精品解析：湖南省永州市祁阳市2024-2025学年九年级上学期期末质量检测数学试卷

祁阳市2024年下学期期末质量检测试卷 九年级数学（试题卷） （时量：120分钟 分值：120分） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知（a，b，x，y均不为零），则把它改写成比例式后，正确（ ） A. B. C. D. 2. 对于反比例函数，下列哪个点在反比例函数图像上（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个矩形 C. 两个等腰三角形 D. 两个等边三角形 5. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 永州市农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为，，则（ ） A. 甲比乙的产量稳定 B. 乙比甲的产量稳定 C. 甲、乙的产量一样稳定 D. 无法确定哪一品种的产量更稳定 7. 关于双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 比例系数是6 B. 随的增大而减小 C. 随的增大而增大 D. 图象位于第二、四象限 8. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，且，若的面积与的面积比为，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分，两点，则矩形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②；③；④为正三角形，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若是一元二次方程，则的取值范围是______． 12. 已知，则______． 13. 据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，则可列方程_____． 14. 在中，若，则_____． 15. 若一元二次方程的一个根为2，则的值为_____． 16. 若反比例函数与一次函数的图象有公共点，则的取值范围为_____． 17. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为_____． 18. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形点分别在，上，满足，若，则_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 22. “阅读城市·书香祁阳”，祁阳市举办全民阅读活动．教育部门为了解市民对全民阅读中的余华《活着》、王小波《黄金时代》、路遥《平凡的世界》、迟子建《额尔古纳河右岸》（以下分别用A，B，C，D表示）这四种不同文学作品的喜爱情况，对祁阳市某小区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整），请根据题干信息解答． （1）将两幅不完整的图补充完整． （2）若居民区有9000人，请估计喜欢阅读路遥《平凡的世界》的人数． 23. 一次函数的图象经过点，且与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）直线与反比例函数的图象相交，求使成立的的取值范围． 24. 自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）． （1）求斜坡的坡比； （2）求飞机此时距离地面的高度． 25. 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是_____； （2）关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； （3）若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 26. 如图，矩形的顶点A，C分别在轴和轴上，点的坐标为，D是边上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． （1）如图1，若点是的中点，直接写出点的坐标； （2）如图2，若直线与轴、轴分别交于点M，N，连接， ①求证：； ②求的值； （3）如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点．连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁阳市2024年下学期期末质量检测试卷 九年级数学（试题卷） （时量：120分钟 分值：120分） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知（a，b，x，y均不为零），则把它改写成比例式后，正确（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例性质，两外项之积等于内项之积，解答即可． 本题考查了比例性质，是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 只有得到，其余都不成立， 故选：D． 2. 对于反比例函数，下列哪个点在反比例函数图像上（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据纵横坐标的乘积为的点在反比例函数上，即可作答． 【详解】解：A、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； B、，该点在反比例函数图象上，故该选项符合题意； C、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； D、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 若一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系．根据一元二次方程根与系数关系得到，即可得到的值． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为a，b， ∴， ∴， 故选：C 4. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个矩形 C. 两个等腰三角形 D. 两个等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑． 根据相似图形的定义，边对应成比例，角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确． 故选：D． 5. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把原式变形为，即可得到． 【详解】解： ∴ 则 得到， 故选：C． 6. 永州市农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为，，则（ ） A. 甲比乙的产量稳定 B. 乙比甲的产量稳定 C. 甲、乙的产量一样稳定 D. 无法确定哪一品种的产量更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义：方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定． 由、，可得到，根据方差的意义得到乙的波动小，比较稳定． 【详解】解：、， ， 乙比甲的产量稳定． 故选：B． 7. 关于双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 比例系数是6 B. 随的增大而减小 C. 随的增大而增大 D. 图象位于第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由可得比例系数是，图象分布在第二、第四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， 故A、B、C都是错误的， D是正确的， 故选：D． 8. 如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，且，若的面积与的面积比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质．解题关键掌握两个相似三角形的面积之比是边长之比的平方． 由，得，根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵的面积与的面积比为， ∴， ∴， ∴ 故选：A. 9. 如图所示，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分，两点，则矩形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义．反比例函数k的几何意义：反比例函数上任意一点与两坐标轴围成的矩形面积．根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴矩形的面积为． 故选：D． 10. 如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②；③；④为正三角形，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 过点C作于点M，可证得，可得，再证明，可得，故①正确；分别证得，，可得，即G为中点，再根据，可得，故②正确；设，则， 分别求出，，进一步即可判断③和④． 【详解】解：如图，过点C作于点M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即G为中点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，故②正确； 设，则， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，不是等边三角形，故③错误，④错误； 综上可知，①②正确，③④错误， 故选：B 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若是一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的定义求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由一元二次方程的定义，列出关于参数的不等式求解． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，解得：， 故答案为：． 12. 已知，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质及分式的求值， 根据比例关系设参数表示 和 ，代入所求表达式计算． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 ． 