精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高三（复读班）上学期期末考试数学试题

丰城九中校本资料 丰城九中2024-2025学年高四年级上学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解一元二次不等式以及对数型函数的定义域求出集合和，再求交集即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算与共轭复数概念可得. 【详解】由， 的共轭复数是. 故选：A. 3. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以，则， 所以的最大值是， 故选:C. 4. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件． 【详解】当时，，定义域为且关于原点对称， 所以， 所以为奇函数； 当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以， 所以， 所以， 由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件， 故选：C． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】整体代入所求式子计算即可. 【详解】整体代入所求式子，得到. 故选：C. 6. 已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 7. 已知等边三角形△ABC边长为2，点P为△ABC内切圆上一动点，若，则3x＋3y的最小值为（ ） A 2 B. 1 C. D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用圆的方程，向量的坐标运算及三角函数的最值求解. 【详解】如图， 以△ABC内切圆的圆心为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 所以三角形内切圆的方程为， 可设， 则， 由，可得， 可得 则， 所以3x＋3y的最小值为1. 故选：B 8. 是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，构造函数，将方程的解的问题转化为图象与直线交点个数问题，数形结合求解可得. 【详解】由题意， 由得， 当时，由，可知不是方程的解； 当时，，， 令， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 且， 当；当； 如图，作出函数的大致图象， 要使方程在上至少有3个不同的解， 则函数与直线有三个不同的交点. 故结合图形可知， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于分离参数构造函数，从而将方程的解的问题，转化为函数图象与直线交点的个数问题来处理.要注意的是，在作函数图象时要关注图象趋势的分析，如题中函数当；当. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 存在某个点E，使直线与平面ABCD所成角为 D. 二面角的平面角的大小为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断. 【详解】 对于选项A：三棱锥的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A不正确； 对于选项B：两点在平面上的射影分别为,即直线在平面上的射影为， 而,根据三垂线定理可得.故选项B正确； 对于选项C：因为平面,直线与平面ABCD所成角为, 当点和点重合时，在平面射影最小， 这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项C不正确； 对于选项D：二面角即二面角， 因为，，平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，，所以二面角的大小为，故选项D正确. 故选：BD. 10. 在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】因为数列为递增的等比数列，由题干中的两个条件即可求得首项和公比，进而求出，判断A错误；再利用等差数列的判定方法即可求出即是等差数列，最后利用等比数列的前n项和公式即可求得结果. 【详解】因为，，又数列是递增的， 所以，所以公比，，所以，所以， 得，，，，故A错误； 由于，所以数列是等差数列，故B正确； ，故C正确； 因为， 所以，故D正确． 故选：BCD． 11. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的最小值为 D. 的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边得，结合余弦定理和二倍角公式可得，可判断A；根据三个角为锐角列不等式组求解可判断B；利用商数关系和和差公式，结合化简，运用基本不等式可判断C；边化角，利用二倍角和三倍角公式化简，结合角范围可判断D. 【详解】对A，由正弦定理角化边得， 由余弦定理有， ， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，所以，A正确； 对B，由上知，， 因为为锐角三角形，，解得， 所以，B正确； 对C， ， 当时，得， 因为，，所以等号不成立，C错误； 对D， ， 因为，所以， 所以，所以， 即，D错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：根据在于利用正弦定理角化边，代入余弦定理表示出，结合二倍角公式求得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】将题设将变形为，再结合共线定理的推论即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 13. 已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由奇函数的性质，得到，再根据结论，利用倒序相加法，即可求解. 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 14. 若存在实数使得，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同构法将不等式转化为，再利用导数证得，进而得到，从而求得的值，由此得解. 【详解】因为，所以， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，可得， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立， 又，所以， 故，此时的值为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式： （1）；（2） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，为的中点，当取得最小值时，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通解：利用正弦定理边角互化，又，化简可以得到的值； 优解：利用射影定理化简求解（需证明）； （2）利用面积公式得到的值，在利用余弦定理和基本不等式得到取最小值时的取值，再由余弦定理得到的长. 【小问1详解】 通解：由及正弦定理， 得， 即， 即， 因为，所以，所以. 