠CED＝90°， ∴∠AEF＝∠ECD， ∴△AEF∽△DCE； ②解：如图2中，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H． ∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED， ∴△GEH∽△CED， ∴， ∵CD＝2，AE＝ED＝1， ∴GH＝2HE， 设EH＝m，GH＝2m． ∵CE， ∴CH＝m， ∵tan∠ECF， ∴， ∴m， ∴EH，GH， ∴EG， ∴AG＝EG﹣AE1，DG＝EG+DE1， ∵AF∥CD， ∴， ∴， ∴AF； （3）证明：如图3中，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H． 设AD＝CD＝a，GE＝DE＝t，EH＝x，GH＝y，CE＝n， ∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED， ∴△GEH∽△CED， ∴ ∴， ∴x，y， 在Rt△CGH中，sin∠ECF， ∴CG＝3GH，CH＝2GH， ∴， ∴2y＝x+n， ∴2n， ∴2at＝t2+n2， 在Rt△CDE中，n2＝t2+a2， ∴2at＝2t2+a2， ∴at， ∵AF∥CD， ∴， ∴， ∴AFaa﹣t， ∵AE＝a﹣t， ∴AE＝AF． 解法二：设AE＝x，则DE＝EG＝1﹣x，DG＝2﹣2x， ∴S△CDE＝S△CEG， ∴（1﹣x）×1••， 解得x＝1（负根已经舍去）， ∴AE＝1， 由AF：CD＝AG：DG，可得AF：1＝（1）：， ∴AF＝1． ∴AE＝AF． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 1．（2024•恩施市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（　　） A．（2，6） B．（2.5，4.5） C．（3，9） D．（4，8） 【分析】根据点A、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，A（1.5，0），D（4.5，0）， ∴△ABC与△DEF的相似比为1：3， ∵点C的坐标为（1，3）， ∴点F的坐标为（1×3，3×3），即（3，9）， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换，根据点A、D的坐标求出相似比是解题的关键． 2．（2024•随州一模）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可． 【解答】解：∵∠A是公共角， ∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD， ∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD•AB，即 ，也可判定△ABC∽△ACD， ∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD． 而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握． 3．（2024•洪山区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，交对角线AC于点F，如果，CD＝6，那么BE的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据三角形面积的关系推出，再根据平行四边形的性质AB∥CD，从而推出△AEF∽△CDF，进而利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：设△ADC中AC边上的高为h， 则S△ADFAF×h，S△DFCFC×h， ∵， ∴， ∵平行四边形ABCD中AB∥CD， ∴△AEF∽△CDF， ∴，即， 解得AE＝4， ∵AB＝CD＝6， ∴BE＝AB﹣AE＝6﹣4＝2， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，解题的关键是结合图形由三角形面积的关系推出，注意充分运用数形结合的思想方法． 4．（2024•当阳市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么BD的长是（　　） A．8 B．12 C．16 D．4 【分析】先证明△ABD∽△BCD，根据相似三角形的性质求出BD． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBD＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠ABD+∠A＝90°，∠ADB＝∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝∠A， ∴△ABD∽△BCD， ∴， ∵△BCD和△ABD的面积比为9：16， ∴， ∵CD＝12， ∴BD＝16． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（2024•利川市模拟）将有一边相等的两个直角三角板按图的方式放置，已知∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠DBC＝30°，AC与BD交于点E，则等于（　　） A． B． C． 【分析】由tan30°，得CDCB，由∠ABC＝90°，∠A＝45°，得∠BCA＝∠A＝45°，则AB＝CB，再证明AB∥CD，则△ABE∽△CDE，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠BCD＝90°，∠DBC＝30°， ∴tan30°， ∴CDCB， ∵∠ABC＝90°，∠A＝45°， ∴∠BCA＝∠A＝45°， ∴AB＝CB， ∵∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴， 故选：A． 【点评】此题重点考查锐角三角函数与解直角三角形、直角三角形的两个锐角互余、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABE∽△CDE是解题的关键． 6．（2024•广水市一模）如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．9cm 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：设蜡烛火焰的高度是x cm， 由相似三角形的性质得到：， 解得x＝6， 即蜡烛火焰的高度是6cm． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 7．（2024•随州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（　　） A．1： B．1： C．1：2 D．2：3 【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到，求出ADAB，BDAB，过C作CF⊥AB于F，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OEAB，CFAB，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴， ∴ADAB，BDAB， 过C作CF⊥AB于F，连接OE， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴， ∴OE⊥AB， ∴OEAB，CFAB， ∴S△ADE：S△CDB＝（AD•OE）：（BD•CF）＝（）：（）＝2：3． 故选D． 方法二：连接BE，易知AEAB，BCAB， 由△ADE∽△CDB， ∴S△ADE：S△BDC＝（AE：BC）2＝2：3， 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（2024•建始县模拟）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB＝40cm，BD＝30cm，BN＝22m，则信号塔MN的高度为 　 　m． 【分析】由题意可知，AN＝22.4m，BD＝0.3m，证明△ABD∽△ANM，得到，即可求出信号塔MN的高度． 【解答】解：∵AB＝40cm＝0.4m，BN＝22m， ∴AN＝AB+BN＝22.4m， ∵∠ABC＝∠ANM＝90°， ∴BC∥MN， ∴△ABD∽△ANM， ∴， ∴， ∴MN＝16.8m， 故答案为：16.8． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．（2024•武汉模拟）如图，正方形ABCD纸片的边长为9，点E，F分别在BC，AD上，以EF为折痕折叠正方形ABCD，使顶点B落在CD边上的点H处，AB的对应边GH交AD于点I，当CH＝3时，△FGI的周长是 　 　． 【分析】根据折叠的性质得到EH＝EB，FG＝AF，GH＝AB＝9，∠EHG＝∠B＝90°，∠G＝∠A＝90°，根据勾股定理列出方程，解方程求出EC、EH，证明△ECH∽△HDI，根据相似三角形的性质求出DI、HI，根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：由折叠的性质可知：EH＝EB，FG＝AF，GH＝AB＝9，∠EHG＝∠B＝90°，∠G＝∠A＝90°， 设BE＝x，则EH＝x，EC＝9﹣x， 在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，即x2＝（9﹣x）2+32， 解得：x＝5， 则EH＝5，EC＝4， ∵∠EHG＝90°， ∴∠EHC+∠DHI＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠EHC+∠HEC＝90°， ∴∠HEC＝∠DHI， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ECH∽△HDI， ∴，即， 解得：DI＝4.5，HI＝7.5， ∴FG+FI＝AF+FI＝AI＝9﹣DI＝4.5，GI＝9﹣7.5＝1.5， ∴△FGI的周长＝FG+FI+GI＝4.5+1.5＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、翻转变换、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 10．（2024•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，D，E在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝1，EC＝2，则DE的长是 　 　． 【分析】过点E作EF⊥AC于点F，设DE＝x，则BE＝1+x，BC＝3+x，然后在Rt△ABC中，利用直角三角形的边角关系可得AC，∠C＝30°，再在Rt△CEF中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出EF和CF的长，从而求出AF的长，最后证明△EAB∽△EDA，利用相似三角形的性质可得AE2＝x2+x，从而在Rt△AEF中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：过点E作EF⊥AC于点F， 设DE＝x， ∵BD＝1，EC＝2， ∴BE＝BD+DE＝1+x，BC＝BD+DE+CE＝3+x， ∵∠BAC＝90°，∠B＝60°， ∴AC＝BC•sin60°＝（3+x）•，∠C＝90°﹣∠B＝30°， 在Rt△CEF中，EFCE＝1，CFEF， ∴AF＝AC﹣CF， ∵∠DAE＝60°， ∴∠B＝∠DAE， ∵∠AED＝∠AEB， ∴△EAB∽△EDA， ∴， ∴AE2＝DE•BE＝x（1+x）＝x2+x， 在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2， ∴x2+x＝（）2+1， 解得：或x＝1﹣2（舍去）， ∴DE＝1+2， 故答案为：1+2． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11．（2024•荆州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，点E在△ABC内，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AF⊥DE于点F．若BC＝3，AC＝4，则AF的长为 　 ． 【分析】延长BE交AC于点G，作GH⊥AF于点H，由∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，求得AB＝5，由旋转得∠AED＝∠C＝90°，BE＝BC＝3，可证明四边形EFHG是矩形，由tan∠CBE＝tan∠BAC，cos∠CBE＝cos∠BAC，求得GC，BG，则GA，FH＝EG，再证明△GAH∽△ABC，得，求得AH，则AF＝AH+FH，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长BE交AC于点G，作GH⊥AF于点H，则∠AHG＝∠FHG＝90°， ∵AF⊥DE于点F， ∴∠EFH＝90°， ∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， 由旋转得∠AED＝∠C＝90°，BE＝BC＝3， ∴∠FEG＝90°， ∴四边形EFHG是矩形， ∵∠CBE＝∠BAC， ∴tan∠CBE＝tan∠BAC，cos∠CBE＝cos∠BAC， ∴GCBC3，BGBC3， ∴GA＝AC﹣GC＝4，FH＝EG＝BG﹣BE3， ∵∠EGH＝90°， ∴∠AGH＝∠CBE＝90°﹣∠BGC， ∴∠AGH＝∠BAC， ∵∠AHG＝∠C＝90°， ∴△GAH∽△ABC， ∴， ∴AH， ∴AF＝AH+FH， 故答案为：． 