精品解析：四川省绵阳市北川县2024—2025学年上学期八年级期末数学试卷

2024－2025学年四川省绵阳市北川县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求．） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据概念逐一判断即可．本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握这一知识点是解题的关键． 【详解】解：A：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； B：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； C：可以找到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故是轴对称图形； D：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； 故选：C． 2. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数数，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：A． 3. 式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．根据“把一个多项式写成几个整式乘积的过程叫因式分解”逐项分析判定即可． 【详解】解：A．等号右边不是积的形式，则本选项不符合题意； B．等号右边不是积的形式，则本选项不符合题意； C．它符合因式分解的定义，则本选项符合题意； D．它是整式乘法运算，则本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则，零指数幂和负整数幂的意义，单项式与单项式的乘法法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，故原式不正确； B．，故原式不正确； C．，故原式不正确； D．，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了根据同底数幂的除法，零指数幂和负整数幂的意义，单项式与单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 故这个多边形的边数是， 故选：D． 6. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如果分式的值为0，那么，应满足的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式的值为零的条件得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x-1=0，2x-y≠0， 解得：x=1，则y≠2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确得出x的值是解题关键． 8. 如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上取一点P，使得最小，对点P的位置叙述正确的是（ ） A. 作线段的垂直平分线与直线l的交点，即为点P B. 过点A作直线l的垂线，垂足即为点P C. 作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点，即为点P D. 延长与直线l的交点，即为点P 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短、轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．先找出点对称点，连接，再根据两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：正确作法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点， ， 理由如下：在上异于点的位置任取一点，连接，，， ， 、关于直线对称， ， ， 最短， 故选：C． 9. 如果能写成一个完全平方的形式，则（ ） A. B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握两数的平方和、再加上或减去它们积的2倍就构成了一个完全平方式成为解题的关键． 将原式化为，再根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴，即． 故选D． 10. 李强同学借了一本书，共480页，要在一周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完”，列出关于x的分式方程，即可． 【详解】根据题意得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键． 11. 如图，在等边中，，为上任意一点（不与端点，重合），过点分别作于点，点．若，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，则，根据含30°角的直角三角形的性质可得，可得，则,再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解. 【详解】∵是等边三角形， ∴，， ∵于点，于点， ∴ ，，，， ∴, ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键. 12. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若四边形BFDE的面积为16，则AB的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】连接BD，根据等腰直角三角形的性质可得BD=CD，∠C=∠ABD=45°，根据直角三角形两锐角互余的关系可得∠FDC＝∠EDB，利用ASA可证明△EDB≌△FDC，可得S四边形BFDE＝S△BDC＝S△ABC，根据三角形面积公式求出AB的长即可得答案. 【详解】连接BD， ∵等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C=45°， ∵D为AC边上中点， ∴BD⊥AC（三线合一），BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°， ∴∠ABD＝∠C， 又∵DE⊥DF， ∴∠FDC+∠BDF＝∠EDB+∠BDF=90°， ∴∠FDC＝∠EDB， 在△EDB与△FDC中，， ∴△EDB≌△FDC（ASA）， ∴S四边形BFDE＝S△BDC＝S△ABC＝16， ∴AB2＝32， ∴AB＝8， 故选A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，根据全等得出S四边形BFDE＝S△BDC＝S△ABC是解题关键. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案填在答题卡相应的相线上） 13. 在平面直角坐标系中，点P（4,2）关于x轴的对称点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可以直接写出答案． 【详解】解：因为点P（4，2）关于x轴对称点的坐标是（4，-2）． 故答案为：（4，-2）． 【点睛】本题主要考查了点关天x轴对称点的坐标规律，关键是熟练掌握规律的变化特点． 14. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式-提公因式法，能找出多项式的公因式是解此题的关键．先找出多项式的公因式是a，再分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____． 【答案】125°或90°． 【解析】 【分析】要分情况去考虑：①,②然后根据外角定理得出答案即可. 【详解】解：在中，， 点D在BC边上，为直角三角形， 当时，则， 当时， 则， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是三角形中的分类讨论思想,根据两种情况分别得出答案即可. 16. _______；若，则_______． 【答案】 ①. ## ②. 8 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算．根据积的乘方，同底数的除法法则计算即可求解． 【详解】解：； 若，则 故答案为：；． 17. 如图，在中，，点、分别是的边、的中点，边分别与、相交于点、，且，，连接、、，现在下列四个结论：①，②平分，③，④．则其中正确的结论有_______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据四边形的内角和为，计算便可判断①的结论；②连接、，根据垂直平分线的性质得，，，进而由等腰三角形的性质得结论，从而得出②的结论；③证明，即可判断③的结论；④由，，当时，，，此时，由此判断④的结论． 【详解】解：①，， ， ， ， ①的结论正确； ②连接、，如图， 点，分别是的边、的中点，且，， ，，， ，，，，， ， 平分， ②的结论正确； ③点，分别是的边、的中点，，， ，， ，， ， ， ， ∴③的结论正确； ④，， ， ， 当时，则， ， ， ， 不是等边三角形， ， ④的结论不正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形的内角和定理，考查的知识点多，难度增大，正确地作辅助线是解决本题的关键． 18. 若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的整数的值为_______． 【答案】，0，2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，根据不等式组和分式方程解的情况确定a的取值范围是解题的关键． 先解不等式组求得不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围；再解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，然后确定符合条件a的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得： ∴不等式组的解集为； ∵不等式有且只有四个整数解， ∴，解得，； 解分式方程得：； ∵方程的解为非负数，且 ∴；即且； 综上可知，且， ∵a是整数， ∴． 故答案为，0，2． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 19. （1）解方程： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、整式的混合运算法则等知识点，掌握相关运算方法和运算法则成为解题的关键． （1）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式化简，然后再计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解； （2） ． 20. 已知； （1）化简W； （2）若a，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 【答案】（1） （2）当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，三角形三条边的关系，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． （1）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简； （2）先求出a的取值范围，再选取一个使原分式有意义的值代入计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵a，2，3恰好是的三边长， ∴， ∵， ∴， 当时， 原式． 21. 如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数． 【答案】∠DAC= 40°，∠BOA= 115°． 【解析】 【分析】由直角三角形两锐角互余知∠DAC=40度，根据三角形内角和定理得∠CAB+∠ABC= 130°，AF、BE是角平分线，则∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)=65°，从而得出答案． 【详解】解：∵AD 是高，∠C=50° ∴∠ADC= 90°， ∴∠DAC= 90°-50°=40°， ∵∠C= 50°， ∴∠CAB+∠ABC = 130°， ∵AF、BE是角平分线， ∴∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)= ×（180°-50°）=×130°=65°， ∴∠BOA= 180°- 65° = 115°． 【点睛】本题主要考查了高的概念、直角三角形的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义，做题的关键是角平分线性质的运用． 22. 如图，在中，点为上一点，过点作、，且，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵、， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】根据可证，可得，进而得出，即可得结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，解题关键是证明三角形全等． 23. 老张用400元购买了若干只种兔，老李用440元也购买了相同只数的种兔，但单价比老张购买的种兔的单价贵5元． （1）老张与老李购买的种兔共有多少只？ （2）一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，两人将兔子全部售出，则售价至少为多少元时，两人所获得的总利润不低于960元？ 【答案】（1）老张与老李购买的种兔共有16只；（2）售价至少为72元时，两人所获得的总利润不低于960元 【解析】 【分析】（1）设老张买的种兔共有x只，根据题意列出方程，即可求出答案． （2）设售价为a元，根据题意列出不等式，即可求出答案． 【详解】（1）设老张买的种兔共有x只， 由题意得：， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是原分式方程的解， ∴8+8＝16（只）， 答：老张与老李购买的种兔共有16只； （2）设售价为a元， 由题意可知：（8+2）a+（8×2﹣1）a﹣400﹣440≥960， 解得：a≥72， 答：售价至少为72元时，两人所获得的总利润不低于960元． 【点睛】本题主要考查分式方程以及一元一次不等式的实际应用，找到等量关系和不等量关系，列出方程和不等式，是解题的关键． 24. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】 解：（1）如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴， （2）证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； （3）解：如图所示，过作于，连接． ，且， ． ∴． ． ， ， ∴为等边三角形． ，， ． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； （2）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】（1）略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年四川省绵阳市北川县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求．） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 3. 式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果分式的值为0，那么，应满足的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上取一点P，使得最小，对点P的位置叙述正确的是（ ） A. 作线段的垂直平分线与直线l的交点，即为点P B. 过点A作直线l的垂线，垂足即为点P C. 作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点，即为点P D. 延长与直线l的交点，即为点P 9. 如果能写成一个完全平方的形式，则（ ） A. B. 12 C. D. 10. 李强同学借了一本书，共480页，要在一周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在等边中，，为上任意一点（不与端点，重合），过点分别作于点，点．若，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 12. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若四边形BFDE的面积为16，则AB的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案填在答题卡相应的相线上） 13. 在平面直角坐标系中，点P（4,2）关于x轴的对称点的坐标是_______． 14. 分解因式：____________． 15. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____． 16. _______；若，则_______． 17. 如图，在中，，点、分别是的边、的中点，边分别与、相交于点、，且，，连接、、，现在下列四个结论：①，②平分，③，④．则其中正确的结论有_______．（填序号） 18. 若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的整数的值为_______． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 19. （1）解方程： （2）化简：． 20. 已知； （1）化简W； （2）若a，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 21. 如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数． 22. 如图，在中，点为上一点，过点作、，且，求证：是等边三角形． 23. 老张用400元购买了若干只种兔，老李用440元也购买了相同只数的种兔，但单价比老张购买的种兔的单价贵5元． （1）老张与老李购买的种兔共有多少只？ （2）一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，两人将兔子全部售出，则售价至少为多少元时，两人所获得的总利润不低于960元？ 24. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $