专题16 锐角三角函数（5类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题16 锐角三角函数 课标要求 考点 考向 1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 (sinA ,cos A,tan A),知道30°,45°,60°角的三角函数值。 2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 锐 角 三 角 函 数 考向一 锐角三角函数 考向二 解直角三角形的应用---仰角俯角问题 考向三 解直角三角形的应用---方位角问题 考向四 解直角三角形的应用---坡度问题 考向五 解直角三角形的应用---其它问题 考点一 锐角三角函数 ►考向一 锐角三角函数 1．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值． 【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q， ∵OP∥AB， ∴△OCP∽△BCA， ∴CP：AC＝OC：BC＝1：2， ∵∠AOC＝∠AQP＝90°， ∴CO∥PQ， ∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2， ∵P（1，1）， ∴PQ＝OQ＝1， ∴AO＝2， ∴tan∠OAP． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解题的关键． ►考向二 解直角三角形的应用---仰角俯角问题 解题技巧 1、在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． 2、水平线与竖直线的夹角是90°,据此构造直角三角形. 2．（2023•荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 　 　m．（1.73，结果精确到0.1） 【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该旗杆的高度． 【解答】解：由题意可得：tan30°， 解得：BD＝2（米）， tan60°， 解得：DC＝6（米）， 故该校的旗杆高约为：BC＝BD+DC＝813.8（米）， 故答案为：13.8． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．（2023•湖北）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 　 　米．（结果保留根号） 【分析】过点E作EM⊥过点B的水平线于M，过点F作FN⊥过点B的水平线于N，先求出EM的长，在Rt△EBM中求出BM的长，然后求出BN的长，在Rt△FBN中求出FN的长，即可求出DF的长． 【解答】解：如图，过点E作EM⊥过点B的水平线于M，过点F作FN⊥过点B的水平线于N， 由题意可知CM＝DN＝AB＝30米， 又∵CE＝15米， ∴EM＝15米， 在Rt△EBM中，∠EBM＝45°， ∴BM＝EM＝15米， 又∵A是CD的中点， ∴BN＝AD＝AC＝BM＝15米， 在Rt△BFN中，tan∠FBN， ∵∠FBN＝30°，BN＝15米， ∴， ∴FN米， ∴DF＝（30）米． 故答案为：（30）． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键． 4．（2024•武汉） 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度 是 　 　m．（参考数据：tan63°≈2） 【分析】过点C作CD∥BD，延长BA交CH于H，在Rt△BCH中和Rt△ACH中，解直角三角形求出CH，AH，即可求出答案． 【解答】解：过点C作CD∥BD，延长BA交CH于H， 由题意得∠ABD＝∠CDB＝90°， ∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形BDCH是矩形， ∴BH＝CD＝102m， 在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，tan∠BCH， ∴CH51（m）， 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴∠CAH＝45°＝∠ACH，∴AH＝CH＝51m， ∴AB＝BH﹣AH＝51m． 答：黄鹤楼的高度约为51m． 故答案为：51． 【点评】本题主要考查了直角三角形的应用，把实际问题转换为直角三角形问题解决是解决问题的关键． 5．（2023•恩施州）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内． 你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数） 【分析】过B作BF⊥DE于F，于是得到EF＝BC＝3m，BF＝CE，根据勾股定理得到AC4（m），根据等腰直角三角形的性质得到AE＝DE，设AE＝DE＝x m，于是得到BF＝（4+x）m，DF＝（x﹣3）m，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：能，过B作BF⊥DE于F， 则EF＝BC＝3m，BF＝CE， 在Rt△ABC中，∵AB＝5m，BC＝3m， ∴AC4（m）， 在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°， ∴AE＝DE， 设AE＝DE＝x m， ∴BF＝（4+x）m，DF＝（x﹣3）m， 在Rt△BDF中，tan38.7°0.80， 解得x＝31， ∴DE＝31m， 答：信号塔DE的高为31m． 【点评】此题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键． 6．（2024•湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD． 测量数据 ①DB＝10m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6m． ①EB＝10m； ②ED＝2m； ③CD＝1.6m． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan32.5≈0.64． ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度． 【分析】“测角仪”方案：过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到CF＝BD＝10m，BF＝CD＝1.6m，根据三角函数的定义即可得到结论； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到∠CDE＝∠ABE＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：“测角仪”方案：过C作CF⊥AB于F， ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴四边形CDBF是矩形， ∴CF＝BD＝10m，BF＝CD＝1.6m， ∵∠ACF＝32.5°， ∴AF＝CF•tan32.5°＝10×0.64≈6.4（m）， ∴AB＝AF+BF＝6.4+1.6＝8（m）， 答：树AB的高度为8m； “平面镜”方案：∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠CDE＝∠ABE＝90°， ∵∠CED＝∠AEB， ∴△CDE∽△ABE， ∴， ∴， ∴AB＝8， 答：树AB的高度为8m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． ►考向三 解直角三角形的应用---方位角问题 解题技巧 1、以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角（方位角）. 2、通过向南北(东西)方向作垂线,或向航线作垂线,构造直角三角形. 7．（2022•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝　　 小时． 【分析】根据题意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间＝路程÷速度，进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得： ∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里， 在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝10050（海里）， PC＝AP•sin45°＝10050（海里）， 在Rt△BCP中，BC50（海里）， ∴AB＝AC+BC＝（5050）海里， ∴t（1）小时， 故答案为：（1）． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 8．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上． （1）求A，P之间的距离AP； （2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？ 【分析】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案； （2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角． 【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C， 由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20海里， 设PC＝x海里，则BC＝x海里， 在Rt△PAC中， ∵tan30°， ∴x＝1010， ∴PA＝2x＝（2020）海里， 答：A，P之间的距离AP为（2020）海里； （2）因为PC﹣10（3）＝101030﹣1010（1）（）＜0， 所以有触礁的危险； 设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E， 当P到BD的距离PE＝10（3）海里时， 有sin∠PBE， ∴∠PBD＝60°， ∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°， 90°﹣15°＝75°， 因此，要小于75°才安全通过， 答：海监船由B处开始沿南偏东小于75°的方向航行能安全通过这一海域． 【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出小岛到航线的最短距离是得出正确答案的关键． ►考向四 解直角三角形的应用---坡度问题 解题技巧 1、坡面与水平面的夹角叫做坡角.坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 2、坡面与其铅直高度和水平宽度构成直角三角形. 9．（2022•十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（　　） A．m（cosα﹣sinα） B．m（sinα﹣cosα） C．m（cosα﹣tanα） D． 【分析】过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出CD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，计算即可． 【解答】解：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D， 则∠BCD＝α， 在Rt△BCD中，BC＝m，∠BCD＝α， 则BD＝BC•sin∠BCD＝msinα，CD＝BC•cos∠BCD＝mcosα， 在Rt△ACD中，∠ACD＝45°， 则AD＝CD＝mcosα， ∴AB＝AD﹣BD＝mcosα﹣msinα＝m（cosα﹣sinα）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 10．（2023•湖北）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，根据题意可得：AF⊥BC，DE＝AF，再根据已知可设AF＝3x米，则BF＝4x米，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AB的长，再在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出AF的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E， 由题意得：AF⊥BC，DE＝AF， ∵斜面AB的坡度i＝3：4， ∴， ∴设AF＝3x米，则BF＝4x米， 在Rt△ABF中，AB5x（米）， 在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米， ∴DE＝CD•sin18°≈20×0.31＝6.2（米）， ∴AF＝DE＝6.2米， ∴3x＝6.2， 解得：x， ∴AB＝5x≈10.3（米）， ∴斜坡AB的长约为10.3米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11．（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求： （1）两位市民甲、乙之间的距离CD； （2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号） 【分析】（1）根据斜坡CF的坡比＝1：3，可得GC＝3DG＝90米，然后在Rt△DGC中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DG＝BH＝30米，DH＝BG，设BC＝x米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数 定义求出AB的长，从而求出AH，DH的长，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米， ∴， ∴GC＝3DG＝90（米）， 在Rt△DGC中，DC30（米）， ∴两位市民甲、乙之间的距离CD为30米； （2）过点D作DH⊥AB，垂足为H， 则DG＝BH＝30米，DH＝BG， 设BC＝x米， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴AB＝BC•tan45°＝x（米）， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米， 在Rt△ADH中，∠ADH＝30°， ∴tan30°， ∴x＝6090， 经检验：x＝6090是原方程的根， ∴AB＝（6090）米， ∴此时飞机的高度AB为（6090）米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． ►考向五 解直角三角形的应用---其它问题 12．（2023•武汉）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 　 　cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝2，再通过解直角三角形可求得OE的长，进而可求解． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E， 在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°， ∴CE＝BD＝2cm， 在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°， ∴tan37°， ∴OE＝2.7cm， 即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7cm． 故答案为：2.7． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 13．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（　　）（参考数据：1.414，1.732） A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米 【分析】由∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，得∠ABC＝∠ACB＝45°，则AC＝AB＝5米，由∠BAD＝90°，∠D＝30°，得∠ABD＝60°，则tan60°，所以ADAB，则CD＝AD﹣ACAB﹣AC≈3.66米，于是得到问题的答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴AC＝AB＝5米， 在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠D＝30°， ∴∠ABD＝60°， ∴tan∠ABD＝tan60°， ∴ADAB， ∴CD＝AD﹣ACAB﹣AC≈1.732×5﹣5≈3.66（米）， ∴CD的长度约为3.66米， 故选：D． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出ADAB是解题的关键． 14．（2023•黄石）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PFkm，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为 　 　km（结果保留π）． 【分析】设OP＝OQ＝r km．由FQ是⊙O的切线，可得cos∠FOQ，由此构建方程求出r，再利用弧长公式求解． 【解答】解：设OP＝OQ＝r km． 由题意，FQ是⊙O的切线， ∴FQ⊥OQ， ∵cos∠FOQ， ∴0.9， ∴r＝6400， ∴的长π（km）． 故答案为：π． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解． 15．（2022•武汉）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是 　 　m． 【分析】过点C作CE⊥BD，在Rt△BCE中先求出CE，再在Rt△DCE中利用边角间关系求出CD． 【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E． ∵∠ABC＝150°， ∴∠DBC＝30°． 在Rt△BCE中， ∵BC＝1600m， ∴CEBC＝800m，∠BCE＝60°． ∵∠BCD＝105°， ∴∠ECD＝45°． 在Rt△DCE中， ∵cos∠ECD， ∴CD ＝800（m）． 故答案为：800． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 16．（2022•宜昌）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25） 如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上． （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 【分析】（1）根据α的取值范围得出，当α＝72°时，AO取得最大值，利用三角函数求出此时的AO值即可； （2）根据cos∠ABO得出函数值，判断出∠ABO的度数，再根据角度得出结论即可． 【解答】解：（1）53°≤α≤72°，当α＝72°时，AO取最大值， 在Rt△AOB中，sin∠ABO， ∴AO＝AB•sin∠ABO＝4×sin72°＝4×0.95＝3.8（米）， ∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8米； （2）在Rt△AOB中，cos∠ABO1.64÷4＝0.41， ∵cos66°≈0.41， ∴∠ABO＝66°， ∵53°≤α≤72°， ∴人能安全使用这架梯子． 【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键． 1．（2024•十堰一模）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作BC的垂线，构造直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， AB， cos∠B． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形，熟知余弦的定义是解题的关键． 2．（2024•湖北模拟）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（　　） A．8m B．10m C． D． 【分析】根据余弦的定义得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，cos∠ACB， 则， 设BC＝4x m，则AC＝5x m， 由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（5x）2＝62+（4x）2， 解得：x＝2（负值舍去）， 则AC＝5x＝10m， 故选：B． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024•孝感模拟）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得∠A＝55°，阳光垂直照射地面时雕塑的影长AC＝2m，则雕塑的高BC的长约为（　　） （参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果保留两位小数） A．2.86m B．1.64m C．1.14m D．1.40m 【分析】根据题意可得：BC⊥AC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：BC⊥AC， 在Rt△ABC中，∠A＝55°，AC＝2m， ∴BC＝AC•tan55°≈2×1.43＝2.86（m）， ∴雕塑的高BC的长约为2.86m， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．（2024•曾都区三模）如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角β，则建筑物AB与CD的高度之比为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据矩形的性质得到BE＝CD，BC＝DE，设DE＝BC＝x，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， 则四边形BCDE是矩形， ∴BE＝CD，BC＝DE， 设DE＝BC＝x， 在Rt△ABC中，∠ACB＝β， ∴AB＝BC•tanβ， 在Rt△ADE中，∠ADE＝α， ∴AE＝DE•tanα＝BC•tanα， ∴CD＝AB﹣AE＝BC•tanβ﹣BC•tanα， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2024•茅箭区校级一模）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米 【分析】图所示，过点B作BD⊥AC于D，由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，利用三角形内角和定理求出∠C＝45°，再求出∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，得到千米，CD＝BD，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出BC的长． 