【点评】此题重点考查旋转的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．（2024•洪山区模拟）如图，点D、E、F分别是三角形ABC的边BC、CA、AB上的点，DE∥BA，DF∥CA． （1）求证：∠FDE＝∠A． （2）若BD：DC＝1：4，直接写出的值． 【分析】（1）根据DE∥BA，DF∥CA得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得结论； （2）根据平行线分线段成比例可得BD：CD＝BF：AF＝AE：CE＝1：4，连接AD，根据等高的三角形面积之比等于底之比即可解决，设三角形BDF面积为s，表示出其余三角形的面积， 【解答】（1）证明：∵DE∥BA，DF∥CA， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∴∠FDE＝∠A； （2）解：连接AD，设S△BDF＝s， ∵DF∥CA， ∴BD：CD＝BF：AF＝1：4， ∴S△BDF：S△ADF＝BF：AF＝1：4， ∴S△ADF＝4S△BDF＝4s， ∴S△ADF＝S△DEA＝4s， 又∵DE∥BA， ∴BD：CD＝AE：CE＝1：4， ∴S△ADE：S△CDE＝AE：CE＝1：4， ∴4S△ADE＝S△CDE＝16s， ∵S△ABC＝S△ADE+S△CDE+S△ADF+S△BDF， ∴S△ABC＝4s+16s+4s+s＝25s， ∴． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，高相等的两个三角形面积之比等于底边长之比，平行四边形的判定与性质． 13．（2024•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点F，BE⊥CD，垂足为E，AC＝5，BC＝10． （1）求证：△DBE∽△ABC； （2）若AC＝CF，求AF和ED的长． 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB＝90°，由已知条件可知∠BED＝90°，由同弧所对的圆周角相等得出∠BDE＝∠BAC，即可证明△DBE∽△ABC． （2）过点C作CG⊥AB，垂足为G，由勾股定理求出AB，证明△ACG∽△ABC，由相似三角形的性质得出AC2＝AG•AB，求出AG，由等腰三角形的性质得出，∠CAF＝∠CFA，即可求出AF，根据对顶角相等以及同弧所对的圆周角相进一步得出∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，进一步可求出BD，由（1）得结论得出即可求出ED． 【解答】（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∵所对的圆周角为∠BDE和∠BAC， ∴∠BDE＝∠BAC， ∴△DBE∽△ABC． （2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G， ∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝10， ∴， ∵CG⊥AB， ∴AGC＝∠ACB＝90°， 又∠A＝∠A， ∴△ACG∽△ABC， ∴， 即AC2＝AG•AB， ∴． ∵AC＝CF， ∴，∠CAF＝∠CFA， ∴， ∵∠CFA＝∠BFD，∠CAF＝∠BDF， ∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF， ∴， ∵△DBE∽△ABC， ∴， 即， ∴ED＝3． 【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90°，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． 14．（2024•广水市模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AC于点M，得到△APM． （1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为　 　； （2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长． 【分析】（1）当n＝1时，AB＝BC，可得AP＝BPAB，由PM∥BC，得出△APM∽△ABC，可得，推出CM＝AC﹣AMABABAB，即可得出答案； （2）通过证明△ABP∽△ACM，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）当n＝1时，AB＝BC， ∵∠ABC＝90°， ∴， ∵P为AB的中点， ∴， ∴AP＝BPAB， ∵PM⊥AB， ∴∠APM＝90°， ∴∠APM＝∠ABC， ∴PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， ∴， ∴ACAB，AMAPAB， ∴CM＝AC﹣AMABABAB， ∴， ∴CMBP， 故答案为：CMBP； （2）CMBP的数量关系不变，理由如下： 当n＝2时，AB＝2BC， 则， ∴BCAB，PMAP， 由勾股定理可得：ACAB， AMAP， ∴， ∴ACAB，AMAP， ∴CM＝AC﹣AM（AB﹣AP）BP， 由旋转得：∠CAB＝∠MAP， 即∠BAP+∠CAP＝∠CAM+∠CAP， ∴∠BAP＝∠CAM， ∴△ABP∽△ACM， ∴， ∴CMBP； （3）∵AB＝4，AP＝2， ∴BC＝2，PM＝1， 由勾股定理可得：AC＝2，AM， ∵△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线， ∴∠APM＝90°，PM＝1， ∠APB＝180°﹣90°＝90°， ∴BP2， 当△APM旋转至直线AB上方时，如图， 则BM＝BP+PM＝21； 当△APM旋转至直线AB下方时，如图， 则BM＝BP﹣PM＝21； 综上所述，线段BM的长为21或21． 【点评】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 15．