专题20 概率（5类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题20 概 率 课标要求 考点 考向 随机事件的概率 1.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率。 2.知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率。 概 率 考向一 事件的分类 考向二 概率的意义 考向三 列举法求概率---选择填空题 考向四 用频率估计概率 考向五 统计与概率的综合---解答题 考点一 概率 ►考向一 事件的分类 解题技巧 确定性事件 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 1．（2024•湖北）在下列事件中，必然事件是（　　） A．掷一次骰子，向上一面的点数是3 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180° 【分析】根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【解答】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 2．（2024•武汉）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（　　） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件 【分析】根据必然事件、随机事件的定义进行判断即可． 【解答】解：小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件． 故选：A． 【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 3．（2023•武汉）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（　　） A．点数的和为1 B．点数的和为6 C．点数的和大于12 D．点数的和小于13 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意； B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意； C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意； D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（2023•襄阳）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件以及确定事件的定义结合具体问题情境进行判断即可． 【解答】解：明天襄阳某地下雨的可能性是75%，是说“明天襄阳某地下雨”的可能性较大，但也不一定会下雨，因此是随机事件， 故选：C． 【点评】本题考查随机事件，理解随机事件、必然事件、不可能事件以及确定事件的定义是正确判断的前提． ►考向二 概率的意义 解题技巧 1.概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2.概率的计算 一般地，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件A包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件A发生的概率可利用下面的公式计算：P(A) = ． 5．（2022•襄阳）下列说法正确的是（　　） A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【解答】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意； B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意； C、襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意； D、若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 6．（2023•十堰）掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数偶数， 故其概率是． 故选：C． 【点评】本题考查的是概率的求法的运用．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 7．（2021•宜昌）在六张卡片上分别写有6，，3.1415，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先找出无理数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵六张卡片上分别写有6，，3.1415，π，0，六个数，无理数的是π，， ∴从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是：． 故选：C． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 8．（2024•湖北）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是 　 　． 【分析】根据概率公式计算即可． 【解答】解：因为总共有5人， 所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是． 故答案为：． 【点评】此题考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 9．（2023•襄阳）古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是 　 ． 【分析】根据概率的定义进行计算即可． 【解答】解：古隆中、米公祠、水镜庄、习家池这4处有代表性的旅游景点，被抽到的可能性是均等的，共有4种等可能出现的结果，而选择古隆中的只有1种， 所以选择古隆中的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查概率的计算，理解概率的定义，掌握概率的计算方法是解决问题的前提． 10．（2021•荆州）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 　 ． 【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【解答】解：由题意得， 共有2×4＝8种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种， 故一次打开锁的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键． ►考向三 列举法求概率---选择填空题 11．（2024•武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意列表，由表格可得出所有等可能的结果数以及至少有一辆车向左转的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 直行 左转 右转 直行 （直行，直行） （直行，左转） （直行，右转） 左转 （左转，直行） （左转，左转） （左转，右转） 右转 （右转，直行） （右转，左转） （右转，右转） 由表格可知，共有9种等可能的结果，由表格可知，至少有一辆车向右转的结果有共5种， ∴至少有一辆车向右转的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 12．（2023•武汉）某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：跳高（记为项目1）、跳远（记为项目2）、100米短跑（记为项目3）、400米中长跑（记为项目4）， 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，恰好抽到“100米”和“400米”两项的有2种情况， ∴恰好抽到“100米”和“400米”的概率是：． 故选：C． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13．（2022•武汉）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出A，B两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 列表为： ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC CABD CADB DABC DACB BCAD BDAC CBAD CDAB DBAC DCAB BCDA BDCA CBDA CDBA DBCA DCBA 4个A中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学座位相邻的结果数为12， 故A，B两位同学座位相邻的概率是． 故选：C． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 14．（2022•宜昌）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：列表如下： ① ② ③ ① （①，①） （②，①） （③，①） ② （①，②） （②，②） （③，②） ③ （①，③） （②，③） （③，③） 由表知，共有9种等可能结果，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种结果， 所以小明和小慧选择参加同一项目的概率为， 故选：A． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．（2023•湖北）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为 　 　． 【分析】画树状图表示出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：设等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别为A，B，C，D， 根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果有2种， ∴抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验． 16．（2022•湖北）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，随机出手一次是平局的概率是 　 　． 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：小聪和小明玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下： ∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）． ∴小明和小聪平局的概率为：． 故答案为：． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． ►考向四 用频率估计概率 解题技巧 1.频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率. 2.用频率估计概率： 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率(这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. 3.适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率. 17．（2023•恩施州）县林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　） A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8 【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9左右， 故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9． 故选：C． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． ►考向五 统计与概率的综合---解答题 18．（2023•宜昌）“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 书籍类别 学生人数 A文学类 24 B科幻类 m C漫画类 16 D数理类 8 （1）本次抽查的学生人数是 　 　，统计表中的m＝　 　； （2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是 　 　； （3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数； （4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 【分析】（1）根据A组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；根据总人数，可以计算出B组的人数， （2）根据C组所占的百分比乘以360°即可得到结论； （3）根据题意列式计算即可； （4）根据题意，可以画出相应的树状图，然后他们选择同一社团的概率的概率． 【解答】解：（1）24÷30%＝80（人），80﹣24﹣16﹣8＝32（人），答：本次抽查的学生人数是80人，统计表中的m＝32； 故答案为：80，32； （2）“C漫画类”对应的圆心角的度数是360°72°， 故答案为：72°； （3）1200120（人）， 答：估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数约为120人； （4）列树状图如图所示， 由上可得，一共有16种等可能性，其中他们选择同一社团的可能性有4种， ∴他们选择同一社团的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 19．（2023•随州）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 　 　人，条形统计图中m的值为 　16　，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 　 　； （2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 　 人； （3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 【分析】（1）将基本了解的人数除以其所占百分比即可得到接受调查的学生总数；将接受调查的学生总数减去另外三项人数即可求出M的值；将“非常了解”占比乘以360°即可求出扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数； （2）将该校学生总数乘以样本中该校学生中对心理健康知识“不了解”的占比即可； （3）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到2名女生的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 【解答】解：（1）∵基本了解的有40人，占50%， ∴接受问卷调查的学生共有40÷50%＝80（人）， 条形统计图中m的值为：80﹣20﹣40﹣4＝16， 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：90°， 故答案为：80，16，90°； （2）可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：80040人）， 故答案为：40； （3）画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种， ∴P（恰好抽到2名女生）． 【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 20．（2023•鄂州）2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题． （1）九（1）班共有 　 　名学生；并补全图1折线统计图； （2）请阅读图2，求出D所对应的扇形圆心角的度数； （3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率． 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可；求出D的人数，即可解决问题； （2）由360°乘以D所占的比例即可； （3）画树状图，共有16种等可能的结果，小林和小峰选择相同主题的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）九（1）班共有学生人数为：20÷40%＝50（名）， D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名）， 补全折线统计图如下： 故答案为：50； （2）D所对应扇形圆心角的大小为：360°108°， ∴D所对应的扇形圆心角的度数为：108°； （3）画树状图如图： 共有16种等可能的结果，小林和小峰选择相同主题的结果有4种， ∴小林和小峰选择相同主题的概率为． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及折线统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．掌握概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 21．（2023•湖北）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的m＝　 　，n＝　 ，文学类书籍对应扇形圆心角等于 　 　度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【分析】（1）由喜欢E的人数除以所占百分比得出调查的学生人数，即可解决问题； （2）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读政史类书籍的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）调查的学生人数为：4÷8%＝50（人）， ∴m＝50×36%＝18， ∴n＝50﹣18﹣10﹣12﹣4＝6， 文学类书籍对应扇形圆心角＝360°72°， 故答案为：18，6，72； （2）2000480（人）， 答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人； （3）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB、CC， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（2023•荆州）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）． 组别 身高分组 人数 A 155≤x＜160 3 B 160≤x＜165 2 C 165≤x＜170 m D 170≤x＜175 5 E 175≤x＜180 4 根据以上信息回答： （1）这次被调查身高的志愿者有 　 人，表中的m＝　 　，扇形统计图中α的度数是 　 　； （2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率． 【分析】（1）由A、B、D、E四组的人数除以所占百分比得出这次被调查身高的志愿者人数，即可解决问题； （2）画树状图，求得有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）这次被调查身高的志愿者有：（3+2+5+4）÷（1﹣30%）＝20（人）， ∴m＝20×30%＝6， 扇形统计图中α的度数是：360°54°， 故答案为：20，6，54°； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种， ∴P（刚好抽中两名女志愿者）． 【点评】本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 23．（2023•恩施州）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典•乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A﹣包粽子，B﹣划旱船，C﹣诵诗词，D﹣创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题： （1）请直接写出统计图中m的值，并补全条形统计图； （2）若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数； （3）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率． 【分析】（1）由选择B的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由学校共有学生人数乘以选择D类活动的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）抽取的学生人数为：50÷50%＝100（人）， ∴m＝100×25%＝25， 选择C的人数为：100﹣25﹣50﹣10＝15， 补全条形统计图如下： （2）1800180（人）， 答：估计选择D类活动的人数约有180人； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为． 【点评】此题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 1．（2024•武汉模拟）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．竹篮打水 C．画饼充饥 D．瓜熟蒂落 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、守株待兔，是随机事件，故A符合题意； B、竹篮打水，是不可能事件，故B不符合题意； C、画饼充饥，是不可能事件，故C不符合题意； D、瓜熟蒂落，是必然事件，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 2．（2024•江岸区模拟）下列事件中是必然事件的是（　　） A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：A、床前明月光，是随机事件，不符合题意； B、大漠孤烟直，是随机事件，不符合题意； C、手可摘星辰，是不可能事件，不符合题意； D、黄河入海流，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．（2024•江岸区校级模拟）下列事件是不可能事件的是（　　） A．掷一次质地均匀的正方体骰子，向上的一面是6点 B．在只装有红球和绿球的袋子中摸出一个球，结果是黄球 C．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．通常加热到100℃时，水沸腾 【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【解答】解：A、掷一次质地均匀的正方体骰子，向上的一面是6点可能发生也可能不发生，故A是随机事件， B、在只装有红球和绿球的袋子中摸出一个球，结果是黄球不可能发生，故B是不可能事件， C、经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯可能发生也可能不发生，故C是随机事件， D、通常加热到100℃时，水沸腾一定发生，故D是必然事件． 故选：B． 【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，比较简单． 4．（2024•武汉模拟）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 龙 行 龘 龘 龙 （龙，行） （龙，龘） （龙，龘） 行 （行，龙） （行，龘） （行，龘） 龘 （龘，龙） （龘，行） （龘，龘） 龘 （龘，龙） （龘，行） （龘，龘） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果有8种， ∴抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 5．（2024•武汉模拟）桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃，2张红桃，从中随机抽取3张，下列事件是不可能事件的是（　　） A．摸出三张黑桃 B．摸出三张红桃 C．摸出一张黑桃 D．摸出一张红桃 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、摸出三张黑桃，是随机事件，不符合题意； B、摸出三张红桃，不可能事件，符合题意； C、摸出一张黑桃，是随机事件，不符合题意； D、摸出一张红桃，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6．（2024•五峰县一模）下列说法正确的是（　　） A．了解“某市初中生每天课外阅读书箱时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B．“任意画一个三角形，其内角和是360°这一事件是不可能事件 C．甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校50%的男生引体向上成绩不及格 【分析】直接利用抽样调查、随机事件、以及方差的意义分别分析得出答案． 【解答】解：A．了解“某市初中生每天课外阅读书箱时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，因此选项A不符合题意； B．“任意画一个三角形，其内角和是360°这一事件是不可能事件，因此选项B符合题意； C．甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定，因此选项C不符合题意； D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，不能说明该校50%的男生引体向上成绩不及格，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了抽样调查以及方差、三角形内角和定理、随机事件，正确把握相关定义是解题关键． 7．（2024•东西湖区模拟）小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的3×3的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【解答】解：∵阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率为． 故选：B． 【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 8．（2024•武汉模拟）用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用树状图展示所有4种等可能的结果数，找出一个为红色，另一个转出蓝色的所占结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的有2种， 所以可配成紫色的概率， 故选：D． 【点评】本题考查了列表法或树状图法，解题的关键是掌握列树状图法和概率公式的运用． 9．（2024•新洲区模拟）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种， 所以两次摸到相同颜色的棋子的概率． 故选：C． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 10．（2024•武汉模拟）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【解答】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能， ∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）， 故选：B． 【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键． 11．（2024•竹山县模拟）在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中S1，S2，S3表示电路的开关，L表示小灯泡，R为保护电阻．若闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，则小灯泡L发光的概率为 　 　． 【分析】用列表法列出所有情况，再找出能让小灯泡发光的情况，然后利用概率公式即可求解． 【解答】解：列表如下： 共有6种等可能的情况，必须闭合开关S1、S3灯泡才亮，小灯泡L发光的情况有2种， ∴小灯泡L发光的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查了列表法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 12．（2024•襄州区模拟）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，甲乙二人各自随机从这四部著作中选择一部阅读，他们选中同一部著作的概率是 　 ． 【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及他们选中同一部著作的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将《论语》《孟子》《大学》《中庸》这四部著作分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中他们选中同一部著作的结果有4种， ∴他们选中同一部著作的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 13．（2024•十堰模拟）为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是　 　． 【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可． 【解答】解：将三个小区分别记为A、B、C， 列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种， 所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．（2024•黄石港区一模）湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是 　 　． 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【解答】解：令四个景点：黄鹤楼、神农架、长江三峡、恩施大峡谷，分别为A、B、C、D， 列表得： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可得：共有12种等可能出现的结果，其中刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的情况有2种， ∴他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 15．（2024•咸宁二模）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条径，则它获得食物的概率是 　 　． 【分析】把树枝看作树状图，它展示所有等可能的结果数，再找出有食物的结果数，根据概率公式计算． 【解答】解：根据概率公式可知，蚂蚁获得食物的概率为 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 16．（2024•远安县模拟）为实施“留守学生关爱计划”，某校对全校各班留守学生的人数情况进行了统计，发现各班留守学生只有2名、3名、4名、5名、6名共五种情况，据此制成了如下两幅不完整的统计图： 请结合图中信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）求出该校平均每班有多少名留守学生； （3）某福利机构决定从只有2名留守学生的这些班级中任选两名进行生活资助，请用画树状图或列表的方法，求出所选两名留守学生来自不同班级的概率． 【分析】（1）根据留守学生只有3名得班级个数和所占的百分比，求出调查的总班级数，再求出6名留守儿童的班级个数，从而补全统计图； （2）根据加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）该校班级个数为3÷20%＝15（个）， 6名留守儿童的班级个数为：15﹣（2+3+5+3）＝2（个）， 补图如下： （2）该校平均每班留守儿童的人数为： （2×2+3×3+4×5+5×3+6×2）÷15＝4（个）； （3）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生，设A来自一个班，B来自一个班，如图； 由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自不同班级共有8种情况， 则所选两名留守儿童来自不同班级的概率为：． 【点评】本题考查了加权平均数，条形统计图和扇形统计图以及树状图的画法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图 直接反映部分占总体的百分比大小． 17．（2024•五峰县模拟）湖北省，简称“鄂”，是中国省级行政区，省会位于武汉，地处中国中部，东邻安徽，西连重庆，西北与陕西接壤，南接江西、湖南，北与河南毗邻，承载着丰富的历史遗产和人文景观，独特的文化传统，吸引着很多游客前来探索．某单位组织员工分批参观湖北省内的四个景点：A．武当山、B．三峡、C．神农架旅游区、D．黄鹤楼．该单位对员工最感兴趣的景点人数进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了如图所示两幅不完整的统计图． （1）这次该单位组织旅游的人数是 　 　人； （2）扇形统计图中“C”所对应的扇形圆心角度数是 　 　°； （3）甲、乙两人分别从A．武当山、B．三峡、C．神农架旅游区、D．黄鹤楼这四个景点中随机选择一个景点游览．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择A景点的概率． 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得这次该单位组织旅游的人数． （2）求出选择C景点的人数，用360°乘以选择C景点的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人中至少有一人选择A景点的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）这次该单位组织旅游的人数是12÷30%＝40（人）． 故答案为：40． （2）选择C景点的人数为40﹣12﹣14﹣4＝10（人）， ∴扇形统计图中“C”所对应的扇形圆心角度数是360°90°． 故答案为：90． （3）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人选择A景点的结果有：AA，AB，AC，AD，BA，CA，DA，共7种， ∴甲、乙两人中至少有一人选择A景点的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 18．（2024•十堰三模）某校数学兴趣小组的同学为了解学校各班落实“光盘行动”的情况，分别调研了七、八年级各8个班某一天的餐厨垃圾质量（单位：kg），并将收集的数据按如下方式进行了整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示后共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面提供的是整理和分析后的部分信息：七年级8个班的餐厨垃圾质量分别为：0.9，0.9，0.9，1.5，1.8，1.8，2.4，2.6；八年级8个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据分别为：1.0，1.0，1.0，1.2． 七、八年级抽取的各8个班级餐厨垃圾质量统计表 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比 七年级 1.6 1.65 a 37.5% 八年级 1.6 b 1.0 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）请你通过以上数据，写出上述表中字母的值a＝　 　；b＝　 　；m＝　 ； （2）若学校将从七、八年级餐厨垃圾质量符合A等级的班级中随机抽取两个班级进行调研，请用列表或画树状图的方法计算被抽到的班级刚好是一个七年级一个八年级的概率． 【分析】（1）根据众数，中位数定义和扇形统计图解答即可； （2）先计算出七年级A等级的个数，然后设七年级A等级的班级为七1，七2，七3，八年级A等级的班为八1，最后利用树状图解答即可． 【解答】解：（1）七年级8个班的餐厨垃圾质量分别为：0.9，0.9，0.9，1.5，1.8，1.8，2.4，2.6， 出现次数最多的是0.9， ∴a＝0.9； 由扇形统计图可知，B等级所占的百分比为：， ∴m%＝1﹣50%﹣25%﹣12.5%＝12.5%， ∴m＝12.5； ∴A等级的有：8×12.5＝1（个），B等级的有：8×50%＝4（个）， ∴八年级的中位数 b． 故答案为：0.9，1.1，12.5； （2）七年级A等级的有：8×37.5%＝3（个）， 设七年级A等级的班级为七1，七2，七3，八年级A等级的班为八1， 用树状图表示为： 一共有12种等可能结果，其中被抽到的班级刚好是一个七年级，一个八年级的有6种， ∴被抽到的班级刚好是一个七年级，一个八年级的概率为：． 【点评】本题考查了众数，中位数，扇形统计图，统计表，树状图求概率，概率公式，熟练掌握众数，中位数定义，从统计图或统计表中获取正确信息是解题的关键． 19．（2024•五峰县一模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 　 　；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 　 人； （3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出选择B的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数和该市有1000名中学生参加本次活动，选择A大学的学生人数； （3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率． 【解答】解：（1）本次抽取的学生有：14÷28%＝50（人）， 其中选择B的学生有：50﹣10﹣14﹣2﹣8＝16（人）， 补全的条形统计图如图所示； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为：360°14.4°， 该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有：1000200（人）， 故答案为：14.4°，200； （3）树状图如下所示： 由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种， ∴两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 20．（2024•广水市模拟）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有 　 　人，其中“了解较多”的占 　 　%； （2）请补全条形统计图； （3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 　 　人； （4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率． 【分析】（1）先由了解较少的人数及其所占百分比求出总人数，用“了解较多”的人数除以总人数即可得出所占的百分比； （2）用总人数减去其它人数，求出基本了解的人数，从而补全统计图； （3）用总人数乘以“非常了解”和“了解较多”的学生所占的百分比即可； （4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有4÷8%＝50（人）， “了解较多”的所占的百分比是：100%＝30%． 故答案为：50，30； （2）“基本了解”的人数为50﹣（24+15+4）＝7（人）， 补全图形如下： （3）1000780（人）， 答：估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有780人． 故答案为：780； （4）列表如下： A1 A2 A3 B A1 （A2，A1） （A3，A1） （B，A1） A2 （A1，A2） （A3，A2） （B，A2） A3 （A1，A3） （A2，A3） （B，A3） B （A1，B） （A2，B） （A3，B） 共有12种可能的结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的有6种， 则恰好抽到初一、初二学生各1名的概率为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 概 率 课标要求 考点 考向 随机事件的概率 1.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率。 2.知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率。 概 率 考向一 事件的分类 考向二 概率的意义 考向三 列举法求概率---选择填空题 考向四 用频率估计概率 考向五 统计与概率的综合---解答题 考点一 概率 ►考向一 事件的分类 解题技巧 确定性事件 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 1．（2024•湖北）在下列事件中，必然事件是（　　） A．掷一次骰子，向上一面的点数是3 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180° 2．（2024•武汉）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（　　） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件 3．（2023•武汉）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（　　） A．点数的和为1 B．点数的和为6 C．点数的和大于12 D．点数的和小于13 4．（2023•襄阳）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 ►考向二 概率的意义 解题技巧 1.概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2.概率的计算 一般地，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件A包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件A发生的概率可利用下面的公式计算：P(A) = ． 5．（2022•襄阳）下列说法正确的是（　　） A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 6．（2023•十堰）掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（2021•宜昌）在六张卡片上分别写有6，，3.1415，π，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•湖北）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是 　 　． 9．（2023•襄阳）古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是 　 ． 10．（2021•荆州）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 　 ． ►考向三 列举法求概率---选择填空题 11．（2024•武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（　　） A． B． C． D． 12．（2023•武汉）某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（　　） A． B． C． D． 13．（2022•武汉）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（　　） A． B． C． D． 14．（2022•宜昌）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（　　） A． B． C． D． 15．（2023•湖北）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为 　 　． 16．（2022•湖北）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，随机出手一次是平局的概率是 　 　． ►考向四 用频率估计概率 解题技巧 1.频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率. 2.用频率估计概率： 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率(这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. 3.适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率. 17．（2023•恩施州）县林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　） A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8 ►考向五 统计与概率的综合---解答题 18．（2023•宜昌）“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 书籍类别 学生人数 A文学类 24 B科幻类 m C漫画类 16 D数理类 8 （1）本次抽查的学生人数是 　 　，统计表中的m＝　 　； （2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是 　 　； （3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数； （4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 19．（2023•随州）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 　 　人，条形统计图中m的值为 　16　，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 　 　； （2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 　 人； （3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 20．（2023•鄂州）2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题． （1）九（1）班共有 　 　名学生；并补全图1折线统计图； （2）请阅读图2，求出D所对应的扇形圆心角的度数； （3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率． 21．（2023•湖北）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的m＝　 　，n＝　 ，文学类书籍对应扇形圆心角等于 　 　度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 22．（2023•荆州）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）． 组别 身高分组 人数 A 155≤x＜160 3 B 160≤x＜165 2 C 165≤x＜170 m D 170≤x＜175 5 E 175≤x＜180 4 根据以上信息回答： （1）这次被调查身高的志愿者有 　 人，表中的m＝　 　，扇形统计图中α的度数是 　 　； （2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率． 23．（2023•恩施州）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典•乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A﹣包粽子，B﹣划旱船，C﹣诵诗词，D﹣创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题： （1）请直接写出统计图中m的值，并补全条形统计图； （2）若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数； （3）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率． 1．（2024•武汉模拟）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．竹篮打水 C．画饼充饥 D．瓜熟蒂落 2．（2024•江岸区模拟）下列事件中是必然事件的是（　　） A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流 3．（2024•江岸区校级模拟）下列事件是不可能事件的是（　　） A．掷一次质地均匀的正方体骰子，向上的一面是6点 B．在只装有红球和绿球的袋子中摸出一个球，结果是黄球 C．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．通常加热到100℃时，水沸腾 4．（2024•武汉模拟）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•武汉模拟）桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃，2张红桃，从中随机抽取3张，下列事件是不可能事件的是（　　） A．摸出三张黑桃 B．摸出三张红桃 C．摸出一张黑桃 D．摸出一张红桃 6．（2024•五峰县一模）下列说法正确的是（　　） A．了解“某市初中生每天课外阅读书箱时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B．“任意画一个三角形，其内角和是360°这一事件是不可能事件 C．甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校50%的男生引体向上成绩不及格 7．（2024•东西湖区模拟）小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的3×3的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（2024•武汉模拟）用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（2024•新洲区模拟）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（　　） A． B． C． D． 10．（2024•武汉模拟）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　） A． B． C． D． 11．（2024•竹山县模拟）在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中S1，S2，S3表示电路的开关，L表示小灯泡，R为保护电阻．若闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，则小灯泡L发光的概率为 　 　． 12．（2024•襄州区模拟）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，甲乙二人各自随机从这四部著作中选择一部阅读，他们选中同一部著作的概率是 　 ． 13．（2024•十堰模拟）为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是　 　． 14．（2024•黄石港区一模）湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是 　 　． 15．（2024•咸宁二模）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条径，则它获得食物的概率是 　 　． 16．（2024•远安县模拟）为实施“留守学生关爱计划”，某校对全校各班留守学生的人数情况进行了统计，发现各班留守学生只有2名、3名、4名、5名、6名共五种情况，据此制成了如下两幅不完整的统计图： 请结合图中信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）求出该校平均每班有多少名留守学生； （3）某福利机构决定从只有2名留守学生的这些班级中任选两名进行生活资助，请用画树状图或列表的方法，求出所选两名留守学生来自不同班级的概率． 17．（2024•五峰县模拟）湖北省，简称“鄂”，是中国省级行政区，省会位于武汉，地处中国中部，东邻安徽，西连重庆，西北与陕西接壤，南接江西、湖南，北与河南毗邻，承载着丰富的历史遗产和人文景观，独特的文化传统，吸引着很多游客前来探索．某单位组织员工分批参观湖北省内的四个景点：A．武当山、B．三峡、C．神农架旅游区、D．黄鹤楼．该单位对员工最感兴趣的景点人数进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了如图所示两幅不完整的统计图． （1）这次该单位组织旅游的人数是 　 　人； （2）扇形统计图中“C”所对应的扇形圆心角度数是 　 　°； （3）甲、乙两人分别从A．武当山、B．三峡、C．神农架旅游区、D．黄鹤楼这四个景点中随机选择一个景点游览．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择A景点的概率． 18．（2024•十堰三模）某校数学兴趣小组的同学为了解学校各班落实“光盘行动”的情况，分别调研了七、八年级各8个班某一天的餐厨垃圾质量（单位：kg），并将收集的数据按如下方式进行了整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示后共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面提供的是整理和分析后的部分信息：七年级8个班的餐厨垃圾质量分别为：0.9，0.9，0.9，1.5，1.8，1.8，2.4，2.6；八年级8个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据分别为：1.0，1.0，1.0，1.2． 七、八年级抽取的各8个班级餐厨垃圾质量统计表 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比 七年级 1.6 1.65 a 37.5% 八年级 1.6 b 1.0 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）请你通过以上数据，写出上述表中字母的值a＝　 　；b＝　 　；m＝　 ； （2）若学校将从七、八年级餐厨垃圾质量符合A等级的班级中随机抽取两个班级进行调研，请用列表或画树状图的方法计算被抽到的班级刚好是一个七年级一个八年级的概率． 19．（2024•五峰县一模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 　 　；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 　 人； （3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 20．（2024•广水市模拟）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有 　 　人，其中“了解较多”的占 　 　%； （2）请补全条形统计图； （3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 　 　人； （4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$