【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D， 由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠BDA＝90°， ∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C， ∴（千米），CD＝BD， ∴（千米）， ∴（千米）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6．（2024•云梦县模拟）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少米/秒．（结果精确到1米；参考数据：，）（　　） A．336 B．335 C．334 D．333 【分析】根据题意可得：∠BOC＝90°，先在Rt△AOD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AO，DO的长，从而求出OC的长，然后在Rt△BOC中，利用锐角三角函数的定义求出BO的长，从而求出AB的长，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：∠BOC＝90°， 在Rt△AOD中，AD＝4000米，∠ADO＝30°， ∴AOAD＝2000（米）， DOAO＝2000（米）， ∵CD＝460米， ∴OC＝OD﹣CD＝（2000460）米， 在Rt△BOC中，∠BCO＝45°， ∴BO＝OC•tan45°＝（2000460）米， ∴AB＝OB﹣OA＝2000460﹣2000＝（20002460）米， ∴飞船从A到B处的平均速度335（米/秒）， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．（2024•武汉模拟）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是 　 　．（结果保留根号） 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，进而利用BD＝AB•sin∠BAD，，求出即可． 【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D， 由已知条件可得：∠ABC＝90°+15°＝105°， 则∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°， ∴， ∴． 故答案为：海里． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 8．（2024•湖北模拟）学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 　 　． 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据BC＝BD+CD，再分别利用正弦余弦三角函数求出BD和AD的值即可得到本题答案． 【解答】解：点A作AD⊥BC于点D， 由题意可得：∠ABD＝30°，∠CAB＝105°， ∴∠DAB＝60°，∠CAD＝45°， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴CD＝AD； 在△ABD中，AB＝300米， ∴（米）， （米）， ∴CD＝AD＝150米， ∵BC＝BD+CD， ∴米， 故答案为：米． 【点评】本题考查解直角三角形方向角的应用，关键是锐角三角函数的应用． 9．（2024•广水市模拟）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为　 　cm．（结果精确到1cm，参考数据：1.414，1.732，2.449） 【分析】如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：如图2，过C作CD⊥MN于D， 则∠CDB＝90°， ∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm）， ∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝4020（cm）， ∵∠ACB＝15°， ∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°， ∴BCCD202020×2.449≈49（cm）， 故答案为49． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 10．（2024•武昌区校级模拟）如图所示是消防员救援时攀爬云梯的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4m，BC＝1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为 　 m．（结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 【分析】延长CD交AE于点F，得Rt△ACF和矩形BCFE，得出FE＝BC，再由锐角三角函数定义求出AF的长，即可得出结果． 【解答】解：如图，延长CD交AE于点F， ∵AE⊥BE，BC⊥BE， ∴∠CBE＝∠AEB＝90°， ∵CD∥BE， ∴∠CFE＝90°， ∴∠AFC＝90°，四边形BCFE是矩形， ∴FE＝BC＝1.26m， 由题意得：∠ACD＝70°， 在Rt△AFC中，AF＝AC•sin∠ACD≈10.4×0.94＝9.78（m）， ∴AE＝AF+EF＝9.78+1.26≈11（m）， 故答案为：11． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 11．（2024•青山区模拟）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝3，无人机沿水平线AF方向继续飞行80m至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，若MC＝100m，则河流的宽度CD为 　 　m． 【分析】根据题意，作BE⊥MD于点E，然后根据锐角三角函数，可以得到AM，DE的长，然后即可计算出CD的长． 【解答】解：作BE⊥MD于点E，如图所示，则四边形ABEM是矩形， ∴ME＝AB，AM＝BE 由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝3，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD， ∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α， ∵tanα＝3， ∴3， ∴AM＝300米， ∴BE＝300米， ∵tan∠BDE， ∴tan30°， 解得DE＝300米， ∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+300100＝（30020）（米）， 故答案为：（30020）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12．（2024•武汉模拟）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．则安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为 　 　．（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°，cos22°，tan22°≈0.4，sin37°） 【分析】由题意知，AB＝3米，CE＝0.5米，∠BAD＝37°，如图，作BF⊥AD于F，则四边形BCDF是矩形，CD＝BF，BC＝DF，则CD＝BF＝AB•sin37°，AF＝AB•cos37°，DE＝CD﹣CE，，根据BC＝DF＝AD﹣AF，求解作答即可． 【解答】解：由题意知，AB＝3米，CE＝0.5米，∠BAD＝37°， 如图，作BF⊥AD于F， ∵∠BFD＝∠CDF＝∠DCB＝90°， ∴四边形BCDF是矩形， ∴CD＝BF，BC＝DF， ∴（米），（米）， ∴DE＝CD﹣CE＝1.3米， ∴（米）， ∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米）， 故答案为：0.9米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 13．（2024•孝感一模）如图，学校教学楼AB的后面有一栋宿舍楼CD，当光线与地面的夹角是25°时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高3m的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20m的距离（B，F，C在一条直线上），则教学楼AB的高度为 　 　m．（结果精确到1m，参考数据：sin25°≈0.42．cos25°≈0.91，tan25°≈0.47） 【分析】作EH⊥AB于H，根据正切的定义用AH表示出EH，根据等腰直角三角形的性质得到AB＝BF，结合图形列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：作EH⊥AB于H， ∵AB⊥BC，DC⊥BC，EH⊥AB， ∴四边形HBCE为矩形， ∴BH＝CE＝3，EH＝BC， 在Rt△AHE中，tan∠AEH， ∴EHAH， 在Rt△ABF中，∠AFB＝45°， ∴BF＝AB＝AH+3， 由题意得，AH﹣（AH+3）＝20， 解得，AH≈20， ∴AB＝AH+BH＝23， 故答案为：23． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．（2024•恩施市校级一模）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：1.414，1.732，结果精确到0.1m） 【分析】根据矩形的性质得到BE＝AD＝10m，根据三角函数的定义得到BD，解直角三角形求得BFBC，CFBC，DF＝CF，于是得到BCBC＝20，解得BC≈14.6m． 【解答】解：作DE⊥BC于E，CF⊥BD于F， 在Rt△BED中，BE＝AD＝10m，∠EDB＝30°， ∴∠EBD＝60°，BD＝2BE＝20m， 在Rt△CBF中，∠CBF＝60°， ∴BFBC，CFBC， 在Rt△CDF中，∠CDF＝45°， ∴DF＝CFBC， ∵BD＝BF+DF， ∴BCBC＝20， ∴BC14.6（m）， 答：乙居民楼的高约为14.6m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 15．（2024•随州一模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°． （1）求点A到墙面BC的距离； （2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 【分析】（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据题意可得：AG＝CF，AF＝CG＝4.8米，从而可得DG＝3米，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出CF的长，再在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F， 在Rt△ABF中，AB＝5米，∠BAF＝16°， ∴AF＝AB•cos16°≈5×0.96＝4.8（米）， ∴点A到墙面BC的距离约为4.8米； （2）过点A作AG⊥CE，垂足为G， 由题意得：AG＝CF，AF＝CG＝4.8米， ∵CD＝1.8米， ∴DG＝CG﹣CD＝4.8﹣1.8＝3（米）， 在Rt△ADG中，∠ADG＝45°， ∴AG＝DG•tan45°＝3（米）， ∴CF＝AG＝3米， 在Rt△ABF中，AB＝5米，∠BAF＝16°， ∴BF＝AB•sin16°≈5×0.28＝1.4（米）， ∴BC＝BF+CF＝1.4+3＝4.4（米）， ∴遮阳篷靠墙端离地高BC的长为4.4米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 锐角三角函数 课标要求 考点 考向 1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 (sinA ,cos A,tan A),知道30°,45°,60°角的三角函数值。 2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 锐 角 三 角 函 数 考向一 锐角三角函数 考向二 解直角三角形的应用---仰角俯角问题 考向三 解直角三角形的应用---方位角问题 考向四 解直角三角形的应用---坡度问题 考向五 解直角三角形的应用---其它问题 考点一 锐角三角函数 ►考向一 锐角三角函数 1．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　） A． B． C． D．3 ►考向二 解直角三角形的应用---仰角俯角问题 解题技巧 1、在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． 2、水平线与竖直线的夹角是90°,据此构造直角三角形. 2．（2023•荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 　 　m．（1.73，结果精确到0.1） 3．（2023•湖北）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 　 　米．（结果保留根号） 4．（2024•武汉） 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度 是 　 　m．（参考数据：tan63°≈2） 5．（2023•恩施州）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内． 你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数） 6．（2024•湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD． 测量数据 ①DB＝10m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6m． ①EB＝10m； ②ED＝2m； ③CD＝1.6m． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan32.5≈0.64． ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度． ►考向三 解直角三角形的应用---方位角问题 解题技巧 1、以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角（方位角）. 2、通过向南北(东西)方向作垂线,或向航线作垂线,构造直角三角形. 7．（2022•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝　　 小时． 8．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上． （1）求A，P之间的距离AP； （2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？ ►考向四 解直角三角形的应用---坡度问题 解题技巧 1、坡面与水平面的夹角叫做坡角.坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 2、坡面与其铅直高度和水平宽度构成直角三角形. 9．（2022•十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（　　） A．m（cosα﹣sinα） B．m（sinα﹣cosα） C．m（cosα﹣tanα） D． 10．（2023•湖北）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 11．（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求： （1）两位市民甲、乙之间的距离CD； （2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号） ►考向五 解直角三角形的应用---其它问题 12．（2023•武汉）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 　 　cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 13．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（　　）（参考数据：1.414，1.732） A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米 14．（2023•黄石）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PFkm，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为 　 　km（结果保留π）． 15．（2022•武汉）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是 　 　m． 16．（2022•宜昌）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25） 如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上． （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 1．（2024•十堰一模）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•湖北模拟）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（　　） A．8m B．10m C． D． 3．（2024•孝感模拟）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得∠A＝55°，阳光垂直照射地面时雕塑的影长AC＝2m，则雕塑的高BC的长约为（　　） （参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果保留两位小数） A．2.86m B．1.64m C．1.14m D．1.40m 4．（2024•曾都区三模）如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角β，则建筑物AB与CD的高度之比为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•茅箭区校级一模）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米 6．（2024•云梦县模拟）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少米/秒．（结果精确到1米；参考数据：，）（　　） A．336 B．335 C．334 D．333 7．（2024•武汉模拟）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是 　 　．（结果保留根号） 8．（2024•湖北模拟）学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 　 　． 9．（2024•广水市模拟）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为　 　cm．（结果精确到1cm，参考数据：1.414，1.732，2.449） 10．（2024•武昌区校级模拟）如图所示是消防员救援时攀爬云梯的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4m，BC＝1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为 　 m．（结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 11．（2024•青山区模拟）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝3，无人机沿水平线AF方向继续飞行80m至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，若MC＝100m，则河流的宽度CD为 　 　m． 12．（2024•武汉模拟）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．则安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为 　 　．（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°，cos22°，tan22°≈0.4，sin37°） 13．（2024•孝感一模）如图，学校教学楼AB的后面有一栋宿舍楼CD，当光线与地面的夹角是25°时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高3m的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20m的距离（B，F，C在一条直线上），则教学楼AB的高度为 　 　m．（结果精确到1m，参考数据：sin25°≈0.42．cos25°≈0.91，tan25°≈0.47） 14． （2024•恩施市校级一模）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：1.414，1.732，结果精确到0.1m） 15．（2024•随州一模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°． （1）求点A到墙面BC的距离； （2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$