优解：因为， 所以， 由题意得，即， 所以，得，即， 所以， 又，所以 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 在中，由余弦定理可得， ， 当且仅当，即，时等号成立， 此时， 故. 16. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为 （2）单调增区间为 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）结合函数的图象与性质即可求出结果； （2）利用整体代入法即可求出函数单调区间； （3）根据求得，进而根据函数的图象与性质即可求出结果. 【小问1详解】 最小正周期，令， 所以，所以对称轴方程为； 【小问2详解】 令， 所以，所以的单调增区间为； 【小问3详解】 当时， 所以，所以， 当，即时取得最大值， 当，即时取得最小值， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 17. 已知数列的前n项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若关于n的不等式恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，可证得数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的通项，利用错位相减法求出，再将题意转化为可得，记，求出的最大值，即可得出答案. 【小问1详解】 由，可得， 两式相减可得：，所以， 令，可得，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为. 【小问2详解】 . 可得， 则， 两式相减得： ，所以， 因为，则， 原题意等价于关于n的不等式恒成立，可得， 记， 令，则，解得或3， 则，即当或时，取到最大值， 可得，所以实数λ的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． （1）若是的中点，求证：直线平面； （2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 【答案】（1） 证明：取的中点，连，， 为的中点，且， 又，且， ，， 所以四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 故直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先取的中点，连接，再由平行四边形即可证明线线平行，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量由二面角的平面角的余弦值求出的位置，即可由体积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 设，则，， 在棱上，可设， 故，解得，即， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量，，， ，即， 即， 取，则，， 故， 因为二面角的平面角的余弦值为， 所以，即， 即， ，解得， 故是的中点， 因此 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，函数在区间内有唯一的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：在区间内有唯一的零点，且. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明如下： 由（i）知，当时，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 时，，则， 又在区间上有唯一零点， 即在区间上有唯一零点. ， 由①知， 则， 设， 则， ， 在区间上单调递增，又， 又. . 由前面讨论知在区间上单调递增， . 【解析】 【分析】（1）由导数求得切线斜率，由点斜式得直线方程并整理即可； （2）（i）求出导函数，根据分类讨论，分和两类，对还需对导函数再一次求导，确定单调性，极值点； （ii）在（i）的基础上，先证明是唯一零点，然后证明：求出，利用是极值点，化简消去，得的函数，然后利用导数证明，最后由的单调性得证结论成立． 【小问1详解】 当时，， ，即切点为， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）函数， ①当时，当时，， 则在区间上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去； ②当时，设， 则在区间上恒成立， 在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又在区间上有唯一零点， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 函数在区间内有唯一极值点，符合题意， 综上，的取值范围是. （ii）略 【点睛】方法点睛：本题考查用导数确定函数的极值点与零点问题，属于难题．证明，考虑到的来源，因此联想用的单调性，只要证明，这是关键，为此计算，并由是极值点得出与的关系，从而消去参数，只剩下一个未知数，引入新函数，利用导数证明出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中校本资料 丰城九中2024-2025学年高四年级上学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则最大值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7. 已知等边三角形△ABC的边长为2，点P为△ABC内切圆上一动点，若，则3x＋3y的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. －1 8. 是定义在上函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 存在某个点E，使直线与平面ABCD所成角为 D. 二面角的平面角的大小为 10. 在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 11. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的最小值为 D. 取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 13. 已知函数是上奇函数，若数列项满足：（）.则数列的通项公式为：____________. 14. 若存在实数使得，则的值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，. （1）求； （2）若面积为，为的中点，当取得最小值时，求的长. 16. 已知． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 17. 已知数列的前n项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若关于n的不等式恒成立，求实数λ的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． （1）若是的中点，求证：直线平面； （2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，函数在区间内有唯一的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：在区间内有唯一的零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $