精品解析：山西省临汾市洪洞县2024-2025学年上学期八年级数学期末试题

洪洞县2024—2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间90分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面各数中，是无理数的为（ ） A 3.14 B. C. 0 D. 2. 如图是某班学生参加兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参加人数最多的课外兴趣小组是【 】 A. 棋类组 B. 演唱组 C. 书法组 D. 美术组 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则对于实数的范围判断正确的是（ ） A. B. C. D. 5. △ABC的三边为a，b，c且（a＋b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 以c为斜边的直角三角形 C. 以b为斜边的直角三角形 D. 以a为斜边的直角三角形 6. 如图，已知，下列条件不一定能使的是（ ） A. B. 平分 C. D. 7. 如果是一个完全平方式，那么的值为（ ） A. 8 B. C. 或8 D. 或5 8. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为( )． A. B. C. D. 10. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 命题“直角三角形两锐角互余”逆命题是：_______． 12. 分解因式：______． 13. 如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端和，然后把中点竖直向上拉升至点，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长的长是______． 14. 弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是______． 15. 如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的序号有______． 三、解答题：（本大题共8小题，共75分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在对应的位置上） 16. （1）． （2）因式分解：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 数学课上，王老师布置如下任务： 如图，在中，，在边上取一点，． 小路的作法如下： ①作边的垂直平分线，交于点，交于点； ②连结． （1）请根据小路同学作图方法，利用直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵是垂直平分线 ∴______，（依据：__________________）； ∴______，（依据：__________________）； ∵是的外角， ∴__________________； ∴． 19. 山西位于太行山之西，黄河以东．山西之名，因居太行山之西而得名，自古被称为“表里山河”．在中国历史上，山西涌现了各种优秀人物．某校为了了解学生对大禹（A）、霍去病（B）、关羽（C）、武则天（D）四人的喜爱程度（每人只能选一人），现对八年级某班进行了调查，并绘制成如下频数、频率统计表和扇形统计图． 频数 频率 A 0.5 B 12 C 6 D 0.2 （1）此次共调查的学生人数有______人． （2）表中______，______，______，______． （3）若该校有学生1200人，请你计算出喜爱霍去病的人数． 20. 图①是一个长为，宽为的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形． （1）用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积： 方法一：　 　； 方法二：　 　； （2），，这三个代数式之间的等量关系为　 　； （3）应用(2)中发现的关系式解决问题：若，，求的值． 21. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． （1）已知：如图，在中，．求线段的长． （2）如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 22. 如图，中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． （1）当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 23. 和都是等腰直角三角形， （1）如图1，点，在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（请直接写出答案）． （2）如图2，点在内部，点在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （3）如图3，点和点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 洪洞县2024—2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间90分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面各数中，是无理数的为（ ） A. 3.14 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是有限小数，不是无理数，该选项不合题意； 、是分数，不是无理数，该选项不合题意； 、0是整数，不是无理数，该选项不合题意； 、是无理数，该选项符合题意； 故选：． 2. 如图是某班学生参加兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参加人数最多的课外兴趣小组是【 】 A. 棋类组 B. 演唱组 C. 书法组 D. 美术组 【答案】B 【解析】 【详解】根据扇形统计图各部分所占的百分比，则参加人数最多的课外兴趣小组即为所占百分比最大的部分．故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式运算的相关法则是解题的关键．根据幂的乘方法则、完全平方公式、同底数幂的乘法法则、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：A． 4. 设，则对于实数的范围判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小的估算，能估算出的范围是解题的关键．因为，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：C． 5. △ABC的三边为a，b，c且（a＋b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 以c为斜边的直角三角形 C. 以b为斜边的直角三角形 D. 以a为斜边的直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：c2+b2=a2，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理． 【详解】解：由题意，a2-b2=c2， ∴b2+c2=a2， 此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理， 所以此三角形是以a为斜边的直角三角形． 故选：D． 【点睛】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形． 6. 如图，已知，下列条件不一定能使的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是理解并掌握全等三角形的判定定理，如：．结合全等三角形的判定定理，逐项分析判断即可． 【详解】解：A.因为，，， 所以，故本选项不符合题意； B. 因为平分， 所以， 又因为，， 所以，故本选项不符合题意； C. 因为，，， 所以，故本选项不符合题意； D. 添加条件，不能证明，本选项符合题意． 故选：D． 7. 如果是一个完全平方式，那么的值为（ ） A. 8 B. C. 或8 D. 或5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式，， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 8. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断B，根据角平分线的性质可判断A，证得可判定D，由于不是的垂直平分线，不能证明． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，，是的平分线， ∵， ∴，故A正确， ∴，故B正确， 在和中， ， ∴， ∴，故D正确， ∵不是的垂直平分线，故不能证明，故C项错误，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线． 9. 如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为( )． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由角平分线的定义，垂直的定义推出，由等腰三角形的性质得到．延长交于，由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形面积公式推出的面积的面积，的面积的面积，即可得到的面积＋的面积的面积，于是得到的面积． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积，的面积的面积， 的面积＋的面积的面积＋的面积的面积， 的面积． 故选：B． 10. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 命题“直角三角形两锐角互余”逆命题是：_______． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【解析】 【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解． 【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因数3，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端和，然后把中点竖直向上拉升至点，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋原长距离． 详解】解：由题意得：，，， 设 ∵橡皮筋的长度比原长伸长了 ∴ 在中，根据勾股定理，得：，即 解得：， ， ， ∴橡皮筋原长的长是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 14. 弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方式，运用了恒等的变形的解题方法．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 15. 如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的序号有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质等，延长交于，通过证明，可判断①；求出可判断②；证明垂直平分，通过等量代换可判断③；通过可判断④，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∵分别为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴的周长， 故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上，正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题：（本大题共8小题，共75分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在对应的位置上） 16. （1）． （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，算术平方根，立方根，解题关键是掌握相应的运算法则，注意因式分解的结果要彻底． （1）先计算算术平方根，立方根，再算乘法和加减即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键． 先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，再算整式除法，最后把，代入求出结果即可． 【详解】解：原式= ， 当，时， 原式 ． 18. 数学课上，王老师布置如下任务： 如图，在中，，在边上取一点，． 小路的作法如下： ①作边的垂直平分线，交于点，交于点； ②连结． （1）请根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵是的垂直平分线 ∴______，（依据：__________________）； ∴______，（依据：__________________）； ∵是的外角， ∴__________________； ∴． 【答案】（1）见解析 （2），线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；，等边对等角； 【解析】 【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图方法作出的垂直平分线； （2）按照线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 如图，点即为所求： 【小问2详解】 ∵是的垂直平分线 ∴，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）； ∴，（依据：等边对等角）； ∵是的外角， ∴； ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 19. 山西位于太行山之西，黄河以东．山西之名，因居太行山之西而得名，自古被称为“表里山河”．在中国历史上，山西涌现了各种优秀人物．某校为了了解学生对大禹（A）、霍去病（B）、关羽（C）、武则天（D）四人的喜爱程度（每人只能选一人），现对八年级某班进行了调查，并绘制成如下频数、频率统计表和扇形统计图． 频数 频率 A 0.5 B 12 C 6 D 0.2 （1）此次共调查的学生人数有______人． （2）表中______，______，______，______． （3）若该校有学生1200人，请你计算出喜爱霍去病的人数． 【答案】（1）60 （2）；；； （3）240人 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目部分数目相应百分比． （1）先根据C项圆心角度数，求出其所占的百分比，再用项人数除以其所占比例即可得出答案； （2）根据频数频率总人数分别求解可得； （3）根据样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：依题意，这次调查的总人数为：（人）； 【小问2详解】 解：依题意，（人）； ； ； （人）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：喜爱霍去病的人数为240人． 20. 图①是一个长为，宽为的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形． （1）用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积： 方法一：　 　； 方法二：　 　； （2），，这三个代数式之间的等量关系为　 　； （3）应用(2)中发现的关系式解决问题：若，，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为，四个小长方形的面积为，中间阴影部分的面积为； 方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为，所以其面积为． （2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即． （3）根据（2）的关系式代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：方法一：． 方法二：． 故答案为：，； 【小问2详解】 ，，这三个代数式之间的等量关系为． 故答案为：． 【小问3详解】 ∵，， ， ∴． 【点睛】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形． 21. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． （1）已知：如图，在中，．求线段的长． （2）如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）风筝沿方向再上升米，则，由勾股定理得，，则他应该再放出米线，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，， ∴（米）， ∴线段的长为米． 【小问2详解】 解：风筝沿方向再上升米，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴他应该再放出8米线． 22. 如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． （1）当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）；；小 （2）当时， （3）可以；的度数为或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； 【小问2详解】 解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； 【小问3详解】 解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 23. 和都是等腰直角三角形， （1）如图1，点，在，上，则，满足怎样数量关系和位置关系？（请直接写出答案）． （2）如图2，点在内部，点在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （3）如图3，点和点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，请直接写出四边形面积． 【答案】（1）， （2），，理由见解析 （3）四边形的面积为． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）根据计算，求出四边形的面积． 【小问1详解】 解∶ 和都是等腰直角三角形， ，，． ，． 【小问2详解】 解：，． 理由如下∶延长，分别交、于F、G． 和都是等腰直角三角形， ，，． ，， ． 在和中 ，． ，即． 【小问3详解】 解∶ 设和交于， 和都是等腰直角三角形， ，，． ，， ． ，． ， ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$