故答案为 ：4． 13. 据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，则可列方程_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，依题意得， ， 故答案为：． 14. 在中，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理等知识点，求得的度数是解题的关键． 先根据非负数的性质以及特殊角的三角函数求得的度数，然后运用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 若一元二次方程的一个根为2，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入方程即可求出m的值． 【详解】解：二次方程的一个根为2， ， ， 故答案为：． 16. 若反比例函数与一次函数的图象有公共点，则的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 先由两函数解析式组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，根据题意得到此方程有两个实数根，则，然后解不等式即可求解． 【详解】解：联立两函数解析式得， 则， 整理得：， ∵图象有公共点， ∴， 解得：， ∵一次函数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 17. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作点N关于直线的对称点E，连接，则，， 于是就转化为，故最小就是最小，根据垂线段最小原理，得最小值就是点E到直线的距离，过点E作于点F，交于点H，当P与H重合，点M与F重合时，取得最小值，且最小值为，根据直角三角形的性质，等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：作点N关于直线的对称点E，连接，则，， ∴就转化为， ∴最小就是最小， 根据垂线段最小原理，得最小值就是点E到直线的距离， 过点E作于点F，交于点H， ∴当P与H重合，点M与F重合时，取得最小值，且最小值为， ∵当的值最小时，， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，轴对称思想的应用，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 18. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形点分别在，上，满足，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判断和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 设，则，设，则，，证明，得出比例线段求出，从而可求得求出，再证明得到，进而得到，，再推出，进而得解． 【详解】解：设，则，设，则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 解得， 设与交于点， 由全等可知， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂与特殊角的三角函数值是解本题的关键． 先计算乘方及绝对值运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 解得：． 21. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：，于， ． ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出． （1）由两直角相等结合，即可证出； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，即， ． 22. “阅读城市·书香祁阳”，祁阳市举办全民阅读活动．教育部门为了解市民对全民阅读中的余华《活着》、王小波《黄金时代》、路遥《平凡的世界》、迟子建《额尔古纳河右岸》（以下分别用A，B，C，D表示）这四种不同文学作品的喜爱情况，对祁阳市某小区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整），请根据题干信息解答． （1）将两幅不完整的图补充完整． （2）若居民区有9000人，请估计喜欢阅读路遥《平凡的世界》的人数． 【答案】（1） 补图如下： （2）1800 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体．综合运用两种统计图获取的信息是解题的关键． （1）根据喜爱的人数除以所占的比例，求出总人数，用总人数减去、、类的人数，求出类的人数，再用类的人数和类的人数各除以总人数，即可求出各自所占的百分比，从而补全统计图； （2）用9000人乘以喜欢阅读路遥《平凡的世界》的人数所占的百分比即可； 【小问1详解】 解：调查的总人数是：（人， 类的人数是：（人， 类所占的百分比是：， 类所占的百分比是； 【小问2详解】 解：喜欢阅读路遥《平凡的世界》的人数为：（人）， 答：若居民区有9000人，请估计喜欢阅读路遥《平凡的世界》的人数为1800人． 23. 一次函数的图象经过点，且与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）直线与反比例函数的图象相交，求使成立的的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点在上，先确定，再根据一次函数的图象经过点，确定一次函数的解析式，计算即可． （2）根据解析式，联立构造方程组，确定交点坐标，结合，利用交点的横坐标，直接写出解集即可． 本题考查了待定系数法求解析式，图象交点的意义，根据图象求不等式的解集，掌握一次函数、反比例函数解析式，坐标表示线段是解题的关键． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数， 得， ∴， ∵一次函数的图象经过点， 根据题意，可得， 解得， ∴直线解析式为． 【小问2详解】 解：根据（1）得， 故， 解得或， ∵， ∴或． 24. 自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）． （1）求斜坡的坡比； （2）求飞机此时距离地面的高度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）利用勾股定理求出米，再根据斜坡的坡比求解即可； （2）过点作于点，证明米，，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【小问1详解】 解：在中，米，米 由勾股定理得：（米）， ∴斜坡的坡比． 【小问2详解】 解：过点作于点，如图， ，，， ∴， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， ， ， 解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 25. 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是_____； （2）关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； （3）若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查定义，一元二次方程根的判别式，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）求出方程的判别式，再根据“全整根方程”得的值是一个完全平方数时，求出的值，从而求得b与c的值，代入中，即可求出最值码． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． 【小问1详解】 解：对于方程，可知： ，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：对于方程，，，， ， ， ． 方程是“全整根方程”， 是完全平方数， 又，且为整数， ， 完全平方数为36、49、63， 当时，不为整数，不符合， 当时，为整数且，符合， 当时，不为整数，不符合． 只有当时，才是完全平方数， ，， ， ， ， 一元二次方程的“最值码”为． 【小问3详解】 解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于，，，， ， ， ． 是的“全整根伴侣方程”， ， ， ， ， ， ， ， ， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 26. 如图，矩形的顶点A，C分别在轴和轴上，点的坐标为，D是边上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． （1）如图1，若点是的中点，直接写出点的坐标； （2）如图2，若直线与轴、轴分别交于点M，N，连接， ①求证：； ②求的值； （3）如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点．连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）①解：根据题意，设，， ∵，， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． ∴， ∴， ∴． ②52； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标为，矩形，得到，，结合点是的中点，得到，从而确定反比例函数的解析式，根据题意，设点，代入解析式解答即可； （2）①根据题意，设，，，，故根据解析式可计算打得到，，得到，继而得到； ②根据，，得平行四边形，得到，根据，，得平行四边形，得到，结合 ，计算的值即可； （3）连接，交于点F，根据题意，得，得，继而得到，结合，得到，，∴，根据垂线段最短，得当时，最小，解答即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式， 设点，代入解析式， 得； 故点． 【小问2详解】 ①略 ②解：∵，， ∴平行四边形， ∴， ∵，， ∴平行四边形， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：连接，交于点F， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短，得当时，最小， 故， 又， 故， 故的最小值． ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的性质，垂线段最短，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正弦函数，熟练掌握三角函数，平行四边形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $