精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

高二数学活动20250218 一、填空题（共12小题） 1. 已知直线的倾斜角大小是，则___________. 2. 已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是_________. 3. 已知两条平行直线，分别过点，，且与的距离为，则直线的斜率是__________． 4. 从2，3，8，12中任取两个不同的数字，分别记为a，b，用表示该试验的样本点，则事件“为有理数”可表示为_________. 5. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）. 6. 已知圆的面积为，则__________． 7. 双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为_____________． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为,，直线与交于两点,.若△的面积是△面积的3倍,则___________. 9. 在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行：③垂直于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两条直线平行：其中正确的命题是_________（填序号） 10. 已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______.（结果保留根式）. 11. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________. 12. 已知实数x、y满足，则的取值范围是________． 二、选择题（共4小题） 13. 如果曲线上任一点的坐标都是方程的解，那么下列命题中正确的是 A. 曲线的方程为 B. 的曲线是 C. 以方程的解为坐标的点都在曲线上 D. 曲线上点都在方程的曲线上 14. 已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，若，当时，动点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数；事件的概率为，事件的概率为，则 （ ） A. B. C. D. 16. 若一个四面体四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，，，其中一定不是“完美四面体”的为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共5小题） 17. 直线l：与双曲线C：相交于A，B两点. （1）a为何值时，以为直径的圆过原点； （2）是否存在这样实数a，使A，B关于直线对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由. 18. 如图，在三棱柱中，，在底面的射影为的中点，M为的中点： （1）求该三棱柱的表面积； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格． （单位：人次） 满意度 老年人 中年人 青年人 自助餐 点餐 自助餐 点餐 自助餐 点餐 10分（满意） 12 1 20 2 20 1 5分（一般） 2 2 6 3 4 12 0分（不满意） 1 1 6 2 3 2 （1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐? （2）为了和顾客进行深入沟通交流，餐厅经理从点餐不满意顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率； （3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式? 20. 交通拥堵指数（）是表征交通拥堵程度的客观指标，越大代表拥堵程度越高.某平台计算的公式为：，并按的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级： 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路的统计数据如图： （1）从22年元旦及前后共7天中任取1天，求该天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率： （2）从23年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路比22年同日高的天数记为X，求所有X的可能值及其发生的概率： （3）把12月29日作为第1天，将23年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路依次记为，，…，，将2022年同期依次记为，，…，，记（，2，…，7），.请直接写出取得最大值时i的值. 21. 已知椭圆：. （1）求椭圆的离心率e； （2）设、分别为的左、右顶点，E为椭圆上一点且在第一象限内，若，求点E的坐标； （3）设椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆相交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，且直线不与x轴平行.求证：直线过x轴上的定点并求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学活动20250218 一、填空题（共12小题） 1. 已知直线的倾斜角大小是，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程可知，再结合二倍角公式，即可求解. 【详解】由条件可知，所以. 故答案为： 2. 已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是_________. 【答案】## 【解析】 【详解】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解. 【解答】由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积. 故答案为：. 3. 已知两条平行直线，分别过点，，且与的距离为，则直线的斜率是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用点斜式求直线的方程，再根据与的距离为，利用两条平行线间的距离公式，求得直线的斜率. 【详解】两条平行直线分别过点且的距离为3 , 且直线斜率不存在时显然不成立，所以可设直线的斜率为， 则线的方程为,即, 的方程为，即， 故它们之间的距离为, 求得或，故答案为或. 【点睛】本题主要考查直线的斜式方程，两条平行线间的距离公式，属于基础题.使用两平行直线间的距离公式时，需注意：（1）直线方程为一般式；（2）两方程中的系数必须相同． 4. 从2，3，8，12中任取两个不同的数字，分别记为a，b，用表示该试验的样本点，则事件“为有理数”可表示为_________. 【答案】 【解析】 【详解】由已知，一一列举出所有情况，再找出符合条件的情况，作答即可. 【解答】从2，3，8，12中任取两个不同的数字组成的样本点一共有个， 即，，，，，， ，，，，，， 其中为有理数的有，，，，有4种， 故答案为：. 5. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求出． 【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果， 这个点在同一个平面的有个， 故所求概率． 故答案为：． 6. 已知圆的面积为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 7. 双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为_____________． 【答案】2 【解析】 分析】求出右焦点和渐近线方程，由点到直线距离公式求出答案. 【详解】的右焦点为，渐近线方程为， 不妨取，则右焦点F到其一条渐近线的距离为. 故答案为：2 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为,，直线与交于两点,.若△的面积是△面积的3倍,则___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据三角形面积比得再结合的坐标,得然后代入直线方程运算即可. 【详解】设直线与轴交于点, 则△的面积,△的面积 又 由椭圆,得,, 在直线上, 故答案为:. 9. 在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行：③垂直于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两条直线平行：其中正确的命题是_________（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【详解】①由直线与平面垂直的性质得： 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，故①正确； ②由直线与平面垂直的性质定理得： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故②正确； ③由直线与平面垂直的性质得垂直于同一个平面的两条直线平行，故③正确； ④平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故④错误. 故答案为：①②③. 10. 已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______.（结果保留根式）. 【答案】 【解析】 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求 在中，，，. 故答案为：. 11. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________. 【答案】 【解析】 【分析】先以平面为基准，在平面内取三点，然后判断一次一共可以确定多少个“鳖（biē）臑（nào）”，然后类比推理，将重复计算的舍去即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） 如图以平面为基准，在平面内取三点，显然（1）（2）合题意，（3）（4）不合题意，同理，将换成，，，各能找到两个“鳖（biē）臑（nào）”，所以当三点确定在一个平面上时，可以确定8个“鳖（biē）臑（nào）”，共有6个面，所以可确定个“鳖（biē）臑（nào）”.但上图（1）在以平面为基准时又被算了一次，图（2）在以平面为基准时又被算了一次，所以每一种情况都被重复计算了一次，故共能确定个“鳖（biē）臑（nào）”. 故答案为：. 12. 已知实数x、y满足，则的取值范围是________． 【答案】. 【解析】 【分析】讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围. 【详解】因为实数满足， 当时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分； 当时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分； 当时，方程为的图象不存在； 当时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分； 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 表示点到直线的距离的倍 根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为， 令，即，与双曲线渐近线平行， 观察图象可得，当过点且斜率为的直线与椭圆相切时，点到直线的距离最大， 即当直线与椭圆相切时，最大， 联立方程组，得， ， 解得， 又因为椭圆的图象只有第四象限的部分， 所以， 又直线与的距离为，故曲线上的点到直线的距离大于1， 所以 综上所述，， 所以， 即， 故答案为：. 二、选择题（共4小题） 13. 如果曲线上任一点的坐标都是方程的解，那么下列命题中正确的是 A. 曲线的方程为 B. 的曲线是 C. 以方程的解为坐标的点都在曲线上 D. 曲线上点都在方程的曲线上 【答案】D 【解析】 【分析】根据曲线和方程的关系选出正确选项. 【详解】依题意可知，曲线上任一点的坐标都是方程的解，也即曲线上的点都在方程的曲线上.但是方程的解，不一定是曲线上的点，所以A,B,C选项错误，D选项正确. 故选D. 【点睛】本小题主要考查曲线和方程的关系，属于基础题. 14. 已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，若，当时，动点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】设出点的坐标，结合已知，利用数量积的坐标表示求出轨迹方程即可. 【详解】设 则，， 由，得，即，整理得， 而，因此动点的轨迹为双曲线. 故选：C 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数；事件的概率为，事件的概率为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出即可. 【详解】掷两颗骰子的试验的样本空间， ，共36个样本点， 事件含有的样本点为：，共9个， 所以. 故选：D 16. 若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，，，其中一定不是“完美四面体”的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若，由正弦定理得：，设，，，由“完美四面体”的四个侧面是全等的三角形，得到，，，列方程推导出这样的四面体不存在，从而一定不是完美的四面体． 【详解】若，由正弦定理可得，，设，因为“完美四面体”的四个侧面是全等的三角形，，把该四面体顶点当成长方体的四个顶点，四条棱当作长方体的四条面对角线，则长方体面上对角线长为，设长方体棱长为，则，以上方程组无解，即这样的四面体不存在， 四个侧面不全等，故一定不是完美的四面体， 对于A，三角形显然是锐角三角形，可以构成完美四面体， 对于C，由余弦值的比值得到正弦值比值，按着B选项的过程可知可以构成完美四面体. 对于D，由正切值的比值得到正弦值比值，按着B选项的过程可知可以构成完美四面体. 故选：B. 三、解答题（共5小题） 17. 直线l：与双曲线C：相交于A，B两点. （1）a为何值时，以为直径的圆过原点； （2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围， 根据，推断出.根据韦达定理表示出，进而根据直线方程表示出，代入，求得a. （2）假设这样的点A，B存在，进而可知直线l的斜率，把的中点代入直线中求得和的关系，进而根据（1）中的韦达定理表示出，联立方程求得a，看结果是否与矛盾即可. 【小问1详解】 联立方程与，消去y得：（*） 又直线与双曲线相交于A，B两点，，所以， ∴. 又依题知，令A，B两点坐标分别为，， 则. ， 而由方程（*）知：，代入上式， 得，满足条件. 【小问2详解】 假设这样的点A，B存在，则：的斜率. 又中点在上， 则，又， 代入上式知，结合，解得， 这与矛盾. 故这样的实数a不存在. 18. 如图，在三棱柱中，，在底面的射影为的中点，M为的中点： （1）求该三棱柱的表面积； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、、，依题意可得平面，利用勾股定理求出，取中点，连接、，则，即可得到，从而得到，再根据面积公式计算可得； （2）依题意可得平面平面，过作于，由面面垂直的性质定理可得平面，则即为直线与平面所成角，利用等面积法求出，再根据锐角三角函数计算可得． 【详解】解：（1）取中点，连接、、， 因为在底面的射影为的中点，所以平面， 因为平面，所以，又因为，，面，所以面，因为面，所以，因为，所以 又因为为的中点，，所以，， 因为，，所以， ， 取中点，连接、，则，， 因为，所以， 又因为为在平面内投影，所以，， 所以该三棱柱的表面积为． （2）由（1）知，，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 过作于，连接，又因为平面平面， 所以平面，则即为直线与平面所成角，于是， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格． （单位：人次） 满意度 老年人 中年人 青年人 自助餐 点餐 自助餐 点餐 自助餐 点餐 10分（满意） 12 1 20 2 20 1 5分（一般） 2 2 6 3 4 12 0分（不满意） 1 1 6 2 3 2 （1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐? （2）为了和顾客进行深入沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率； （3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式? 【答案】（1）中年人更倾向于选择自助餐；（2）；（3）建议其选择自助餐． 【解析】 【分析】 (1)分别求出三种年龄层次的人群中，选择自助餐的概率，进行比较从而得出结论. (2)点餐不满意人群中，老年人1人（设为），中年人2人（设为，），青年人2人（设为，），列出选2人的基本事件，得出基本事件数和两人都是中年人所包含的事件数，由古典概率公式可得答案. (3)分别求出自助餐和点餐满意的均值，建议选择满意度平均值大. 【详解】（1）由题知，老年人选择自助餐的频率， 中年人选择自助餐的频率， 青年人选择自助餐的频率， 则， 即中年人更倾向于选择自助餐． （2）点餐不满意的人群中，老年人1人（设为），中年人2人（设为，），青年人2人（设为，）． 从中选取2人，其基本事件有，，，，， ，，，，，共10个 基本事件，其中2人都是中年人仅有一个符合题意； 故两人都是中年人的概率为． （3）由表可知，自助餐满意的均值为：． 点餐满意的均值为： ，故建议其选择自助餐． 20. 交通拥堵指数（）是表征交通拥堵程度的客观指标，越大代表拥堵程度越高.某平台计算的公式为：，并按的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级： 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路的统计数据如图： （1）从22年元旦及前后共7天中任取1天，求该天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率： （2）从23年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路比22年同日高的天数记为X，求所有X的可能值及其发生的概率： （3）把12月29日作为第1天，将23年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路依次记为，，…，，将2022年同期依次记为，，…，，记（，2，…，7），.请直接写出取得最大值时i的值. 【答案】（1） （2）可能值见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解； （2）结合题意先求出X的分布列，再结合数学期望公式求解即可； （3）结合题意先求得，进而即可求解. 【小问1详解】 由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天， 所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为； 【小问2详解】 由图可知，23年元旦及前后共7天中比22年同日高的天数只有1月3日和1月4日这2天， 所以，， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望； 【小问3详解】 由题意，，， ，， ，， ， 所以， 绝对值最大，结合以上数据可知取得最大值时，. 21. 已知椭圆：. （1）求椭圆的离心率e； （2）设、分别为的左、右顶点，E为椭圆上一点且在第一象限内，若，求点E的坐标； （3）设椭圆右焦点为F，过点F的直线与椭圆相交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，且直线不与x轴平行.求证：直线过x轴上的定点并求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程求出a，b，c的值，即可求解椭圆离心率； （2）设点E的坐标为，依题意列出方程组，求解方程组即可求出点E的坐标； （3）设直线的方程，联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，再表示出直线的方程，令，结合韦达定理可证明直线过定点；设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理表示出的面积，由基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由椭圆方程可知，则， 所以，则，所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 由（1）可得，，设，，， 则，，因为， 则，解得，即点E的坐标为. 【小问3详解】 由（1）可得， 依题意直线的斜率不为0，则设直线的方程为， 联立，消去x得， 由直线过点F，则恒成立，设，，则， 则，， 因为，则直线的方程为， 令，则， ， 所以直线过x轴上的定点． 因为直线过定点，则设直线的方程为， 联立，消去x得， ，即， 由韦达定理得，， 则 ， 点F到直线的距离， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时， 所以面积的最大值为. 【点睛】思路点睛： 设出直线的方程，直曲联立，利用韦达定理，表示出直线的方程，得到直线过x轴上的定点，再设出直线的方程，再直曲联立，利用韦达定理表示出的面积，由基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$