精品解析：山东省济宁市曲阜市2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

2024～2025学年度第一学期期末教学质量监测考试 七年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第II卷两部分，共6页.第I卷为选择题，36分；第II卷为非选择题，64分；共100分.考试时间为120分钟. 2.答题前，考生务必先核对条形码上的姓名，准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名，准考证号和座号填写在答题卡相应位置. 3.答第I卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4.答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写.务必在题号所指示的答题区域内作答． 5.填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 等于（ ） A 3 B. C. D. 1 2. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 某食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，从左面观察这个立体图形，得到平面图形是（ ） A. B. C. D. 5. 以下变形错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 下列赋予代数式实际意义的例子，正确的是（ ） A. 长为，宽为的长方形的周长 B. 原价为元的商品打五折后的售价 C. 购买5本单价为元的笔记本所需的费用 D. 货车以的速度行驶的平均速度 7. 如图，甲从出发向北偏西方向走到点，乙从点出发向南偏东的方向走到点，则的度数（ ） A. B. C. D. 8. 已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或3 9. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C D. 10. “直播带货”俨然是时下最火热销售模式之一，有两家直播间销售定价相同的同种商品，元旦期间，两家直播间纷纷搞促销，甲直播间连续两次降价，每次降价都是10%，乙直播间一次性降价20%，小颖想要购买这种商品，她应选择（ ） A. 乙直播间 B. 甲直播间 C. 甲、乙直播间的价格相同 D. 不确定 11. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（ ） A. B. C. 8 D. 16 12. 在的内部引一条射线，则共有三个角，分别是、、．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．若，且射线是的“巧分线”，则的度数有下列情况：①② ③④．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 第II卷（非选择题共64分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分. 13. 已知，则的补角的度数是_________． 14. 如果是方程的解，则的值是______． 15. 若与的差仍是单项式，则_______． 16. 已知实数x，y满足，则代数式的值为_____． 17. 如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第5个图案中灰色瓷砖块数为______块，第个图案中白色瓷砖块数为______块．（用含的代数式表示） 18. 把四张形状大小，完全相同的小长方形卡片（如图1）不重复地放在一个底面为长方形（长为m厘米，宽为n厘米）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分周长和是_______cm．（用m或n的式子表示）． 三、解答题：共7小题，共52分. 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知平面内有A，B，C三点． （1）按下列要求画图： ①作射线，线段；②延长到D，使，点E是的中点，点F是的中点； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 22. 如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M； （2）求整式N； （3）若，求P的值． 23. 某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天． （1）求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）； （2）若先由甲、乙两个工厂按原来速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？ 24. 已知与共顶点，，． （1）如图，点在一条直线上，若，，为的平分线，为的平分线，求的度数； （2）若，、绕点运动到如图所示的位置，为的平分线，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由． 25. 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2  动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期末教学质量监测考试 七年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第II卷两部分，共6页.第I卷为选择题，36分；第II卷为非选择题，64分；共100分.考试时间为120分钟. 2.答题前，考生务必先核对条形码上的姓名，准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名，准考证号和座号填写在答题卡相应位置. 3.答第I卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4.答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写.务必在题号所指示的答题区域内作答． 5.填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 等于（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 根据绝对值的求法解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据384000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 某食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出温度范围，根据温度范围即可得到答案． 【详解】解：，， 是适合存储这种食品的温度范围是：至， ∵，选项A符合题意； ∵，选项B不符合题意； ∵，选项C不符合题意； ∵，选项D不符合题意； 故选： A． 4. 如图，从左面观察这个立体图形，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左面看得到的图形的形状，对比选项即可得出答案． 【详解】解：从左面看，上面是一个正方形，下面是两个正方形，且上面正方形在下面正方形的最左边． 故选：A． 【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，属于容易题，理解从左面看，看到的是物体的高度和宽度是解题的关键． 5. 以下变形错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．，乘以c得：，A选项正确，故不符合题意； B．，乘以c得：，B选项正确，故不符合题意； C．因，，所以除以得：，C选项正确，故不符合题意； D．当时，由不能推出，D选项错误，故符合题意． 故选：D． 6. 下列赋予代数式实际意义的例子，正确的是（ ） A. 长为，宽为的长方形的周长 B. 原价为元的商品打五折后的售价 C. 购买5本单价为元的笔记本所需的费用 D. 货车以的速度行驶的平均速度 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了列代数式和代数式的实际意义．根据选项进行列代数式即可作出解答． 【详解】解：A．长为，宽为的长方形的周长为，故不符合题意； B．原价为元的商品打五折后的售价为元，故不符合题意； C．购买5本单价为元的笔记本所需的费用为元，故符合题意； D．货车以的速度行驶的平均速度，故不符合题意； 故选：C． 7. 如图，甲从出发向北偏西方向走到点，乙从点出发向南偏东的方向走到点，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方向角，根据题意可得：，，然后利用平角定义可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或3 【答案】C 【解析】 【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可． 【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2, ∴AD=AC=1 如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6, ∴AD=AC=3 故选C． 【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键． 9. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际优应用，设物价是x钱，根据每人出8钱多出3钱可知有人，根据每人出7钱，还差4钱可知有人，根据人数不变建立方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 10. “直播带货”俨然是时下最火热的销售模式之一，有两家直播间销售定价相同的同种商品，元旦期间，两家直播间纷纷搞促销，甲直播间连续两次降价，每次降价都是10%，乙直播间一次性降价20%，小颖想要购买这种商品，她应选择（ ） A. 乙直播间 B. 甲直播间 C. 甲、乙直播间的价格相同 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】设这种商品原价为a元，根据两种降价方式分别表示出降价后的价格，比较大小即可得出结论． 【详解】解：设这种商品原价为a元，则甲直播间连续两次降价后的价格为： ， 乙直播间一次性降价20%后的价格为： ， ∵， ∴小颖想要购买这种商品，她应选择乙直播间，故A正确， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了销售问题，分别计算出该商品在甲、乙两直播间降价后的价格是解题的关键． 11. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可得：x+2=y+（-1），m+（-1）=n+2，据此分别求出x-y，m-n的值各是多少，即可求出（x-y）m-n的值是多少． 【详解】解：根据题意，可得： x+2=y+（-1），m+（-1）=n+2， ∴x-y=-3，m-n=3， ∴（x-y）m-n=（-3）3=-27． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数加法和有理数乘方的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 12. 在的内部引一条射线，则共有三个角，分别是、、．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．若，且射线是的“巧分线”，则的度数有下列情况：①② ③④．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查新定义理解及角的运算，根据角的和差进行计算即可得． 【详解】解：①当时， ， ， 射线是的“巧分线”． ②当时， ， ， 射线是的“巧分线”． ③当时， ， ， 射线是的“巧分线”． ④当时， ， 不存在其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍， 射线不是的“巧分线”． 故正确的有①②③， 故选D． 第II卷（非选择题共64分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分. 13. 已知，则的补角的度数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了补角的定义和角度换算．根据两个角之和为的两个角互为补角，以及解题即可． 【详解】解：∵ ∴的补角的度数是． 故答案为：． 14. 如果是方程的解，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元一次方程的解的意义，把代入方程，从而得到关于的一元一次方程，求解该方程即可． 【详解】解：是方程的解， 把代入方程，得，解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元一次方程解的意义，熟练掌握一元一次方能解的概念：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解是解决问题的关键． 15. 若与的差仍是单项式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类项的概念得出的值，进而求解． 【详解】解：与的差仍是单项式， 与是同类项， ， 解得， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数也相同． 16. 已知实数x，y满足，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 17. 如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第5个图案中灰色瓷砖块数为______块，第个图案中白色瓷砖块数为______块．（用含的代数式表示） 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示找到一般规律即可． 【详解】解：由图可知： 第1个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）； 第2个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）； 第3个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）； .... 第5个图案中灰色瓷砖块数为：（块）； 依此类推，第个图案中白色瓷砖块数为：（块）； 故答案为：； 18. 把四张形状大小，完全相同小长方形卡片（如图1）不重复地放在一个底面为长方形（长为m厘米，宽为n厘米）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分周长和是_______cm．（用m或n的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式加减运算的应用．设小长方形卡片的长为，宽为，由图形得到，即，分别表示阴影部分两长方形的长与宽，进而表示出阴影部分的周长和，去括号合并后，将代入，即可得到结果． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为，可得：，即，根据题意得： 阴影部分的周长为 ． 故答案为：． 三、解答题：共7小题，共52分. 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）选算乘方和除法，再算乘法，然后算加减； （2）利用乘法分配律计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解决此题的关键． (1) 移项， 合并同类项，系数化为1，即可得解； (2)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得解． 【小问1详解】 解： ， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 【小问2详解】 解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 21. 已知平面内有A，B，C三点． （1）按下列要求画图： ①作射线，线段；②延长到D，使，点E是的中点，点F是的中点； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）①见解析，②见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了射线、线段、线段中点的有关计算，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）①根据射线、线段的定义画图即可； ②延长，以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点D，再分别作线段，的中点E，； （2）由中点的定义可得，，再根据线段和差计算，即得答案． 【小问1详解】 解：①如图，射线，线段即为所求； ②如图，线段，点即为所求； 【小问2详解】 解：点E是的中点，点F是的中点， ，， ， ， ． 22. 如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M； （2）求整式N； （3）若，求P的值． 【答案】（1） （2） （3）－8 【解析】 【分析】（1）根据整式的减法运算法则即可求出答案； （2）先根据整式的加法运算法则进行化简，即可求出答案； （3）根据整式的加法运算法则求出P，然后整理代入即可求解． 【小问1详解】 解：M=（2x-5）-（-x2+3x-1） =2x-5+x2-3x+1 =x2-x-4； 【小问2详解】 解：N=(2x2−4x−1)+[−4(x2−3x)] =2x2−4x−1−4x2+12x =−2x2+8x−1； 【小问3详解】 解：P=(2x−5)+(− 2x2+8x−1) =2x−5− 2x2+8x−1 =−2x2+10x−6 =−2(x2−5x)−6， ∵x2−5x=1 ∴P=-8． 【点睛】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 23. 某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天． （1）求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）； （2）若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？ 【答案】（1）这批校服共有960件 （2）乙厂全部工作时间是28天 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． （1）设这批校服共有x件，根据单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天建立一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）设甲工厂加工的天数为y天，则乙工厂加工的天数为：（天），根据加工天数和总件数建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设这批校服共有x件, 由题意得：甲工厂加工这种校服用的天数为：， 乙工厂加工这种校服用的天数为：， ∵单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天， ∴， 解方程得：， ∴这批校服共有960件； 【小问2详解】 解：乙厂引进了新设备后每天加工的数量为：件， 设甲工厂加工的天数为y天， 则乙工厂加工的天数为：（天）， 由题意得： 解方程得：， ∴， 答：乙工厂加工的天数为28天． 24. 已知与共顶点，，． （1）如图，点在一条直线上，若，，为平分线，为的平分线，求的度数； （2）若，、绕点运动到如图所示的位置，为的平分线，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】（）由平角定义得到，，由角平分线定义求出的度数，进而由平角定义即可得到的度数； （）由角平分线定义得到，求出，，即可得到； 本题考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是由角平分线定义求出的度数，由角平分线定义得到． 小问1详解】 解：∵， ∴， ∵为平分线， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2  动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【解析】 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $