精品解析：广东省深圳市聚龙科学中学2024-2025学年高二上学期第二次段考数学试题

深圳市聚龙科学中学2024—2025学年度上学期第二次段考 高二数学试卷 考试时间：120分钟；分值：150分 姓名：______班级：______考号：______ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若向量，向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5. 焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ） A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 8 6. 有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（ ） A. 米 B. 2米 C. 米 D. 4米 7. 椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 底面为正方形的四棱锥，且平面，，，线段上一点满足，为线段的中点，为四棱锥表面上一点，且，则点形成的轨迹的长度为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线的方向向量分别为， 平面α的法向量， 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（ ） A. m的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y轴上，则 C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆的离心率为 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C. 圆：与圆：外切，则 D. 已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 三、填空题：本大题共3小题，共15． 12. 若双曲线的一条渐近线方程为，则a = ________________ 13. 过点且与直线垂直的直线方程为__________. 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线在第一象限的交点为P，若，且，则双曲线的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆：. （1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； （2）求直线：被圆C所截得的弦长. 16. 已知椭圆：（）的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值大小． 18. 已知抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）求该抛物线的方程； （2）在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短； （3）过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 19. 如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点T，使得点T到直线的距离是，若存在求的长，不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市聚龙科学中学2024—2025学年度上学期第二次段考 高二数学试卷 考试时间：120分钟；分值：150分 姓名：______班级：______考号：______ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若向量，向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以. 故选：C 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将直线化为斜截式，可得斜率，再根据斜率求倾斜角即可． 【详解】将直线化为斜截式，得，∴直线的斜率， 即倾斜角满足，，故倾斜角为． 故选：A． 3. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，由，得，即， 因此，所以. 故选：B 4. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆和圆的位置关系判断可得答案. 【详解】由题意知，两圆的圆心分别为， 圆心距为， 两圆的半径分别为2，3， 由于， 所以两圆相交. 故选：B. 5. 焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ） A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程，根据焦点在x轴表示出焦距可求出m． 【详解】由椭圆焦距为2，焦点在x轴上， 得，则，得，解得，∴m的值为5， 故选：A． 6. 有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（ ） A. 米 B. 2米 C. 米 D. 4米 【答案】C 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，进而即可得结果． 【详解】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系， 依题意可设抛物线方程为，代入点， ∴，， 将代入可得，所以水面宽度为． 故选：C． 7. 椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程求得m的值，进而求得两平行线间的距离得到最小值． 【详解】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去x，整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为． 所以最小值为． 故选：B． 8. 底面为正方形的四棱锥，且平面，，，线段上一点满足，为线段的中点，为四棱锥表面上一点，且，则点形成的轨迹的长度为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 以D为坐标原点，以DA，DC，DS为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 取AD的中点E,则， ∴，即， 在上取一点,设,则， 设,则,即,解得， ∴平面， ∴P点轨迹为. ∵,， ∴的周长为. 故选B. 点睛：利用空间直角坐标系求解立体几何问题，的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量或直线的方向向量；第四，破“应用公式关”. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线的方向向量分别为， 平面α的法向量， 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】BC 【解析】 【分析】由数量积的坐标表示逐项判断即可. 【详解】由，可得：， 故故A错，B对. 由可得：， 所以，故C对，D错， 故选：BC 10. 已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（ ） A. m的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y轴上，则 C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆的离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由曲线表示椭圆，则满足， 解得且，所以A不正确； 该椭圆的焦点在y轴上，则满足解得，所以B正确； 当时，椭圆的方程为，可得，则， 此时椭圆的焦距为，所以C正确； 当时，椭圆的方程为，可得，则， 此时椭圆的离心率为，所以D正确. 故选：BCD 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C. 圆：与圆：外切，则 D. 已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由两圆外切；由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D. 【详解】对于选项A：由可得：， 由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确； 对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径， 平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B正确； 对于选项C：由可得，圆心，， 由 可得， 圆心，，由两圆相外切，所以， 即，解得：，故选项C正确； 对于选项D：设点坐标为，所以，即， 因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，， 所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为， 整理可得：，与已知圆相减可得， 消去可得：即，由可得， 所以直线经过定点，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，共15． 12. 若双曲线的一条渐近线方程为，则a = ________________ 【答案】2 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程为，又它的一条渐近线方程为.所以a=2. 13. 过点且与直线垂直的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合直线垂直的性质可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程即可得解. 【详解】由题意直线的斜率为，故所求直线的斜率， 所以所求直线方程为即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了直线位置关系的应用及直线方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线在第一象限的交点为P，若，且，则双曲线的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两曲线在第一象限的交点为P，得到；又，进而得到，转化为离心率的齐次式即得． 【详解】由已知可得点，代入得出 ，即 将代入得出，即． 故． ． 又椭圆与双曲线有相同的焦点， 故， 故． 即 ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆：. （1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； （2）求直线：被圆C所截得的弦长. 【答案】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为5；（2）. 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径. （2）求出圆心到直线的距离，然后可算出答案. 【详解】（1）由可得该圆的标准方程为 其圆心为，半径为5 （2）圆心到直线的距离为 所以直线：被圆C所截得的弦长为 16. 已知椭圆：（）的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，，求出的值即可求解； （2）设，的横坐标分别为，，，直线的方程为与椭圆方程联立，求出、，由弦长公式即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，， 解得：，，， 则椭圆的方程为：； （2）过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为， 由可得：可得， 设，的横坐标分别为，， 可得，， 则 ， 所以线段的长为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值大小． 【答案】 （1）直三棱柱，底面三边长，，，，，两两垂直． 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则 ，， ，故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直． （2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）同上建系，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由得： 令，则，则． 故，． 所求二面角的余弦值. 【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力． 18. 已知抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）求该抛物线的方程； （2）在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短； （3）过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的性质可得p的值，即求出抛物线的方程； （2）设与平行的直线：，代入抛物线的方程求得t的值，进而求出点； （3）设A，B的坐标，由中点坐标公式，可得A，B的坐标的关系，结合点差法可得直线l的方程． 【小问1详解】 因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以． 【小问2详解】 设与平行的直线：， 联立，得， 由，得，∴切线：， 此时切线到直线的距离最短， 由，解得，即． 【小问3详解】 设，，则， 由，得， 若，则A、B关于x轴对称，为AB中点不符合题意； 若，则， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 19. 如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点T，使得点T到直线的距离是，若存在求的长，不存在说明理由. 【答案】（1）证明：由于，所以， 根据直三棱柱的性质可知，由于，所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2） （3）存在， 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设N是的中点，连接，则，MA，MB，MN，两两相互垂直. 以M为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设直线和平面所成角为，则； 【小问3详解】 设，则， 过T作，则， ∵， ∴， ∴，∴或（舍） ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $