精品解析：江苏省南京市建邺区2024-2025学年上学期九年级数学期末试卷

2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：C． 2. 二次函数的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“抛物线向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减”可得答案．二次函数图象的平移遵循：向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减． 【详解】解：把函数的图象向右平移1个单位，所得函数表达式为， 故选：D． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意两个等边三角形都相似 B. 任意两个直角三角形都相似 C. 任意两个菱形都相似 D. 任意两个矩形都相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，利用相似三角形和相似多边形的判定方法解答即可．解题的关键是掌握相似图形的定义． 【详解】解：A、任意两个等边三角形的内角等于，所以任意两个等边三角形都相似，故选项符合题意； B、任意两个直角三角形有一对直角相等，但直角的夹边不一定成比例，故都任意两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； C、任意两个菱形对应角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，故选项不符合题意； D、任意两个矩形对应边不一定成比例，故任意两个矩形不一定相似，故选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 5. 如图，在正边形中，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆和正多边形圆心角，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是要画出正多边形的外接圆． 根据正多边性质画出外接圆，根据圆心角定义求出，根据圆周角定理可以求出答案． 【详解】解：如图，作正边形的外接圆， 根据正多边形的圆心角定义可知， ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 6. 已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把，代入整理后即可判断①；利用二次函数的性质，根据二次函数的最值即可判断②；把代入解析式即可判断③．正确理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：函数，，常数，且图象经过，， ， 解得，故①正确； 如果为顶点时，抛物线开口向下， 那么时，，故②不正确； ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例的性质得，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 8. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________. 【答案】4∶9 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3， ∴这两个相似三角形相似比为2：3， ∴它们的面积比是4：9． 故答案为：4：9． 考点：相似三角形的性质． 9. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积(底面半径，母线长)，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 10. 设是方程的两个实数根．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数关系，根据，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 11. 一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握随机事件概率的计算公式是解题的关键． 确定红球的数量，总的数量，根据任意摸出一个球是红球的概率为，列式求解即可． 【详解】解：有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），任意摸出一个球是红球的概率为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴n的值为， 故答案为：6 ． 12. 已知是线段的黄金分割点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割比，解决此题的关键是熟记黄金分割比的公式；根据公式列出等式，计算出答案即可； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：(负值舍去)； 故答案为． 13. 如图，在中，，矩形的顶点分别在上，在上．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据已知条件证明，根据对应边成比例列出等式，即可求解． 【详解】解：在中，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，直线与直线分别相交于点和点．若，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，过点作，与，分别相交于点，，可得四边形和四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质求出，进而求出的长，再证明，利用相似三角形的性质求出即可解答．解题的关键是正确添加辅助线． 【详解】解：过点作，与，分别相交于点，， ， 四边形和四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：13． 15. 二次函数 是常数，且的图象如图所示，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组，先利用对称性得到二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，则设此二次函数解析式为，即，所以二次函数可表示为，接着解方程得到二次函数与轴的交点坐标为，，然后写出抛物线在轴下方所对应的自变量的范围即可．从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， 二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为， 设此二次函数解析式为， 即， 二次函数可表示为， 当时，， 解得，， 二次函数与轴的交点坐标为，， ， 抛物线开口向上， 当时，， 关于的不等式的解集为． 故答案为． 16. 如图，经过的中点，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、弧长公式等知识，当与相切时，连接、，则，因为，是的中点，所以，则，所以，延长交于点，取的中点，连接，可证明，则，所以，可知当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧，当点旋转一周时，点的运动路径为四段这样的圆弧，即可由弧长公式求得点运动的路程为，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，当与相切时，连接、，则， ， ， 是的中点， ， ， 是等边三角形， ， 延长交于点，取的中点，连接， 于点， ， ， ，， ， 、分别为、的中点， ， ， 当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧， 当点旋转一周时，点的运动路径为四段半径为且圆心角等于的圆弧， 点运动的路程为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）一元二次方程已经是一般形式，分别写出系数，根据公式法求解即可； （2）利用因式分解法按照步骤解一元二次方程，求出答案． 【小问1详解】 解：， ． ． 即． 【小问2详解】 解： ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解法——公式法和因式分解法，解决此题的关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法，选择最优解法． 18. 我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 【答案】平均每次降价的百分率是 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设平均每次降价的百分率是，根据某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得：（舍去）： 答：平均每次降价的百分率是． 19. 深秋建邺，醉人心扉．南京眼，绿博园，银杏里等地，都呈现出浓浓的秋色．小宁，小邺两人分别从这3个景点中选择景点游玩． （1）若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率； （2）若每人选择2个景点，则两人所选景点恰好相同的概率为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）列表可得出所有等可能的结果数以及两人所选景点相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人所选景点恰好相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：将这3个景点分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人所选景点相同的结果有3种， 两人所选景点相同的概率为． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人所选景点恰好相同的结果有3种， 两人所选景点恰好相同的概率为． 故答案为：． 20. 射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下： 甲，乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 甲 8 c 乙 8 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，__________，__________； （2）你认为谁的射击成绩更好？为什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将_________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 【答案】（1）8，，； （2）甲的成绩更好，理由见解析 （3）变小 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、中位数、方差，掌握各统计量的意义是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，方差的定义计算即可； （2）比较两个数据的平均数和方差，平均数越高、方差越小，成绩越好； （3）计算出方差，比较大小即可． 【小问1详解】 解：由题意知， ； 将乙的10次数据从小到大排列为：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10， 中位数； 甲的方差：； 故答案为：8，，； 【小问2详解】 解：甲的射击成绩更好， 理由：甲，乙两人的平均数相等，甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定； 【小问3详解】 解：乙再射击1次，命中8环时， 平均数为：； 方差为：， 乙射击成绩的方差将变小， 故答案为：变小． 21. 已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 5 0 （1）______． （2）求该二次函数的表达式； （3）当时，的取值范围是______． 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，所以点和关于直线对称，从而确定的值； （2）设交点式，然后把代入求出即可；即； （2）先计算出时，；时，，加上时，有最小值，所以当时，的取值范围为． 【小问1详解】 解：时，；时，， 抛物线的对称轴为直线， 点和关于直线对称， ； 故答案为：0； 【小问2详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； 【小问3详解】 解：时，；时，， 而时，有最小值， 当时，的取值范围为． 故答案为：． 22. 如图，在中，弦相交于点，且．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，，得到，根据等腰三角形的判定证明．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【详解】证明：如图，连接， ， ， 由圆周角定理得：，， ， ． 23. 如图，在中，点分别为边的中点，相交于点．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线定理和平行线分线段成比例等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点．连接，先根据中位线的性质可知，再根据平行线分线段成比例可知，即可得到结论． 【详解】证明：连接， 点分别是边的中点， ， ． ． 24. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住； （2）房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【答案】（1）48 （2）350元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确列出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意列式计算即可得到答案； （2）设每个房间定价增加元，根据题意，得出利润的关系式，再根据二次函数的性质，即可得到答案． 【小问1详解】 解：依题意得：（个， 故答案为：48； 【小问2详解】 解：设每个房间定价增加元， 依题意得：所获利润， 当元时，利润最大， （元， 即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值． 25. 如图，为的直径，点在上，且点为弧的中点，过点作于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键． （1）连接．根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可结论；可以两种方法证明； （2）如图，连接交于，根据垂径定理得到，，求得，得到，设的半径为，根据勾股定理得到，，根据矩形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 点为的中点， ， ， ， ． ， ． ， ， 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接交于， ， ，， ， ． ， 设的半径为， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 为的直径， ， ， 四边形是矩形， ． 26. 已知二次函数（为常数，且）． （1）该函数的图象必经过两个定点______， _____； （2）若该函数图象与轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； （3）若点都在该函数图象上，且，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求得对称轴和与轴的交点，然后利用抛物线的对称性可知点也在抛物线上； （2）利用对称轴直接写出顶点坐标； （3）分两种情况讨论，得出关于的不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：二次函数（为常数，且）， 抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， 关于直线的对称点也在抛物线上， 该函数的图象必经过两个定点，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：该函数图象与轴只有一个交点，对称轴为直线， 函数图象的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：点，，都在该函数图象上，且， ①当时，抛物线开口向下，点，在对称轴直线的左侧，在对称轴的右侧符合题意， ， 解得， ②当，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，，不合题意； 点，，都在该函数图象上，且， 的取值范围是． 27. 在数学中，常常通过构造基本图形帮助我们解决问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知，求证． 【灵活应用】 （2）如图②，和中，，，，，求． 【深度思考】 （3）尺规作图：如图③，线段与直线相交于点．在直线上作一点，使得最小（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、复杂的尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由，，，进而得到，，即可得证； （2）作，交于点，先证，得到，进而求出和，再利用勾股定理求出即可得解； （3）过点作，当点在点左侧时，如图，连接、，构造，可得，进而转化为最小，三点共线时有最小值，再据此作图即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ，， ； （2）解：作，交于点． ， ， ， ， ，， ． ，， ， ， ，， 在 中，， 即， ； （3）理论依据： 过点作，当点在点左侧时，如图，连接、， 、组成， 是定值，且有特殊值， 构造，连接，如图， ，， ， 要求最小值，即求最小值， 为定值， 求出最大值即可，取中点，当、、共线时，最大，则此时最小， 如图，延长交圆于点，连接并延长交于点即为所求， 尺规作图： 如图，点即为所求， 作法提示：①作交于点； ②以为直径作圆，圆心为，连接并延长交于点； ③连接并延长交直线于点，点即为所求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意两个等边三角形都相似 B. 任意两个直角三角形都相似 C 任意两个菱形都相似 D. 任意两个矩形都相似 4. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 5. 如图，在正边形中，度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若，则的值为_____． 8. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________. 9. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 10. 设是方程两个实数根．若，则_____． 11. 一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n的值为________． 12. 已知是线段的黄金分割点，，，则______． 13. 如图，在中，，矩形的顶点分别在上，在上．若，则的长为______． 14. 如图，直线与直线分别相交于点和点．若，则______． 15. 二次函数 是常数，且的图象如图所示，则关于的不等式的解集是______． 16. 如图，经过的中点，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 19. 深秋建邺，醉人心扉．南京眼，绿博园，银杏里等地，都呈现出浓浓的秋色．小宁，小邺两人分别从这3个景点中选择景点游玩． （1）若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率； （2）若每人选择2个景点，则两人所选景点恰好相同的概率为______． 20. 射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下： 甲，乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 甲 8 c 乙 8 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，__________，__________； （2）你认为谁的射击成绩更好？为什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将_________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 21. 已知二次函数与自变量部分对应值如下表： 0 1 5 0 （1）______． （2）求该二次函数的表达式； （3）当时，的取值范围是______． 22. 如图，在中，弦相交于点，且．求证． 23. 如图，在中，点分别为边的中点，相交于点．求的值． 24. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住； （2）房价定为多少时，宾馆利润最大？ 25. 如图，为的直径，点在上，且点为弧的中点，过点作于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 26. 已知二次函数（为常数，且）． （1）该函数的图象必经过两个定点______， _____； （2）若该函数图象与轴只有一个交点，求函数图象顶点坐标； （3）若点都在该函数图象上，且，直接写出的取值范围． 27. 在数学中，常常通过构造基本图形帮助我们解决问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知，求证． 【灵活应用】 （2）如图②，和中，，，，，求． 【深度思考】 （3）尺规作图：如图③，线段与直线相交于点．在直线上作一点，使得最小（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $