2.1 第2课时垂直-【名校课堂】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步课时训练（北师大版 2024）

第2课时 垂直 6.如图,P是AOB的边OB上的一点,用无刻 A 基础题 度的直尺画图. 知识点1 垂直的定义 (1)过点P画OA的垂线,垂足为H 1.如图,直线AB与CD相交于点O. (2)过点P画OB的垂线,交OA于点C. (1)若AOC-,则AB]CD. (2)若AB1CD,则AOC的度数是 D D知识点3 垂线的性质和点到直线的距离 第1题图 第2题图 7.如图,A是直线1外一点,点B,C,D在直线/ 2.如图,AO1CO,且BOC=30*,则 AOB的 上,连接AB,AC,AD.若AC|/,则点A到直 度数是 ( _ 线/的距离是 C ) B.60* A.45* C.55* D.50* A.线段AB的长 B.线段AC的长 3.(2024·北京)如图,直线AB和CD相交于点 C.线段AD的长 D.线段BD的长 O.OE1OC.若 AOC=58{*},则 EOB的度 _1。 数为 _ _~ A.29。 (1n B.32* C.45* 第7题图 D.58。 第8题图 4.如图,BOAO于点O,OB平分/COD. 8.如图,要将水渠/中的水引到点P处,在什么 地方开挖,才能使沟最短,理由是 ( AOC-70{*,求 DOA的度数 ) A.点A处,两点之间,线段最短 B.点B处,垂线段最短 C.点D处,垂线段最短 D.点C处,两点确定一条直线 9.如图,OM| NP,ON| NP,所以直线ON与 OM重合,理由是 知识点2 画垂线 5.过直线1外一点P画/的垂线CD,下列各图 中,利用三角板操作正确的是 ##### 第9题图 第10题图 10.如图,在三角形ABC中,AC1BC,CD1 AB,则点A到直线BC的距离是线段 #2 D 的长度. 28 名校课·数学1·七年级下·BS D易错点 未给出图形,没有分类讨论而致错 (2)若BOD:EOD-1:2,求COF的 11.在直线AB上任取一点O,过点O作射线 度数. OC.OD,使OC1OD.当 AOC=45*时, BOD的度数是 B中档题 12.如图:点Q在直线AB上,OC|OD于点Q 若BOD=3 BOC,则 AOD的度数为 A.112.5* B.115。 C.117.5。 D.125。 C综合题 13. 新考向跨学科如图,这是光的反射示意 图,CO是入射光线,OD是反射光线,OE是 16.如图,O为直线AB上一点,OC为一射线, 法线,EOAB,EOD是反射角,COE OE平分AOC,OF平分BOC. EOD.若AOC=2 EOD,则入射角 (1)若 BOC=50{*,试探究OE与OF之间 COE的度数为 的位置关系. A.30* B.40* C.45* D. 60* (2)若 BOC=g(0*}<<180}),则(1)中 OE,OF的位置关系是否仍成立?请说 ## 明理由. 第13题图 第14题图 14.如图,在三角形ABC中,ACB=90{,AC- 3.BC=4,AB=5,P为直线AB上一动点; 连接PC,则线段PC的最小值是 ) A.3 B.2.5 C.2.4 D.2 15.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分 AOD,OF ]AB (1)若/COF-50*,求/COE的度数 名较 294整式的除法 回顾与思考（一）整式的乘除 1.3 a'b'c a'b 4abc 2.B 3.A 4.4 3 5.5ab 6.解：(1)原式=(-21÷3)a-16-1c=-7ac.(2)原式=-0.3 1.D2A3B4.2答案不唯-)5器 ×10'--300.(3)原式=36xy÷3xy=12xy2, 6.解：(1)原式=-1一3十9+1=6.(2)原式=一a十a°+4a= 7.6al 3ab 3a'b 3ab 28-ab 8.A 9.B 10.B 4a. 11.解：(1)原式=2a6÷ab+a2b÷ab=2a2b十a.(2)原式=12a 7.B8.A9.2.xy10.3m11.-812.50 ÷3a-6a2÷3a+3a÷3a=4a2-2a+1.(3)原式=3x2y÷ 13.解：1)原式=子22+yy)=d+2y之，(2)原式 合w-y÷7yw÷7y=6-2y-1. 1 =[a2-4ab+4b-(a2-2)]÷b=(a2-4ab+4b-a2+b)÷ 12.C13.C14.8115.-2-2x-1 b=(5b-4ab)÷b=5h-4a. 16.解：(1)原式■-10x·3xy2■一30x2y2.(2)原式■4a· 14.D15.-101216.D (-)+4a=-4a÷4a=-a.(3)原式=4a6· 17.解：(1)(a-b)2=d-2ab+b,(a+b)(a-b)=a2-(2)原 (3ab-5ab)÷(-a'b)=(12a'b-20a'b)÷(-a'b) 式=4x2-12xy+9y2-x2+4y2=3x2-12xy+13y2.当x= -12a2+20a3. -1,y=1时，原式=3×(-1)2-12×(-1)×1+13×1=3 17.解：我认为小红说得对.理由：[(x十2y)2十(x十y)(y一x)一 +12+13=28. 5y2]÷2x=(x2+4xy+4y2+y2-x2-5y)÷2x=4xy÷2x 18.4,3×10-7 2y.化简后的结果不含x,.小红说得对.当y=一1时，原式 19.解：(1)(m十)1=m2+2+2mm,∴.m2+n2=(m十n)2-2mn -2×(-1)--2. =92一2×10=61.(2)设AB=xm,BC=ym,则2(x+y)= 18.解：原来两张铁皮的总面积为(x十2y)(x一2y)+[2(x一y)] 120,.x十y=60.由题意，得x2+y=2000,∴.2xy=(x十y) =x2-4+4x2一8xy+4y2=5x2一8xy.则新铁皮的宽为 -(x2+y)=602-2000=1600..xy=800,.S题acm （5以-8)+6-名一青答：新铁皮的宽为名一含y xy=800m2.答：原长方形院子ABCD的面积为800m2. 第二章 相交线与平行线 小专题3整式的乘除运算 1两条直线的位置关系 1.解：(1)原式=5x+x÷x2=5x°+x=6x'.(2)原式=2a'6÷ 第1课时对顶角、余角和补角 4d=合粉.(3)原式=4d少+ry÷(-x0=4ry-fy= 1.C2.A3.B4.B 3xy2,(4)原式=一27xy·(-6xy)÷9xy■162xy÷9x 5.解：'∠BOC-75,·∠AOD-∠BOC-75.:∠AON: y-18ry. ∠N0D=2:3,∠A0N=75×243=30 2.解：(1)原式=2a2+3ab+a-2ab+=3a+ab+,(2)原式 6.A7.35°125°8.=同角的补角相等9.60° =-6a3b+10ab+8a3=2a36+10a'b. 10.解：(1)∠1与∠2互余.理由如下：OF平分∠AOB,.∠2 3.解：(1)原式=(a十a-3a2十15a)÷2a=(一2a+16a)÷2a= -a+8.(2)原式=x-x-2十3x+2=x2+2x.(3)原式=(a 号∠A0B-=60.:∠2-2∠1…∠4-30.“∠1+∠2-90 -4ab+46-a+6)÷b=(5b-4ab)÷b=5b-4a. ∴，∠1与∠2互余.(2)∠2与∠AOB互补.理由如下：∠2+ 4.解：一完全平方公式和平方差公式用错：括号前面是负号，去 ∠A0B=60°+120°=180°，∴∠2与∠A0B互补. 括号后，括号内第二项没有变号任务一：正确的解答过程如 11.40或8012.B13.C14.110° 下：原式=a'-2ab+b-2a-6ab+a-46=-36-8ah.任 15.解：方法一：延长AO到点C,测量∠BOC,利用等量关系 务二：①合并同类顶把系数相加诚，字母及指数不变：②若括号 ∠AOB+∠BOC=180°，求∠AOB.∠AOB=180°-∠BOC.方 前面有数字，利用乘法对加法的分配律时，注意分配到每一项。 法二：延长AO到点C,延长BO到点D,测量∠DOC,利用对顶 (答案不唯一，合理即可) 角相等求∠AOB.∠AOB=∠DOC. 5.解：(1)原式=(x2+4x十4)一(x2+3)=x2+4x十4-x2一3■ 16.解：(1)148，∠AOC=∠BOD=90°，.∠AOB=∠AOC+ 4x十1.当x=一2时，原式=4×(-2)+1=-8+1=-7. ∠BOC=∠AOC+∠BOD-∠DOC=180°-∠DOC.,.若 (2)原式=d-96+a-6ab十96=2a'-6ab.当a=-3,b= ∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大.(2)∠AOC=∠BOD, 号时，原式=2×(-3)-6×(-3)×号=24.(3)原式=。+ ∠AOD=∠BOC.理由如下：，∠AOC=∠BOD=90°，. ∠AOD+∠COD=∠BOC+∠COD=90°..∠AOD= 2ab+6-2ab-2a-a2=-2a.当a=-2,b=2时，原式=22 ∠BOC.