专题9.5 旋转（3大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.5 旋转（3大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】旋转的概念 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如∠AOA′）,如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点. 【要点提示】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 【知识点2】旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 　（3）旋转前、后的图形大小和形状完全相同. 【要点提示】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【知识点3】旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 【要点提示】作图的步骤： （1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　　（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　　（4）连接所得到的各对应点. 考点与题型目录 【考点一】图形的判断 【题型1】判断生活中的旋转现象..................................................2 【题型2】判断由一个图形旋转而成的图案..........................................3 【题型3】旋转对称图形的识别....................................................4 【考点二】旋转要素与性质辨析 【题型4】旋转中心、旋转角、对应点..............................................4 【题型5】旋转的性质辨析........................................................5 【考点三】利用旋转的性质进行综合求值与证明 【题型6】利用旋转的性质求角度..................................................6 【题型7】利用旋转的性质求线段长................................................7 【题型8】利用旋转的性质证明....................................................8 【题型9】旋转中的规律探索......................................................9 【考点四】旋转综合应用 【题型10】角度问题旋转综合题...................................................9 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接.........................................................10 【题型12】拓展延伸.........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】图形的判断 【题型1】判断生活中的旋转现象 【例1】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 【题型2】判断由一个图形旋转而成的图案 【例2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【变式2】（2023九年级上·全国·专题练习）观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【题型3】旋转对称图形的识别 【例3】（24-25八年级上·山东烟台·期末）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的（   ） A．二分之一，轴对称 B．四分之一，平移 C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型4】旋转中心、旋转角、对应点 【例4】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 【题型5】利用旋转的性质证明 【例5】（24-25八年级上·山东烟台·期中）一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（   ） A．对应线段平行； B．对应线段相等； C．对应角相等； D．不改变图形的形状和大小， 【变式1】（2021·北京东城·一模）如图，经过旋转成轴对称得到，其中绕点A逆时针旋转的是（    ） A．   B．     C．     D．   【变式2】（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 【考点三】利用旋转的性质进行综合求值与证明 【题型6】利用旋转的性质求角度 【例6】（24-25八年级上·全国·单元测试）在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． （1）哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ （2）指出图中的对应线段和对应角； （3）求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，将绕点B顺时针旋转角，得到，此时点A，点B，点在一条直线上，若，则旋转角=（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（大于且小于）的大小为 ． 【题型7】利用旋转的性质求线段长 【例7】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点．指出旋转中心，并求出旋转角的度数和的长．    【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，绕点B旋转得到，A、B、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且时，的长为 ． 【题型8】利用旋转的性质证明 【例8】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，是由在平面内绕点旋转而得，且．求证：平分．    【变式1】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·河南许昌·期中）如图，在中，若，，，是由绕点C顺时针旋转得到的，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，B，三点在同一直线上，则的长为 ． 【题型9】旋转中的规律探索 【例9】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直角三角形，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，直到得到点，则 ． 【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【变式2】（2022·江苏常州·二模）如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加．第一次直走后转动，第二次直走后转动，第三次直走后转动，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米． 【考点四】旋转综合应用 【题型10】角度问题旋转综合题 【例10】（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．若，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点A，，在同一条直线上，连接． （1）求n的值； （2）求的长． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若A，D，E三点在一条直线上，求的大小． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接 【例1】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为.将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请作出； （2）在网格中作出绕点顺时针旋转之后得到的； （3）求的面积． 【例2】（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使得，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在点O处，使边在射线上，另一边在直线的下方，将图中的三角板绕点O按顺时针方向旋转． （1）在三角板旋转的过程中，当时，三角板旋转的角度为________； （2）当所在的射线恰好平分时，三角板旋转的角度为________； （3）若三角板绕点O按每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O按每秒的速度顺时针旋转，当与射线重合时，同时停止运动，请计算三角板的直角边所在射线恰好平分时，三角板运动的时间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.5 旋转（3大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】旋转的概念 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如∠AOA′）,如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点. 【要点提示】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 【知识点2】旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 　（3）旋转前、后的图形大小和形状完全相同. 【要点提示】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【知识点3】旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 【要点提示】作图的步骤： （1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　　（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　　（4）连接所得到的各对应点. 考点与题型目录 【考点一】图形的判断 【题型1】判断生活中的旋转现象..................................................2 【题型2】判断由一个图形旋转而成的图案..........................................4 【题型3】旋转对称图形的识别....................................................5 【考点二】旋转要素与性质辨析 【题型4】旋转中心、旋转角、对应点..............................................7 【题型5】旋转的性质辨析........................................................8 【考点三】利用旋转的性质进行综合求值与证明 【题型6】利用旋转的性质求角度.................................................10 【题型7】利用旋转的性质求线段长...............................................12 【题型8】利用旋转的性质证明...................................................14 【题型9】旋转中的规律探索.....................................................16 【考点四】旋转综合应用 【题型10】角度问题旋转综合题..................................................18 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接.........................................................20 【题型12】拓展延伸.........................................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】图形的判断 【题型1】判断生活中的旋转现象 【例1】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 【答案】/120度 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点拨】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 【题型2】判断由一个图形旋转而成的图案 【例2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得答案． 解：将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是：    故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2023九年级上·全国·专题练习）观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【答案】C 【分析】根据平移、旋转、轴对称的特点即可解答． 解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平移、旋转、轴对称的特点，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 【题型3】旋转对称图形的识别 【例3】（24-25八年级上·山东烟台·期末）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的（   ） A．二分之一，轴对称 B．四分之一，平移 C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转和平移，在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．结合图形特征得出图案阴影可以看作图案的四分之一通过旋转得到的，即可作答． 解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移，旋转，轴对称的基本概念，根据平移，旋转，轴对称的定义即可作出判断．解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的判定方法． 解：选项A的图形可以由旋转变换得到，但不能由平移变换和轴对称得到，故A不符合题意； 选项B的图形可以通过旋转变换和平移变换得到，但不能由轴对称得到，故B不符合题意； 选项C的图形可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到，故C符合题意； 选项D的图形可以由旋转变换和轴对称变换得到，但不能由平移变换得到，故D不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【题型4】旋转中心、旋转角、对应点 【例4】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 解：将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 【答案】（1）点A；（2）；（3）点C转到了点E的位置 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角． （1）直接根据旋转的性质求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，然后由旋转的性质可得旋转角的度数； （3）直接根据旋转的性质求解即可． 解：（1）由旋转的性质可知，旋转中心是点A； （2）∵是等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质可知，旋转了； （3）由旋转的性质可知，点C转到了点E的位置． 【题型5】利用旋转的性质证明 【例5】（24-25八年级上·山东烟台·期中）一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（   ） A．对应线段平行； B．对应线段相等； C．对应角相等； D．不改变图形的形状和大小， 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的性质，熟知平移和旋转的性质是解题的关键． 根据平移和旋转的性质分析即可得出答案． 解：A．平移后对应线段平行或共线，旋转对应线段不一定平行，故本选项说法错误，符合题意； B．无论平移还是旋转，对应线段相等，故本选项正确，不符合题意； C．无论平移还是旋转，对应角相等，故本选项正确，不符合题意； D．无论平移还是旋转，图形的形状和大小都没有发生变化，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（2021·北京东城·一模）如图，经过旋转成轴对称得到，其中绕点A逆时针旋转的是（    ） A．   B．     C．     D．   【答案】D 【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可． 解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到． 选项A，其中绕点逆时针旋转可以得到， 选项D，其中绕点逆时针旋转可以得到． 故选：D． 【点拨】本题考查旋转及轴对称概念和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式2】（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 【答案】 逆时针 左 1 【分析】本题考查了线段的旋转，平移，根据题意和旋转的相关知识即可得；掌握旋转角度，旋转方向，平移是解题的关键． 解：由图可知，线段可以看成是线段先绕点C逆时针旋转，再向左平移1小格得到的， 故答案为：逆时针；左；1． 【考点三】利用旋转的性质进行综合求值与证明 【题型6】利用旋转的性质求角度 【例6】（24-25八年级上·全国·单元测试）在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． （1）哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ （2）指出图中的对应线段和对应角； （3）求的度数． 【答案】（1）点D是旋转中心，旋转角是；（2）对应线段为和，和，和；对应角为和，和，和；（3） 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质，熟知旋转前后的对应线段和对应角相等是解答的关键． （1）根据已知，结合图形和正方形的性质可得结论； （2）由旋转性质可得结论； （3）根据旋转角的度数求解即可． （1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转一个角度后成， ∴点D是旋转中心，旋转角； （2）解：由旋转性质得：对应线段为和，和，和； 对应角为和，和，和； （3）解：∵，， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，将绕点B顺时针旋转角，得到，此时点A，点B，点在一条直线上，若，则旋转角=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先根据角度的和差得出，再利用旋转变换的性质求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴，即旋转角． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（大于且小于）的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，分点D在上方，点D在下方两种情况，根据角的和差关系分别求出的度数即可得到答案． 解：如图所示，当点D在上方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为； 如图所示，当点D在下方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴旋转角的大小为； 综上所述，旋转角的大小为或； 故答案为：或． 【题型7】利用旋转的性质求线段长 【例7】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点．指出旋转中心，并求出旋转角的度数和的长．    【答案】旋转中心为点A，旋转角的度数为， 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角∠BAD的大小； 解：在中， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为， 由旋转得， ∵为的中点， ∴ ∴． 所以，旋转中心为点A，旋转角的度数为，． 【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，绕点B旋转得到，A、B、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质、线段的和差等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，再根据线段的和差即可解答． 解：∵绕点B旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且时，的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了旋转的性质，理解旋转前后的对应线段相等是解题的关键．由旋转的性质可得，，即可求解． 解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 故答案为：5． 【题型8】利用旋转的性质证明 【例8】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，是由在平面内绕点旋转而得，且．求证：平分．    【答案】见分析 【分析】本题考查图形旋转的性质，角的和差，角平分线的定义；根据旋转的性质和垂直的定义得到，即可解题． 解：证明：由旋转得， ， ， ， ， ， ， 平分． 【变式1】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．进行判断即可． 解：由绕O旋转而得到， 点A与是一组对应点，，，故A，B，D都不合题意． 与不是对应角， 与不一定相等，不成立，故C符合题意． 故选：C． 【变式2】（22-23九年级上·河南许昌·期中）如图，在中，若，，，是由绕点C顺时针旋转得到的，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，B，三点在同一直线上，则的长为 ． 【答案】9 【分析】先解，求出，接着根据旋转的性质得是等腰三角形，再利用三角形外角性质计算出，可得，从而得到答案． 解：，，， ，， 由旋转可知： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为9． 【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；解特殊直角三角形，对角和边进行合理转换是解题的关键． 【题型9】旋转中的规律探索 【例9】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直角三角形，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，直到得到点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，以及图形的规律问题，根据题意可知，旋转三次为一组，得到的长度依次增加，，，即可得出答案． 解：在中，， ，，，， 将绕着点顺时针转到位置①，得到点，此时， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点， 此时， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，得到点， 此时， 又 ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 【变式2】（2022·江苏常州·二模）如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加．第一次直走后转动，第二次直走后转动，第三次直走后转动，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米． 【答案】45 【分析】根据走路规律，求出走的次数即可解得． 解：设第n次转动面向西方， 第二次面向西方时一共转了， 当时第二次面向西方， 一共走了（米）； 故答案为：45． 【点拨】此题考查了行程规律问题，解题的关键时根据规律列式求出走的次数． 【考点四】旋转综合应用 【题型10】角度问题旋转综合题 【例10】（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．根据旋转的性质，推出是等腰三角形，进而求出的度数，利用即可求出的度数． 解：绕点B逆时针旋转，得到， ，，， ． ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点A，，在同一条直线上，连接． （1）求n的值； （2）求的长． 【答案】（1）120；（2）6 【分析】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． （1）由，，得，由旋转得，，则，即可求得，则的值为120，于是得到问题的答案； （2）先由，，得，再证明，则，即可求得． （1）解：，， ， 由旋转得，， 、、在同一条直线上， ， ， 旋转角的度数是，即， 的值为120； （2）解：，，， ， 由旋转得，，， 由（1）得， ， ， ， ， 的值为6． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若A，D，E三点在一条直线上，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，先求解，证明，，，可得，再进一步求解即可． 解：∵， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接 【例1】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为.将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请作出； （2）在网格中作出绕点顺时针旋转之后得到的； （3）求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转、割补法求三角形的面积，解决本题的关键是根据平移和旋转的性质按要求作图． 分别画出点、、向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，的对应点、、，顺次连接点、、，得到即为所求； 分别作点、、绕点顺时针旋转之后得到的对应点、、，顺次连接点、、，得到即为所求； 依据网格把补充成一个矩形，根据矩形的面积公式和三角形的面积公式求出的面积． 解：解：如下图所示，分别画出点、、向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，的对应点、、，顺次连接点、、，得到，就是所要求作的三角形； 如下图所示，分别作点、、绕点顺时针旋转之后得到的对应点、、，顺次连接点、、，得到，就是所要求作的三角形； 如下图所示，根据网格把补充成一个矩形， 则； 【例2】（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使得，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在点O处，使边在射线上，另一边在直线的下方，将图中的三角板绕点O按顺时针方向旋转． （1）在三角板旋转的过程中，当时，三角板旋转的角度为________； （2）当所在的射线恰好平分时，三角板旋转的角度为________； （3）若三角板绕点O按每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O按每秒的速度顺时针旋转，当与射线重合时，同时停止运动，请计算三角板的直角边所在射线恰好平分时，三角板运动的时间． 【答案】（1）；（2）；（3）秒或秒 【分析】（1）根据，求出旋转角即可； （2）根据，利用补角性质求出，根据所在的射线恰好平分，得出，再求出旋转角即可； （3）设三角板运动的时间为t秒，当平分时，根据的一半与旋转角相等，列方程，当平分时，根据的一半与旋转角相等，列方程，解方程即可． （1）解：∵在射线上，三角板绕点О按顺时针方向旋转，， 旋转角， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵所在的射线恰好平分， ∴， ∴旋转角， 故答案为：； （3）解：设三角板运动的时间为t秒，则，， 当平分时，，如图： ， 解得； 当平分时，，如图： ， 解得； 综上可知，三角板运动的时间为秒或秒． 【点拨】本题考查旋转的性质，补角的性质，角平分线定义，图形中的角度计算，一元一次方程的应用，熟练运用分类讨论思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$