黄金卷05（江西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江西专用） 黄金卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1． 的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 的相反数是 ， 故答案为：B. 2．下列计算正硧的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、 ，A错误； B、 ，B正确； C、 ，C错误； D、 ，D错误； 故答案为：B. 3． 如图，五个小正方体叠成了一个立体图形，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、∵该图形是几何体的俯视图，∴A符合题意； B、∵该图形不是几何体的三视图，∴B不符合题意； C、∵该图形是几何体的左视图不是俯视图，∴C不符合题意； D、∵该图形不是几何体的三视图，∴D不符合题意； 故答案为：A. 4．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵MN∥EF ∴∠MBC=∠1=70° ∵∠MBD=∠2=42° ∴∠DBC=∠MBC-∠MBD=28° 故答案为：B. 5．如图，平行四边形，F为中点，延长至E，使：，连接交于点G，若的面积是1，则五边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， 为中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 取的中点Q，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：D． 6．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动.设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过点B作BE⊥AD于点 E，如图所示： 边长为4的菱形，ABCD中，∠A＝60°， ∴AB＝AD＝BC＝4， ∴∠ABE＝30°， ∴AE＝2，BE＝2 ， 当点P从点A运动到点B时，过点P作PF⊥AD于点F， 则AP＝x，AF＝ x，PF＝ x， S△ADP＝ •AD•PF＝ • x＝ x， ∴△ADP的面积逐渐增大； 当在线段BC上时， S△ADP＝ •AD•BE＝ ×2 ＝4 ， ∴△ADP的面积保持不变； 当点P在线段CD上时，如图，过点P作PM⊥AD交AD的延长线于点M， 则AB+BC+CP＝x， 则DP＝12﹣x，DM＝6﹣ x，PM＝ DM＝6 ﹣ x， S△ADP＝ •AD•PM＝ ×（6 ﹣ x）＝12 ﹣ x， ∴△ADP的面积逐渐减小. 故答案为：A. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．因式分解＝　 　． 【答案】2（2x+y）（2x-y） 【解析】解： ． 故答案为：2（2x+y）（2x-y）． 8．已知方程的两个根分别为，，则的值为　 　． 【答案】 【解析】解：∵方程的两个根分别为，， ∴， 故答案为：-3 9．一组数据为1，3，2，2，a，b，c，唯一众数是3，平均数是2，则这组数据的中位数是　 　． 【答案】2 【解析】解：∵唯一众数是3， ∴a，b，c三个数中，有2个数均为3， 不妨设a=3，b=3， ∵平均数是2， ∴（1+3+2+2+3+3+c）÷7=2， 解得：c=0， ∴把这一组数从小到大排列为0，1， 2，2，3，3，3，位于第4位的数为2， ∴这组数据的中位数是2． 故答案为：2 10． 乡村振兴，交通先行．近年来，某县高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．该县准备修一条道路，在修建600米后，剩下的4800米道路采用新的修建技术，每天修建的长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务．设原来每天修建道路米，则根据题意可列方程：　 　． 【答案】 【解析】解：设原来每天修建道路米， 根据题意可得：， 故答案为：. 11．如图，将长方形ABCD沿EF所在直线折叠，点C落在点H处，点D落在AB边上的点G处，若∠AEG＝32°，则∠EFC等于　 　． 【答案】106° 【解析】解：∵∠AEG＝32°， ∴∠DEG＝148°， ∵将长方形ABCD沿EF所在直线折叠，点C落在点H处，点D落在AB边上的点G处， ∴∠DEF＝∠FEG=∠DEG＝74°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC＝180°， ∴∠EFC＝106°， 故答案为：106°． 12． 如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为　 　． 【答案】，或 【解析】解：点和点，是的一条直径， ，，， ， 半径， 如图，作轴于点交于， ， 则，， ， ，， ， ； 作轴于，交于，则，， ， ，， ， ； 作交轴于，交于，则，， ， 作于，则， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ； 综上所述，点的坐标为，或， 故答案为：，或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）解：原式 ； （2）解：， 解得， 解得． 故不等式组的解集为． 14．先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程： 解：原式① ② ③… （1）上面的运算过程中第　 　步出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程． 【答案】（1）③ （2）解：原式 ＝ ＝． ∵x是满足条件的非负整数 ∴， ∵由于分母不为0， ∴， ∴ ∴原式或． 15．如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． （1）如图1，若点是的中点，试画出的平分线； （2）如图2，若，试画出的平分线． 【答案】（1）解：如图所示，连接并延长，交于点，连接，则即为所求； ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求 ∵ ∴ ∴ ∴， 连接， ∴垂直平分 ∴ ∴ 16． 如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． （1）求证：． （2）当，，求的值． 【答案】（1）证明：， ， ，， ， （2）解：如图，连接， 是的中点，， ，， ，， ， 由（1）可知，， ， 17．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为　 　． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】（1） （2）解：画树状图如解图， 由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种， 则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为． 【解析】解：由题意可得： 小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 故答案为： 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18． 如图，一次函数的图象与y轴相交于点，与反比例函数的图象交于点，B． （1）求反比例函数和直线的解析式． （2）C为线段延长线上一点，作，与反比例函数交于点D，连接．当四边形为平行四边形时，求点C的坐标． 【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为． 点在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为． 设一次函数的解析式为． 点的一次函数的图象上， ． 将点代入，得，解得， 一次函数的解析式为 （2）解：四边形为平行四边形， ． 设点C的坐标为， 点D的坐标为， ， 解得，（舍去）， 点C的坐标为． 19． 某校为了有效提升学生综合素质，同时减轻学生课业负担，决定在全校开展丰富多彩的学生课外活动，经研究确定课外活动类型为体育、社会实践、文化艺术、科技创新和读书共五类项目，并在组织活动前进行了初步调查，调查要求在以上五类项目中只能选一项最感兴趣的一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的统计图，请解答下列问题： （1）求m的值； （2）补全条形统计图； （3）求“社会实践”所对扇形圆心角的度数； （4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢读书活动的学生数，根据统计图中的数据，请你针对课外活动提出一条合理化建议． 【答案】（1）解：根据题意： （2）解：“社会实践”的人数为：． 补全图形如下： （3）解：所对应扇形的圆心角的度数为： （4）解：估计该校最喜欢读书活动的学生数：人． 建议：学校鼓励学生多参加体育活动，强身健体． 20．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：． （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．课本改编 （1）如图1，四边形为的内接四边形，为的直径，则　 　度， 　 　度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补． （3）知识运用 如图3，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点 D，E，F 是线段的中点，连接，求证：是的切线． 【答案】（1）90；180 （2）解：如图，连接并延长，交于点E，连接 由(1)可知，，， ， ， 即圆内接四边形的对角互补 （3）证明：连接，如图所示. ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 是线段的中点， 是的半径， 是的切线 【解析】解：（1）∵四边形为的内接四边形，为的直径， ∴°， ∵ ∴ 故答案为：90，180 22．2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 ▲ ▲ 6.25 ①求抛物线的解析式． ②补全表格． （2）信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要的时间才能完成极具难度的跳水动作． ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？ ②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度与水平距离的关系为．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是 ▲ ． 【答案】（1）解：①设函数解析式为， 抛物线经过点，， 把点，代入， 得解得 抛物线的解析式为； ②11.25，10 （2）解：①由题意，得最高点B的坐标为， 她到水面的距离与时间之间满足． 当时，． ， 运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作； ② 【解析】解：（1）①设函数解析式为， 抛物线经过点，， 把点，代入， 得 解得 抛物线的解析式为； 故答案为：； ②将x=3.5代入，可得y=11.25； 将x=4代入，可得y=10， 故答案为：11.25；10； （2）①由题意，得最高点B的坐标为， 她到水面的距离与时间之间满足． 当时，． ， 运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作； ②∵y=nx2-8nx+15n+10=n（x-4）2-n+10（n<0）， ∴最高点的坐标为（4，-n+10）， ∴运动员第二次跳水到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h=-5t2-n+10， 当h=0时，， 当t≥1.6时，运动员能够完成此动作， ∴， 解得：n≤-2.8， ∴当n≤-2.8时，运动员能够完成此动作， 故答案为：n≤-2.8. 六、解答题（本大题共12分） 23．【问题背景】 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）． （1）【特例证明】 如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，. ①填空： ▲ ； ②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．） （2）【类比探究】 如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由． （3）【拓展运用】 如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值． 【答案】（1）解：①1； ②证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 过点作交于， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴． （3）解：过点作交于，作于，作于， 则， ∴， 即， ∴， 由（2）和已知条件可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则，，， ∴， ∴． 【解析】解：（1）①由正方形的性质可知：， ∵将的直角顶点与点重合， ∴， 故答案为：1 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江西专用） 黄金卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1 2 3 4 5 6 B B A B D A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．2（2x+y）（2x-y）． 8．-3 9．2 10． . 11．106°． 12．，或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．【答案】（1）解：原式 ； (3分) （2）解：， 解得， 解得． 故不等式组的解集为． (6分) 14．（1）③ (1分) （2）解：原式 ＝ ＝． (4分) ∵x是满足条件的非负整数 ∴， ∵由于分母不为0， ∴， ∴ ∴原式或． (6分) 15．（1）解：如图所示，连接并延长，交于点，连接，则即为所求； (3分) ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求 (6分) ∵ ∴ ∴ ∴， 连接， ∴垂直平分 ∴ ∴ 16．（1）证明：， ， ，， ， (3分) （2）解：如图，连接， 是的中点，， ，， ，， ， 由（1）可知，， ， (6分) 17．（1） (2分) （2）解：画树状图如解图， (4分) 由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种， 则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为． (6分) 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（1）解：设反比例函数的解析式为． 点在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为． 设一次函数的解析式为． 点的一次函数的图象上， ． 将点代入，得，解得， 一次函数的解析式为 (4分) （2）解：四边形为平行四边形， ． 设点C的坐标为， 点D的坐标为， ， 解得，（舍去）， 点C的坐标为． (8分) 19．（1）解：根据题意： (2分) （2）解：“社会实践”的人数为：． (3分) 补全图形如下： (4分) （3）解：所对应扇形的圆心角的度数为： (6分) （4）解：估计该校最喜欢读书活动的学生数：人． (7分) 建议：学校鼓励学生多参加体育活动，强身健体． (8分) 20．（1）解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：． (3分) （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了． (8分) 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（1）90；180 (2分) （2）解：如图，连接并延长，交于点E，连接 由(1)可知，，， ， ， 即圆内接四边形的对角互补 (5分) （3）证明：连接，如图所示. ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 是线段的中点， 是的半径， 是的切线 (9分) 【解析】解：（1）∵四边形为的内接四边形，为的直径， ∴°， ∵ ∴ 故答案为：90，180 22．（1）解：①设函数解析式为， 抛物线经过点，， 把点，代入， 得解得 抛物线的解析式为； (2分) ②11.25，10 (4分) （2）解：①由题意，得最高点B的坐标为， 她到水面的距离与时间之间满足． 当时，． ， 运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作； (7分) ② (9分) 【解析】解：（1）①设函数解析式为， 抛物线经过点，， 把点，代入， 得 解得 抛物线的解析式为； 故答案为：； ②将x=3.5代入，可得y=11.25； 将x=4代入，可得y=10， 故答案为：11.25；10； （2）①由题意，得最高点B的坐标为， 她到水面的距离与时间之间满足． 当时，． ， 运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作； ②∵y=nx2-8nx+15n+10=n（x-4）2-n+10（n<0）， ∴最高点的坐标为（4，-n+10）， ∴运动员第二次跳水到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h=-5t2-n+10， 当h=0时，， 当t≥1.6时，运动员能够完成此动作， ∴， 解得：n≤-2.8， ∴当n≤-2.8时，运动员能够完成此动作， 故答案为：n≤-2.8. 六、解答题（本大题共12分） 23．（1）解：①1； (2分) ②证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． (5分) （2）解：，理由如下： 过点作交于， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴． (8分) （3）解：过点作交于，作于，作于， 则， ∴， 即， ∴， 由（2）和已知条件可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则，，， ∴， ∴． (12分) 【解析】解：（1）①由正方形的性质可知：， ∵将的直角顶点与点重合， ∴， 故答案为：1 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江西专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1． 的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正硧的是（　　） A． B． C． D． 3． 如图，五个小正方体叠成了一个立体图形，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形，F为中点，延长至E，使：，连接交于点G，若的面积是1，则五边形的面积是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动.设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．因式分解＝　 　． 8． 已知方程的两个根分别为，，则的值为　 　． 9．一组数据为1，3，2，2，a，b，c，唯一众数是3，平均数是2，则这组数据的中位数是　 　． 10． 乡村振兴，交通先行．近年来，某县高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．该县准备修一条道路，在修建600米后，剩下的4800米道路采用新的修建技术，每天修建的长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务．设原来每天修建道路米，则根据题意可列方程：　 　． 11．如图，将长方形ABCD沿EF所在直线折叠，点C落在点H处，点D落在AB边上的点G处，若∠AEG＝32°，则∠EFC等于　 　． 12． 如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算： （2）解不等式组： 14．先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程： 解：原式① ② ③… （1）上面的运算过程中第　 　步出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程． 15．如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． （1）如图1，若点是的中点，试画出的平分线； （2）如图2，若，试画出的平分线． 16． 如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． （1）求证：． （2）当，，求的值． 17．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为　 　． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18． 如图，一次函数的图象与y轴相交于点，与反比例函数的图象交于点，B． （1）求反比例函数和直线的解析式． （2）C为线段延长线上一点，作，与反比例函数交于点D，连接．当四边形为平行四边形时，求点C的坐标． 19． 某校为了有效提升学生综合素质，同时减轻学生课业负担，决定在全校开展丰富多彩的学生课外活动，经研究确定课外活动类型为体育、社会实践、文化艺术、科技创新和读书共五类项目，并在组织活动前进行了初步调查，调查要求在以上五类项目中只能选一项最感兴趣的一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的统计图，请解答下列问题： （1）求m的值； （2）补全条形统计图； （3）求“社会实践”所对扇形圆心角的度数； （4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢读书活动的学生数，根据统计图中的数据，请你针对课外活动提出一条合理化建议． 20．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．课本改编 （1）如图1，四边形为的内接四边形，为的直径，则　 　度， 　 　度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补． （3）知识运用 如图3，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点 D，E，F 是线段的中点，连接，求证：是的切线． 22．2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 ▲ ▲ 6.25 ①求抛物线的解析式． ②补全表格． （2）信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要的时间才能完成极具难度的跳水动作． ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？ ②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度与水平距离的关系为．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是 ▲ ． 六、解答题（本大题共12分） 23．【问题背景】 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）． （1）【特例证明】 如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，. ①填空： ▲ ； ②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．） （2）【类比探究】 如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由． （3）【拓展运用】 如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$