精品解析：广东省广州市白云区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级上册数学学业质量诊断调研（问卷） 本问卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分．时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用 铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在问卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本问卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列新能源汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 3. 钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A. B. C. D. 4. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即 ， 两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点 ， 的点 ；②连接 并延长到点 ，使；③连接 ，并延长到点 ，使；④连接 ，并测量出它的长度，则 的长度就是 ， 两点之间的距离．数学原理是 和全等．请思考：所用的判定定理是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，则 的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 解分式方程时，将方程两边同时乘以同一个整式，会得到一个一元一次方程，这个整式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用 、 、 、 四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若 、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ） A. 14 B. 16 C. 13 D. 11 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在 中， 和的外角平分线交于点于点 ．若 的面积为10，的面积为7，，则 的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 10. 如图， 中，将 沿 折叠，使得点 落在边 上的点 处，若，且 为等腰三角形，则的度数为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 分解因式：______． 12. 方程的解为___________． 13. 如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为 ，那么 的长是________米． 14. 如图，将三角形纸片 沿 折叠，使点 落在点处，连接，平分 ，平分，若，则的度数为___________． 15. 如图，以长方形 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为 ，面积之和为 ，则长方形 的面积为_______． 16. 如图，在 中， ，， ， ， 是 的平分线，若 ， 分别是 和 上的动点，则的最小值为__________ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解：． 18. 计算：． 19. 如图，， ，．求证：． 20. 如图在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和 关于轴对称； （2）写出点的坐标； （3）点 是 轴上一动点，则的是否存在最小值？若存在，请写出最小值，若不存在，请说明理由． 21. 如图，点E在的外部，点D边 上， 交 于点F，若，，． （1）求证： ； （2）若，判断的形状，并说明理由． 22. 如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且，． （1）求证： 是线段 的垂直平分线； （2）若对角线 ，，求四边形 的面积． 23. A、B两地相距160千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速前行至B、A两地，若乙车的速度是甲车速度的倍，乙车比甲车早到24分钟，求甲车的速度． 24. 如图，在 中． （1）尺规作图，过点 作，垂足为 ，在 的延长线上截取，连接 ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件之下，若，且，试判断 的形状，并证明你的结论． 25. 如图，在中， ， （1）求度数． （2）点 是 上的动点，将 沿直线 翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点 是线段 上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上册数学学业质量诊断调研（问卷） 本问卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分．时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用 铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在问卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本问卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列新能源汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义，逐项判定即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．根据同底数幂乘法的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是非负数，当原数绝对值小于1时， 是负数，表示时关键是要正确确定 的值以及 的值． 【详解】解：用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里， 故选：B． 4. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即 ， 两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点 ， 的点 ；②连接 并延长到点 ，使；③连接 ，并延长到点 ，使；④连接 ，并测量出它的长度，则 的长度就是 ， 两点之间的距离．数学原理是 和全等．请思考：所用的判定定理是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用 证明两三角形全等． 【详解】解：由题意知，， 在和 中， ， ． 故选：C 5. 如图，，则 的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 6. 解分式方程时，将方程两边同时乘以同一个整式，会得到一个一元一次方程，这个整式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解： 方程两边同时乘以：， ∴方程两边同时乘以同一个整式为， 故选： ． 7. 如图，用 、 、 、 四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若 、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ） A. 14 B. 16 C. 13 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形铁框的组合方法是解答的关键．若两个顶点的距离最大，则此时这个铁框的形状变化为三角形，可根据三条钢条的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【详解】解：已知 、、、， 选、 、 作为三角形，则三边长为、 、 ，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、 、 作为三角形，则三边长为、 、 ，，能构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 选 、、 作为三角形，则三边长为、、 ，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选 、 、作为三角形，则三边长为、 、，，构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 故选：C． 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为 天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键．设规定时间为 天，根据速度 路程 时间列分式方程即可． 【详解】解：设规定时间为 天， 则可列方程为， 故选：A 9. 如图，在 中， 和的外角平分线交于点于点 ．若 的面积为10，的面积为7，，则 的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．连接 ，过点 作于点 ，于点 ，由角平分线的性质，得到，进而得出，再根据，求出，即可求出 的周长． 【详解】解：如图，连接 ，过点 作于点 ，于点 ， 和的外角平分线交于点，且， ， 的面积为7， ， ， 的面积为10， ， ， ， ，即 的周长为12， 故选：D． 10. 如图， 中，将 沿 折叠，使得点 落在边 上的点 处，若，且 为等腰三角形，则 的度数为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分三种情况讨论：①当 时，②当 时，③当 时，根据等边对等角的性质，结合平角的定义求解即可． 【详解】解： 中，， ， 由折叠的性质可知，， 分三种情况讨论： ①当 时，， ，， ， ； ②当 时，， ， ， ； ③当 时，， ， 此种情况不成立； 综上可知， 的度数为或， 故选：B． 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】 ， 故答案为：． 12. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， 经检验， 时，， 原分式方程的解为 ， 故答案为： ． 13. 如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为 ，那么 的长是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 14. 如图，将三角形纸片 沿 折叠，使点 落在点处，连接，平分 ，平分，若，则的度数为___________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、与三角形内角和有关的角平分线问题等知识．根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质进一步求出 即可． 【详解】解：， ， 平分 ，平分， ，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ，， ， 故答案为： 15. 如图，以长方形 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为，面积之和为 ，则长方形 的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解题的关键．设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为 ，根据完全平方公式得出，求解即可． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为 可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③②得， 所以， 即长方形 的面积为 ， 故答案为： ． 16. 如图，在中， ，， ， ， 是 的平分线，若 ， 分别是 和 上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在 上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点 关于 对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在 上截取，连接，，     是 的平分线， 在与中 点和点 关于 对称，连接，与 交于 点，连接 ，此时， 是动点， 也是动点，当与 垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法因式分解，先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母减法，掌握分式的运算法则是解题关键．先通分，再约分即可． 【详解】解： ． 19. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在 和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先根据平行线的性质得到，然后根据“ ”证明即可． 【详解】略 20. 如图在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和 关于 轴对称； （2）写出点的坐标； （3）点 是 轴上一动点，则的是否存在最小值？若存在，请写出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）存在，5． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据（1）中画出的图形写出坐标即可； （3）作点 关于 轴的对称点，连接交 轴于 ，点 即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：由图可得：； 【小问3详解】 解：作点 关于 轴的对称点，连接交 轴于 ，点 即为所求，此时最小，为， 由勾股定理可得：． 21. 如图，点E在的外部，点D边 上， 交 于点F，若，，． （1）求证： ； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）是等边三角形．理由见解析. 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）由结合可得，即可证得，由此即可得到 ； （2）由可得，由可得， ，进而可得，由此即可得到，这样结合 即可得到是等边三角形. 【小问1详解】 证明：∵，，，， ∴， ∵ ，，， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 22. 如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且，． （1）求证： 是线段 的垂直平分线； （2）若对角线 ，，求四边形 的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质： （1）证明全等得到，，即可证明； （2）根据垂直平分线的性质得到，，再根据，，即可求解． 【小问1详解】 证明：在 和中， ， ， ，， 点在线段 的垂直平分线上， 是线段 的垂直平分线； 【小问2详解】 解：由（1）知 是线段 的垂直平分线， ，， ，， 四边形 的面积 ． 23. A、B两地相距160千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速前行至B、A两地，若乙车的速度是甲车速度的倍，乙车比甲车早到24分钟，求甲车的速度． 【答案】甲车速度为80千米/时. 【解析】 【分析】设甲车速度为x千米/时，则乙车的速度是x千米/时，根据“乙车比甲车早到24分钟”列出方程并解答． 【详解】设甲车速度为x千米/时，则乙车的速度是x千米/时， 依题意得：， 解得：x=80． 经检验：x=80是原方程的解． 答：甲车速度为80千米/时. 【点睛】考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 24. 如图，在 中． （1）尺规作图，过点 作，垂足为 ，在 的延长线上截取，连接 ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件之下，若，且，试判断 的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析； （2） 是等边三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作法画出 ，再在 的延长线上截取 ，连接 即可； （2）由题意可知 垂直平分 ，得到，再根据等边对等角和三角形外角的定义，得出，从而得到，推出，即可判断 的形状． 【小问1详解】 解：如图即为所求作； 【小问2详解】 解： 是等边三角形，证明如下： ，， 垂直平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了基本作图——作垂线和线段，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的定义，直角三角形的性质，等边三角形的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 25. 如图，在 中， ， （1）求度数． （2）点 是 上的动点，将沿直线 翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． （3）在（2）的条件之下，点 是线段 上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】（1） ； （2）存在， ； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以 为圆心，以 为半径的半圆．结合当点在线段 上时，线段最小，即可得解； （3）作 点关于直线 的对称点，连接交 于 ，连交 于 ，点 即为所求，当 、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：取 的中点 ，连接 、 ，则， ， ，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． 【小问2详解】 解：∵到点 的距离等于 ， ∴的轨迹是以 为圆心，以 为半径的半圆． 当在线段 上时，线段最小， 由（1）可得 ， ∴， 即线段长度最小值为 【小问3详解】 解：存在． 作 点关于直线 的对称点，连接交 于 ，连交 于 ，点 即为所求． ， 则， 当 、、共线时，的值最小， 由题意可得：，， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $