专题2.6 二元一次方程组（3大知识点14类考点）（全章中考常考点分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.6 二元一次方程组（3大知识点14类考点）（全章中考常考点分类专题） 第一部分【知识点与题型目录】 【知识点一】二元一次方程（组）概念与解 【考点1】二元一次方程.................................................................1 【考点2】二元一次方程的解.............................................................2 【考点3】二元一次方程组的解...........................................................2 【知识点二】解二元一次方程组 【考点4】代入法解二元一次方程组.......................................................3 【考点5】加减法解二元一次方程组.......................................................3 【考点6】特殊方法解二元一次方程组.....................................................3 【考点7】已知二元一次方程组的情况求参数...............................................4 【知识点三】二元一次方程组的应用 【考点8】根据实际情况列二元一次方程组.................................................4【考点9】二元一次方程的应用——图表信息题.............................................5 【考点10】二元一次方程的应用——几何问题..............................................6 【考点11】二元一次方程的应用——方案问题..............................................6 【考点12】二元一次方程的应用——销售利润问题..........................................7 【考点13】二元一次方程的应用——古代问题..............................................8 【考点14】二元一次方程的应用——其他问题..............................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点一】二元一次方程（组）概念与解 【考点1】二元一次方程 1．（2022·浙江杭州·中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式子表示y为 ． 【考点2】二元一次方程的解 1．（2022·四川雅安·中考真题）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 3．（22-23七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【考点3】二元一次方程组的解 1．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 3.（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）若关于x、y的方程组的解为则方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【知识点二】解二元一次方程组 【考点4】代入法解二元一次方程组 1．（2022·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知和都满足方程，则的值分别为（   ） A． B． C．5，3 D．5，7 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）若多项式的值与的取值无关，则的值是 ． 【考点5】加减法解二元一次方程组 1．（2022·山东潍坊·中考真题）方程组的解为 ． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）若方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（   ） A． B．2 C． D．0.5 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 【考点6】特殊方法解二元一次方程组 1．（2022·湖北随州·中考真题）已知二元一次方程组，则的值为 ． 2．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知方程组则的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（22-23七年级下·云南昆明·期末）已知满足方程组，则 ． 【考点7】已知二元一次方程组的情况求参数 1．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）若整数a使关于x、y的方程组的解为整数，且使方程是关于m的一元一次方程，则满足条件的所有a的值的和为（    ） A．9 B．8 C．7 D．5 3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ． 【知识点三】二元一次方程组的应用 【考点8】根据实际情况列二元一次方程组 1．（2023·内蒙古·中考真题）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜场，负场，则根据题意，列出关于、的二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品克，表取样品克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·期末）“学习强国”平台提供权威，准确，详尽，丰富的学习资源，通过学习课程可以获得积分奖励，若小华的积分是三位数，将最左边的数字移到最右边，则比原来的积分少45，又知原来积分百位上数的9倍比十位上数与个位上数组成的两位数小3，设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，则可列方程组为 ． 【考点9】二元一次方程的应用——图表信息题 1．（2022·山东威海·中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝ ． 2．（22-23七年级下·河北邢台·期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 （1）已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【考点10】二元一次方程的应用——几何问题 1．（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成． （1）求一块长方形墙砖的长和宽； （2）求电视背景墙的面积． 2．（23-24八年级上·河北保定·期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． （1）若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ （2）若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【考点11】二元一次方程的应用——方案问题 1．（2023·湖南张家界·中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 2．（21-22七年级下·山东烟台·期末）为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物待运，计划型车辆，型车辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨； （2）若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【考点12】二元一次方程的应用——销售利润问题 1．（2023·安徽·中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 2．（23-24七年级上·重庆合川·期末）某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，邵东市某食品有限公司在端午节前为紧贴消费趋势、匹配新兴消费需求，新推出了板栗粽、牛肉粽、鲜肉粽、剁辣椒肉粽、梅干菜肉粽等，丰富的口味赢得了市场青睐．已知每个牛肉粽的进价比剁辣椒肉粽多元，个剁辣椒肉粽和个牛肉粽进价为元． （1）剁辣椒肉粽、牛肉粽的进价分别为多少元每个？ （2）若某商铺一次性购进个剁辣椒肉粽和个牛肉粽，并分别以元个和元个的定价按以下方式销售：端午节前牛肉粽涨价，端午节后牛肉粽打九折，剁辣椒肉粽的售价始终保持不变．若两种粽子全部售出后共获利元，求端午节前牛肉粽售出的个数． 【考点13】二元一次方程的应用——古代问题 1．（2023·四川甘孜·中考真题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【考点14】二元一次方程的应用——其他问题 1．（2023·辽宁营口·中考真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）某同学的笔袋中有若干支黑色中性笔和红色中性笔（除笔芯颜色不同外，其他都相同），从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为，则笔袋中的黑色中性笔有（    ）． A．8支 B．6支 C．4支 D．2支 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一家公司单独完成． （1）如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？ （2）如果从节约开支的角度考虑呢？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 二元一次方程组（3大知识点14类考点）（全章中考常考点分类专题） 第一部分【知识点与题型目录】 【知识点一】二元一次方程（组）概念与解 【考点1】二元一次方程.................................................................1 【考点2】二元一次方程的解.............................................................3 【考点3】二元一次方程组的解...........................................................4 【知识点二】解二元一次方程组 【考点4】代入法解二元一次方程组.......................................................6 【考点5】加减法解二元一次方程组.......................................................8 【考点6】特殊方法解二元一次方程组.....................................................9 【考点7】已知二元一次方程组的情况求参数..............................................10 【知识点三】二元一次方程组的应用 【考点8】根据实际情况列二元一次方程组................................................12【考点9】二元一次方程的应用——图表信息题............................................14 【考点10】二元一次方程的应用——几何问题.............................................17 【考点11】二元一次方程的应用——方案问题.............................................19 【考点12】二元一次方程的应用——销售利润问题.........................................22 【考点13】二元一次方程的应用——古代问题.............................................24 【考点14】二元一次方程的应用——其他问题.............................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点一】二元一次方程（组）概念与解 【考点1】二元一次方程 1．（2022·浙江杭州·中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题； 解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知， 或， ∴， 故选：C． 【点拨】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键在于能根据实际情况对题目全面分析． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键：、定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程．如：方程，，等都是二元一次方程；、注意：①在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数；②“含未知数的项的次数是”是指含有未知数的项（单项式）的次数是，如的次数是，所以方程不是二元一次方程；③二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程的左边不是整式，所以它不是二元一次方程． 根据二元一次方程的定义可得且，解方程或不等式即可求出m的值． 解：由题意得： 且， 且， 解得：， 故选：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式子表示y为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 根据等式的性质得出即可；根据等式的性质得出，再根据等式的性质方程两边都除以2即可． 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 【考点2】二元一次方程的解 1．（2022·四川雅安·中考真题）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ． 【答案】1 【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即可． 解：把代入ax+by＝3可得： ， 2a+4b﹣5 ． 故答案为：1 【点拨】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，先将分别代入方程与方程，求出，，然后再代入求值即可． 解：把代入方程， 得， 解得． 把代入方程， 得， 解得， ． 3．（22-23七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接把，代入各方程进行检验即可． 解：、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 故选：． 【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【考点3】二元一次方程组的解 1．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 2．（22-23七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解． 解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点拨】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键． 3.（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）若关于x、y的方程组的解为则方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先将所求的方程组进行变形，根据已知方程组的解可得，进行计算即可解答． 解：， ， ∵关于x、y的方程组的解为， ， 解得：， 即方程组的解是， 故选：B． 【知识点二】解二元一次方程组 【考点4】代入法解二元一次方程组 1．（2022·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果． 解：将①式代入②式得， ， 故选B． 【点拨】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知和都满足方程，则的值分别为（   ） A． B． C．5，3 D．5，7 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程的应用，将和代入方程，得k、b的方程组，解方程组即可． 解：将知和代入方程，得： ， 解这个方程组，得． 故选：A． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）若多项式的值与的取值无关，则的值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查多项式不含某项的问题，涉及合并同类项，解二元一次方程组和代数式求值等知识，先合并同类项再令项的系数为零，解方程即可得到答案，根据题意列出关于的方程组求解是解决问题的关键． 解： ， 多项式的值与的取值无关， ，解得， ， 故答案为：． 【考点5】加减法解二元一次方程组 1．（2022·山东潍坊·中考真题）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】用①×2+②×3，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入②求出y即可． 解：， ①×2+②×3，得13x=26， 解得：x=2， 把x=2代入②，得6-2y=0， 解得y=3， 故方程组的解为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）若方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（   ） A． B．2 C． D．0.5 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握用加减法解二元一次方程组是关键． 根据相反数的定义得到，代入方程组得 ，再解方程组即可求出a的值． 解：∵x，y互为相反数， ∴， ∴， 把代入原方程组得 ，得， 解得：， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了方程组的解法以及方程组的解的定义．正确利用整体思想是关键． 利用整体的思想两式相加得，结合求解即可． 解：∵， ∴两式相加，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【考点6】特殊方法解二元一次方程组 1．（2022·湖北随州·中考真题）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】1 【分析】直接由②-①即可得出答案． 解：原方程组为， 由②-①得． 故答案为：1． 【点拨】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解． 2．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知方程组则的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】将整体代入即可． 解：∵， ∴ 故选：C． 【点拨】本题考查了代数式求值，本题不需要方程， 只需要整体思想的应用求解． 3．（22-23七年级下·云南昆明·期末）已知满足方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将原方程组中的两个方程相加得到，即，再整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 解：将方程组中的两个方程相加得，， 即， ∴， 故答案为：． 【考点7】已知二元一次方程组的情况求参数 1．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点拨】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 2．（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）若整数a使关于x、y的方程组的解为整数，且使方程是关于m的一元一次方程，则满足条件的所有a的值的和为（    ） A．9 B．8 C．7 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的定义．先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，对于方程整理得，则题意得，进而计算可得答案． 解：对方程组， ，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即或1或3或4， 方程，整理得， 方程是关于m的一元一次方程， ∴， ∴， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：D． 3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ． 【答案】1或3或5 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组有整数解得到和都是整数，据此求解即可． 解：， 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于x、y的方程组有整数解， ∴和都是整数， ∴或， 又∵，即，且a为正整数， 解得或或或（舍去）， 故答案为：1或3或5． 【知识点三】二元一次方程组的应用 【考点8】根据实际情况列二元一次方程组 1．（2023·内蒙古·中考真题）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜场，负场，则根据题意，列出关于、的二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该队胜场，负场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，在12场比赛中得20分，列出方程组即可． 解：设该队胜场，负场，根据题意得： ，故D正确． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了列二元一次方程组，解题的关键是找出题目中的等量关系． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品克，表取样品克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 设钻取样品克，表取样品克，根据等量关系“钻取和表取两种方式共采集样品1935克”和“表取是钻取的4倍还多310克”列方程组即可． 解：设钻取样品克，表取样品克， 由题意可得：． 故选B． 3．（24-25七年级下·全国·期末）“学习强国”平台提供权威，准确，详尽，丰富的学习资源，通过学习课程可以获得积分奖励，若小华的积分是三位数，将最左边的数字移到最右边，则比原来的积分少45，又知原来积分百位上数的9倍比十位上数与个位上数组成的两位数小3，设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意知：百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，根据百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，由此可列方程组． 解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，由题意得， ， 故答案为：． 【考点9】二元一次方程的应用——图表信息题 1．（2022·山东威海·中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝ ． 【答案】1 【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可． 解：如图，根据题意，可得 第二行的数字之和为：m+2+（-2）=m 可知第三行左边的数字为：m-（-4）-m=4 第一行中间的数字为：m-n-（-4）=m-n+4 第三行中间数字为m-2-（m-n+4）=n-6 第三行右边数字为：m-n-（-2）=m-n+2 再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为： 解得 ∴ 故答案为：1 【点拨】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程． 2．（22-23七年级下·河北邢台·期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可． 解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克． 由题意列方程组得：， 解方程组得：． 即：每块巧克力的质量是20克． 故选：B． 【点拨】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 （1）已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】（1）a的值为，b的值为；（2）度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【考点10】二元一次方程的应用——几何问题 1．（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成． （1）求一块长方形墙砖的长和宽； （2）求电视背景墙的面积． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）首先设一块长方形墙砖的长为，宽为，然后用的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为，，宽为,进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案． （1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为． 依题意得： ， 解得： ， 答：一块长方形墙砖的长为，宽为． （2）求电视背景墙的面积为：． 答：电视背景墙的面积为． 【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键． 2．（23-24八年级上·河北保定·期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多， 依题意，得， 解得：， 故桌子的高度是． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． （1）若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ （2）若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】（1）当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完；（2）所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． （1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 【考点11】二元一次方程的应用——方案问题 1．（2023·湖南张家界·中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；（2）租14辆45座客车较合算 【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）由（1）结论求出所需费用比较即可． （1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆 依题意得 解得：， 答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆； （2）∵要使每位师生都有座位， ∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆， ，， ∵ ∴租14辆45座客车较合算． 【点拨】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键． 2．（21-22七年级下·山东烟台·期末）为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意：现计划拿出240元钱全部用于购买奖品，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 解：设购买x件一等奖品，y件二等奖品， 由题意得：15x+10y=240， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或或或或， ∴购买方案有7种， 故选：B． 【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物待运，计划型车辆，型车辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨； （2）若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【答案】（1）辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨；（2）该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车，最少租车费是元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车型恰好一次运完吨货物，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论； （1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； （2）根据题意得：， ∴， 又∵，均为非负整数， ∴或， ∴该物流公司共有种租车方案， 方案：租用辆型车，辆型车； 方案：租用辆型车，辆型车． 选择方案所需租车费用：（元）； 选择方案所需租车费用：（元）． ∵， ∴最少租车费是元． 答：该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车，最少租车费是元． 【考点12】二元一次方程的应用——销售利润问题 1．（2023·安徽·中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元 【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（23-24七年级上·重庆合川·期末）某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设甲种商品的进价为，乙种商品的进价为，根据题意列出方程即可得到答案． 解：设甲种商品的进价为，乙种商品的进价为， 根据题意得， 解得， ， 故选D． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，邵东市某食品有限公司在端午节前为紧贴消费趋势、匹配新兴消费需求，新推出了板栗粽、牛肉粽、鲜肉粽、剁辣椒肉粽、梅干菜肉粽等，丰富的口味赢得了市场青睐．已知每个牛肉粽的进价比剁辣椒肉粽多元，个剁辣椒肉粽和个牛肉粽进价为元． （1）剁辣椒肉粽、牛肉粽的进价分别为多少元每个？ （2）若某商铺一次性购进个剁辣椒肉粽和个牛肉粽，并分别以元个和元个的定价按以下方式销售：端午节前牛肉粽涨价，端午节后牛肉粽打九折，剁辣椒肉粽的售价始终保持不变．若两种粽子全部售出后共获利元，求端午节前牛肉粽售出的个数． 【答案】（1）剁辣椒肉粽的进价为元，牛肉粽的进价为元；（2）端午节前牛肉粽售出个 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程与实际应用，找准等量关系，列出方程（组）是解题的关键； （1）设剁辣椒肉粽的进价为元，牛肉粽的进价为元，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． （2）设端午节前牛肉粽售出个，则端午节后牛肉粽售出个，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． （1）解：设剁辣椒肉粽的进价为元，牛肉粽的进价为元， 由题意得：， 解得： 答：剁辣椒肉粽的进价为元，牛肉粽的单进价为元； （2）解：设端午节前牛肉粽售出个，则端午节后牛肉粽售出个， 由题意可得， 解得： 答：端午节前牛肉粽售出个． 【考点13】二元一次方程的应用——古代问题 1．（2023·四川甘孜·中考真题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． 解：设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得， ， 故选：A． 【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意，列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键． 由将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺可得，由将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺可得，然后列方程组即可． 解：由题意知，符合题意的方程组为， 故选：A． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【答案】有只鸽子在树上，有只鸽子在树下 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下， 由题意得，， 解得， 答：有只鸽子在树上，有只鸽子在树下． 【考点14】二元一次方程的应用——其他问题 1．（2023·辽宁营口·中考真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据” 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可． 解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷， 根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得 根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得， 可列 故选：C． 【点拨】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 2．（2024九年级·全国·竞赛）某同学的笔袋中有若干支黑色中性笔和红色中性笔（除笔芯颜色不同外，其他都相同），从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为，则笔袋中的黑色中性笔有（    ）． A．8支 B．6支 C．4支 D．2支 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来笔袋中黑色中性笔有支，红色中性笔有支，根据“从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为”列出方程组，解方程即可得出答案． 解：设原来笔袋中黑色中性笔有支，红色中性笔有支， 由题意得：， 整理得：， 解得， 原来笔袋中黑色中性笔有支， 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一家公司单独完成． （1）如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？ （2）如果从节约开支的角度考虑呢？ 【答案】（1）从节约时间的角度考虑应该选择甲公司；（2）从节约开支的角度考虑应该选择乙公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n．依题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元．依题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． （1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． 根据题意，得， 解得， ， ∴甲公司的工作效率高． 故从节约时间的角度考虑应该选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元． 根据题意，得， 解得， 由（1）可知，甲公司单独完成需要10周，乙公司单独完成需要15周， ∴甲公司共需（万元），乙公司共需（万元）． ∵4.5万元万元， ∴从节约开支的角度考虑应该选择乙公司． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$