专题强化02：实数【13大题型 培优】-2024-2025学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题强化02：实数 【题型归纳】 · 题型一：求一个数的（算术）平方根、立方根 · 题型二：实数的分类 · 题型三：利用算术平方根的非负性解题 · 题型四：平方根、立方根的规律探索问题 · 题型五：平方根、立方根的实际应用 · 题型六：无理数的估算 · 题型七：实数与数轴 · 题型八：实数比较大小 · 题型九：实数的新定义运算 · 题型十：实数与程序框图 · 题型十一：实数有关的规律问题 · 题型十二：实数的混合计算 · 题型十三：实数的综合问题 【题型探究】 题型一：求一个数的（算术）平方根、立方根 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中不正确的是（    ） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 2．（23-24七年级下·全国·期末）判断下列说法正确的是（    ） A．是的立方根 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．算术平方根等于本身的数是 3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．0.04的平方根是0.2 B． C．的算术平方根是2 D．64的立方根是 题型二：实数的分类 4．（20-21七年级下·全国）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（20-21七年级上·河北承德·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣不仅是有理数，而且是分数；④是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 6．（23-24七年级上·浙江金华·期中）下列说法中： ①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数所表示的准确数x的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数． 其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型三：利用算术平方根的非负性解题 7．（24-25七年级上·湖北·期中）如果，那么代数式的值为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（    ）． A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）若式子，则等于（    ） A． B． C． D． 题型四：平方根、立方根的规律探索问题 10．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 11．（21-22七年级下·贵州遵义·期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 12．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）将一组数…按以下方式进行排列： 第一行             第二行         2           第三行              …                …… 则第八行左起第1个数是（    ）． A． B． C． D． 题型五：平方根、立方根的实际应用 13．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 15．（23-24七年级下·山西朔州·期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 题型六：无理数的估算 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知、分别是的整数部分和小数部分，则 ． 17．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若，且a、b是两个连续的整数，则的值为 ． 18．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）的值在两个相邻的整数和之间，则 ． 题型七：实数与数轴 19．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点． 20．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，按图中方式画圆弧交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 21．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 题型八：实数比较大小 22．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）将，，，这四个数按从小到大的顺序用“”号连接起来应为 ． 23．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 24．（23-24七年级下·广东东莞·期中）比较大小： 4； 1（填“”或“”） 题型九：实数的新定义运算 25．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 27．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新的数：．例如把放入其中，就会得到．现在将数对放入其中得到数m，再将数对放入其中后，得到的数是 ． 题型十：实数与程序框图 28．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是 ． 29．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 30．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 题型十一：实数有关的规律问题 31．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 32．（23-24七年级下·广西河池·期末）将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ． 33．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 题型十二：实数的混合计算 34．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 35．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)．（精确到，其中 36．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十三：实数的综合问题 37．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 38．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 39．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【专题强化】 一、单选题 40．（24-25七年级上·浙江温州·期末）在，，，这四个数中，属于无理数的是（  ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列各种说法中，不正确的是（   ）． A．是一个无理数 B．的立方根是 C．只有正数才有算术平方根 D．和都是正数13的平方根 43．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．其中正确的个数是（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 44．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ） A． B． C．5或 D．4或 45．（2024七年级上·浙江·专题练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 49．（24-25七年级上·广西梧州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 50．（24-25七年级上·四川成都·期末）比较大小： ． 51．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 52．（24-25七年级下·全国·期中）满足的整数是 ． 53．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知实数，满足关系式，求的立方根 ． 54．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 三、解答题 55．（24-25七年级上·山东淄博·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值； (2)若，请求出的值，并在数轴上作出表示的点．（保留作图痕迹） 56．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 57．（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有四个实数：①，②，③，④ (1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）． 有理数：_________；无理数：__________． (2)请在数轴上近似表示出以上四个实数． (3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________ 58．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 59．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下是小明与老师之间的对话： 小明：张老师，我们知道是无理数，无理数就是无限不循环小数，那该如何表示出它的小数部分呢？ 老师：小明，因为的整数部分是2，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即． 根据上述对话内容，解答下面的问题： 已知，其中是整数，且． (1)________；________； (2)求的值． 60．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：实数 【题型归纳】 · 题型一：求一个数的（算术）平方根、立方根 · 题型二：实数的分类 · 题型三：利用算术平方根的非负性解题 · 题型四：平方根、立方根的规律探索问题 · 题型五：平方根、立方根的实际应用 · 题型六：无理数的估算 · 题型七：实数与数轴 · 题型八：实数比较大小 · 题型九：实数的新定义运算 · 题型十：实数与程序框图 · 题型十一：实数有关的规律问题 · 题型十二：实数的混合计算 · 题型十三：实数的综合问题 【题型探究】 题型一：求一个数的（算术）平方根、立方根 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中不正确的是（    ） A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，根据平方根，算术平方根和立方根的概念即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、10的平方根是，故选项符合题意； B、8是64的一个平方根，说法正确，故选项不符合题意； C、的立方根是，说法正确，故选项不符合题意； D、的算术平方根是，说法正确，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·期末）判断下列说法正确的是（    ） A．是的立方根 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．算术平方根等于本身的数是 【答案】B 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根及平方根的定义逐项判断即可求解，掌握立方根、算术平方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：、是的立方根，该选项说法错误，不合题意； 、是的算术平方根，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、算术平方根等于本身的数是和，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．0.04的平方根是0.2 B． C．的算术平方根是2 D．64的立方根是 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根的运算法则，掌握运算法则是解题关键．根据算术平方根、平方根、立方根的运算法则对各选项进行计算判断即可． 【详解】解：A、0.04的平方根是，说法错误，不符合题意； B、，说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是2，说法正确，符合题意； D、64的立方根是，说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型二：实数的分类 4．（20-21七年级下·全国）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 5．（20-21七年级上·河北承德·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣不仅是有理数，而且是分数；④是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①没有最小的整数，所以原说法错误； ②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误； ③﹣是无理数，所以原说法错误； ④是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确； ⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误； ⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误； 故其中错误的说法的个数为6个． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 6．（23-24七年级上·浙江金华·期中）下列说法中： ①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数所表示的准确数x的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数． 其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的分类，实数与数轴，有理数的加法与乘法运算，近似数的精确值的范围，绝对值的含义，本题根据定义与对应的运算法则逐一分析判断即可． 【详解】解：实数包括无理数和有理数；故①符合题意； 数轴上的点与实数一一对应；故②不符合题意； 如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；故③符合题意； 近似数所表示的准确数x的范围是：；故④不符合题意； 绝对值等于本身的数是正数或0，故⑤不符合题意； 故选A 题型三：利用算术平方根的非负性解题 7．（24-25七年级上·湖北·期中）如果，那么代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、偶次方的非负性和求代数式的值等知识点，能求出、的值是解此题的关键． 根据绝对值和偶次方的非负性求出、的值，再代入求出即可． 【详解】解：， ,， ,， ， 故选：C． 8．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值、有理数的大小比较，根据非负数的性质求得，，分别代入求解，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∴的值最大， 故选：A． 9．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）若式子，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根及平方的非负数性质，几个非负数的和为，那么这几个非负数都为，先根据非负数的性质求出的值，再代入所求式子计算即可，熟练掌握非负数的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，，解得：，， ∴， 故选：． 题型四：平方根、立方根的规律探索问题 10．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 11．（21-22七年级下·贵州遵义·期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， 从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， ∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91， 故选B． 【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键． 12．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）将一组数…按以下方式进行排列： 第一行             第二行         2           第三行              …                …… 则第八行左起第1个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 题型五：平方根、立方根的实际应用 13．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【分析】本题考查立方根的应用，立方根的估算，熟练掌握立方根的估算方法是解题的关键．设正方体内壁的边长为，得，求出，再利用立方根的估算方法估算即可． 【详解】解：设正方体内壁的边长为， 根据题意，得：， 解得：， ∵，，，， ， 且， ∴， 故选：C． 15．（23-24七年级下·山西朔州·期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选C． 题型六：无理数的估算 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知、分别是的整数部分和小数部分，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的整数部分以及小数部分，已知字母的值求代数式的值，先得出，再由、分别是的整数部分和小数部分，得出，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵、分别是的整数部分和小数部分， ∴， 则． 故答案为： 17．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若，且a、b是两个连续的整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求代数式的值；先确定a，b的值，再代入求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）的值在两个相邻的整数和之间，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数估算及整数部分，解题的关键是根据夹逼法求出在哪两个整数之间． 根据夹逼法估算，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故答案为：． 题型七：实数与数轴 19．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法得到，则，据此结合数轴可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是D点， 故答案为：D． 20．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，按图中方式画圆弧交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理计算图上所画的圆弧的长度，进而即可求解． 【详解】解：因为每个小正方形的边长均为1个单位长度， 故图上所画的圆弧的长度为， 以表示数0的点为圆心画弧与负半轴交于点A， 故点A表示的数是 故答案为∶． 21．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征及平方根的定义是解题的关键． （1）根据数轴上点A的位置，得出数a的取值范围，再结合绝对值的性质即可解决问题． （2）根据（1）中求出的b的值，结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给数轴可知，， 所以，， 则． （2）由（1）知， ， 所以的平方根是． 故答案为：（1）；（2）． 题型八：实数比较大小 22．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）将，，，这四个数按从小到大的顺序用“”号连接起来应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方、绝对值的意义、有理数的大小比较．能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键． 首先计算有理数的乘方，绝对值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 23．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据正数大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小，实数比较大小的方法逐项求解即可． 【详解】∵正数大于负数 ∴； ∵ ∴； ∵， ∵ ∴． 故答案为：，，． 24．（23-24七年级下·广东东莞·期中）比较大小： 4； 1（填“”或“”） 【答案】 < < 【分析】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用平方法比较大小是解题关键． 根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：，． 题型九：实数的新定义运算 25．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算等知识点，理清题意、理解所给运算法则是解题关键． 先根据新定义运算法则列式，然后再跟进有理数混合运算法则计算即可． 【详解】根据题意， , 由此 ． 故答案为： 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义首先计算括号内的，然后根据新定义即可求解． 【详解】由题意可知，， ， 故答案为：． 27．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新的数：．例如把放入其中，就会得到．现在将数对放入其中得到数m，再将数对放入其中后，得到的数是 ． 【答案】2 【分析】根据定义，代入解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握计算方式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 故答案为：2． 题型十：实数与程序框图 28．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，有一个数值转换器，流程如下图所示，当输入x的值为64时，则输出y的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，有理数、无理数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 依据运算程序进行计算即可． 【详解】解：根据步骤，输入64，先有，是有理数，是有理数，返回到第一步，取2的立方根是，是无理数，最后输出 故答案为：． 29．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键． （1）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 30．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入的为36时，输出的值是． 故答案为：． 题型十一：实数有关的规律问题 31．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 32．（23-24七年级下·广西河池·期末）将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ． 【答案】19 【分析】本题考查实数数字类规律，从题中实数的排列方式中找到规律是解决问题的关键．根据题中所给的实数排列方式，找到规律求解即可得到答案． 【详解】解：将实数按如图方式进行有规律排列，观察发现，具有如下规律： ①第行有个数； ②每行最后一个数字的绝对值等于行数； ③奇数行的最后一个为正； ④偶数行的最后一个为负； ∴第19行有个数， ∴根据如上规律可知，第19行的第37个数是19． 故答案为：． 33．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】解：根据题意，第n个等式为 ＝ ∴ ； 故答案为： ． 题型十二：实数的混合计算 34．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则，是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再进行加减运算； （2）先化简绝对值，再计算加减即可； （3）先计算括号，再计算乘除即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 35．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)．（精确到，其中 【答案】(1)0 (2)14 (3)12 (4) 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数加法法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先根据有理数的乘方、立方根、算术平方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （4）先算乘法，再算加减，最后取近似值即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 36．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用减法法则进行计算即可； （2）先进行开方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可； （3）根据混合运算的法则进行计算即可； （4）先乘方，再乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型十三：实数的综合问题 37．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 【答案】（1）（2）①②③（3）①② 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算： （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）①先化简再计算即可；②先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴①； ②； ③； 故答案为：①②③； （3）①原式； ②原式． 38．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)1 (2)17 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为1， 故答案为：1； （2）， ， ， ， ， ， ， 39．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 【专题强化】 一、单选题 40．（24-25七年级上·浙江温州·期末）在，，，这四个数中，属于无理数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键； 注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个之间依次多个）等形式． 根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 41．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴和估算无理数的大小等知识点，根据数轴得到点M的可能取值，再结合点M更接近，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 因为和在到之间， 所以和可能是点M， 又因为点M更接近， 所以点M表示的数可能是， 故选：C． 42．