（2024•湖北模拟）某校数学兴趣小组，做了如下研究： 如图，点P是△ABC的BC边上一点，边AP方边在AP右侧作△APQ，且BA＝BC，PA＝PQ，∠ABC＝∠APQ＝α，k，连接CQ． （1）如图1，若α＝60°． ①求证：∠ABC＝∠ACQ；②填空：　 　； （2）如图2，若α＝60°，判断BP与OQ的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若k＝2，AP∥CQ，AD⊥PQ于D，且CQ＝3，求AD的长． 【分析】（1）①）①AB＝BC，PA＝PQ，且∠ABC＝∠APQ＝60°，△ABC和△APQ为等边三角形，证明△ABP≌△ACQ（SAS），即可求解． ②根据①即可求解． （2）证明△ABC∽△APQ，即可求解． （3）k＝2，由（2）知，BP＝2，CQ＝6，AB＝2AC，AP＝2AQ，设AC与PQ相交于点E，证明△APC≌△PAQ（SAS），过点P作PF⊥AQ于点F，即可求解． 【解答】解：（1）①∵AB＝BC，PA＝PQ，且∠ABC＝∠APQ＝60°， ∴△ABC和△APQ为等边三角形， ∴∠BAC＝∠PAQ＝60°， AB＝AC，AP＝AQ， ∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAQ﹣∠PAC， ∴∠BAP＝CAQ， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACQ， ②∵△ABP≌△ACQ（SAS）， ∴BP＝CQ， 即， 故答案为：1． （2）∵∠ABC＝∠APQ，BA＝BC，PA＝PQ，， ∴， ∴△ABC∽△APQ， ∴∠BAC＝∠PAQ， ∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝∠PAQ﹣∠PAC＝∠QAC， ∴， ∴． 故BP与OQ的数量关系为． （3）∵k＝2，由（2）知，BP＝2，CQ＝6，AB＝2AC，AP＝2AQ， 设AC与PQ相交于点E， ∵AP∥CQ， ∴∠ACQ＝∠PAE， ∵∠ACQ＝∠ABP，∠ABP＝∠APQ， ∴∠PAE＝∠APQ， ∴△APE为等腰三角形， ∵∠AEP＝∠CEQ， ∴△APE∽△CEQ， ∴△CEQ为等腰三角形， ∴AE＝PE，CE＝QE， ∴AE+CE＝PE+QE， 即AC＝PQ， ∵PQ＝PA， ∴AC＝PQ＝PA， ∴△APC≌△PAQ（SAS）， ∴AQ＝PC， ∴，， ∴， 即BC＝4PC，BP＝BC﹣PC＝3PC＝6， ∴PC＝2， ∴AQ＝2，PA＝PQ＝4， 过点P作PF⊥AQ于点F， 则AF＝FQ＝1， PF， ∴S△PAQ， ∴AD． 故AD的长为． 【点评】本题考查了相似的综合应用，解题关键在于熟练掌握全等三角形的性质，相似三角形的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 相似三角形 课标要求 考点 考向 1. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2. 通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3. 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4. 了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相 似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。了解相似三角形判定定理的证明。 5. 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6. 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 7. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 相 似 三 角 形 考向一 相似三角形的性质与判定 考向二 相似三角形的应用 考向三 图形的位似 考向四 相似三角形与圆的综合 考向五 相似三角形的综合 考点一 相似三角形 ►考向一 相似三角形的性质与判定 解题技巧 一、相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)三边成比例的两个三角形相似； (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)两角分别相等的两个三角形相似 二、相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于相似比； (3)相似三角形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方 1．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（　　） A． B． C．2 D．3 2．（2023•鄂州）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE：EQ＝3：2，则的值是 　 　． 3．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为 　 　，DH的长为 　 　． 4．（2021•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则的值为 　 ；若CE＝CF，则的值为 　 　． 5．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 6．（2021•湖北）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长． ►考向二 相似三角形的应用 7．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（　　） A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm ►考向三 图形的位似 解题技巧 位似的性质 (1)位似图形的对应角相等； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点，即经过位似中心； (3)位似图形的对应边平行(或在同一条直线上)且成比例； (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方； (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为（k x,k y）或（﹣k x,﹣k y）. 8．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且3．若A（9，3），则A1点的坐标是 　 　． ►考向四 相似三角形与圆的综合 9．（2022•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G． （1）求证：AB＝AC； （2）若DG＝BC＝16，求AB的长． 10．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若，求cos∠ABD的值． 11．（2022•襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，CG＝2，求阴影部分的面积． ►考向五 相似三角形的综合题 12．（2022•湖北）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明． 尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：； 应用拓展： （2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）． 13．（2024•武汉）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 14．（2024•湖北）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H． （1）如图1，求证：△DEP∽△CPH； （2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长； （3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由． 15．（2023•武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系． 问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值． 16．（2023•宜昌）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF． （1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点． ①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE； ②如图2，当tan∠FCE时，求AF的长； （2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE时，求证：AE＝AF． 1．（2024•恩施市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若C（1，3），则点F的坐标是（　　） A．（2，6） B．（2.5，4.5） C．（3，9） D．（4，8） 2．（2024•随州一模）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 3．（2024•洪山区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，交对角线AC于点F，如果，CD＝6，那么BE的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024•当阳市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么BD的长是（　　） A．8 B．12 C．16 D．4 5．（2024•利川市模拟）将有一边相等的两个直角三角板按图的方式放置，已知∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠DBC＝30°，AC与BD交于点E，则等于（　　） A． B． C． 6．（2024•广水市一模）如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．9cm 7．（2024•随州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（　　） A．1： B．1： C．1：2 D．2：3 8．（2024•建始县模拟）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB＝40cm，BD＝30cm，BN＝22m，则信号塔MN的高度为 　 　m． 9．（2024•武汉模拟）如图，正方形ABCD纸片的边长为9，点E，F分别在BC，AD上，以EF为折痕折叠正方形ABCD，使顶点B落在CD边上的点H处，AB的对应边GH交AD于点I，当CH＝3时，△FGI的周长是 　 　． 10．（2024•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，D，E在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝1，EC＝2，则DE的长是 　 　． 11．（2024•荆州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，点E在△ABC内，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AF⊥DE于点F．若BC＝3，AC＝4，则AF的长为 　 ． 12．（2024•洪山区模拟）如图，点D、E、F分别是三角形ABC的边BC、CA、AB上的点，DE∥BA，DF∥CA． （1）求证：∠FDE＝∠A． （2）若BD：DC＝1：4，直接写出的值． 13．（2024•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点F，BE⊥CD，垂足为E，AC＝5，BC＝10． （1）求证：△DBE∽△ABC； （2）若AC＝CF，求AF和ED的长． 14．（2024•广水市模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AC于点M，得到△APM． （1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为　 　； （2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长． 15．（2024•湖北模拟）某校数学兴趣小组，做了如下研究： 如图，点P是△ABC的BC边上一点，边AP方边在AP右侧作△APQ，且BA＝BC，PA＝PQ，∠ABC＝∠APQ＝α，k，连接CQ． （1）如图1，若α＝60°． ①求证：∠ABC＝∠ACQ；②填空：　 　； （2）如图2，若α＝60°，判断BP与OQ的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若k＝2，AP∥CQ，AD⊥PQ于D，且CQ＝3，求AD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$