(3)图略，过点O在OE的上方作∠EOM=∠FON= -2×(-2)=4十4■8.(4)原式■(6一4a十4a2+4ab十6)÷ 90°，则∠FOE=∠MOV.(答案不唯一，在OE的下方用同样 26=(2w+4ab)÷26=6+2a.当a=21=是，b==1时，原 的方法也能画一个与∠FOE相等的角) 17.(1)2612(2)(n-1)(3)4098600 式=1+2×号=1+1=2.(5)原式=0-2a6+6+d-8 第2课时垂直 2a2+6ab=a'+a2-2a2+-2-2ab+6ab=4ah.,(a-1)2+ 1.(1)90°(2)90°2.B3.B 1b-21=0,a-1=0,b-2=0..a=1,b=2.当a=1,b=2 4.解：B0⊥AO,.∠AOB=90°.：∠AOC=70,·∠BOC= 时，原式=4ab=4×1×2=8. ∠AOB-∠AOC=20°.OB平分∠COD,∴.∠DOB=∠BOC 6.解：原式=x2十2x十x2+2x十1=2x2十4x十1.x2十2x-2= =20°，.∠D0A=∠D0B+∠AOB=110. 5.D 0,x2十2x=2..原式=2(x十2x)+1=2×2十1=5. 7.解：原式=(2xy-2y2-x+2xy-y2+x2+2xy+-2xy)÷ 6.解：图略. 7.B8.C9.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 4y=(4zy-2y)÷4y=x-号.由y-2x=10,得2红-y 线垂直10.AC11.45°或135°12.A13.A14.C 15.解：(1)OF⊥AB,·∠AOF=90°.∠C0F=50',∠AOC -10,即x-兰--5.原式--5 =∠AOF-∠COF=40.·∠A0D=180°-∠AOC=140°，： 四七下，参考答表 名酸课堂35 OE平分∠A0D,∠A0E=是∠A0D=70.∠COE 3平行线的性质 ∠AOE+∠AOC=110°.(2)：OE平分∠AOD,∴∠EOD= 第1课时平行线的性质 ∠AOE.∠BOD:∠EOD=1:2,∠BOD￥∠EOD: 1.B2.D3.B 4解：a∥6，∴∠3=∠1.c∥d,∠4=∠3.∠4=∠1= ∠A0E-11212,∠B0D-180×号-36，：0F1AB, 110°.∠2=∠4=110. ∠B0F=90°.∴∠C0F=180°-90°-36°=54 5,B6.B 16.解：(1)"∠B0C=50°，.∠A0C=180°-50°=130°.，OE平 7.解：：∠BAC=100°，÷.∠EAC=180°-∠BAC-80°.AD是 分∠A0C,OF平分∠B0C,∠B0C=号∠A0C=65, ∠EAC的平分线，∠DAC=士∠EAC=40.:AD∥BC, ∠C0F-1 ∠C=∠DAC=40 ∠B0C-25,∴.∠E0F=∠E0C+∠COF=65°+ 8.B9.132 25°=90°，∴.OE⊥OF.(2)成立.理由：∠BOC=a∠AOC 10.解：∠B=∠D.理由如下：，AB∥CD,,∠D+∠A=180°， =180°-a.OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,.∠EOC AD∥BC,.∠B+∠A=180°..∠B=∠D. ∠A0C-90-7,∠c0F-7∠B0C-7∠B0F 1 11.D12.B13.A14.28 15.解：AB∥FN,∴.∠BEM+∠F=180°..∠F=180°- ∠B0C+∠c0F-90'-a+za-90.0E1oF. ∠BEM=8O°.EF∥GH,∴.∠FNG=∠F=80.'CD∥ FN,.∠NGD=∠FNG=80°. 2探索直线平行的条件 16.解：(1)①40°②∠1十∠2=60°.理由如下：作OP平行于格 第1课时利用同位角判定两直线平行及平行公理 线，格线都互相平行，，∠1=∠AOP,∠2=∠BOP. 1.D2.C3.=4.同位角相等，两直线平行5.AB DE BC ∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°，.∠1+∠2=60°.(2)a+B= EF6.对顶角相等3CD同位角相等，两直线平行 105°或a-月-15 T.解：'BE平分∠ABD,.∠ABE=∠DBE.∠ABE=∠C, 第2课时平行线的性质与判定的综合 ∠DBE=∠C..BE∥AC. 1.D2.C3.C4.B5.BCD CDE内错角相等，两直线平 8,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 行BDE两直线平行，同旁内角互补110 9.解：(1)图略.(2)AB∥CD.理由：，AB∥EF,CD∥EF,AB∥ 6.解：AB∥CD,∠DCF=∠B.∠B=∠D,.∠DCF= CD. ∠D.∴AD∥BF.∴∠DEF=∠F 10.C11.A12.C13.40°14.ACBD同位角相等，两直 7.D8.C 线平行垂直的定义125125等量代换AEBF 9.解：AB∥CD,∠GFB-∠FED-45°∠HFB-20°，. 15.解：PG∥QH,AB∥CD.理由如下：∠1=∠2，.PG∥QH ∠GFH=∠GFB-∠HFB=45°-20°=25°. :PG平分∠APQ,QH平分∠CQF,.∠APQ=2∠1，∠CQF 10.A11.D12.①②③④ =2∠2.∴.∠APQ=∠CQF..AB∥CD 13.解：(1)CF∥BD.理由如下：BC∥DE,∴.∠D+∠CBD= 16.解：(1)a1∥a1(2)a1∥a(3)a1∥aam如图，a1⊥ar, 180°.，∠D+∠BCF-180°，，∠CBD-∠BCF.∴.CF∥BD. a1⊥a3,.∠1=∠2=90°..a1∥a4. (2),∠D+∠BCF=180°，∠D=140°，.∠BCF=180°-140 =40.CF平分∠ACB,∴∠ACB=2∠BCF=80°.：BC∥ DE,∠E=∠ACB=80, 14.解：(1)∠2∠3AB∥MN(2)NP∥EF∠NPG两直 线平行，同位角相等两直线平行，同旁内角互补120° (3).'ON∥FG,.∠EFG=∠EON,∠ONC=∠1=30°..AB 第2课时利用内错角或同旁内角判定两直线平行 ∥CD,∴.∠BON=∠ONC=30°.，EF⊥AB,∴.∠EOB=90 ∴.∠EFG=∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120° 1.C2.B3.内错角相等4.AD BC AB CD5.CD⊥DA DA⊥AB垂直的定义∠3=∠4等角的余角相等内错角 小专题4平行线中常见的拐点模型 相等，两直线平行6.ABCD同旁内角互补，两直线平行 【例1】解：∠BED=∠B十∠D.理由如下：过点E向右作EF∥ 110°7.∠A+∠D=180°或∠B+∠C=180 AB,则∠B=∠BEF.AB∥CD,·EF∥CD.∠DEF=∠D. 8.解，，CG平分∠DCF,∠DCG-65°，∴.∠DCF-2∠DCG ∠BED-∠BEF+∠DEF,.∠BED-∠B+∠D. 130°.∴.∠BCE=∠DCF=130°.∠B=50°，∠B+∠BCE= 【变式】解：(1)∠BED一∠B一∠D.理由如下：过点E向右作 180°..AB∥EF. EF∥AB.∠BEF=∠B.,AB∥CD,.EF∥CD..∠D= 9.D ∠DEF.,'∠BED=∠BEF-∠DEF,∴.∠BED=∠B-∠D. 10.解：(1)图略.(2)BC∥DE.理由：∠ADE=∠ABC,.BC∥ (2)∠CDE=∠B十∠BED.理由如下：过点E向右作EF∥AB., DE. ∠B=∠BEF.AB∥CD,,EF∥CD.,∠CDE=∠DEF., 11.B12.D13.C14.①③ ∠DEF=∠BEF+∠BED,.∠CDE=∠B+∠BED 15.解：(1)图略，(2)EB与AD不一定平行，理由如下：①当所作 针对训练 的角在BC上方时，，'∠EBC=∠A,.EB∥AD,②当所作的 1.C2.A3.D4.A5.90 角在BC下方时，EB与AD不平行 【例2】解：(1)=(2)∠B+∠F,+∠F2+…+∠F.-1+∠D 16.解：(1)∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,∠PAD+∠PAB+ ∠E十∠E十…十∠E. ∠BAE=180°，.∠PAB=180°-32°-32°=116°.(2)BC∥ 6.C7.(1)两直线平行，同旁内角互补同旁内角互补，两直线 PA.理由如下：：'∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°-∠PAD 平行平行于同一条直线的两条直线平行(2)∠B十∠E十∠F ∠BAE,∴∠PAB=180°-2∠BAE.同理可得∠ABC=180° +∠D=540°(3)∠B+∠E+∠D=180°+∠F 2∠ABE.,'∠BAE+∠ABE=90°，.∠PAB+∠ABC=360 回顾与思考（二）相交线与平行线 -2(∠BAE+∠ABE)=360°-2X90°=180°.∴.BC∥PA. 1.35°2.90°3.D4.D 36 盛七下·参第答表