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列各种说法中，不正确的是（   ）． A．是一个无理数 B．的立方根是 C．只有正数才有算术平方根 D．和都是正数13的平方根 【答案】C 【分析】本题考查无理数，立方根，算术平方根，平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键． 根据无理数、立方根、算术平方根、平方根的概念逐项判定即可． 【详解】解：A、是一个无理数，正确，故此选项不符合题意； B、的立方根是，正确，故此选项不符合题意； C、因为0也有算术平方根，0的算术平方根是0，所以只有正数才有算术平方根说法不正确，故此选项符合题意； D、和都是正数13的平方根，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 43．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．其中正确的个数是（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、实数的大小比较、无理数的估算、平方根与立方根，熟练掌握实数的性质和立方根的性质是解题关键．根据实数与数轴上的点是一一对应的关系即可判断①错误；根据算术平方根可得，再根据实数的大小比较法则即可判断②正确；根据无理数的估算可得，由此即可判断③正确；根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，解方程求出的值，从而可得的值，根据求解即可判断④正确；根据1的立方根是1即可判断⑤错误． 【详解】解：∵实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示， ∴数轴上有一个点表示这个无理数，则说法①错误； ∵，， ∴，则说法②正确； ∵， ∴，即， ∵在两个连续整数和之间， ∴，则说法③正确； ∵正实数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴，则说法④正确； ∵， ∴1的立方根是1，则说法⑤错误； 综上，正确的个数是3个， 故选：B． 44．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ） A． B． C．5或 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和倒数的性质，以及求一个数的平方根，互为相反数的两数和为零，互为倒数的两数积为，9的平方根是，据此即可求解. 【详解】解：由题意得； 当时，； 当时，； 故选：C 45．（2024七年级上·浙江·专题练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．把﹣512按给出的程序逐步计算即可． 【详解】解：由题中所给的程序可知：把取立方根，结果为， 是有理数， 再取立方根为， 是有理数， 再取立方根为， 是无理数， 输出． 故选：D． 46．（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 47．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由数轴得到点A分别到点B的距离是解题关键． 由数轴得到，因此，于是，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵面积为S的正方形的顶点A在数轴上， ∴， ∴， 故选：C． 48．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的实数运算、无理数的估算，求一个数的立方根；根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：∵， ∴ 又∵，即 ∵和为两个连续整数， ∴ ∴ ∴的立方根值为， 故选：D． 49．（24-25七年级上·广西梧州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②；若，且，则，，据此可判断③；根据可得原方程为，解得，但不能得到，据此可判断④． 【详解】解：①，原说法正确； ②，原说法正确； ③若，且，则，，，原说法正确； ④∵， ∴， ∴，而并不一定成立，原说法错误； ∴说法正确的有3个， 故选：B． 二、填空题 50．（24-25七年级上·四川成都·期末）比较大小： ． 【答案】> 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握分子有理化，分数大小的比较法则，是解题的关键． 根据实数的性质，先把无理数分子有理化，分子相同，比较分母，进而比较大小，即可求解． 【详解】解：∵，，且 ∴， ∴． 故答案为：>． 51．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 52．（24-25七年级下·全国·期中）满足的整数是 ． 【答案】、、、 【分析】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根、立方根的意义是解题关键．根据算术平方根、立方根的意义估算，的整数部分，进而得出答案． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴满足的整数有、、、． 故答案为：、、、． 53．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知实数，满足关系式，求的立方根 ． 【答案】3 【分析】本题考查非负性，求一个数的立方根，根据非负性求出的值，再根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：3． 54．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 三、解答题 55．（24-25七年级上·山东淄博·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值； (2)若，请求出的值，并在数轴上作出表示的点．（保留作图痕迹） 【答案】(1)的值为3，的值为6 (2)，见解析 【分析】本题考查复杂作图、实数与数轴及勾股定理，算术平方根的定义和立方根的定义，正确应用勾股定理是解题关键． （1）根据算术平方根的定义和立方根的定义，即可解答； （2）由（1）可求出，再根据，即，过数轴上表示2的点作垂线，在以表示2的点，1为半径画弧交该垂线于一点，以原点为圆心，原点到两弧交点的长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则A表示的数为． 【详解】（1）解：因为，的立方根是2，的算术平方根是3， 所以， 解得， 将代入中，得， 所以的值为3，的值为6； （2）解：将代入中， 得， 所以，． 因为，即， 数轴上表示的点如图所示． ． 56．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)118 【分析】本题考查了有理数的混合运算，算术平方根，立方根． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （4）先算乘方和立方根、算术平方根，再算乘除，最后算加减即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 57．（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有四个实数：①，②，③，④ (1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）． 有理数：_________；无理数：__________． (2)请在数轴上近似表示出以上四个实数． (3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________ 【答案】(1)①④；②③ (2)见解析 (3)，，， 【分析】本题考查了数轴，实数比较大小，实数的分类，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据有理数和无理数的概念求解即可； （2）根据数轴的特点把数据表示在数轴上即可； （3）根据（2）中的数轴上的数据，按从左往右的顺序用“”连接即可． 【详解】（1）解：， 有理数是①④；无理数是②③； 故答案为：①④；②③； （2）各数在数轴上表示如下： （3）各数用“”连接为：， 故答案为：，，，． 58．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根的定义求出的值，根据平方根的定义求出的值，根据无理数的估算的值，然后求得的值即可； （）把，，的代入，然后根据平方根的定义即可求解； 本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∵，即，是的整数部分， ∴， ∴，，， （2）解：由（）得：，，， ∴， ∴的平方根为． 59．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下是小明与老师之间的对话： 小明：张老师，我们知道是无理数，无理数就是无限不循环小数，那该如何表示出它的小数部分呢？ 老师：小明，因为的整数部分是2，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即． 根据上述对话内容，解答下面的问题： 已知，其中是整数，且． (1)________；________； (2)求的值． 【答案】(1)10； (2)33 【分析】此题主要考查了二次根式的计算，估算无理数的大小，正确得出各无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）根据得出，得出，再求得y，即可得答案； （2）把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数为， ∵， ∴， 故答案为：10；； （2）解：原式， ， ． 60．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$